I ANALISIS DIMENSIONAL "Matemáticas de las dimensiones de las cantidades’’
Es una una técn técnic ica a medi median ante te la cual cual se dedu deduce ce info inform rmac ació ión n acer acercca de un fenómeno, basándose en la premisa de que este puede escribirse mediante una una ecua ecuaci ción ón dime dimens nsio iona nalm lmen ente te homo homogé géne nea a entr entre e cier cierta tass vari variab able les. s. El resultado del A.D. consiste en reducir el número de variables originales que entran en el fenómeno a un conjunto más pequeño, formado con dichas variables, que conforman un grupo de parámetros dimensionales. Un paráme parámetro tro dimens dimension ional al se puede puede consid considera erarr como como el cocien cociente te de dos fuerzas que actúan en el fenómeno, indicándose, mediante la magnitud relativa de este cociente, la importancia de una de las fuerzas con respecto a la otra. Si en un fenómeno dado, ciertas fuerzas resultan mucho mayores que otras, entonc entonces es es posible posible despreci despreciar, ar, a menud menudo, o, el efecto efecto de las fuerza fuerzass más más pequeñas, dando lugar a que los parámetros adimensionales se conviertan en caract caracterí erísti sticos cos del fenóme fenómeno no estudi estudiado ado,, recibi recibiend endo o el nombr nombre e de Número Númeross Adimensionales en algunos casos. (Reynolds, Froude, Euler, Mach, Wueber, etc.). El análisis dimensional se basa en el Principio de Homogeneidad Dimensional, que establece que “si una ecuación expresa correctamente una relación entre variables, variables, debe ser dimension dimensionalmen almente te homogénea homogénea,, es decir, decir, sus sumandos deben tener las mismas dimensiones” .
Una variable es dimensional si su valor numérico depende de la escala usada en su medida; esto es, depende del sistema de unidades elegido. Una variable es adimensional cuando su valor numérico es independiente del sistema de unidades de medida. Ejemplos típicos de cantidades dimensionales son la longitud, el tiempo, la fuerza, la energía, etc. Los ángulos, la relación entre dos longitudes, el rendimiento, son ejemplos de cantidades adimensionales. adimensionales. El Análisis Dimensional permite reducir el número y la complejidad de las variables que intervienen en la descripción de un fenómeno físico dado: Si un fenómeno físico depende de n variables dimensionales, es posible reducir el problema a sólo k variables adimensionales, donde la reducción n-k puede ser 1, 2, 3 o 4, dependiendo del número de dimensiones básicas que intervengan en el fenómeno. En definitiva, el Análisis Dimensional: (1) Permite un análisis cualitativo, (2) Muestra la dependencia entre las variables y (3) Simplifica las relaciones entr entre e vari variab able les, s, mien mientr tras as que que la Teor Teoría ía de Mode Modelos los perm permiti itirá rá extr extrap apol olar ar resultados entre flujos semejantes.
1.1. UTILIDAD DEL A.D. Para Para dete determ rmin inar ar la form forma a de ecua ecuaci cion ones es físi física cass a parti partirr de las las varia variabl bles es prin princi cipa pale less y de sus sus dime dimens nsio ione nes. s. Para Para comp compro roba barr cual cualititat ativ ivam amen ente te ecuaciones. Para determinar las dimensiones de coeficientes empíricos. Para establecer y realizar experimentos, descubriendo aspectos desconocidos del problema. Para formular leyes de similitud de considerable importancia en la investigación experimental.
1.2. DIMENSIONES Las dimensiones empleadas en la mecánica son: fuerza, masa, longitud y tiempo, las cuales están relacionadas entre sí por la segunda ley de Newton sobre el movimiento: F = Masa ´ Aceleración
donde la masa (inercial) es expresada a partir de esta relación, por lo cual solo tres de las cuatro dimensiones empleadas son independientes entre sí. Según la combin combinaci ación ón de las dimensio dimensiones nes se puede puede habla hablarr de dos sistemas sistemas de unidades: Absoluto y Gravitacional. Sistema
Dimensiones
Unidades
Absoluto
MLT
Kilogramo - metro - segundo
Gravitacional F L T
Newton - metro – segundo
1.3. DIMENSIONES Y CANTIDADES FÍSICAS Variable Símbolo Fuerza F Masa M Longitud L Tiempo T Velocidad lineal V Velocidad angular w Velocidad del sonido C Aceleración lineal A Aceleración gravedad G
Unidad Nw Kg. M S m/s s-1 m/s m/s2 m/s2
MLT MLT-2 M L T LT T-1 LT -1 LT-2 LT-2
FLT F FL-1T-2 L T L T-1 LT-1 LT-2 LT-2
1.1. UTILIDAD DEL A.D. Para Para dete determ rmin inar ar la form forma a de ecua ecuaci cion ones es físi física cass a parti partirr de las las varia variabl bles es prin princi cipa pale less y de sus sus dime dimens nsio ione nes. s. Para Para comp compro roba barr cual cualititat ativ ivam amen ente te ecuaciones. Para determinar las dimensiones de coeficientes empíricos. Para establecer y realizar experimentos, descubriendo aspectos desconocidos del problema. Para formular leyes de similitud de considerable importancia en la investigación experimental.
1.2. DIMENSIONES Las dimensiones empleadas en la mecánica son: fuerza, masa, longitud y tiempo, las cuales están relacionadas entre sí por la segunda ley de Newton sobre el movimiento: F = Masa ´ Aceleración
donde la masa (inercial) es expresada a partir de esta relación, por lo cual solo tres de las cuatro dimensiones empleadas son independientes entre sí. Según la combin combinaci ación ón de las dimensio dimensiones nes se puede puede habla hablarr de dos sistemas sistemas de unidades: Absoluto y Gravitacional. Sistema
Dimensiones
Unidades
Absoluto
MLT
Kilogramo - metro - segundo
Gravitacional F L T
Newton - metro – segundo
1.3. DIMENSIONES Y CANTIDADES FÍSICAS Variable Símbolo Fuerza F Masa M Longitud L Tiempo T Velocidad lineal V Velocidad angular w Velocidad del sonido C Aceleración lineal A Aceleración gravedad G
Unidad Nw Kg. M S m/s s-1 m/s m/s2 m/s2
MLT MLT-2 M L T LT T-1 LT -1 LT-2 LT-2
FLT F FL-1T-2 L T L T-1 LT-1 LT-2 LT-2
Gasto o caudal Caudal unitario Presión Densidad Peso específico Viscosidad dinámica Viscosidad cinemática Tensión superficial Esfuerzo de corte Modulo de elasticidad
Q Q P
r G M V
S t E( K)
m3/s m2/s Pa Kg/m3 N/m3 Pa.s m2/s N/m Pa Pa
L3T-1 L2T-1 ML-1T-2 ML-3 ML-2T-2 ML -1T-1 L2T-1 MT-2 ML-1T-2 ML-1T-2
L3T-1 L2T-1 FL-2 FL-4T2 FL-3 FL-2T L2T-1 FL-1 FL-1 FL-2
1.4. PROCEDIMIENTO DE APLICACIÓN DEL A.D. Listar todos los parámetros ( m) significativos que influyen en el problema a estudiar, m es el número de variables. • •
•
• •
Seleccionar un conjunto fundamental de dimensiones. FLT o MLT . Listar todas las variables en función del sistema escogido y clasificarlas en geom geomét étri rica cas, s, cine cinemá mátitica cass y diná dinámi mica cas, s, elab elabor oran ando do la matr matriz iz dimensional. Encontrar el orden del mayor determinante diferente de cero de la matriz dimensional. El orden de este determinante es n. Aplicar uno de los tres métodos de solución. El A.D. no corrige una mala selección de las variables que influyen en el fenómeno a estudiar.
