INSTITUTO NACIONAL DE MEXICO INSTITUTO TECNOLOGICO DE CERRO AZUL
ALUMNA: ROSENDO ERASMO CHRISTIAN YOVANNY
CATEDRATICO: ING. JOSE CONCEPCION HERNANDEZ CRUZ.
MATERIA: MECANICA DE FLUID FLUIDOS OS
MATERIA: UNIDAD III. ANALISIS DIMENSIONAL Y TEORIA DE MODELOS.
SEMESTRE: 4°.
CARRERA: INGENIERIA PETROLERA.
UNIDAD 3 MODELOS
ANALISIS
DIMENSIONAL
Y
TEORIA
DE
3.1 ANALISIS DIMENSIONAL
El análisis dimensional es una herramienta que permite simplifcar el estudio de cualquier enómeno en el que estén involucradas muchas magnitudes ísicas en orma de variables independientes. Su resultado undamental, el teorema de Vasch!"uc#ingham $más conocido por teorema % permite cambiar el con&unto original de parámetros de entrada dimensionales de un problema ísico por otro con&unto de parámetros de entrada adimensionales más reducido. Estos parámetros adimensionales se obtienen mediante combinaciones adecuadas de los parámetros dimensionales no son 'nicos, aunque sí lo es el n'mero mínimo necesario para estudiar cada sistema. (e este modo, al obtener uno de estos con&untos de tama)o mínimo se consigue* •
•
+naliar con maor acilidad el sistema ob&eto de estudio -educir drásticamente el n'mero de ensaos que debe realiarse para averiguar el comportamiento o respuesta del sistema.
El análisis dimensional es la base de los ensaos con maquetas a escala reducida utiliados en muchas ramas de la ingeniería, tales como la aeronáutica, la automoción o laingeniería civil. + partir de dichos ensaos se obtiene inormación sobre lo que ocurre en el enómeno a escala real cuando eiste seme&ana ísica entre el enómeno real el ensao, gracias a que los resultados obtenidos en una maqueta a escala son válidos para el modelo a tama)o real si los n'meros adimensionales que se toman como variables independientes para la eperimentación tienen el mismo valor en la maqueta en el modelo real. +sí, para este tipo de cálculos, se utilian ecuaciones dimensionales, que son epresiones algebraicas que tienen como variables a las unidades undamentales derivadas, las cuales se usan para demostrar órmulas, equivalencias o para dar unidades a una respuesta. /inalmente, el análisis dimensional también es una herramienta 'til para detectar errores en los cálculos científcos e ingenieriles. 0on este fn se
comprueba la congruencia de las unidades empleadas en los cálculos, prestando especial atención a las unidades de los resultados. 1ara reducir un problema dimensional a otro adimensional con menos parámetros, se siguen los siguientes pasos generales* 2. 0ontar el n'mero de variables dimensionales n. 3. 0ontar el n'mero de unidades $longitud, tiempo, masa, temperatura, etc.% m
básicas
4. (eterminar el n'mero de grupos adimensionales. El n'mero de grupos o n'meros adimensionales $ %es n - m. 5. 6acer que cada n'mero dependa de n - m variables f&as que cada uno dependa además de una de las n - m variables restantes $se recomienda que las variables f&as sean una del 7uido o medio, una geométrica otra cinemática8 ello para asegurar que los n'meros adimensionales hallados tengan en cuenta todos los datos del problema%. 9. 0ada se pone como un producto de las variables que lo determinan elevadas cada una a una potencia desconocida. 1ara garantiar adimensionalidad deben hallarse todos los valores de los eponentes tal que se cancelen todas las dimensiones implicadas. :. El n'mero que contenga la variable que se desea determinar se pone como unción de los demás n'meros adimensionales. ;. En caso de traba&ar con un modelo a escala, éste debe tener todos sus n'meros adimensionales iguales a las del prototipo para asegurar similitud.
3.2 GRUPOS ADIMENSIONALES
=os parámetros adimensionales asociados a las magnitudes anteriores, vienen determinados por relaciones entre los diversos eectos que se pueden considerar*
3.3 TEORIA DE BUCKINHAM
(ado un problema ísico en el que el parámetro dependiente es unción de n-1 parámetros independientes, se puede epresar la relación entre las variables de manera uncional como*
donde q1 es el parámetro dependiente q2,q3,...,qn son n-1 parámetros independientes. >atemáticamente se puede epresar la ecuación anterior como*
donde g es una unción no especifcada, pero dierente de f . El ?eorema p de "uc#ingham establece que dada una relación entre n parámetros de la orma
los n parámetros pueden agruparse en n-m parámetros adimensionales independientes $o parámetros p % que se epresan de manera uncional como*
o de otra orma
El n'mero m usualmente $pero no siempre% es igual al n'mero mínimo de dimensiones independientes que se requieren para especifcar las dimensiones de todos los parámetrosq1,q2,...,qn. El teorema no predice la orma uncional de G o G1. Estas deben ser determinadas eperimentalmente.
