3. Análisis Dimensional
1
UNIVERSIDAD DE OVIEDO
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Gijón Ingenieros Industriales
Curso 2004-2005
Apuntes de ec!nica de "luidos
3. ANÁLISIS DIMENSIONAL.
#uli!n artíne$ de la Calle Área de Mecánica de Fluidos i!"n no#iem$re %&&'
((((((((((((((((( (((((((((((((((((((((((((( ((((((((((((((((( ((((((((((((((((( (((((((((((((((((( (((((((((((((((((( (((((((((((((((((( ((((((((((((((((( ((((((((((((((((( (((((((((((((((((( (((((((((((((((((( ((((((((((((((((( (((((((( JMC A)un*es de Mecánica de Fluidos 04
3. Análisis Dimensional
%
%& A'()ISIS *IE'SI+'A)& 3.1. +omo,eneidad dimensional. 3.%. -eorema de U/0IN+AM . 3.3. ru)os adimensionales. 3.'. Normaliaci"n de las ecuaciones de conser#aci"n. 3.2. -eora de modelos. 3.4. 5ro$lemas resuel*os. El análisis dimensional es un m6*odo )ara #eri7icar ecuaciones 8 )lani7icar e9)erimen*os sis*emá*icos. A )ar*ir del análisis dimensional se o$*ienen una serie de ,ru)os adimensionales: ;ue #an a )ermi*ir u*iliar los resul*a resul*ados dos e9) e9)eri erimen men*al *ales es o$*eni o$*enidos dos en con condic dicion iones es limi*a limi*adas das:: a si*ua si*uacio ciones nes en ;ue se *en,an *en,an di7ere di7eren*e n*ess dimensiones ,eom6*ricas: cinemá*icas 8 dinámicas< 8 muc=as #eces en casos en ;ue las )ro)iedades del 7luido 8 del 7lu!o son dis*in*as de las ;ue se *u#ieron duran*e los e9)erimen*os. La im)or*ancia del análisis dimensional #iene dada )or la di7icul*ad del es*a$lecimien*o de ecuaciones en de*erminados 7lu!os: además de la di7icul*ad de su resoluci"n: siendo im)osi$le o$*ener relaciones em)ricas 8 *eniendo ;ue recurrir al m6*odo e9)erimen*al. Es im)or*an*e considerar ;ue si en un e9)erimen*o en un modelo >a escala ,eom6*rica del )ro*o*i)o?: se )ueden o$*ener las escalas cinemá*icas >relaciones de #elocidades? 8 las escalas dinámicas >relaciones de 7ueras?: los resul*ados adimensionales ;ue se o$*ienen )ara el modelo son *am$i6n #álidos )ara el )ro*o*i)o.
%&,& ++GE'EI*A* *IE'SI+'A)& En *oda ecuaci"n 7sica: cada *ermino de$erá *ener las mismas dimensiones@ la ecuaci"n de$e ser dimensionalmen*e =omo,6nea< además la di#isi"n de *odos los *6rminos )or uno cual;uiera de ellos: =ara la ecuaci"n adimensional: 8 cada cocien*e sera un ,ru)o adimensional. Las dimensiones de las ma,ni*udes em)leadas normalmen*e en Mecánica de Fluidos: inclu8en s"lo una o más de las si,uien*es ' dimensiones@ M >masa?: L >lon,i*ud?: ->*iem)o? 8 T >*em)era*ura?@
lon,i*ud área #olumen momen*o de inercia
lB C L AB C L% VB C L3 IB C L'
#elocidad aceleraci"n #elocidad an,ular aceleraci"n an,ular
#B C L -1 aB C L -% ZB C -1 DB C -%
en*ro)a sB C M L% -% T1 calor es)eci7ico cB C L% -% T1 conduc*i#idad *6rmica >NB C M L -3 T1 caudal #olum6*rico B C L3 -1 caudal másico m B C M - 1 ener,a: en*al)a EB C M L% -% #iscosidad a$solu*a PB C M L1 -1
densidad
UB C M L3
#iscosidad cinemá*ica
QB C L% -1
#olumen es)eci7ico
#B C L3 M1
*ensi"n su)er7icial
VB C M -%
7uera
FB C M L -%
com)resi$ilidad
0B C M L1 -%
)ar
-B C M L% -%
)o*encia
)resi"n: *ensi"n
)B: WB C M L -
1
%
%
3
A BCML -
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3. Análisis Dimensional
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%& A'()ISIS *IE'SI+'A)& 3.1. +omo,eneidad dimensional. 3.%. -eorema de U/0IN+AM . 3.3. ru)os adimensionales. 3.'. Normaliaci"n de las ecuaciones de conser#aci"n. 3.2. -eora de modelos. 3.4. 5ro$lemas resuel*os. El análisis dimensional es un m6*odo )ara #eri7icar ecuaciones 8 )lani7icar e9)erimen*os sis*emá*icos. A )ar*ir del análisis dimensional se o$*ienen una serie de ,ru)os adimensionales: ;ue #an a )ermi*ir u*iliar los resul*a resul*ados dos e9) e9)eri erimen men*al *ales es o$*eni o$*enidos dos en con condic dicion iones es limi*a limi*adas das:: a si*ua si*uacio ciones nes en ;ue se *en,an *en,an di7ere di7eren*e n*ess dimensiones ,eom6*ricas: cinemá*icas 8 dinámicas< 8 muc=as #eces en casos en ;ue las )ro)iedades del 7luido 8 del 7lu!o son dis*in*as de las ;ue se *u#ieron duran*e los e9)erimen*os. La im)or*ancia del análisis dimensional #iene dada )or la di7icul*ad del es*a$lecimien*o de ecuaciones en de*erminados 7lu!os: además de la di7icul*ad de su resoluci"n: siendo im)osi$le o$*ener relaciones em)ricas 8 *eniendo ;ue recurrir al m6*odo e9)erimen*al. Es im)or*an*e considerar ;ue si en un e9)erimen*o en un modelo >a escala ,eom6*rica del )ro*o*i)o?: se )ueden o$*ener las escalas cinemá*icas >relaciones de #elocidades? 8 las escalas dinámicas >relaciones de 7ueras?: los resul*ados adimensionales ;ue se o$*ienen )ara el modelo son *am$i6n #álidos )ara el )ro*o*i)o.
