TRABAJO: METODO DEL TRABAJO VIRTUAL Liseth Natalia Delgado Barajas Deymer Yesid Paez Sepulveda Apolinar Andres Pineda Tobasia 4 de Noviembre de 2014
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EJE EJERCICIO ICIO
Determinar el desplazamiento horizontal que sufre el nodo C para las cargas aplicadas en la armadura que se muestr muestra. a. El m´odulo odulo de elasticidad para todas las barras es igual a E = 200 GPa y el ´area para las barras es dada as´ as´ı; para las barras AC, AD, DB y CB es de 46 ∗ 10 6 [m2 ] y para la barra DC es de 62 ∗ 10 6 [m2 ] −
−
Figure 1: Armadura Para determinar el desplazamiento horizontal del punto es necesario calcular las fuerzas internas generadas en cada elemento de la estructura por las cargas aplicadas y por una carga unitaria en direcci´on del desplazamiento. Primero verificamos que la armadura sea est´aticament aticamentee determinada. determinada. 5 elementos elementos 3 reaccione reaccioness y 2 nodos tenemos entonces: 5 + 3 = 4*(2) , lo que nos da un GIE = 0. •
Fuerzas por cargas aplicadas. Se determinan las reacciones de los apoyos.
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Figure 2: DCL General
MA = −(20 ∗ 12) − (6 ∗ 40) + (By ∗ 24) = 0 By = 20 [KN] F y = −20 + 20 + Ay = 0 Ay = 0 F x = 40 − Ax = 0 Ax = 40 [KN]
Ahora se determinan las fuerzas en cada barra de la armadura.
Figure 3: Nodo A
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PARA EL NODO A F y = F AD Sen (14.036) + F AC Sen (26.56) = 0 F x = −40 + F AD Cos (14.036) + F AC Cos (26.56) = 0 F AC = 44.737[KN] (C) F AD = 82.479 [KN] (T)
Figure 4: Nodo B
PARA EL NODO B F y = 20 + F BC Sen (26.56) + F BD Sen (14.036) = 0 F x = −F BC Cos (26.56) + F BD Cos (14.036) = 0 F BC = 89.477 [KN] (C) F BD = 82.497 [KN] (T)
PARA EL NODO C F y = −F CD + 44.737Cos(63.44) + 89.477Cos (63.44) = 0 F CD = 60.012 [KN] (T) •
Fuerzas por carga unitaria en x. Reacciones 3
Figure 5: Nodo C
Figure 6: Carga unitaria aplicada
MA =
(1 ∗ 6) + (By ∗ 24) = 0 By = 0.25 [KN] F y = 0.25 − Ay = 0 Ay = 0.25 [ KN] F x = 1 − Ax = 0 Ax = 1 [KN] −
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Figure 7: DCL para la carga unitaria Ahora se determinan las fuerzas en cada barra de la armadura.
Figure 8: Nodo A
PARA EL NODO A F y = F AD Sen (14.036) + F AC Sen (26.56) − 0.25 = 0 F x = −1 + F AD Cos(14.036) + F AC Cos (26.56) = 0 F AC = 0
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F AD = 1.031 [KN] (T)
Figure 9: Nodo B
PARA EL NODO B F y = 0.25 + F BC Sen (26.56) + F BD Sen (14.036) = 0 F x = −F BC Cos (26.56) + F BD Cos (14.036) = 0 F BC = 1.118 [KN] (C) F BD = 1.031 [KN] (T)
PARA EL NODO C F y = −F CD + 1.118Cos(63.44) = 0 F CD = 0.5 [KN] (T)
Para calcular el desplazamiento horizontal en C tenemos en cuenta: ∆=
nML
EA
+
nLα(∆T ) +
n(∆L)
Como no hay efectos por temperatura ni por errores de fabricaci´on, entonces el desplazamiento se calcula con lo siguiente f´ormula: ∆x =
nx ML EA
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Figure 10: Nodo C Elemento AC AD DC DB CB
L [m] 13.42 12.33 3 12.33 13.42
KN m2
E [ ] 200*106 200*106 200*106 200*106 200*106
2
A[m ] 46*10 6 46*10 6 62*10 6 46*10 6 46*10 6 −
−
−
−
−
nx [KN]
0 1.031 0.5 1.031 -1.118
N [KN] -44.737 82.479 60.012 82.497 -89.477
nx ML
[m] 0 0.114 0.00725 0.114 0.146
EA
Table 1: Tabla resumen de los resultados Con la sumatoria de los valores de la ´ultima columna se obtiene el valor del dezplazamiento horizontal del punto C. Yel resultado es: ∆x = 0.381[m] Como el resultado de la sumatoria dio positivo, significa que la direcci´on del desplazamiento es a la derecha por lo que la direccion de la carga unitaria se tomo en el sentido correcto.