1.5. MÉTODOS DE SOLUCIÓN Los métodos de solución aplicables al A.D. se basan en el principio de homogeneidad dimensional establecido por Fourier en 1822 según el cual la relación entre un fenómeno y sus variables debe ser la unidad o una constante adimensional.
Ejemplo 1.1: Supóngase que se quiere estudiar la fuerza ejercida por una corriente uniforme de fluido sobre un objeto inmerso en él:
Se sabe que esta fuerza, F, depende de la longitud del objeto, L, de la rugosidad de la superficie, ε,de la veloci velocidad dad del flujo, flujo, v, de la densid densidad ad del fluido, ρ, y de su viscosidad, µ. Esta relación se puede expresar como: Si, por ejemplo, se toman 10 valores diferentes de cada variable, se deberán real realiz izar ar 105 105 expe experi rime ment ntos os para para defi defini nirr adec adecua uada dame ment nte e esa esa rela relaci ción ón.. En cambio, el Análisis Dimensional va a permitir expresar esa relación como:
Si, como antes, se toman 10 valores diferentes de cada variable, se deberán real realiz izar ar únic únicam amen ente te 102 102 expe experi rime ment ntos os para para defin definir ir adec adecua uada dame ment nte e esa esa relación. Considérese ahora que no se considera la influencia de la rugosidad, o si el cociente ε/L es el mismo:
y que se tienen dos objetos geométricamente semejantes tal que en el “objeto prototipo” se tiene un tamaño L y en el “objeto modelo” se tiene un tamaño 2 L. Se va a igua iguala larr el núme número ro de Reyn Reynol olds ds entr entre e el mode modelo lo y el prot protot otip ipo o (suponiendo que se utiliza el mismo fluido):
Si se ensaya el modelo en esas condiciones, al ser iguales los números de Reynolds, la expresión anterior nos dice que también será igual la agrupación de variables del lado izquierdo:
1.5.1. Método de Rayleigh. Si una expresión es de la forma x = a + b + c + d +... + n será necesario que todas y cada una de las variables tengan las mismas dimensiones. Si se tiene un conjunto de variables que representan un fenómeno dado y si todas o algunas de ellas, tienen dimensiones diferentes, una función que las relacione debe ser un producto de estas variables elevadas a dete determ rmina inada dass pote potenc ncias ias,, de form forma a que que se cump cumpla la el prin princi cipi pio o de homogeneidad.
Ejemplo 1.2 Se sabe que la velocidad de salida de un fluido por un orificio practicado en la pared de un tanque, que contiene un fluido cualquiera, es una función de: la altura del fluido dentro del tanque y de la aceleración de la gravedad. Determinar la forma de la ecuación para la velocidad. V = F (g,H ) Sistema MLT [V] = [L T -1] [g] = [L T-2] [H ] = [L] Según Rayleigh V= C g b H a LT-1 = C [L]a [L T - 2] b Se debe cumplir que la suma de los exponentes de las dimensiones de la derecha sea iguales a la suma de los exponentes respectivos de la izquierda. Para L 1 = a + b Þ a = 1-b Para T - 1 = - 2b Þ a = ½ y b = ½ Por lo tanto
\ V = C g ½ H ½
Cuando se aplica la ecuación de la energía o de Bernoulli se obtiene: , por lo tanto C debe tender como mínimo a C v , sin tener en cuenta el fluido dentro del tanque y las características del orificio (diámetro y forma).
Ejemplo 1.3 Del problema anterior se obtiene que el caudal de salida será: , donde C no es una constante sino que varía con la carga y el tamaño del orificio y de las propiedades del fluido ( r , m ) . Determinar por A.D de que parámetro depende C. 1. Q = F( A,h,g,m ,r ) 2. Sistema FLT 3. Unidades [Q] = L 3 T-1 , [ A] = L2 , [H] = L , [g] = LT-2 [m ] = FL-2T , [r ] = FL-4T2 4. Q = C m a r b Ac Hd ge \ L3T-1 = ( FL-2T) a ( FL-4T2) b ( L2) ( L) d ( LT-2) c para F para L para T
0=a+b 3 = -2a - 4b + 2c + d + e 1 = a + b –2e -1 = a-a-2e
Al resolver para b, c , y e en función de a y d b = -a
\
Para obtener la ecuación original, se multiplica y se divide por
Þ
Por lo tanto
en el cual, el valor de los exponentes a, d y la constante C 1, deben ser obtenidos experimentalmente. Otra forma de analizar el problema sería cuando se asuma que el exponente d tienda a
, (d=1/2).
1.5.2. Inconvenientes Método de Rayleigh. Según el problema anterior, parece que en el análisis dimensional solo se pueden escribir tres ecuaciones ya que únicamente existen tres dimensiones fundamentales independientes MLT o FLT . Además, en este caso, serían posibles otras nueve soluciones del problema de igual validez en término de: a, b; a, c; a, e; b, c; b, d; b, e; c, d; c, e y d .
Este hecho limita la plenitud con la que se puede resolver un problema de más de tres incógnitas, pero no limita la utilidad del A.D para obtener la forma de los términos de una ecuación.
1.5.3. Método de Buckimgham El método de A.D de Rayleigh fue mejorado por Buckingham con una amplía generalización que se conoce como el teorema P.