%&,& ++GE'EI*A* *IE'SI+'A)& En *oda ecuaci"n 7sica: cada *ermino de$erá *ener las mismas dimensiones@ la ecuaci"n de$e ser dimensionalmen*e =omo,6nea< además la di#isi"n de *odos los *6rminos )or uno cual;uiera de ellos: =ara la ecuaci"n adimensional: 8 cada cocien*e sera un ,ru)o adimensional. Las dimensiones de las ma,ni*udes em)leadas normalmen*e en Mecánica de Fluidos: inclu8en s"lo una o más de las si,uien*es ' dimensiones@ M >masa?: L >lon,i*ud?: ->*iem)o? 8 T >*em)era*ura?@
lon,i*ud área #olumen momen*o de inercia
lB C L AB C L% VB C L3 IB C L'
#elocidad aceleraci"n #elocidad an,ular aceleraci"n an,ular
#B C L -1 aB C L -% ZB C -1 DB C -%
en*ro)a sB C M L% -% T1 calor es)eci7ico cB C L% -% T1 conduc*i#idad *6rmica >NB C M L -3 T1 caudal #olum6*rico B C L3 -1 caudal másico m B C M - 1 ener,a: en*al)a EB C M L% -% #iscosidad a$solu*a PB C M L1 -1
densidad
UB C M L3
#iscosidad cinemá*ica
QB C L% -1
#olumen es)eci7ico
#B C L3 M1
*ensi"n su)er7icial
VB C M -%
7uera
FB C M L -%
com)resi$ilidad
0B C M L1 -%
)ar
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3. Análisis Dimensional
3 3
El teorema 3 de BU/0IN+AM eta!le"e #$e e% $% &ro!lema '()"o e% #$e e te%*a% “ ” +ar)a!le #$e )%"l$,a% “ ” d)me%)o%e d)t)%ta- la +ar)a!le e &$ede% a*r$&ar e% “ ” *r$&o ad)me%)o%ale )%de&e%d)e%te. /)e%do 0 11 0%1 ...1 0 n la +ar)a!le #$e )%ter+)e%e% e% el &ro!lema1 e de!e te%er $%a '$%")% #$e la rela")o%e 011 0 %1 ...1 0 n - ) G 11G%1...1Gnm1 re&ree%ta% lo *r$&o ad)me%)o%ale #$e re&ree%ta% a la +ar)a!le 0 11 0 . %1 ...1 0 n- el teorema de B U/0IN+AM tam!)8% eta!le"e #$e e9)te $%a '$%")% de la 'orma G11G %1...1Gnm El m8todo &ara determ)%ar1 lo *r$&o ad)me%)o%ale 4G i1 )6:1...1%m5- "o%)te e% la ele"")% de “m” de la “%” +ar)a!le1 "o% d)'ere%te d)me%)o%e1 de ma%era #$e "o%te%*a% e%tre toda la “m” d)me%)o%e1 , em&learla "omo + ariables repetitivas 1 'orma%do "ada $%o de lo “%m” *r$&o ad)me%)o%ale a &art)r de la )*$)e%te e9&re)% *e%8r)"a ! n
Gi 0i ;
< 0 !a i!
! mn 1
) :1...1 m % 4:.5
A lo *r$&o ad)me%)o%ale 1 e le $ele de%om)%ar parámetros adimensionales 3 de BUCKINGHAM 1 al er $ e9&re)% $% &rod$"tor)o ad)me%)o%al 4 sm$olo de )roduc*orio C 3
=o e9&o%e%te “a i!” e determ)%a% &or la "o%d)")% de #$e "ada *r$&o re$lte ad)me%)o%al- e $t)t$,e% la d)me%)o%e de la +ar)a!le &or ella m)ma , lo e9&o%e%te de M1=1T1 -1...1 e )*$ala% a "ero 4ad)me%)o%al)dad del &ar>metro5. Co%)deremo "omo e?em&lo1 la e% 'l$?o e9ter%o1 de $% 'l$)do o!re $% determ)%ado o!?eto. /e t)e%e #$e la '$er@a de arratre 4 D5 de&e%de de la +)"o)dad a!ol$ta del 'l$)do 4 P51 la de%)dad del 'l$)do 4 U51 la +elo")dad relat)+a e%tre 'l$)do , o!?eto 4+5 , de $%a lo%*)t$d "ara"ter(t)"a del o!?eto 4=5. =a ")%"o +ar)a!le D1 P 1 U1+1 , =1 a&orta% 3 d)me%)o%e d)t)%ta M1= , T- "o% lo #$e &or el teorema de B U/0INAM e te%dr>% te%dr>% *r$&o ad)me%)o%ale ad)me%)o%ale G1 6 D =a + $ Uc G% 6 P =d +e U7 Los exponentes de cada grupo se determinan a parr de sus ecuaciones dimensiónales:
G1 6 D =a 0 $ Uc
M& =& T& 6 4M=T% 54=5 a4=T15 $4M=35c 6 M1Gc =1GaG$3c T%$
... 76:"- 76:a!3"- 762! ..... a62- !62- "6: "o% lo #$e el *r$&o ad)me%)o%al G 1 e % % U 1 6 G1 6 D = + D - #$e da l$*ar al de%om)%ado %
*- e% do%de e
%
=+ U )%trod$"e el 'a"tor 4:F25 &ara te%er la &re)% d)%>m)"a CD
D 1 % % % U+ =
42.5
De 'orma a%>lo*a e o!t)e%e el e*$%do &ar>metro ad)me%)o%al G %6P=1+1U1- #$e da l$*ar al E.'+)*S Re
+ = U P
43.5
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3. Análisis Dimensional
'
%&%& PA/(E/+S A*IE'SI+'A)ES& Las ma,ni*udes ;ue in*er#ienen en el mo#imien*o de un 7luido: se )ueden a,ru)ar en *res *i)os@ ma,ni*udes mecánicas del 7luido ma,ni*udes *6rmicas del 7luido ma,ni*udes del 7lu!o ma,ni*ud #iscosidad a$solu*a o dinámica densidad >dmdV? #iscosidad cinemá*ica > PU *ensi"n su)er7icial >dFdl? m"dulo de com)resi$ilidad > Ud)dU )resi"n: *ensi"n *ensi" n
P U Q
ma,ni*udes mecánicas del 7luido
V
0 ): W N
ma,ni*udes *6rmicas del 7luido
c ) c# E
ma,ni*udes del 7lu!o
dimensiones
unidades SI
M L1 -1
H,msC5a.s H,m3
ML
3
L% -1
M -% M L1 -%
M L1 -%
M L -3 -1 conduc*i#idad *6rmica calor es)ec7ico a )resi"n cons*an*e > w= w- ? ) L% -% -1 calor es)eci7ico a #olumen cons*an*e > wK w- ?# L% -% -1 coe7icien*e de dila*aci"n *6rmica >>d UU? d-? -1
# L ,
L -1 L L -% L
#elocidad lon,i*ud carac*ers*ica aceleraci"n ,ra#i*acional ru,osidad
H
m%s
H,s% Nm% C 5a Nm% C 5a m0 JH, 0 JH, 0 1 0 1