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Ejercicio
Determine la deflexi´on horizontal en el punto B. todas las barras tiene un ´area de 7*10 4 [m2 ] y experimentan un incremento de temperatura de ∆ T = 20 C . Considere E=200*106 [KN/m2 ] y el coeficiente de dilataci´on t´ermica como 1,2*10 5 C . −
◦
−
◦
Armadura
Verificamos que sea est´aticamente determina; 5 elementos, 3 reacciones y 4 nodos, tenemos entonces 5 + 3 =4*(2) lo ue da un GIE = 0. Primero, calculamos las fuerzas internas en las barra debido a las fuerzas externas. Ahora, se utiza el DCL general para calcular las reacciones.
ΣM A = 0 12C Y =4(60)+6(100) ΣF Y = 0 AY =100-30
−→
−→
C Y = 70 KN
A Y = 30KN
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ΣF X = 0 F X = −60KN
Empezamos a desarrollar la armadura por el nodo A.
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φ = arctan( ) = 33.69
ΣF X = 0 −→ F DA + F BA cos 33, 69 = 60 ΣF Y = 0 −→ F BA sin 33, 69 = −30 F BA = −54, 08KN F DA = 105KN
Ahora, nos vamos al nodo B.
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◦
ϕ = 90 − 33, 69 = 56, 31
◦
ΣF X = 0 −→ F BC sin 56, 31 = 60 − 54, 08sin56, 31 ΣF Y = 0 −→ −F BC cos(56, 31) − F DB = −54, 08 cos(56, 31) F BC = −126, 19KN F DB = 100KN
El nodo D nos sirve para hallar la ´ultima fuerza desconocida. Esta fuerza es F DC .
ΣF X = 0
−→
F DC = 105KN
El u ´ nico nodo que nos falta analizar es el C. Este nos servir´a para comprobar que los c´alculos son correctos.
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φ = 33, 69
◦
ΣF X = 0 −→ −105 + 126, 19cos33, 69 = 0 ΣF Y = 0 −→ 70 − 126, 19 sin(33, 69) = 0
Ahora, se debe resolver nuevamente la armadura pero tan s´olo con la carga unitaria en el nodo B.
De este DCL, podemos calcular las reacciones. ΣM A = 0 12C Y = 4 −→ C Y = 0 , 33KN ΣF X = 0 AX = −1KN ΣF Y = 0 AY = −0, 33KN Empezamos a desarrollar la armadura por el nodo A.
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φ = 33, 69
◦
ΣF X = 0 −→ F AD + F AB cos 33, 69 = 1 ΣF Y = 0 −→ F AB sin 33, 69 = 0, 33 F AD = 0 , 5KN F AB = 0, 59KN
Ahora, nos ubicamos en el nodo D.
ΣF X = 0 −→ F DC = 0 , 5KN ΣF Y = 0 −→ F DB = 0
Para calcular la ´ultima fuerza, trabajamos el nodo B
ϕ = 56, 31
◦
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ΣF X = 0 −→ F BC sin(56, 31) = −1 + 0, 59 sin(56, 31) F BC = −0, 61KN
Para rectificar los resultados, hacemos sumatoria de fuerzas en C
φ = 33, 69
◦
ΣF X = 0 −→ 0 , 61 cos(33, 61) − 0, 5 = 0 ΣF Y = 0 −→ 0 , 33 − 0, 61 sin(33, 61) = 0
A continuaci´on se muestra la tabla para calcular la deflexi´on horiizontal en B.
Por lo tanto, ∆B = 0 , 00682104 + 0, 00140539 −→ ∆ B = 0, 00822643(m) X
X
NOTA: Los signos negativos en las fuerzas significa que act´uan a compresi´on.
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