P!"#$%&%#'(! )** #+ #&)+#! $#+ T#!#&* ) $# B,"-%'/*& #' ,' *'0+%% $%&#'%!'*+.
El análisis dimensional de un problema se lleva a cabo en tres etapas. (entro de la segunda de estas etapas se aplica el ?eorema p de "uc#ingham para obtener los parámetros adimensionales que el problema requiera. =a aplicación del ?eorema de "uc#ingham consta de seis pasos.
2. Establecer una lista apropiada de parámetros. 3. @btener los parámetros 1 adimensionales usando el teorema p de "uc#ingham. 2. =istar todos los parámetros signifcativos. $Sea n el n'mero de parámetros%. 3. Seleccionar un dimensiones.
con&unto
undamental
$primario%
de
4. =istar las dimensiones de todos los parámetros, epresándolos en unción de las dimensiones primarias. $Sea r el n'mero de dimensiones primarias%. 5. Seleccionar de la lista de parámetros que se elaboró en el P*! 1, aquellos que se repetirán en los parámetros adimensionales que se han de ormar. Estos parámetros que se repiten deberán ser iguales en n'mero a las dimensiones primarias deberá evitarse omitir alguna de ellas. $Sea m el n'mero de parámetros que se repiten%. 9. Establecer las ecuaciones dimensionales que combinen los parámetros que se repiten que se seleccionaron en el P*! 4 con cada uno de los parámetros restantes, buscando ormar parámetros adimensionales. $Sean n-m el n'mero de ecuaciones que se obtendrán%. -esolver estas ecuaciones dimensionales para obtener los n-m parámetros adimensionales. :. Verifcar que cada parámetro obtenido resulte adimensional.
2. (eterminar eperimentalmente la relación uncional entre los parámetros 1 .
3.4 SEMEJANZA GEOMETRICA CINEMATICA Y DINAMICA
=a teoría de las seme&anas es aquella que se emplea para el traba&o con modelos a escala en t'neles aerodinámicos con el ob&etivo de que el comportamiento de los mismos sea lo más cercano posible a como se comportaría en una situación real el ob&eto en cuestión. >anifesta que los criterios undamentales para establecer la seme&ana de un modelo a escala con el ob&eto real son los del n'mero de -enolds el n'mero de >ach. =os ob&etos de estudio pueden ser vehículos espaciales,aviones, puentes edifcaciones. •
SE>EA+BC+S EB?-E E= >@(E=@ D E= @"AE?@ -E+=
1ara analiar mediante un modelo a escala los enómenos que podrían ocurrir en el ob&eto real es necesario que entre ambos $modelo ob&eto real% eista seme&ana geométrica, cinemática dinámica. 2 Seme&ana geométricaeditarF Seg'n esta teoría, los casos más simples de las seme&anas de enómenos, es la seme&ana geométrica. (os enómenos $cosas% son geométricamente seme&antes si todas las correspondientes dimensiones lineales que las caracterian son proporcionales. =os criterios de seme&ana geométrica son relaciones entre cualesquier correspondientes dimensiones lineales. En los enómenos geométricamente seme&antes, todos los criterios homónimos de seme&ana geométrica son iguales. Seme&ana cinemáticaeditarF (os enómenos son cinemáticamente seme&antes si con la seme&ana geométrica, tiene lugar al mismo tiempo, proporcionalidad orientación igual de los vectores de velocidad en todos los puntos adecuados. =os criterios principales de seme&ana cinemática son ángulos que determinan la posición de un cuerpo respecto al vector velocidad de la corriente libre. Seme&ana dinámicaeditarF (os enómenos son dinámicamente seme&antes si con la seme&ana cinemática tiene lugar la proporcionalidad orientación igual de los vectores ueras en todos los puntos adecuados de dichos enómenos hablando en rigor, la seme&ana dinámica se consigue solo si tiene lugar
la seme&ana completa de enómenos cuando todas las magnitudes ísicas similares son iguales en todos los puntos correspondientes. 1ara obtener en la práctica la similitud de enómenos aerodinámicos basta lograr la proporcionalidad de las ueras de roamiento presión lo que simplifca mucho este problema. •
0-G?E-G@S (E SE>EA+BC+
1or n'mero de -enolds Supongamos que hemos logrado la similitud de dos enómenos aerodinámicos. 1or e&emplo, enómenos de derrame alrededor del ala del avión en vuelo el de su modelo. Hue sean determinadas por vía eperimental las ueras aerodinámicas que act'an en el modelo. 1ara aplicar estos resultados a un planeador real es necesario establecer la ecuación que podría relacionar las ueras aerodinámicas en dos enómenos seme&antes. 0on el fn de deducir tal ecuación vamos a despe&ar cerca del ala real una partícula de aire elemental con masa $?odas las magnitudes reerentes al planeador las designaremos con el subíndice 2 al modelo con 3%. Hue sobre la partícula despe&ada desde el lado del aire ambiente act'e la uera . Entonces dicha partícula en su movimiento adquirirá la aceleración le de BeIton*
El volumen de orma el actor
la de
misma siendo orma.