ms m ms% m
Los )aráme*ros adimensionales asociados a las ma,ni*udes an*eriores: #ienen de*erminados )or relaciones en*re los di#ersos e7ec*os ;ue se )ueden considerar@
par!1etro nmero de R ENOLDS ENOLDS
deinición Re #LU P
nmero de M A/+ nmero de FROUDE nmero de EER
# # 0U a Fr # ,L e U # % L
Ma
V
nmero de E ULER
)
Eu 1 %
nmero de S-ROU+AL nmero de 5RAND-L nmero de RIN0+AM
S*
U#
%
7L
L#
#
-
5r
inercia oscilaciones * residencia #elocidad * carac*ers*ico
P c )
disi)aci"n ener,a
N
conducci"n calor disi)aci"n ener,a
%
r P #
N-
nmero de RAS+OF
relación cualitati3a de eectos i1portancia siem)re 7uera de inercia 7uera *ensiones #is cos as 7lu!o com)resi$le inercia com)resi$ilidad 7lu!o con su)er7icie inercia li$re ,ra#edad 7lu!o con in*er7ase inercia LL: L *ens *ensi"n i"n su) su) er7ici er7icial al siem)re )resi"n
r E '- ,L3U% %
P
>)ro). 7luido?
conducci"n calor 7lo*a$ilidad
>)ro). 7lu!o?
Flu!os oscila*orio
*ransi*orio *ransmisi"n de calor *ransmisi"n de calor /on#ecci"n na*ural
#is cos idad
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3. Análisis Dimensional
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%&4& '+/A)IACI' *E )AS EC6ACI+'ES *E C+'SE/7ACI'& Un m6*odo )ara o$*ener los )aráme*ros adimensionales ;ue con*rolan un de*erminado 7lu!o: es el de normaliaci"n: en donde se rescri$en las ecuaciones di7erenciales de conser#aci"n: de 7orma ;ue a)arecan #aria$les adimensionales: 8 además ;ue su orden de ma,ni*ud sea la unidad. 5ara la normaliaci"n de las ecuaciones: se adimensionalian *odas las #aria$les )or un #alor carac*ers*ico: de *al 7orma ;ue los #alores adimensionales >? sean )r"9imos a la unidad@ Lon,i*udes@
lon,i*ud carac*ers*ica C Lc
9
9
8
8
-iem)os@
*iem)o carac*ers*ico C * c
Velocidades@
*
densidad carac*ers*ica C Uc
&
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#
u
#
Uc
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U
U
#elocidad carac*ers*ica C Uc
Densidades@
Lc
Lc * -c
Lc
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#
P
Uc ! Uc H
Uc
5resiones@
)resi"n carac*ers*ica C )c
) )
)
c
-em)era*uras@ *em)era*ura carac*ers*ica C -c
-c
-
&
&
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O)erador Na$la@ lon,i*ud carac*ers*icas C Lc
J9
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%
O)erador Na$la @ lon,i*ud carac*ers*icas C Lc
J &
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J
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3.'.1. NORMALIQA/IN DE LA E/UA/IN DE /ON-INUIDAD@ Nmeros de AC 8 de S/+6A) wU
La ecuaci"n de con*inuidad es@
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& & U ; # # U &
U;# wU
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La normaliaci"n de los *6rminos es@
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w*
/on lo ;ue la ecuaci"n de con*inuidad normaliada es@
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Uc Uc
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di#idiendo *odos los *6rminos )or U U : ;ueda@ c c Lc §
§
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3. Análisis Dimensional
4
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El t8rm)%o ad)me%)o%al
e el "$adrado del %mero de M A/+1 #$e e la rela")% e%tre la
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+elo")dad del 'l$)do , la +elo")dad de $%a &e#$ea &ert$r!a")% e% el e%o del 'l$)do
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El t8rm)%o ad)me%)o%al
...FFd+
a %
e el %mero de / -ROU+AL1 #$e e la rela")% e%tre el t)em&o de t c
re)de%")a , el t)em&o "ara"ter(t)"o /t
=" F U"
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Co% lo #$e la e"$a")% de "o%t)%$)dad %ormal)@ada , ad)me%)o%al e %
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4.5
Ma
a &art)r de la "$al e &$ede% eta!le"er )&te) )m&l)')"adora e% '$%")% de lo +alore de lo %mero ad)me%)o%ale #$e "o%trola% la e"$a")% de "o%t)%$)dad
/) el Ma e &e#$eo 4Ma7135 el term)%o del *rad)e%te de de%)dad e &$ede de&re")ar1 , el 'l$?o e &$ede "o%)derar "omo “"$a))%"om&re)!le”. /) el Ma e *ra%de1 el *rad)e%te de de%)dad %o e &$ede de&re")ar , el 'l$?o e "om&re)!le. /) el /t e &e#$eo 4e de")r el t)em&o de re)de%")a e m$"o me%or #$e el t)em&o "ara"ter(t)"o5 el term)%o de la +ar)a")% tem&oral e &$ede de&re")ar1 , el 'l$?o e &$ede "o%)derar "omo “"$a)eta")o%ar)o”. /) el /t e *ra%de1 el &ro"eo e %o eta")o%ar)o.