1.5.3.1 Teorema P. Si un proceso físico satisface el Principio de Homogeneidad Dimensional y relaciona n variables dimensionales, se puede describir mediante una relación entre solo k variables adimensionales. La reducción j=n-k es igual al máximo número de variables que NO pueden formar un grupo adimensional entre ellas, y es siempre menor o igual que el número de dimensiones que describen estas variables. Para encontrar la reducción j, se seleccionan j variables que no puedan formar un parámetro adimensional. Cada parámetro adimensional deseado estará formado por el producto de potencias de estas j variables con una variable adicional a la que se le asigna un exponente conveniente no nulo (habitualmente 1). Todos los grupos adimensionales así determinados son independientes. Este proceso se puede sistematizar en los pasos siguientes: 1) Se hace una lista de las n variables relacionadas con el problema estudiado y de sus dimensiones. 2) Se determina la reducción j. Para ello, se elige inicialmente igual al número de dimensiones diferentes que aparecen en el problema y se buscan j variables que NO puedan formar un grupo adimensional; si no se encuentran, se reduce j en una unidad y se buscan de nuevo. 3) Se selecciona un grupo de j variables que NO puedan formar un grupo adimensional que tengan bastante generalidad (que incluyan todas las dimensiones implicadas). 4) Se añade una variable diferente de las j variables elegidas y se forma un producto de potencias; a continuación se determinan los exponentes que hacen que el grupo sea adimensional. Se repite este paso con el resto de variables. Ejemplo: Supóngase que se quiere estudiar la fuerza ejercida por una corriente uniforme de fluido sobre un objeto inmerso en él. Se sabe que esta fuerza, F, depende de la longitud del objeto, L, de la rugosidad de la superficie,
ε,de la velocidad del flujo, v, de la densidad del fluido, ρ, y de su viscosidad, µ.
Esta relación se puede expresar como: 1) Lista de variables y sus dimensiones: Fuerza F M L T-2 Longitud L L Rugosidad ε L Velocidad v L T-1 ρ Densidad M L-3 Visc. Dinámica µ M L-1 T-1
n=6
2) En las variables nos aparecen las dimensiones M, L y T, por lo que se van a buscar j = 3 variables que NO puedan formar grupo adimensional; por ejemplo, L, v y ρ no forman grupo adimensional, luego j = 3. 3) Se elige a ρ, v y L como variables repetitivas. 4) Se forman productos de potencias de las variables repetitivas con el resto de variables:
Por tanto la relación anterior se puede expresar de la siguiente manera:
Para obtener los grupos adimensionales, además del Teorema Π, se puede aplicar el “Método del producto de potencias, que consiste en expresar la
función estudiada como un producto de potencias de las variables de las que depende y aplicar el Principio de Homogeneidad Dimensional: Ejemplo: Se va a resolver el ejemplo anterior con el método del producto de potencias:
Dimensionalmente:
Ejemplo 1.4 La fuerza de arrastre que actúa sobre un cuerpo (esfera) que se mueve por un fluido de viscosidad m y densidad r, es una función del diámetro y de la velocidad del objeto con relación al fluido. Determinar la forma de la ecuación de esta fuerza. Fa = f(D,V,r ,m ,) Þ F(Fa,D,V,r ,m ,) = 0 Sistema gravitacional FLT Dimensiones variables [Fa] = F, [D] = L, [V] = LT-1, [r ] = FL-4T2 , [m ] = FL-2T
Matriz dimensional
D
V
r
m
Fa
F
0
0
1
1
1
L
1
1
-4
-2
0
T
0
-1
2
1
0
Al analizar el determinante de las tres últimas variables se observa que su valor es igual a cero. Pero cuando se conforma como: V r
m
0 1 1 1 -4 -2 = -1 (1-2) + 1 (2-4) = 1-2 = -1 ¹ 0 -1 2 1
Por lo tanto n =3. m = 5 y (m-n) = 2 Número variables = 5 Números de grupos p = 2 F i (p 1,p 2) =0 Variables geométricas: D Variables Cinemáticas: V Variables dinámicas: r, m, Fa Se asumen como variables repetidas: D , V , r y adicionales m y F a. \ p 1 = DaVbr cm , p 2 = DdVer f Fa Para p 1: F0 L0 T0 = (L)a (LT-1)b(FL-4T2)c(FL-2 T) para F 0 = c + 1 Þ c = -1 para L 0 = a + b + 4 -2 Þ a= -1
para T 0 = -b -2 + 1 = -b -1 Þ b = -1 De donde p 1 = D-1V-1r -1m
ó Para: p 2: F0 L0 T0 = (L)d (L T-1)e (F L-4 T2)f (F) para F 0 = f + 1 Þ f = -1 para L 0 = d + e + 4 Þ d = -2 para T 0 = - e -2 Þ e = -2
De donde p 2 = D-2V-2r -1Fa ó Según Buckingham: F 1(p 1,p 2) = 0
De esta función se despeja la variable objetivo
, en la cual:
1.6 NORMALIZACIÓN DE LAS ECUACIONES DE CONSTITUCIÓN En los apartados anteriores se analizó como el análisis dimensional permite reducir el número de variables implicadas en un determinado fenómeno físico, relacionándolas de forma que aparezcan agrupadas en forma adimensional. Según este método, no es preciso conocer las ecuaciones gobernantes del fenómeno, pero requiere que se conozcan todas las variables que influyan en
él, pues la introducción de cualquier variable extraña o la omisión de una variable importante puede invalidar el análisis, apareciendo grupos adimensionales irrelevantes y prescindiendo de grupos importantes. El análisis inspeccional consiste en la aplicación del análisis dimensional a las ecuaciones de constitución de Mecánica de Fluidos. De esta forma, se pone de manifiesto la relación existente entre los distintos términos y su importancia relativa según las características del flujo. Al aplicar las ecuaciones de constitución a un caso particular, existirán términos que podrán ser despreciados, simplificándose la resolución de las mismas. El análisis inspeccional analiza la magnitud de cada término en las ecuaciones de constitución; para ello, se sustituye cada una de las variables por otras variables normalizadas, adimensionalizadas con valores típicos de cada una de las variables implicadas. Por un lado, ya se sabe que la adimensionalización de las ecuaciones permite reducir el número de variables implicadas. Por otro, si dos flujos poseen la misma geometría relativa, las mismas condiciones de contorno e iniciales adimensionales, la solución adimensional de las ecuaciones es la misma, y se dice que los flujos son dinámicamente semejantes.
1.6.1 Normalización de las ecuaciones Las variables normalizadas que se van a introducir en las ecuaciones de constitución son las siguientes, siendo las variables típicas las que llevan el subíndice 0: Longitudes: longitud característica = L 0
Tiempos: tiempo característico = t0 Densidades: densidad característica = ƒ Ï0
Densidades: densidad característica = ρ0
Presiones: presión característica = p 0
Temperaturas: temperatura característica = T 0
Operador Nabla: longitud características = L 0
Operador Nabla2: longitud características = L 0 Para adimensionalizar los gradientes, se distinguirá entre los gradientes de velocidad, que se obtendrán de la siguiente forma:
siendo δp0 un variación típica de presión. Esto se debe a que, en general, las variaciones de velocidad pueden ser del mismo orden de magnitud que la velocidad misma, mientras que las variaciones de presión (densidad, temperatura) serán pequeñas en comparación con su valor absoluto. Si los valores típicos de las variables han sido correctamente elegidos, todos los términos normalizados (con superíndice *) deben ser de orden unidad. Por tanto, la relación entre los coeficientes de dos términos cualesquiera proporciona su magnitud relativa. A continuación se van a normalizar las ecuaciones de constitución que gobiernan el flujo de un fluido newtoniano. A)
Ecuación de continuidad.
B) Ecuación de cantidad de movimiento.
