2. ANALISIS DIMENSIONAL. 2.1. Técnicas de análisis dimensional. 2.1.1. Tipo de técnica (grpos !" di#erencial secencial" $aleig%& 2.1.2. Metodolog'as 2.1.. Aplicaciones 2.2. )rpos adimensionales * correlaciones correlaciones 2.2.1. +er,as implsoras in-olcradas 2.2.2. orrelaciones representati-as * aplicaciones 2.. Similitdes * principios de escalamiento 2..1. /rincipios de similitd 2..2. 0ases del escalamiento 2... Aplicaciones
CONCEPTOS BASICOS. Magnitd #'sica. Es todo aquello que podemos medir directa o
indirectamente y asignarle un número y unidad. Las magnitdes se clasican segn3
Por su origen Magnitudes fundamentales o o Magnitudes derivadas Por su naturaleza Magnitudes escalares o o Magnitudes vectoriales Magnit Magnitde des s #ndam #ndament entale ales. s. Son a4ell a4ellas as 4e no se peden peden e5pre e5presar sar en #nc #nci6 i6n n de otra otras" s" esta estas s se toma toman n ar7i ar7itr trar aria iame ment nte e * sirsir-en en de 7ase 7ase para para genera generaci6 ci6n n de las magnit magnitde des s deri-a deri-adas das.. Acta Actalme lmente nte dentr dentro o del sistem sistema a internacional de nidades" se consideran siete magnitdes #ndamentales * dos a5iliares.
Magnitud Física Longitd Masa Tiempo Intensidad de la corriente Temperatra termodinámica Intensidad lminosa antidad de sstancia
Símbolo de la magnitud L M T I
Nombre de la unidad Metro 8ilogramo Segndo Amperio
Símbolo de la unidad M 8g S A
θ
8el-in
8
9
andela
d
N
mol
mol
Ta7la de magnitdes #ndamentales del sistema internacional de nidades (SI& omo se mencion6 anteriormente tam7ién se emplean dos magnitdes a5iliares.
Magnitud auxiliar Anglo plano Anglo solido
Nombre de la unidad $adian Estereorradián
Símbolo de la unidad $ad sr
ando se me,clan magnitdes #ndamentales se o7tienen otras magnitdes denominadas deri-adas.
Ecuaciones dimensionales. Empleando las magnitdes #ndamentales se peden escri7ir las magnitdes deri-adas" la ecaci6n dimensional mestra simplemente la relaci6n 4e e5iste entre las magnitdes deri-adas * las #ndamentales" matemáticamente se representa como n monomio alge7raico" es decir" es de la #orma3 a
b
c
d
e
f
g
L M T θ I J N
Donde L , M , T , θ , I , J , N son las magnitdes #ndamentales *
a,c,d,e,f ,g
son e5ponentes enteros. Las ecaciones dimensionales tiene el sigiente o7:eti-o3 1& Escri7ir las magnitdes deri-adas en #nci6n de las magnitdes #ndamentales 2& Demostrar la -alide, de na #ormla & Determinar #ormlas emp'ricas
NOTA3 la ecaci6n dimensional de na magnitd #ndamental es la misma magnitd #ndamental.
[ Longitud ] = L
[ Masa ]= M Reglas de las ecuaciones dimensionales Regla 1. La adici6n o sstracci6n no se aplica a las ecaciones dimensionales" sino 4e smando o restando magnitdes de la misma natrale,a o7tendremos otra de la misma natrale,a. −2
¿
−2
−2
+¿ =¿
−3
−3
No se cmple la sma −3
ML − ML = ML
No da cero
Regla 2. Las le*es de mltiplicaci6n * di-isi6n son aplica7les a las ecaciones dimensionales. LM −1 = LMT T 2
L∙ <¿ TL 4
2
M T 3 3 −1 = M T MT $egla . Las constantes matemáticas (nmeros& son a4ellas 4e carecen de nidades. La ecaci6n dimensional de n nmero es la nidad. /or e:emplo. •
La #nci6n trigonométrica es n nmero3
•
La #nci6n logar'tmica es n nmero3
•
Los e5ponentes son nmeros Las constantes matemáticas
•
adimensionales3
[ π ] =1
en
[ cos ] =1 ∝
[ log N ]=1 ss
di#erentes
#ormas
son
•
Los ánglos son considerados adimensionales
Acti-idad 2.1. >allar la ecaci6n dimensional de3 Aceleraci6n" ?olmen" Densidad" /otencia +recencia" carga eléctrica
Principio de omogeneidad. En na ecaci6n %omogénea de adici6n o sstracci6n todos los términos tiene la misma ecaci6n dimensional. S = A + B + C
Tendremos
4e3
[ S ] =[ A ] =[ B ] =[ C ]
El
principio
de
%omogeneidad indica 4e a na #er,a solamente podremos smarle #er,as.