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3. Análisis Dimensional
3.'.%. NORMALIQA/IN DE LA E/UA/IN DE NAVIERS-O0ES@ Nmeros de / E.'+)*S: de E6)E/ : de "/+6*E 8 de S/+6A) &
Euaci"n de NAVIERS-O0ES@
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U )ara de!ar el l*imo *ermino solo con #aria$les normaliadas: se di#iden *odos los *6rminos )or@ Uc ;ue ;ueda la ecuaci"n de NAVIERS-O0ES normaliada 8 adimensional es@ §
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Los nmeros adimensionales ;ue se *ienen son@ Nmero de Re8nolds@
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Eu %
Nmero de Froude @ Nmero de S*rou=al@
1 U c U% % c %
Uc
Fr ,L c S* Lc Uc *c
1
%
El 7ac*or T se in*roduce )ara adimensionaliar la )resi"n carac*ers*ica con la )resi"n dinámica
En de*erminados ám$i*os el nmero de Froude se de7ine )or
Fr
Uc
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3. Análisis Dimensional
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4.5
¼
=a )m&orta%")a de "ada $%o de lo t8rm)%o1 +)e%e determ)%ada &or lo +alore de lo %mero ad)me%)o%ale NMERO DE RESNO=D/ "o%trola el term)%o de lo e'e"to de la +)"o)dad- ) el /e es pe8ue9o 1 e t)e%e 'l$?o "o% +)"o)dad dom)%a%te1 , el term)%o al #$e a'e"ta el Re e )m&orta%te- e% el mo+)m)e%to de la &art("$la1 la alta )%tera"")o%e &or +)"o)dad la orde%a% e% la d)re"")% del 'l$?o1 "o% lo #$e $ tra,e"tor)a %o e "r$@a%1 e t)e%e régi1en la1inar. /) el /e es ele3ado 1 e% &r)%")&)o lo e'e"to +)"oo o% de&re")a!le1 e9"e&to e% la @o%a del 'l$?o do%de e te%*a% alto *rad)e%te de +elo")dad- la &art("$la e m$e+e% deorde%adame%te1 e%tre"r$@>%doe "o%t)%$ame%te la tra,e"tor)a1 e t)e%e régi1en tur:ulento.
NUMERO DE EU=ER "o%trola el term)%o de lo e'e"to de la &re)% termod)%>m)"a "o% re&e"to a la &re)% d)%>m)"a. Por e?em&lo e% 'l$?o "o%')%ado #$e tra!a?a% a alta &re)%1 e t)e%e% E$ *ra%de- e% "am!)o e% 'l$?o "o% $&er')")e l)!re el E$ e &e#$eo. E% el 'l$?o e% tur:o1!8uinas ;idr!ulicas 1 e )m&orta%te &ara e+al$ar lo e'e"to de la "a+)ta")%1 el de%om)%ado n<1ero de ca3itación Ca & & c
#a)or
1 U c U%
%
c
E% lujo e=terno1 e e+ala la re$lta%te de la '$er@a de $&er')")e o!re $% determ)%ado o!?eto1 "o% lo "oe')")e%te de $te%ta")% , de arratre1 #$e der)+a% del %mero de E$ler CD
"oe')")e%te de arratre 4
D 1 Uc
%
1 Uc
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"oe')")e%te de $te%ta")% 4 &
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; $
L
A
#
NUMERO DE ROUDE "o%trola lo e'e"to del "am&o "e%tral de '$er@a e% do%de &$eda etar el 'l$)do1 lo ma %ormal e #$e ea e9"l$)+ame%te el "am&o *ra+)ta")o%al. C$a%to ma,or er el r me%or er> la )m&orta%")a de la '$er@a *ra+)ta")o%al. E% lujo coninado 4l)m)tado &or $%a $&er')")e r(*)da51 el orde% de ma*%)t$d de la '$er@a de )%er")a e ma,or #$e el de la '$er@a *ra+)ta")o%ale1 "o% lo #$e e t)e%e "r altos1 , &or lo ta%to o% &o"o )m&orta%te lo e'e"to *ra+)ta")o%ale. E% lujo con supericie li:re 1 e t)e%e "r :ajos del orde% de la $%)dad- , $ +alor determ)%a el d)+ero "om&ortam)e%to del 'l$?o a%te &ert$r!a")o%e. /) e )%trod$"e $%a &e#$ea &ert$r!a")% e% la $&er')")e l)!re1 la +elo")dad de &ro&a*a")% de la o%da $&er')")ale #$e e &rod$"e% +)e%e% determ)%ada &or
)
v
*=c
(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((
A)un*es de Mecánica de Fluidos 03
JMC
3. Análisis Dimensional
con lo ;ue el nmero de Froude 3 es el cuadrado de la relaci"n en*re la #elocidad del 7lu!o 8 la #elocidad de las )er*ur$aciones en la su)er7icie li$re@ Fr
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/uando la #elocidad del 7lu!o es menor ;ue la de las )er*ur$aciones: el FrW1: las )er*ur$aciones se #an a*enuando: el 7lu!o es es*a$le 8 se denomina su$cri*ico. /uando la #elocidad de la corrien*e es ma8or ;ue la de las )er*ur$aciones: el FrX1: las )er*ur$aciones se incremen*an: el 7lu!o es ines*a$le 8 se denomina su)ercr*ico.