Normalizando, se obtiene la siguiente expresión:
C) Ecuación de la energía (para un gas ideal).
siendo Φ la función de disipación viscosa, dada por la expresión:
donde eij es un término genérico del tensor isotrópico, que aparece en la descomposición del tensor gradiente de velocidades de deformación, que se obtiene según la expresión:
Normalizando la ecuación se obtiene la siguiente expresión:
1.6.2 Comparación de los términos Una vez normalizadas las ecuaciones de constitución, en cada una de ellas se van a comparar los coeficientes de los distintos términos. A) Ecuación de continuidad.
i. Relación entre el término de variación local de densidad y el término convectivo.
A este parámetro se le denomina número de STROUHAL, y representa el cociente entre el tiempo que una partícula fluida tarda en recorrer la distancia típica con la velocidad típica, y el tiempo (o frecuencia) típico del flujo. Como ilustración, considérese el movimiento en las proximidades de un ala de avión que posee un movimiento oscilatorio de frecuencia 1/t 0 (Figura 1). Si el valor del número de Strouhal es muy grande, una partícula fluida permanece mucho tiempo en presencia del fenómeno oscilatorio, con lo que el flujo sería no estacionario. En cambio, si el número de Strouhal es muy pequeño, las oscilaciones no afectan a la partícula, pues está permanece poco tiempo en contacto con el fenómeno; entonces el flujo puede considerarse estacionario.
ii. Relación entre el término convectivo y el de la divergencia de la velocidad.
Este cociente representa una relación de compresibilidad, de forma que si su valor es pequeño, puede considerarse que el flujo es incompresible. B) Ecuación de cantidad de movimiento.
i. Relación entre el término de aceleración local y el término de aceleración convectiva.
Se obtiene de nuevo el número de Strouhal, pudiéndose hacer las mismas consideraciones que en el caso anterior respecto al carácter temporal del flujo.
ii. Relación entre el término del gradiente de presión y el término convectivo.
A este parámetro se le denomina número de EULER. A partir de él se define un gran número de coeficientes adimensionales de presión o de fuerza. Por ejemplo, si se multiplican el numerador y el denominador por una superficie (L20), se obtiene un coeficiente de fuerza:
Si el número de Euler es constante o posee una variación conocida para un flujo y una geometría dadas, se puede predecir la potencia requerida para producir el flujo, la potencia extraída del flujo, o la fuerza ejercida por o sobre el contorno. Un ejemplo de aplicación de este número lo constituye el llamado número de cavitación, en el que la diferencia de presión considerada es la que existe entre la presión del flujo y la presión de vapor del fluido:
Por ejemplo, el funcionamiento de un Venturi (Figura 2) es el correcto mientras no se alcance un número de cavitación determinado, a partir del cual, la presencia de las burbujas modifica la sección en la garganta, y se obtendrían medidas erróneas. También tiene su aplicación en el caso de bombas centrífugas, en las cuales, la altura de elevación en un determinado punto de funcionamiento permanece constante aunque se modifique el valor de este parámetro, hasta que se alcanza un valor crítico Ca C a partir del cual la altura de elevación disminuye (Figura 3).
Si el flujo es estacionario y los efectos viscosos son poco importantes, los términos que se están considerando poseen el mismo orden de magnitud, . Dividiendo por p 0 y suponiendo que el fluido es un gas perfecto:
Al cociente entre la velocidad del flujo y la celeridad del sonido en el fluido se le denomina número de MACH que, como se aprecia, está relacionado con la compresibilidad del flujo. iii. Relación entre el término convectivo y el viscoso.
Este parámetro es el número de REYNOLDS, y representa la relación entre las fuerzas de inercia y las viscosas. Si es pequeño, las fuerzas viscosas serán superiores a las fuerzas de inercia y serán capaces de amortiguar las posibles perturbaciones, lo cual no será posible a números de Reynolds mayores (Figura 4). Si es muy grande, se podrán despreciar los efectos viscosos de las ecuaciones, obteniéndose las ecuaciones de Euler.
iv. Relación entre el término convectivo y el término gravitatorio.
A este parámetro se le denomina número de FROUDE, y proporciona la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas gravitatorias. Se aplica en flujos en los que existe una superficie libre, como por ejemplo para evaluar la resistencia al avance de un barco debido al oleaje (Figura 5).
También determina la naturaleza del flujo en canales abiertos (Figura 6), donde se utiliza la siguiente definición del número de Froude:
siendo y0 la profundidad típica. El número de Froude representa la relación entre la velocidad del flujo y la velocidad de propagación de perturbaciones en la superficie libre, y permite clasificar el flujo en subcrítico (Fr<1) y supercrítico (Fr>1).
v. Comparación de coeficientes en convección libre (Figura 7). En flujos con convección libre, la dependencia de la densidad con la temperatura es determinante, y es conveniente modificar la ecuación de cantidad de movimiento para tener en cuenta los efectos de flotabilidad. Si las variaciones de velocidad son debidas a la diferencia de temperatura entre los distintos puntos, el movimiento será muy lento, y el gradiente de presión se puede expresar de la siguiente forma: g = p M ρ ∇
siendo ρ M la densidad del fluido evaluada a la temperatura media del fluido, TM. Introduciendo el gradiente de presión en la ecuación de cantidad de movimiento:
desarrollando la densidad en serie de Taylor en torno al valor ρM, la ecuación se puede escribir de la siguiente forma:
siendo βM el coeficiente de expansión volumétrica, evaluado a la temperatura TM. Normalizando la ecuacion se obtiene la siguiente expresion:
Comparando el término de diferencia de temperatura y el término convectivo, se obtendrá la relación entre las fuerzas de flotabilidad y las de inercia:
siendo Gr el denominado número de GRASHOF:
El significado físico del número de Grashof se puede interpretar de la siguiente forma: la diferencia de presión entre dos puntos separados una distancia vertical L es δ g ρ L , y sustituyendo en la ecuación de Bernoulli, se puede apreciar que dicha diferencia de presión es equivalente a una velocidad típica v siendo v 2 del orden de magnitud de ( δρ/ ρ) gL ; por tanto:
y el número de Grashof puede ser interpretado como el cuadrado del número de Reynolds del flujo resultante. C) Ecuación de la energía.
i. Relación entre el término de variación local y el término de variación convectiva.
Se obtiene de nuevo el número de Strouhal.
ii. Relación entre el término de la presión y el convectivo.
Si se considera que la presion tipica es la presion dinamica tipica, , y que siendo el flujo compresible, la anterior expresion se puede expresar: de forma que
volviendo a aparecer el número de Mach relacionado con la compresibilidad del flujo.
iii. Relación entre el término convectivo y el de conducción de calor.
En la mayor parte de las aplicaciones en aeronáutica y turbomaquinaria, esta relación es muy grande, pudiéndose despreciar el término de conducción de calor.
iv. Relación entre el término de disipación viscosa y el término de conducción de calor.
