BAB-4 ANALISIS DIMENSIONAL DAN KESEBANGUNAN
1
Manfaat Analisis Dimensional
Dalam melakukan eksperimen, seluruh parameterparameter -parameter parameter berdimensi berdimensi yang terlibat dalam suatu suatu persoalan aliran aliran fluida fluida harus diuji untuk mendapatkan hubungan parameterparameter -parameter parameter parameter tersebut terhadap terhadap persoalan utama utama aliran.
Semakin banyak parameter parameter--parameter - parameter parameter berdimensi berdimensi yang terlibat terlibat dalam suatu persoalan aliran, semakin banyak pula waktu dan biaya yang diperlukan dalam melakukan sebuah eksperimen.
Analisis Dimensional diperlukan untuk mereduksi jumlah parameter-parameter parameter parameter berdimensi berdimensi yang terlibat dalam dalam suatu persoalan persoalan aliran menjadi kelompok kelompok--kelompok -kelompok parameter parameter--parameter - parameter paramete parameterr taktak -berdimensi - berdimensi berdimens berdimensii yang jumlahnya lebih sedikit.
Dari analisis dimensional dapat juga diperoleh kelompokkelompok -kelompok kelompok bilangan taktak -berdimensi - berdimensi berdimen berdimensi si yang dapat dipergunakan dipergunakan dipergunakan dalam dalam melakukan melakukan pemodelan. pemodelan.
2
Manfaat Analisis Dimensional
Dalam melakukan eksperimen, seluruh parameterparameter -parameter parameter berdimensi berdimensi yang terlibat dalam suatu suatu persoalan aliran aliran fluida fluida harus diuji untuk mendapatkan hubungan parameterparameter -parameter parameter parameter tersebut terhadap terhadap persoalan utama utama aliran.
Semakin banyak parameter parameter--parameter - parameter parameter berdimensi berdimensi yang terlibat terlibat dalam suatu persoalan aliran, semakin banyak pula waktu dan biaya yang diperlukan dalam melakukan sebuah eksperimen.
Analisis Dimensional diperlukan untuk mereduksi jumlah parameter-parameter parameter parameter berdimensi berdimensi yang terlibat dalam dalam suatu persoalan persoalan aliran menjadi kelompok kelompok--kelompok -kelompok parameter parameter--parameter - parameter paramete parameterr taktak -berdimensi - berdimensi berdimens berdimensii yang jumlahnya lebih sedikit.
Dari analisis dimensional dapat juga diperoleh kelompokkelompok -kelompok kelompok bilangan taktak -berdimensi - berdimensi berdimen berdimensi si yang dapat dipergunakan dipergunakan dipergunakan dalam dalam melakukan melakukan pemodelan. pemodelan.
2
Teorema Pi Buckingham Jika
sebuah persamaan terdiri dari “k” buah variabel berdimensi, persamaan tersebut dapat direduksi menjadi sebuah persamaan yang terdiri dari “k “k--r” -r” buah kelompok variabel variabel--variabel -variabel tak tak- berdimensi.
f ( u 2 , u 3 ,....., u k ) P1 (P 2 , P 3 , , , , P k r )
u1
parameter--parameter - parameter parameter Dimana “U” adalah parameter berdimensi dan “P” adalah adalah kelompok kelompo kelompok k paramete param parametereter r parameter tak tak--berdimensi - berdimensi berdimensi 3
Teorema Pi Buckingham
Bilangan “r” biasanya sama dengan jumlah minimum dimensi yang terlibat dalam sebuah persoalan aliran. Dimensi tersebut biasanya berupa dimensi M, L, dan T atau F, L, dan T. Langkah--langkah Teorema Pi dari Buckingham Langkah dapat dijelaskan sebagai berikut: 1. 2.
3.
List seluruh variabelvariabel-variabel yang terlibat dalam sebuah persoalan aliran (k) Tuliskan dimensi dari seluruh variabelvariabel -variabel yang terlibat tersebut. Tetukan banyaknya dimensi yang ada (r) Tentukan jumlah P yang diperlukan (k(k -r) 4
Teorema Pi Buckingham
Langkah-langkah Teorema Pi dari Buckingham Langkahdapat dijelaskan sebagai berikut: 4. 5.