3.'.3. NORMALIQA/IN DE LA E/UA/IN DE ENERYA@ Nmeros de AC: de P/A'*): de >/I'?A 8 relaci"n de calores es)ec7icos GAA @
5or sim)li7icaci"n: consideraremos la ecuaci"n de ener,a )ara un ,as ideal@ &
§ wU c# ¨
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La normaliaci"n de los *6rminos es@
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con lo ;ue ;ueda la ecuaci"n de ENERIA normaliada es@ ¨U c
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mul*i)licando *odos los *6rminos )or U c
c
3
Si se de7ine el Fr )or
U
: se adimensionalian ;uedando@
Lc #c U
-
c c
: coincide con la relaci"n en*re la #elocidad del 7lu!o 8 la de la )er*ur$aci"n
c
,Lc
((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( JMC 03 A)un*es de Mecánica de Fluidos
3. Análisis Dimensional §
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Los )aráme*ros adimensionales ;ue a7ec*an a los *6rminos normaliados se )ueden rescri$ir como@ §
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Los nmeros adimensionales ;ue se *ienen son@ Nmero de Re8nolds@
Re
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5r
c
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Nmero de rinH=am@
r Pc Uc% N-
c c
Nmero de S*rou=al@
S*
Nmero de Mac=@
Ma
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U
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ac /on lo ;ue la ecuaci"n de ENERIA normaliada 8 adimensionaliada ;ueda@ §! 1 wc# S*U
w*
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© Re; 5r ¹
>4.?
El nmero de 5RAND-L 8 AMMA >relaci"n de calores es)ec7icos?: son )ro)iedades del 7luido 8 no de)enden del 7lu!o. El 5r e9)resa la relaci"n en*re la ca)acidad de ,enerar calor )or la #iscosidad 7ren*e a la ca)acidad de *ransmi*ir calor. El nmero de RIN0+AM: *am$i6n es una relaci"n en*re el calor ,enerado )or #iscosidad 8 la ca)acidad de *ransmi*ir calor: )ero de)ende del 7lu!o. ((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( JMC A)un*es de Mecánica de Fluidos 03
3. Análisis Dimensional
11
El %mero de MACH1 e la rela")% e%tre la +elo")dad del 'l$?o , la +elo")dad de &e#$ea &ert$r!a")o%e e% el e%o del 'l$)do1 #$e e de%om)%a +elo")dad del o%)do. =a &ert$r!a")o%e &ro+o"a% "om&re)o%e e9&a%)o%e 4+ar)a")o%e de de%)dad5 e% el 'l$)do1 , la ra&)de@ de tra%m)t)rla1 e de")r la +elo")dad del o%)do 4"o% &ert$r!a")o%e de &o"a )%te%)dad51 de&e%de de la “'a")l)dad” del 'l$)do a e9&er)me%tar +ar)a")o%e de de%)dad a( e% $% 'l$)do de alto md$lo de "om&re)!)l)dad1 la &ert$r!a")o%e e tra%m)te% r>&)dame%te "o% lo #$e la +elo")dad del o%)do e alta'- todo ello +)e%e re'le?ado &or la e"$a")% #$e da la +elo")dad del o%)do a
§ w& · ¨
¸
¨ ¸ © wU ¹s § w& ·
, re"orda%do la de')%)")% de md$lo de "om&re)!)l)dad 2 K
¨
¸
U¨ ¸ - e t)e%e la rela")% e%tre la +elo")dad © wU ¹s
del o%)do , el md$lo de "om&re)!)l)dad
a
K F U
Otra "o%e"$e%")a del Ma1 e el d)t)%to "om&ortam)e%to del 'l$?o1 e% '$%")% de #$e la +elo")dad del 'l$?o ea me%or1 )*$al o me%or a la +elo")dad de la &ert$r!a")o%e- e de")r #$e el Ma ea me%or1 )*$al o ma,or #$e la $%)dad Ma: Ma6: MaV:
r8*)me% $!%)"o r8*)me% %)"o r8*)me% $&er%)"o
la &ert$r!a")o%e e m$e+e% m> r>&)da #$e el 'l$?o la &ert$r!a")o%e e m$e+e% a )*$al +elo")dad #$e el 'l$?o la &ert$r!a")o%e e m$e+e% m> le%ta #$e el 'l$?o
A 1 a*m 8 %&/: el a,ua *iene un m"dulo de com)resi$ilidad de %12: M5a 8 en esas condiciones la #elocidad s"nica es de 1'&ms< en las mismas condiciones el aire *iene un m"dulo de com)resi$ilidad de &:1' M5a 8 la #elocidad s"nica es de 3'1 ms 4
-an*o en la ecuaci"n de #elocidad s"nica como de m"dulo de com)resi$ilidad: de$e es*a$lecerse el *i)o de )roceso de com)resi"n e9)ansi"n: en es*e caso isen*r")ico< con lo ;ue es*ric*amen*e se *iene el m"dulo de com)resi$ilidad isen*r")ico. ((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( JMC A)un*es de Mecánica de Fluidos 03 5
3. Análisis Dimensional
1%
%&5& E+/A *E +*E)+S& En los ensaBos e=peri1entales del 7lu!o en un de*erminado prototipo: a #eces no es )osi$le realiar los ensa8os con el )ro)io )ro*o*i)o: )or su *amaZo o )or la di7icul*ad de re)roducir las condiciones reales de 7lu!o: con lo ;ue se realian los ensa8os con 1odelos a escala >,eom6*ricamen*e seme!an*es?:. 5or e!em)lo: en el es*udio e9)erimen*al de =6lices marinas: se realian dos *i)os 7undamen*ales de ensa8os con =6lices modelo a escala reducida@ los de au*o)ro)ulsi"n en un canal de a,ua dulce 8 los de ca#i*aci"n en un *nel de ca#i*aci"n cerrado con a,ua calien*e 8 a de)resi"n< en la e#aluaci"n del com)or*amien*o de una carena: se realian ensa8os de arras*re con modelos a escala reducida en a,ua dulce: *an*o en canales de a,uas *ran;uilas como en )iscinas con ,eneradores de olas. La *eora de modelos )ermi*e o$*ener las condiciones de ensa8o del modelo a )ar*ir de las condiciones de 7lu!o del )ro*o*i)o 8 las ma,ni*udes del )ro*o*i)o a )ar*ir de las medidas e9)erimen*ales del modelo. 3.2.1. SEMEJANQA.. 5ro*o*i)o: modelo 8 sus res)ec*i#os 7lu!os considerados: es*án relacionados en*re si )or *res *i)os de seme!ana@ ,eom6*rica: cinemá*ica 8 dinámica.