A este grupo adimensional se le denomina número de BRINKMAN, y representa la relación entre el calor generado por disipación viscosa y el calor transmitido por conducción. Generalmente este número es muy pequeño, y se puede despreciar el calor generado por disipación viscosa. El calor generado por disipación viscosa puede ser importante en algunos casos, como por ejemplo: - Flujo de un lubricante entre superficies móviles (Figura 8). - Proceso de extrusión de plásticos. - Flujo de gases en la capa límite de cuerpos con velocidades hipersónicas; en ese caso, y por tanto:
siendo
el número de PRANDTL, que también se puede expresar como relación entre la viscosidad cinemática
y la difusividad térmica
, y da una medida de la eficiencia del fluido como conductor de cantidad de movimiento y de calor. Siendo el número de Prandtl ligeramente inferior a la unidad para la mayoría de los gases, el número de Brinkman no es despreciable, con lo que tampoco lo es la disipación viscosa.
Por último, se van a volver a escribir las ecuaciones normalizadas, dividiendo en cada una de ellas cada término por el correspondiente coeficiente del término convectivo. A) Ecuación de continuidad.
B) Ecuación de cantidad de movimiento.
C) Ecuación de la energía.
Así se pone de manifiesto que si en dos flujos geométricamente semejantes los distintos números adimensionales que aparecen son iguales, ambos flujos son descritos por las mismas ecuaciones diferenciales. Si además, las condiciones iniciales y de contorno adimensionales son las mismas, las soluciones dimensionales de las ecuaciones son las mismas, siendo los flujos completamente semejantes.
Aplicación del teorema de Buckingham :
Fuerza de arrastre de una esfera: La resistencia al avance de una esfera en un determinado fluido depende de la geometría y del flujo. La geometría viene determinada por el diámetro de la esfera y por la rugosidad
superficial, y los parámetros del flujo más importantes son: velocidad de la esfera, y densidad y viscosidad del fluido. A partir de estas consideraciones: DETERMINE: 1. Parámetros adimensionales que intervienen en el fl ujo. 2. A partir de la gráfica CD=CD(Re), los valores de la fuerza de arrastre para una esfera lisa de 45 mm de diámetro, cuando se mueve en aire a velocidades de 0,001, 1, 10 y 100 m/s. DATOS: Esfera: lisa, diámetro:= 45 mm Aire: densidad = 1,204 kg/m3; viscosidad = 18,1 10-6 kg/ms Coeficiente de arrastre para esferas lisas:
RESOLUCIÓN: Las variables que intervienen son: Fuerza de arrastre: =MLT-2 Diámetro de la esfera: Rugosidad de la esfera: Velocidad de la esfera: 1 Densidad del fluido: 3 Viscosidad del fluido: 1T-1
FD
[FD]
D U
[D] = L [ε] = L [U] = LT-
ρ
[ρ] = ML-
µ
[µ] = ML-
ε
Es decir hay 6 variables y 3 dimensiones, con lo que por el Teorema de Buckingham, hay tres parámetros adimensionales π1, π2 y π3 de tal forma que: (1) PARAMETROS ADIMENSIONALES: Por el método de Buckingham:
Obteniéndose los siguientes valores: a=-1; b=-2; c=-2; d=-1, e=-1; f=-1; g=0; h=0; i=-1; con lo que los parámetros adimensionales son:
El parámetro adimensional π1; puede rescribirse como: obteniendo el número adimensional, que determina la fuerza de arrastre en cualquier geometría: el coeficiente de arrastre: C D: siendo A el área frontal del objeto1. El inverso del parámetro adimensional π2 es el número de Reynolds:
El parámetro adimensional π3, es la rugosidad relativa: Con todo, se obtiene, que existe una funcion que relaciona los tres numeros adimensionales: tambien se puede expresar que el coeficiente de arrastre depende del numero de Reynolds, y de la rugosidad relativa2:
(2) FUERZA DE ARRASTRE :
En el caso de esferas lisas, se tiene que el coeficiente de arrastre solo depende del Reynolds: , que es la gráfica que se suministra en el enunciado. A Re muy bajos (Re<1), se puede obtener analíticamente3 que
Con los datos numéricos: D=45mm; ν=(18,1 10-6 kg/ms) / (1,204 kg/m3) = 15,033 10-6 m2/s; la fuerza de arrastre de la esfera lisa de 45 mm de diámetro, para distintas velocidades es:
1 En el caso del flujo sobre un perfil aerodinámico, el área es el producto de la cuerda por la envergadura. En el caso de flujo sobre una carena de un barco, el área es la superficie mojada de la carena. 2 En el problema no hemos considerado los efectos de la compresibilidad, si el flujo se desarrolla a Ma>0,3; el coeficiente de arrastre, también depende del número de Mach. 3 Es la ecuación de STOKES, que se obtiene resolviendo, en coordenadas esféricas, las ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes, en donde la velocidad tangencial es nula, no asi la radial y la meridional. La ecuación coincide con los resultados experimentales a Re<0,1; a Re = 1, se obtiene un error del 10% (CD = 26,4)
II PARÁMETROS ADIMENSIONALES MÁS COMUNES En la mecánica de fluidos existen varios números o parámetros que son característicos del flujo del fluido y de las propiedades que este posea. Siguiendo la tradición cada parámetro recibe el nombre de algún científico o ingeniero destacado, generalmente aquel que utilizó por primera vez el parámetro en consideración.
2.1 NÚMERO DE REYNOLDS (R) En 1880 Osborne Reynolds, estudió la transición entre el flujo laminar y turbulento a través de un tubo. Reynolds pudo descubrir que el parámetro:
2.1 Donde: : D : r : M , :
Velocidad media del fluido. Longitud característica. Densidad del fluido. Viscosidad dinámica y cinemática respectivamente.
v
Constituye un criterio mediante el cual, se puede determinar el estado de un flujo. Reynolds encontró que el flujo turbulento siempre pasaba a ser laminar, cuando al disminuir la velocidad se hacía que R valiera menos de 2000. Este índice es el número "critico inferior de Reynolds". Para tuberías convencionales el flujo cambiará de laminar a turbulento cuando R se encuentra en el rango de 3000 a 4000. El significado físico de R se puede establecer más claramente cuando se escribe en la forma:
Donde:
(Presión dinámica)´ (área) = fuerza de inercia
(Esfuerzo viscoso) ´ (área) = fuerza viscosa \ R = Fuerzas inerciales /Fuerzas viscosas De acuerdo con esta relación de fuerzas el número de Reynolds es el parámetro adimensional de mayor importancia en los problemas con dominio de la viscosidad.
2.2. NÚMERO DE FROUDE (F) William Froude junto con su hijo Robert Edmundo, estableció que el parámetro:
2.2 Donde:
L g
: Velocidad media del flujo. : Longitud característica. : Aceleración de la gravedad.