6. 7. 8.
Pilih “r” buah variabel berdimensi sebagai variabel berulang. Bentuk kelompok P dengan cara menggabungkan variabel berulang dengan salah satu variabel sisa (yg tidak dipilih sebagai variabel berulang) Ulangi langkah 5 untuk seluruh variabel sisa masing masing-masing untuk membentuk satu P. Periksa dimensi seluruh kelompok P, pastikan tidak berdimensi. Tulis kembali relasi persoalan aliran dalam kelompok--kelompok bilangan P kelompok 5
Teorema Pi Buckingham Contoh
kasus: Drop tekanan aliran dalam
pipa Langkah
1: List variabelvariabel -variabel
p f (D,,, V) Langkah
K=5
2: Dimensi yang terlibat
p FL3 FL2 T
D L V LT 1
FL4T 2
r=3
6
Teorema Pi Buckingham Langkah 3: Jumlah P P
Langkah
yang diperlukan.
= kk -r = 5 5– –3 3=2
4: Pemilihan variabel berulang Dipilih ρ , V, D.
Langkah
5:
( FL3 )( L) a ( LT 1 ) b ( FL4 T 2 ) c
P1 pDaV bc
F :1 c 0
p D P1 V 2
T : b 2c 0
F 0 L0T 0
L : 3 a b 4c 0
a 1, b 2, c 1 7
Teorema Pi Buckingham Langkah
6:
P2 DaV bc ( FL2 T )( L) a ( LT 1 ) b ( FL4 T 2 ) c
F0 L0T 0
F :1 c 0 L : 2 a b 4c 0 T : 1 b 2c 0
a 1, b 1, c 1
P2
DV
8
Teorema Pi Buckingham Langkah
7: Pemeriksaan dimensi
P
p D 0 0 0 0 0 0 P1 F L T M L T 2 V 0 0 0 0 0 0 P2 F L T M L T DV
9
Teorema Pi Buckingham Langkah
8: Penulisan relasi dalam
P
P1 ( P 2 , P 3 , , , , P k r )
pD 2 V DV
atau
pD VD 2 V 10
Kelompok Bilangan Tak Tak-Berdimensi
11
Bilangan Froude (Fr) Fr
v gL
Fr 2
v2 gL
v 2 L2 3
gL
Bilangan
Froude: merupakan rasio antara gayagaya gaya akibat percepatan partikel fluida (gaya inersia) dengan gaya gravitasi.
Bilangan
Froude signifikan untuk aliran dengan efek permukaan bebas (free surface effects).
Fr<1:
aliran subsub-kritis; Fr>1: aliran super super--kritis. 12
Bilangan Reynolds (Re) Re
v
v
Bilangan Reynolds merupakan rasio antara gayagaya-gaya inersia dan gayagaya-gaya viskus aliran. Bilangan Reynolds relevan untuk seluruh persoalanpersoalan persoalan aliran. gaya-gaya viskus dominan. Efek gaya gaya--gaya inersia Re<<1: gayadapat diabaikan. Sering disebut dengan “creeping flows” Re besar: aliran turbulen, efek viskositas dapat diabaikan (fluida dapat dianggap nonnon-viskus)
13
Bilangan Euler (Eu) Eu
p
v
2
p v 2
Bilangan Euler adalah rasio antara gaya gaya--gaya akibat tekan dan gaya gaya--gaya inersia.
Sering disebut dengan koefisien tekanan, Cp.
14
Bilangan Cavitasi (Ca) Ca
pr pv 1 2 v 2
Bilangan kavitasi digunakan dalam mempelajari fenomena kavitasi. Kavitasi adalah peristiwa berubahnya cairan menjadi uap karena tekanan cairan berada dibawah tekanan uap jenuhnya (pV). Harga bilangan kavitasi yang kecil menyatakan bahwa kavitasi lebih mudah terjadi.
