Unidad 3 Aplicaciones de La Integral

Unidad 3 Aplicaciones de la Integral 3.1 Areas El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas Unidades de superficie. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área). 3.1.1 Area bajo la grafica de una función

La velocidad, la aceleración constante y muchos otros conceptos físicos y matemáticos se pueden despejar con la ayuda del área bajo sus respectivas curvas. El primer paso en la base del concepto de las integrales implica la formulación del área bajo el gráfico de una función. Sea una función continua en el intervalo negativos en dicho intervalo (

,

tal que toma solo valores NO ).

Nos planteamos el siguiente problema: ¿Como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones y , la grafica de la función y el eje X? El área que queremos calcular corresponde a la superficie coloreada de azul en la figura de abajo:

Este area es el valor de la integral entre

Montero Mendez Pedro Abinadi

y de y la denotamos por:

Ing. Industrial

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Esta integral se trata de una integral definida . Una integral definida es, por tanto, un número, mientras que una integral indefinida es una familia de funciones ( el conjunto de primitivas de la función que se integra ). Veamos una manera de dar una solución aproximada al problema que nos planteabamos ( el calculo de dicha area ).

Dividimos el intervalo en intervalos de la misma longitud ( limites de estos intervalos mas pequeños son:

donde

). Los

.

Para contruyamos el rectangulo cuya base es el intervalo y cuya altura es de longitud . Haciendo esto para , terminamos con rectangulos. rectangul os. La suma de sus areas es una aproximación al area bajo la grafica de que queremos calcular. En general, cuanto mayor sea rectangulos a Así, cuando

mejor aproximación sera la suma de las areas de los

. :

uno podria esperar que la aproximación obtenida sea peor que si se considera un número mayor de rectangulos, por ejemplo :

Montero Mendez Pedro Abinadi

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Llamemos

a la suma de los rectangulos así construidos. Se tiene que:

Es decir, infinito.

tiende a

cuando el número de rectangulos, , tiende a

En todo lo que hemos visto hasta ahora hemos supuesto que la función toma valores NO negativos en el intervalo . ¿Que pasaría si tomase valores NO positivos en dicho intervalo? En este caso, ¿como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones y , la grafica de la función y el eje X?

Casi todo lo dicho con anterioridad anteriori dad para el caso pero ahora:

seria aplicable al caso

,

y el area sobre la grafica de la función es

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