Resultaba significativo para los fluidos que presentaban una superficie libre, o sea en aquellos en los cuales la gravedad jugaba un papel primordial. Froude encontró que cuanto menor era este número mayor era la importancia de la gravedad y viceversa. Según este criterio los flujos en canales se podrían clasificar, para características permanentes, en: - Flujos subcríticos: F < 1 - Flujos críticos: F = 1 - Flujos supercríticos: F > 1
El significado físico se establece al elevar al cuadrado el número de Froude:
Donde:
(Presión dinámica)´ (área) = fuerza de inercia = fuerza de gravedad \ F = Fuerzas de inercia / fuerzas gravitacionales
2.3 NÚMERO DE EULER (E) Este número es también denominado coeficiente o parámetro de Cavitación, el cual está representado como:
2.3 Donde: D P : Presión local - Presión corriente. r , V : Propiedades del flujo.
Su significado físico se obtiene al multiplicar y dividir por un área
Este número es de gran importancia cuando se estudian las pérdidas de energía en una conducción con base en la diferencia de presiones entre dos puntos determinados.
2.4 NÚMERO DE MACH (M) En el año de 1870, el físico Ernest Mach, introdujo el parámetro: 2.4 Donde: V : Velocidad flujo. c : Velocidad de propagación del sonido en el fluido.
Valores comunes de c C
Velocidad (m/s)
Aire
340
Agua
1460
Acero
5000
Este número es fundamental para caracterizar los efectos de compresibilidad en un flujo ó cuando las variaciones de densidad, debidas a la presión, son de gran importancia en los flujos de alta velocidad. La velocidad de propagación del sonido en un fluido se puede encontrar mediante las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento para flujo permanente en un conducto con cambios bruscos de velocidad, presión y densidad; además el módulo de elasticidad volumétrico de un fluido ( K ) esta relacionado con la velocidad del sonido:
. De esta forma el número de Mach también es de importancia en los problemas con predominio de la elasticidad. Su significado se observa al elevar el número al cuadrado, es decir,
= Este número permite clasificar los flujos en: Subsónico M < 1 Sónico M = 1 Supersónico M > 1 Cuando se tiene un fluido incompresible, K es infinita y por lo tanto M = 0; para M » 0.3 los efectos de compresibilidad son despreciables.
2.5 NÚMERO DE WEBER (W) Este número es el parámetro adimensional de semejanza en los problemas con predominio de la tensión superficial y viceversa. Este parámetro está definido como:
2.5 Donde: s = tensión superficial El número de Weber raramente se emplea en la derivación de las ecuaciones de movimiento; también se requiere la presencia de superficies libres, pero cuando se trata de cuerpos de grandes dimensiones, como buques, su efecto es muy pequeño. Además en aquellos casos en que las fuerzas de tensión superficial gobiernan el movimiento, ondas capilares en pequeños canales ó movimiento capilar en suelos, no tienen importancia en los problemas de ingeniería hidráulica. Su importancia aparece en el estudio de interfaces gas - liquido, ó liquido liquido ó cuando estas se encuentran en contacto con una frontera sólida, además afecta la descarga de orificios y vertederos con cargas muy pequeñas. Su significado físico aparece cuando se multiplica y divide por L.
2.6 NÚMERO DE STANTON (St) Convención forzada: un fluido que fluye a través de un conducto cerrado a una cierta velocidad promedio V donde existe una diferencia de temperatura entre el fluido y la pared del tubo. Variable
Símbolo Dimensión
Diámetro tubo
D
L
Densidad fluido
r
M/L³
Viscosidad fluido
m
M/LT
Capacidad calorífica
Cp
*Q/MT°
Conductividad térmica
k
Q/TLT°
Velocidad
V
L/T
Coeficiente transformación calor h
Q/TL²T°
*Q: calor T°: temperatura Al analizar el método de Buckinghan de agrupamiento de variables, se encontró que el número requerido de variables adimensionales es tres. Se escoge como grupo principal r, m, Cp, V y se producen los siguientes grupos P.
Re
Pr
St
Donde:
2.6
2.7 NÚMERO DE CAUCHY (Ca)
El número de Euler admite otras variantes de acuerdo con el tipo de flujo que se trate. Si es compresible, la densidad depende de los cambios de presión de acuerdo con la ley dada por
siendo el cuadrado de la velocidad del sonido
que para el modelo sería
se puede escribir entonces que P e/r e = Ce², o bien P/r =C² de manera que sustituyendo en el número de Euler de define otro número importante en los fenómenos de compresibilidad, que recibe el nombre de número de Cauchy.
2.9 donde Ev es módulo de elasticidad volumétrica.
2.8 NÚMERO DE BOUSINEQ (B) El efecto de la gravedad sobre el estado del flujo se representa por una relación de las fuerzas de la inercia a las fuerzas de gravedad
2.11
2.9 NÚMERO DE STROUHAL Para números de Reynolds grandes (60 < Re < 5000) las ondas en el flujo se incrementan en amplitud y se enrollan en torbellinos. El remolino tras el cilindro no está establemente fijado pero es alternamente formado y separado de un
lado a otro. Este fenómeno se conoce momo calle turbulenta y es caracterizado por una formación periódica de torbellino. Karman ha presentado teóricamente que el modelo de formación de torbellinos es estable s i la relación de la separación h a la longitud L es h/L=0.28. Mediciones confirman esta relación en la parte inicial del flujo; y al aumentar la distancia al espaciamiento de h tiende a incrementar.
En particular interés son las medidas de la frecuencia del torbellino esparcido, los cuales son expresados en términos de un parámetro adimensional conocido como número de Struhal:
donde: D N
: Diámetro del cilindro. : Frecuencia.
En el fenómeno anteriormente mencionado ocurre un proceso de mezcla completo sin producción permanente de vórtices (torbellinos). Mediciones indican que el rango permanece en la frecuencia N es función del número de Reynolds. 2.20
El tamaño de la estabilidad detrás de un cuerpo sumergido en el flujo, generalmente es un factor adverso en tanto que representa la dispersión de gran cantidad de energía, y por esta razón se busca siempre estabilizar la
forma de los cuerpos para reproducir el gradiente adverso de la presión o retardar el punto de separación mediante el rizado artificial de la superficie.
2.16 ECUACIÓN GENERAL DEL ESCURRIMIENTO DE UN FLUIDO Considerando un escurrimiento que se efectúa en un conducto de cualquier forma definido por: • •
L : Una de sus dimensiones lineales característica L1,...,L2 ,...,Li : Las otras dimensiones lineales con respecto a la primera.
El fluido desde el punto de vista de su movimiento, estará definido por las siguientes propiedades físicas: •
• •
Su masa especifica r, medida de su inercia o resistencia a las fuerzas que tienden a modificar su movimiento. Su viscosidad absoluta m, medida de su fricción interna. Su tensión superficial s.
Para cualquier tiempo su estado estará definido por la velocidad del sonido c en el fluido. Si el escurrimiento está afectado por el peso del fluido, naturalmente dependerá de la intensidad de la gravedad g. La experiencia demuestra que para un conducto tal y con un fluido así definido, existe una relación entre la velocidad del fluido o su gasto másico con la diferencia de presiones D P medida entre dos puntos de posición definida por L p.