+orier cita en s anal*ti4e de la
o7ra ;T%éorie %aler<3
“Es necesario hacer notar que cada magnitud, indeterminada o constante, tiene una dimensión que le es propia, y que los términos de una no podrían ser comparados si no estuviesen el mismo exponente de dimensiones”
E:emplo. El cam7io de energ'a total de n sistema cerrado compresi7le simple de n estado *=o tiempo (1& a otro (2&" como se o7ser-a en la gra. El cam7io de energ'a total del sistema
1
1
1
1
/ E B . E B A @ E
( ∆ E ) está dado por3
2
2
2
2
/ E B . E B A @ E
am7io de energ'a de n sistema3
∆ E =∆ U + ∆ EC +∆ EP
Donde E tiene tres componentes3 energ'a interna (&" energ'a cinética (E& * energ'a potencial (E/&. Estos componentes se peden escri7ir en términos de la masa del sistema (m&C las mensra7les * las propiedades termodinámicas en cada no de los estados" como la -elocidad (?&" ele-aci6n (,& * la energ'a interna especica (&" * la conocida constante de aceleraci6n gra-itacional (g&. 1 2 2 ∆ U = ( u 2−u1 ) ∆ EC = ( ! 2 −! 1 ) ∆ EP=g ( " 2− " 1) 2
Se -erica 4e los términos de la derec%a tienen las mismas dimensiones en el lado i,4ierdo para compro7ar la %omogeneidad.
{ ∆ E }={ Ene#g$a}= { %ue#"a ∙ Longitud } & { ∆ E }={ L
{
{ ∆ U }= Masa Ene#g$a Masa
{
{ ∆ EC }= Masa
{
}{
= Ene#g$a} & { ∆ U }=
Longitud tie'o
2
2
}
& { ∆ EC }={L / t
{ ∆ EP }= Masa Longitud2 Longitud Tie'o
{ L
2
}
2
2
2
2
/ t
2
/ t
}
}
}
& { ∆ EP }= { L / t } 2
2
Acti-idad 2.2. La #orma estándar de la ecaci6n de 0ernolli para :o de ido irrotacional incompresi7le es3 1 2 P + (! + (g"=C 2
a& ?eri4e 4e cada término aditi-o en la ecaci6n de 0ernolli tiene
!.".!. TEORE#A PI $E B%C&IN'(A# ) E* #ETO$O $E REPETIC+N $E ,ARIAB*ES. El teorema Π de 0cGing%am" esta7lece 4e n pro7lema #'sico en 4e se tengan ;n< -aria7les 4e incl*an ;m< dimensiones distintas" las -aria7les se peden agrpar en ;nHm< grpos adimensionales independientes. Siendo de7e
tener
*1 , *2 , )* n− -aria7les
! 1 ,! 2, ) ! n
na
las -aria7les 4e inter-iene en el pro7lema" se
#nci6n
4e
las
relacione3
#(
! 1 ,! 2, ) ! n
&@C
si
" representan los grpos adimensionales 4e representan a las
! 1 ,! 2, ) ! n
el teorema de 0cGing%am tam7ién esta7lece 4e
e5iste na #nci6n de la #orma
g ( *1 , *2 , ) , *n− ) =0
.
El método para determinar los grpos adimensionales
( *i ,i=1 ) + n-m )
"
consiste en la selecci6n de ;m< de las ;n< -aria7les" con di#erentes
dimensiones" de manera 4e contengan entre todas las ;m< dimensiones" * emplearlas como variables repetitivas" #ormando cada no de los ;nHm< grpos adimensionales a partir de la sigiente e5presi6n genérica3
=n
*i=! i ∙
∏ = − +
ai
! i =1, ) − n
n 1
A los grpos adimensionales se les denomina parámetros adimensionales Π de 0cGing%am" al ser s e5presi6n n prodctorio adimensional (s'm7olo de prodctorio@ Π&. Los e5ponentes
a i,
se determina por la condici6n de 4e cada grpo
resltante adimensionalC se sstit*en las dimensiones de las -aria7les por ellas mismas * los e5ponentes de M" L" T" J" se igalan a cero (adimensionalidad de parámetro&.