Se1ejan$a geo1étrica: con un 7ac*or de escala de lon,i*udes cons*an*e 4 en*re modelo 8 )ro*o*i)o >N L?@
NL C Lon,i*ud carac*ers*ica del mod elo Lon,i*ud carac*ersica del )ro*o*i)o % Área carac*ers*ica del mod elo
NL
NL
Área carac*ers*ica del )ro*o*i)o 3 Volumen carac*ers*ico del mod elo
Volumen carac*ers*ico del )ro*o*i)o
Se1ejan$a cine1!tica del cam)o de #elocidades: con un 7ac*or de escala de #elocidades en*re modelo 8 )ro*o*i)o@ NV
Velocidad carac*ers*ica del mod elo Velocidad carac*ers*ica del )ro*o*i)o
la relaci"n en*re los dos 7ac*ores de escala@ de lon,i*udes 8 de #elocidades: #iene de*erminada )or el 7ac*or de escala de *iem)os@ -iem)o carac*ers*ico del 7lu!o en el mod elo N N -
L
NV
-iem)o carac*ers*ico del 7lu!o en el )ro*o*i)o
Se1ejan$a din!1ica de los cam)os de las dis*in*as 7uera ;ue )ueden in*er#enir en el 7lu!o: con un 7ac*or de escala de 7ueras: ;ue de$e ser cons*an*e: en*re modelo 8 )ro*o*i)o@
NF
Fuera carac*ers*ica del mod elo Fuera carac*ers*ica del )ro*o*i)o
En de*erminados modelos: el 7ac*or de escala de lon,i*udes se =ace #ariar de una direcci"n a o*ra@ )or e!em)lo en un modelo de una )la8a: )ara es*udiar las #ariaciones $a*im6*ricas )or acumulaci"n de arena )or e7ec*o de de*erminadas corrien*es: se )ueden *ener un 7ac*or de escala )ara las lon,i*udes =orion*ales >NL+C1@1&&&? 8 o*ro )ara las lon,i*udes #er*icales >N LVC1@1&&? ((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( JMC A)un*es de Mecánica de Fluidos 03 6
3. Análisis Dimensional
13
El 'a"tor de e"ala de '$er@a1 e el #$e +a a &erm)t)r eta!le"er la "o%d)")o%e del 'l$?o e% el e%a,o del modelo a &art)r de la "o%d)")o%e del 'l$?o e% el &rotot)&o1 , o!te%er “'$er@a1 &ote%")a , re%d)m)e%to” del &rotot)&o a &art)r de $ "orre&o%d)e%te +alore e9&er)me%tale e% el modelo. =o "am&o de '$er@a #$e &$ede% a&are"er e% la )%tera"")% de $% 'l$)do , $% o!?eto1 &$ede% er
"uer$as de inercia determ)%ada &or la +ar)a")% tem&oral de la "a%t)dad de mo+)m)e%to1 , "$al)tat)+ame%te &odemo e9&rearla &or
i
3
d4m+5
%
U= = F T
dt
U= 4= F T5
%
% %
U= +
T
"uer$as de ro$a1iento por 3iscosidad 1 determ)%ada &or el "am&o de te%)o%e1 #$e a $ +e@ +)e%e determ)%ado &or la +)"o)dad , el "am&o de +elo")dade1 , &odemo e9&rearla "$al)tat)+ame%te &or
% P+=
P+ P
= =
"uer$as gra3itatorias1 determ)%ada &or la &o)")% e% el "am&o *ra+)tator)o1 e9&reada &or ,
3 U*=
m*
"uer$as de presión 1 determ)%ada &or el "am&o de &re)o%e )
% &=
"uer$as de elasticidad 1 determ)%ada &or la "om&re)!)l)dad del 'l$)do1 o !)e% &or la +elo")dad de &e#$ea &ert$r!a")o%e e% el e%o del 'l$)do e 6 K=% 6Ua%=%
"uer$as de tensión supericial determ)%ada &or V 6 V= Para la eme?a%@a d)%>m)"a total1 el 'a"tor de e"ala de '$er@a de!e er "o%ta%te1 )%de&e%d)e%teme%te del "am&o de '$er@a "o%)derado modelo
i modelo
NF
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V
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W
, W modelo
P )ro*o*i)o
W modelo
W
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) )ro*o*i)o
V )ro*o*i)o
De la rela")% a%ter)or e o!t)e%e% lo )*$)e%te re$ltado
(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((
A)un*es de Mecánica de Fluidos 03
JMC
3. Análisis Dimensional
1'
@,D relaci"n en*re uer$as de inercia B uer$as 3iscosas % % ·
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es decir: )ara la seme!ana de los cam)os de 7ueras de inercia 8 de es7ueros #iscosos: en*re modelo 8 )ro*o*i)o: el nu1ero de / E.'+)*S del modelo de$e ser el mismo ;ue el del )ro*o*i)o.
@2D relaci"n en*re uer$as de inercia B uer$as gra3itatorias %%·
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es decir: )ara la seme!ana de los cam)os de 7ueras de inercia 8 7ueras ,ra#i*a*orias: en*re modelo 8 )ro*o*i)o: el nu1ero de "/+6*E del modelo de$e ser el mismo ;ue el del )ro*o*i)o. >3? relaci"n en*re uer$as de inercia B uer$as el!sticas . %% ·
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es decir: )ara la seme!ana de los cam)os de 7ueras de inercia 8 de com)resi$ilidad: en*re modelo 8 )ro*o*i)o: el nu1ero de AC del modelo de$e ser el mismo ;ue el del )ro*o*i)o. >'? relaci"n en*re uer$as de inercia B uer$as de tensión supericial @
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3. Análisis Dimensional
12
es decir: )ara la seme!ana de los cam)os de 7ueras de inercia 8 de 7ueras de *ensi"n su)er7icial: en*re modelo 8 )ro*o*i)o: el nu1ero de E>E/ del modelo de$e ser el mismo ;ue el del )ro*o*i)o.