Encontrar por análisis dimensional la relación entre estas variables y la importancia que puedan tener en el escurrimiento las otras características. Función variables: F(L,L 1,L2,.Li,r ,m ,s ,c,g,V,D P) = 0 Variables geométricas: L, L 1, L2,...Lp Variables Cinemáticas: V, c, g. Variables dinámicas: r ,m ,s ,D P Matriz dimensional sistema FLT
L
L1
L2
V
c
g
r
m
s
DP
F
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
L
1
1
1
1
1
1
-4
-2
-1
-2
T
0
0
0
-1
-1
-2
2
1
0
0
Número de variables, para L1 y L2: m = 10 Características de la matriz (r , m , s ): n = 3 Número grupos: p i = 7 Variables repetitivas: L, V ,r Método de solución: Hudsaker- Rightmire [L] = L, [T] = LV-1, [F] = r V2L2 p 1 = L1/L, p 2 = L2/L, p 3 = c/V, p 4 = gL/V2 p 5 = m /r VL p 6 = s /r V2L, p 7 = D P/r V2
Función resultante: Al invertir los parámetros p 3, p 4, p 5, p 6, y al igual que la raíz cuadrada de p se obtiene:
En donde:
Número de Mach
= Número de Froude
Número de Reynolds
Número de Weber
Número de Euler Despejando el coeficiente de presión se obtiene:
4
Donde el valor de f 3 debe ser determinado analítica o experimentalmente.
Consideraciones Para flujo en tuberías (conducto lleno), la acción de la gravedad no influye en la caída de presiones (D P), por lo tanto se puede eliminar el parámetro F . Para diámetros comerciales ( D ³ 1 cm.) la tensión superficial no tiene efecto alguno y por lo tanto no es necesario considerar el número de Weber. Para el flujo permanente de un líquido incompresible, a temperatura constante la compresibilidad no es importante, eliminándose el parámetro M . Se concluye entonces que:
Para tuberías la longitud característica es su diámetro, es decir L = D; L1 es la altura proyectada por las rugosidades (e) en la pared del tubo, L 2 es la longitud entre las cuales se determina la caída de presiones, L 3 el espaciamiento de la rugosidad f , L4 es un factor de forma ( m) que depende del aspecto de las rugosidades, por lo tanto:
Es razonable suponer que la caída de presión en la tubería varíe linealmente con la longitud, es decir, duplicando la longitud del tubo se duplica la caída presión, de manera que se tiene:
Al emplear el peso específico del fluido (g) la expresión toma la forma:
La caída de presión por unidad de peso en una longitud dada y sin variación de diámetro, se conoce como la pérdida de carga o energía disipada por fricción o longitud hf ó sea:
. Para el cálculo de flujo en tuberías se emplea generalmente la ecuación de Darcy-Weisbach, expresada como:
2.22
En la cual el término f es llamado factor fricción y es el factor adimensional necesario para que la ecuación produzca el valor correcto de las pérdidas, por lo tanto no debe ser un valor constante sino que depende de las variables agrupadas en la función 5 ( f 5) , por lo tanto:
Función que incluye las características geométricas de la conducción y las propiedades del flujo y esa relación se debe comprobar experimentalmente. En 1839 Hagen obtuvo experimentalmente, trabajando en tubos circulares y fluidos viscosos, que la caída de presión variaba linealmente con la viscosidad, la longitud y el gasto e inversamente proporcional a la cuarta potencia del diámetro, es decir: 2.23
donde la rugosidad del tubo no afectaba esta caída de presión .En 1840 Poiseuille obtuvo la misma expresión y en 1856 Weidemann la dedujo analíticamente. Al confrontar esta ecuación con la propuesta por Darcy-Weisbach se deduce que el factor de fricción es solamente función del número de Reynolds, ó sea:
2.24
Como se vio anteriormente, Reynolds pudo clasificar experimentalmente los flujos, según la relación existente entre la viscosidad, la velocidad y el diámetro de la tubería en Laminares ( R <200) y Turbulentos ( R >4000). En 1933 H. Blasius fue el primero en obtener correlaciones para los resultados experimentales de flujo turbulento en tubos lisos. Sus resultados los presentó mediante una fórmula empírica válida para número de Reynolds del orden de cien mil: 2.25
Nuevamente, la rugosidad de la tubería no afecta el factor de fricción. En los años 1932 - 1933, J. Nikuradse comprobó la validez de la expresión e / D (rugosidad relativa) en sus experimentos con tubos de rugosidad artificial lograda con granos de arena. Para esto utilizó tres diámetros de tubos en cuyos interiores pegó granos de arena de tamaño (e ) prácticamente constante. Los experimentos demostraron que para ciertos valores de e /D, los valores correspondientes a f vs R quedaban incluidos en una sola curva sin importar el diámetro real del tubo. No se pudieron variar los valores de f y m pero se comprobó la validez de la ecuación:
Las teorías modernas para flujo viscoso incompresible y permanente han relacionado los esfuerzos cortantes producidos en las paredes de los tubos con el factor de fricción y la velocidad promedia, según la rugosidad del tubo. Para tubos lisos se obtuvo la expresión:
La cual según los experimentos realizados por Nikuradse, en la misma categoría de tubos, se transforma en:
ó 2.26
Para tubos rugosos con flujo completamente desarrollados, las teorías modernas, expresan el factor de fricción como:
La misma que según las experiencias de Nikuradse, se expresa como:
ó 2.27
Estas ecuaciones fueron deducidas por Von Karman en 1930. Cuando se aplicaron estas expresiones a tuberías comerciales, se encontraron diferencias con los experimentos de Nikuradse, lo mismo que una zona en la cual no eran válidas las ecuaciones (zona transición liso - rugoso). Estas diferencias se observan en la Figura 2.1. Estas diferencias se han explicado a partir de los conceptos de subcapa ó la película laminar y a la no uniformidad de las rugosidades artificiales en tamaño y distribución.
º
FIGURA 2.1 Diagrama de Colobrook.
En 1938 C. Colebrook ideó una fórmula semiempírica para la transición entre flujo liso y de completa turbulencia en tuberías comerciales, como: 2.28 º
Actualmente se acepta que el parámetro así: 9.33 ³
clasifica los flujos turbulentos
³ 200
Liso Transición Rugoso En 1944, L. F. Moody construyó una de las cartas más útiles para determinar el factor de fricción en tubos comerciales nuevos, Figura 2.2. La carta expresa el factor de fricción como función de la rugosidad relativa (e /D) y del número de Reynolds. Los valores de la rugosidad absoluta se determinan mediante la fórmula de Colebrook luego de que se han calculado experimentalmente f y R.
La carta de Moody se emplea para el agua una temperatura constante a (15°C - 60°F) y para el aire a presión atmosférica estándar a la misma temperatura.