15
Bilangan Cauchy & Bilangan Mach Ca
2 v
E
Ma
v c
v E
v
E
Ma
2
2 v
E
Ca
Bilangan Mach dan bilangan Cauchy menyatakan rasio antara gaya gaya--gaya inersia dengan gayagaya-gaya akibat kompresibilitas. Bilangan Mach dan bilangan Cauchy dipergunakan pada persoalan-- persoalan persoalan persoalan dimana kompresibilitas fluida memegang peranan penting. gaya Jika bilangan Mach berharga kecil (kurang dari 0.3), gayagaya inersia aliran tidak mengakibatkan perubahan pada densitas fluida, kompresibilitas fluida dapat diabaikan. Untuk aliran inkompresibel sempurna, c=∞ maka M=0. 16
Bilangan Strouhal (St) St
v
Bilangan Strouhal menyatakan rasio antara gaya gaya--gaya inersia yang disebabkan oleh ketidakketidak -stedian aliran (percepatan lokal) dengan gayagaya-gaya inersia yang disebabkan oleh perubahan kecepatan dari titiktitik -ke titik (percepatan konvektif) dalam medan aliran.
Parameter ini penting dalam persoalanpersoalan- persoalan persoalan aliran tidak--stedi (unsteady) dan berosilasi dimana frekuensi tidak osilasi berharga ω. 17
Bilangan Weber (We) We
v
2
Bilangan Weber merupakan rasio antara gaya gaya--gaya inersia dan gaya gaya--gaya akibat tegangan permukaan.
Bilangan Weber penting dalam persoalan dimana terdapat perbatasan antara dua fluida.
18
Pemodelan dan Kesebangunan Model
adalah representasi dari suatu sistem fisik yang dapat digunakan untuk memprediksikan tingkah--laku dari suatu sistem. tingkah Prototipe adalah sistem fisik dimana prediksi akan dilakukan Models menyerupai prototipe tetapi umumnya ukurannya berbeda, beroperasi pada fluida dan kondisi yang berbeda. Umumnya ukuran model lebih kecil dibandingkan dengan ukuran prototipenya.
19
Kesamaan antara Model dan Prototipe
Kesamaan antara model dan prototipe meliputi: Kesamaan Model
Geometri
dan prototipe memiliki kesamaan bentuk.
dimensi-dimensi Perbandingan dimensi-
yang bersesuaian antara model dan prototipe memiliki harga yang sama (skala panjang).
Kesamaan Kinematik Perbandingan
antara kecepatan model dan kecepatan prototipe pada titiktitik -titik yang besesuaian memiliki harga yang sama (skala kecepatan).
Kesamaan
Dinamik
Perbandingan
antara gayagaya -gaya pada model dan gayagaya -gaya pada prototipe memiliki harga yang sama. 20
Kesamaan Geometri
21
Kesamaan Kinematik
22
Kesamaan Dinamik
Re m
Re p ;
c p , m
c p , p ; Wem We p ;
dll.
23
Kesamaan Dinamik
24
Skala Model Skala panjang
1 2
1m 2m
1m 1
2m 2
vm
Skala kecepatan
V
Skala densitas
m
Skala viskositas
m
v
25
Flow Similarity and Model Studies • Scaling with Multiple Dependent Parameters Example: Centrifugal Pump Pump Head
Pump Power
Flow Similarity and Model Studies • Scaling with Multiple Dependent Parameters Example: Centrifugal Pump Head Coefficient
Power Coefficient
Flow Similarity and Model Studies • Scaling with Multiple Dependent Parameters Example: Centrifugal Pump (Negligible Viscous Effects) If …
… then …
Flow Similarity and Model Studies • Scaling with Multiple Dependent Parameters Example: Centrifugal Pump Specific Speed
Variasi Putaran Pompa • Hukum kesebangunan (afinitas):
n2 Q2 Q1 n1 2 n2 H 2 H 1 n1 3 n Np2 2 Np1 n1
H
P ut a r an 0 ( n 0
Sistem
)
P ut a r an 1 ( n P1 1 ) P u t a P2 r an 2 ( n 2
P0
)
Q2
Oleh: I Nengah Diasta
Q1
Q0
Q
30