@5D relaci"n en*re uer$as de inercia B uer$as de presión %
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¹ )
¹ )
es decir: )ara la seme!ana de los cam)os de 7ueras de inercia 8 de 7ueras de )resi"n: en*re modelo 8 )ro*o*i)o: el nu1ero de E6)E/ del modelo de$e ser el mismo ;ue el del )ro*o*i)o.
5ara la seme!ana dinámica *o*al en*re modelo 8 )ro*o*i)o: el 7ac*or de escala de 7ueras de$e ser cons*an*e: 8 con ello se *iene las si,uien*es i,ualdades en*re los )aráme*ros adimensionales de modelo 8 )ro*o*i)o@ RemCRe )
Fr mCFr )
MamCMa )
emCe )
EumCEu )
...
El cum)limien*o simul*aneo de *odas las i,ualdades an*eriores: lle#a al a$surdo de ;ue el 7ac*or de escala de lon,i*udes sea 1: es decir ;ue el modelo es el )ro)io )ro*o*i)o< lo ;ue ;uiere decir ;ue es im)osi$le ensa8ar un modelo a escala: 8 ;ue se conser#e la seme!ana en *odos los cam)os de 7uera en*re modelo 8 )ro*o*i)o< no o$s*an*e: en los ensa8os con modelos lo ;ue se =ace es considerar cual es el )aráme*ro adimensional con*rolan*e: es decir el cam)o de 7ueras más im)or*an*e >a )ar*e del de inercia?. 5or e!em)lo: el ensa8o de arras*re de un modelo de carena en un canal de e9)eriencias =idrodinámicas: se realia de *al 7orma ;ue el numero de FROUDE del modelo sea el del )ro*o*i)o: )ues en el mo#imien*o de un $u;ue: las 7ueras ,ra#i*acionales del cam)o de olas ,enerado )redomina so$re los es7ueros #iscosos so$re la )ro)ia carena. As si la #elocidad del $u;ue es de 12 nudos: 8 el modelo se cons*ru8e a escala 1@1&&: la #elocidad con la ;ue se de$e mo#er el modelo en el canal es de 12 11&& C1:2 nudos C &:% ms
S
Fr mCFr )
L
%
#m
%
# )
L #m # ) Lm L )
,Lm
,L )
((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( JMC A)un*es de Mecánica de Fluidos 03
3. Análisis Dimensional
14
3.2.%.NUMEROS ADIMENSIONALES /ON-ROLAN-ES EN SEMEJANQA. A con*inuaci"n se es*a$lecen una )au*as cuali*a*i#as en el análisis dimensional de di#ersos 7lu!os: )ara es*a$lecer ;ue nmeros adimensionales *ienen ma8or im)or*ancia 8 cuales se )ueden no considerar >sus e7ec*os?. >1? En 7lu!o inco1presi:le estacionario B sin supericie li:re : el nmero adimensional con*rolan*e es el Re. Es decir se )odrá considerar seme!ana si el nmero de /eBnolds del modelo es el mismo ;ue el del )ro*o*i)o. >%? En 7lu!o inco1presi:le estacionario B con supericie li:re : los nmeros con*rolan*es son el Re 8 el Fr. 5ero normalmen*e no es )osi$le man*ener los dos nmeros simul*áneamen*e i,uales< con lo ;ue en es*e caso se considera con*rolan*e el nmero de "roude. >3? En 7lu!o co1presi:le estacionario B sin supericie li:re : los nmeros con*rolan*es son el Re 8 el Ma< )or no )oder man*ener simul*áneamen*e las i,ualdades: se considera el mas con*rolan*e el nmero de ac;. >'? En ,eneral si el /e es mu8 ,rande: se )uede no considerar sus e7ec*os: siendo con*rolan*es el Ma o el Fr. No o$s*an*e el Re marca en ;ue *i)o de 7lu!o se es*a: )ero si se es*a en 7lu!o *ur$ulen*o com)le*amen*e desarrollado: la in7luencia del Re es )rac*icamen*e cons*an*e. >2? Si el 7lu!o es no estacionario se de$e considerar además el nmero de Strou;al. Es im)or*an*e des*acar ;ue se )ueden *ener dos *i)os de )rocesos no es*acionarios@ 7lu!o no es*acionario con condiciones de con*orno es*acionarias. - 7lu!o no es*acionario con condiciones de con*orno no es*acionarias. -
El )rimer caso de condici"n de con*orno es*acionaria: se *iene en la 7ormaci"n de la es*ela de *or$ellinos de Von 0arman: en el 7lu!o e9*erno de la in*eracci"n de un 7lu!o con un o$!e*o. A,uas arri$a del o$!e*o: el 7lu!o )uede ser $as*an*e uni7orme: )ero a,uas a$a!o se ori,ina una es*ela ;ue in*e,ra una serie de #or*ices con*rarro*an*es: ;ue #an creciendo en el sen*ido del 7lu!o: =as*a alcanar un *amaZo cr*ico: 8 son arras*rados )or la )ro)ia corrien*e@ el crecimien*o 8 des)rendimien*o de #"r*ices es al*erna*i#o 8 no es*acionario. La 7recuencia de des)rendimien*o de #"r*ices es 7unci"n de Re: 8 #iene de*erminada )or el nmero de S*rou=al@ S* * L U C 7>Re? residencia
*
carac*ers*ico
r
r
1 7 c
El se,undo caso de condici"n de con*orno no es*acionaria: se *iene cuando al,unos de los con*ornos ,eom6*ricos con los ;ue in*eracciona el 7lu!o: *iene )osiciones no es*acionarias >de)enden del *iem)o?. Un e!em)lo clásico es la des*rucci"n del )uen*e de -A/OMA )or la in*eracci"n del #ien*o. En condiciones normales: la es*ruc*ura es*a es*acionario >no se mue#e?: )ero )ara de*erminadas condiciones del #ien*o: la 7recuencia de los *or$ellinos coincidi" con una 7recuencia na*ural de la es*ruc*ura: ;ue em)e" a #i$rar >con*orno no es*acionario?: ,enerando nue#as 7recuencias 8 am)li*udes de los *or$ellinos de Von 0arman: ;ue resonaron con las 7recuencias na*urales de la es*ruc*ura: dando lu,ar a un )roceso de au*o e9ci*aci"n: ;ue lle#o a la des*rucci"n del )uen*e.