FIGURA 2.2 Diagrama de Moody. Se debe tener en cuenta que todos los valores de (e /D) corresponden a tubos nuevos, en condiciones relativamente buenas, pero para períodos relativamente largos de servicio, se hacen presentes los efectos de la corrosión y en las paredes de los tubos se depositan loa elementos de cal y herrumbre. Esta formación de depósitos incrementa de modo apreciable la rugosidad en la pared y disminuye el diámetro de la tubería. Para tener en cuenta el aumento de la rugosidad con el tiempo, Colebrook y White establecieron una relación lineal que puede expresarse por: e = e 0 + a t donde: e : Altura rugosidad tubos nuevos (m). 0
e : Altura rugosidad en tubos después de t años (m). T : Tiempo en años.
a : Tasa crecimiento asperezas (m/año). Tratándose de tuberías para agua, la tasa de crecimiento depende considerablemente de la calidad del agua y de las condiciones locales. Según la experiencia inglesa a falta de datos experimentales seguras, el envejecimiento de los tubos de hierro fundido puede ser estimado para las condiciones medias, aplicando la expresión: 2.0 Loga = 6.6 - pH dado a en mm/año Esta expresión pone en evidencia la importancia del pH del agua en el fenómeno de la corrosión. pH
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
a (m/año) 0.00305 0.00203 0.00113 0.00063 0.00038 0.00020 0.00011
Ejemplo 2.1 Un vertedero de borde agudo es una escotadura como una barrera sobre un canal, para medir la descarga por observación de la altura H. Para una escotadura triangular en un canal con gran profundidad, mostrar que cuando los efectos de viscosidad y tensión superficial no son importantes, la descarga puede ser expresada como , donde K es una constante que depende únicamente del ángulo q de la escotadura (K exp » 0.44 tan q / 2). Solución. Para llegar a la demostración se hará la deducción sobre una estructura (borde agudo) de ancho B, sobre la cual fluye un líquido con una carga H y características conocidas
Por lo tanto: P: Altura escotadura. H: Carga sobre la escotadura. B: Ancho escotadura, donde B ancho canal. r , m , s : Características del líquido. g : Acción de la gravedad. Para una estructura así definida se tiene: Q = F (H, B, g, r , m , s , P) F (H, B, g, Q, r , m , s , P) = 0 8 variables = m Matriz dimensional H
B
g
r
m
s
Q
P
M
0
0
0
1
1
1
0
0
L
1
1
1
-3
-1
0
3
1
T
0
0
-2
0
-1
-2
-1
0
r
m
s
1
1
1
-3
-1
0
0
-1
-2
Determinante
= 1*(2 + 0) -1*(6 + 0) + 1*(3 + 0) = -1
Por lo tanto n = 3. Se obtienen cinco grupos p Variables dependientes: H, g, r
Transformación de variables: L = H,
T=
,
M = r H3 Por lo tanto:
Por lo tanto F (H, B, g, Q, r , m , s , P) = F(p 1, p 2, p 3, p 4, p 5)
. Los grupos p 3 y p 4 se pueden representar así:
Con las transformaciones de Análisis Dimensional: V, ® (gH) = V2. De la función obtenida:
. El término se puede dar como que representa el producto área ´ velocidad para una estructura con predominio de la gravedad. Para una escotadura donde su ancho permanezca constante con la carga de agua, el caudal será función de la relación
Þ
Ecuación que toma la forma
y que en su forma generalizada cuando se aplica la ecuación de la energía es:
Ecuación Vertederos Rectangulares
Con predominio para agua del término
.
Para cargas altas Rehbock sostuvo que: escotaduras con ángulo el ancho B permanece constante, pero la relación puede expresar en términos de la tangente del ángulo.
para se
que en forma generalizada para vertederos triangulares es:
A. T. Lenz propuso en sus investigaciones para ángulos de 90° y diferentes fluidos que:
Al parecer no existen en los textos relaciones que involucren el termino p/H en vertederos triangulares. Asumiendo, lo que se quiere demostrar, que los efectos de viscosidad y tensión superficial no son importantes en estos vertederos, se tiene:
Ejemplo 2.2
Por análisis dimensional, derívese una expresión general para el ascenso capilar de los líquidos en tubos pequeños, si éste depende del diámetro del tubo, del peso específico y la tensión del líquido. Determínese la forma funcional final por comparación con la ecuación
donde: H D Q G S
: : : : :
Ascenso capilar. Diámetro del tubo. Ángulo de contacto. Peso específico. Tensión superficial.
Sistema: MLT:
El ángulo q no tiene unidades en el sistema MLT por lo cual se considera como un grupo p 1 independiente. La función inicial se transforma en
Matriz dimensional D
h
g
r
s
M
0
0
0
1
1
L
1
1
1
-3
0
T
0
0
-2
0
-2
Determinante g
R
s
0
1
1
1
-3
0
-2
0
-2
= 0 - 1*(- 2 + 0) +1*(0 - 6) = -4 ¹ 0
Número de variables m = 5 Orden determinante n = 3 Número grupos p (m-n) = 2 Variables repetitivas D, g, r Variables adicionales h, s Transformación de variables: L=D
Para un fluido en condiciones constantes de presión y temperatura y un tubo capilar de diámetro uniforme, la ecuación que se obtiene por equilibrio de fuerzas es que
, por lo cual en la ecuación de A.D se puede concluir .
Ejemplo 2.3 Derívese una expresión para la velocidad terminal de esferas sólidas lisas que caen a través de fluidos incompresibles, si ésta velocidad depende solamente del tamaño, de la densidad de la esfera, de la aceleración debida a la gravedad, de la densidad del fluido y de su viscosidad.
donde: DT De
: Diámetro del tubo. : Diámetro de la esfera.
r f r e m Fv W E g
: : : : : : :
Densidad del fluido. Densidad de la esfera. Viscosidad del fluido. Fuerza viscosa. Peso de la esfera. Empuje. Aceleración de la gravedad.
Suposiciones: - DT >> De: para no considerar efectos de pared en el tubo. - r a =(r e-r f ): densidad aparente de la esfera dentro del fluido.
Sistema: MLT Matriz dimensional De
g
V
r a
m
M
0
0
0
1
1
L
1
1
1
-3
-1
T
0
-2
-1
0
-1
Determinante V
r a
m
0
1
1
1
-3
-1
-1
0
-1
= 0 - 1*(- 1 - 1) +1*(0 - 3) = -1 ¹ 0
Número de variables m = 5 Orden determinante n = 3
Número grupos p (m-n) = 2 Variables repetitivas D e, g, r a Variables adicionales V, m Transformación de variables: L=De
Cuando se estudia la velocidad de caída de esferas en fluidos a temperatura constante se asume que la fuerza viscosa ejercida sobre la esfera está dada por la Ley de Stokes como . Luego de establecer el equilibrio de fuerzas en el sistema se obtiene:
Ecuación que comparada con la obtenida por A.D lleva a concluir que
.