partícula se pone en la orma*
partícula
seg'n la Segunda
lo
epresaremos
en
la
la disminución lineal característica 1or consiguiente, la masade la la epresión de la uera elemental
=a epresión análoga puede escribirse también para la partícula correspondiente al modelo de un enómeno*
=a relación de las ueras elementales que obran en un enómeno en su modelo será*
En unidad de la seme&ana geométrica siendo las superfcies características correspondientes8 debido a la seme&ana cinemática8 al fn, de acuerdo con la seme&ana dinámica las ueras elementales son proporcionales a otras ueras similares*
1or consiguiente, la relación de cualesquier ueras similares que obran en dos enómenos dinámicamente seme&antes, por e&emplo ueras aerodinámicas totales, será*
donde*
Esta 'ltima epresión es la ecuación en la que las ueras aerodinámicas se hallan relacionadas en dos enómenos dinámicamente seme&antes.
En esta ecuación pueden sustituirse los valores de densidades velocidades en cualesquiera pero inaliblemente adecuados puntos de la corriente cualesquiera pero obligatoriamente correspondientes superfcies. 1ara uniormidad, en la determinación de las características aerodinámicas de cuerpos suelen emplearse los valores de densidad velocidad de la corriente libre. 0omo superfcie característica de un ala de un avión en todo su con&unto se toma una superfcie de ala en plano, puesto que
la epresión puede ponerse en la orma*
=a relación adimensional de cualquier uera aerodinámica a la presión dinámica de la corriente libre superfcie característica, se llama coefciente de esta uera*
$0oefciente de uera aerodinámica total% $0oefciente de resistencia al avance% $0oefciente de uera de sustentación% 0omo se deduce de las ecuaciones anteriores, en los enómenos dinámicamente seme&antes los coefcientes aerodinámicos similares son iguales, lo que quiere decir que pueden determinarse, no en condiciones naturales, sino en modelos dinámicamente seme&antes. Si se conoce el coefciente $por e&emplo% la uera misma se calcula por la órmula*
=a cual se llama órmula general de la uera aerodinámica. (e acuerdo con la ecuación anterior cualquier uera aerodinámica puede representarse como un producto del coefciente adimensional de dicha uera por la presión dinámica de la corriente libre superfcie
característica. 1aralelo a la uera aerodinámica se deben considerar los momentos de estas respecto a los diversos e&es. 1ara pasar, en la ecuación anterior, de las ueras a los momentos, vamos a multiplicar el primer miembro de dicha ecuación por la relación miembro por la relación
siendo
, el segundo
respectivamente, los braos de ueras respecto a un e&e elegido las dimensiones lineales características en los enómenos seme&antes en un ala,
debido
tendremos escribirse*
a
la
similitud
de
los
enómenos
8
. 1uesto que son momentos de ueras respecto al e&e dado, puede
=a relación adimensional del momento aerodinámico
a la presión
dinámica de la corriente libre, superfcie característica dimensión lineal característica se llama coefciente del momento* 1arámetros que se emplean para la deducción de la órmula del momento aerodinámico
Se deduce que en los enómenos dinámicamente seme&antes los coefcientes de los momentos similares son iguales, se escribe en la orma*
En las cuestiones antes epuestas se ha demostrado que si los enómenos son dinámicamente seme&antes los coefcientes aerodinámicos similares son iguales. 1ara convencernos de la similitud de los enómenos, durante la simulación haremos las siguientes observaciones* Supongamos que en dos enómenos dinámicamente seme&antes act'an solo las ueras de roamiento viscoso. 1ara las superfcies elementales , las mismas ueras pueden epresarse como* /JKuera de roamiento JK0oefciente dinámico de viscosidad VJKVelocidad del 7u&o SJKLrea de la superfcie 1uesto que en los enómenos dinámicamente seme&antes las ueras son proporcionales a los productos por lo que podemos escribir* Volviendo a la deducción de la ecuación anterior no es diícil establecer que el segundo miembro de la proporción escrita es la relación de los productos los cuales de acuerdo con el principio de (M +lembert pueden llamarse N/ueras de GnerciaN que se oponen a la variación de velocidad de las partículas de aire elementales en dos enómenos dinámicamente seme&antes.