Descripci6n detallada de los seis pasos del método de repetici6n de -aria7les /aso 1. >aga n alista de los parámetros (-aria7les adimensionales" -aria7les dimensionales * constantes dimensionales& * céntelos. Sea n el nmero total de parámetros en el pro7lema" inclsi-e la -aria7le independiente. erci6rese de 4e cal4ier parámetro independiente en la lista sea de %ec%o independiente de los demásC es decirC no se le pede e5presar en ss términos. (por e:emplo no incl*a r * el área A@!rr 2" por4e r * a no son independientes. /aso 2. >aga na lista con las dimensiones primarias para cada no de los n parámetros. /aso . Sponga la redcci6n m. omo primera sposici6n" %aga m igal al nmero de dimensiones primarias representadas en el pro7lema. El nmero esperado de ΠK es igal a nHm de acerdo al teorema de pi de 0cGing%am.
∏ ¿ n −
/aso . Eli:a los parámetros repetiti-os m 4e sara para constrir cada /i. Dado 4e los parámetros repetiti-os tienen el potencial para aparecer en cada Π. A continaci6n se dan los lineamientos para elegir parámetros repetiti-os. i. ii.
iii. i-. -. -i.
-ii. -iii.
Nnca tome la -aria7le dependiente. De otro modo" podr'a aparecer en todas las Π" lo 4e no es desea7le. Los parámetros repetiti-os elegidos no de7en ser sscepti7les de #ormar ellos mismos n grpo adimensional. De otro modo" ser'a imposi7le generar el resto de las Π Los parámetros repetiti-os elegidos de7en representar todas las dimensiones primarias en el pro7lema Nnca esco:a parámetros 4e *a sean adimensionales. Estos *a son n Π" por s centa. Nnca esco:a dos parámetros con las mismas dimensiones o con dimensiones 4e dieran s6lo por n e5ponente Siempre 4e sea posi7le" eli:a constantes adimensionales so7re las -aria7les dimensionales" de modo 4e solo na Π contenga la -aria7le dimensional. Esco:a parámetros comnes por4e ellos aparecen en cada na de las Π Esco:a parámetros simples so7re los parámetros comple:os siempre 4e sea posi7le.
/aso . )enere las Π na a la -e, mediante el agrpamiento de los parámetros m repetiti-os con no de los parámetros restantes" * #erce el prodcto a ser adimensional. De esta manera" constr*a todas las Π. /or costm7re a la primera Π se le denomina como dependiente. /aso . ?eri4e 4e todas las
Π de
relaci6n #ncional nal en la #orma
%ec%o sean adimensionales. Escri7a la
- 1= f ( - 2 , - 3 , ) , - . )
.
En resmen3
Paso 1. aga una lista con los par!metros del problema " cuente su n#mero total n Paso 2. aga una lista con las dimensiones primarias de cada uno de los n par!metros Paso $. Establezca la reducci%n m como el n#mero de dimensiones primarias. &alcule' el numero esperado de Paso (. Eli)a m par!metros repetitivos Paso *. &onstru"a las " manipule seg#n sea necesario Paso +. Escriba la relaci%n ,uncional -nal
E:emplo. Sponga na 7ola se ele-a na altra la * esta altra está en #nci6n de del tiempo (t&" de la -elocidad (P & de la ele-aci6n inicial * de la constante gra-itacional. Determine el nmero de Π 4e descri7en este #en6meno.
/arámetros adimensionales o Π comnes esta7lecidos 4e se encentran comnmente en la ingenier'a 4'mica cando se %a7la de la trans#erencia de momento * de calor.
/arámetros adimensionales o Π comnes esta7lecidos 4e se encentran comnmente en la ingenier'a 4'mica cando se %a7la de la trans#erencia de momentn * de calor.
Acti-idad 2.1.2. Descri7a cada no de los nmeros adimensionales 4e se presentaron en las dos ta7las anteriores.