Simul*áneamen*e ;uiere decir ;ue FrmCFr) 8 RemCRe): lo ;ue )uede *raer )ro$lemas. Si el modelo se ensa8a en el mismo 7luido ;ue el )ro*o*i)o: la i,ualdad de los nmeros de Re8nolds: lle#a a ;ue la #elocidad del ensa8o sea@ #mC#)>L)Lm?< 8 la i,ualdad de los nmeros de Froude: lle#a a ;ue la #elocidad del ensa8o sea@ #m #) Lm L) < es decir dos #elocidades dis*in*as. 5or e!em)lo en el ensa8o de una carena de un $u;ue: si la escala del modelo es de 1@1&&: si se considerase la i,ualdad de nmeros de Re8nolds: el modelo de$era mo#erse a 1&& #eces la #elocidad del )ro*o*i)o: 8 se considerase la i,ualdad de nmeros de Froude: el modelo de$era mo#erse a &:1 #eces la #elocidad del )ro*o*i)o. ((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( JMC A)un*es de Mecánica de Fluidos 03
3. Análisis Dimensional
1
%&F& P/+>)EAS /ES6E)+S& 3.1. A)licaci"n del *eorema de ucHin,=am@ Fuera de arras*re de una es7era. 3.%. Resis*encia al a#ance de carenas@ nmeros de Froude 8 de Re8nolds 3.3. Fuera de arras*re@ nmeros de Re8nolds 8 de Euler 3.'. /a#i*aci"n@ nmero de Euler >nmero de ca#i*aci"n?. 3.2. /am)o de olas en dinámica de $u;ues@ nmero de Froude 3.4. Frecuencias carac*ers*icas@ nmero de S*rou=al 3.. A)licaci"n de la *eora de modelos@ diseZo de un e9)erimen*o en la im)resi"n )or c=orro de *in*a. 3.. Re,las de seme!ana en $om$as 8 #en*iladores
((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( JMC A)un*es de Mecánica de Fluidos 03
3. Análisis Dimensional
1
%&,& Aplicación del teorema de Buckingham: Fuerza de arrastre de una esfera @ En el es*udio de la resis*encia
al a#ance de una es7era en mo#imien*o uni7orme en un de*erminado 7luido: la 7uera de arras*re de)ende de la ,eome*ra 8 del 7lu!o. La ,eome*ra #iene de*erminada )or el diáme*ro de la es7era 8 )or la ru,osidad su)er7icial: 8 los )aráme*ros del 7lu!o más im)or*an*es son@ #elocidad de la es7era: 8 densidad 8 #iscosidad del 7luido. A )ar*ir de es*as consideraciones@ DE-ERMINE@ 1. 5aráme*ros adimensionales ;ue in*er#ienen en el 7lu!o. Iden*i7;uelos. %. A )ar*ir del da*o de la ,rá7ica /DC/D>Re?: los #alores de la 7uera de arras*re )ara una es7era lisa de '2 mm de diáme*ro: cuando se mue#e en aire a #elocidades de &:&&1: 1: 1& 8 1&& ms. DA-OS@
Es7era@ lisa: diáme*ro C '2 mm Aire@ densidad C 1:%&' H,m 3< #iscosidad C 1:1 1& 4 H,ms /oe7icien*e de arras*re )ara es7eras lisas@
C*
RESOLU/IN@ Las #aria$les ;ue in*er#ienen son@
Fuera de arras*re@ F D
FDB CML-%
Diáme*ro de la es7era@ D Ru,osidad de la es7era@ H Velocidad de la es7era@ U Densidad del 7luido@ U Viscosidad del 7luido@ P
DB C L HB C L UB C L-1 UB C ML3 PB C ML1-1
Es decir =a8 4 #aria$les 8 3 dimensiones: con lo ;ue )or el -eorema de ucHin,=am: =a8 *res )aráme*ros adimensionales " ᄂ " 8 " 3 de *al 7orma ;ue@ ᄉ
ᄃ
7>FD:D:H:U:U ᄂ P? C &
L #
" ᄉᄂ " ᄃᄂ "
>1? 5ARAME-ROS ADIMENSIONALES@ 5or el m6*odo de ucHin,=am@ "1 C FD U
a $
U Dc
"% C PUd Ue D7 ,
= i
" C HU U D
M&L&-&C>ML-%? >ML3?a >L-1? $ >L?c
&C1Ga< &C13aG$Gc< &C%$
M&L&-&C>ML1-1? >ML3?d >L-1?e >L?7
&C1Gd< &C13dGeG7< &C1e
M&L&-&C>L? >ML3?, >L-1?= >L?i
&C,< &C13,G=Gi< &C=
O$*eni6ndose los si,uien*es #alores@ aC1< $C%< cC%< dC1: eC1< 7C1< ,C&< =C&< iC1< con lo ;ue los )aráme*ros adimensionales son@ "1
"%
FD %
%
UU D
P
UUD
"3
H
D
((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( JMC A)un*es de Mecánica de Fluidos 03
3. Análisis Dimensional
1
; / < o$*eniendo el nmero adimensional:
F
El par!1etro adi1ensional S,< )uede rescri$irse como@
D
1 UU %
% /D %
' ;ue de*ermina la 7uera de arras*re en cual;uier ,eome*ra@ el coeiciente de arrastre C *@
FD /D
en donde A es el área de la ma8or secci"n )er)endicular al 7lu!o .
1 % U U A %
La in#ersa del par!1etro adi1ensional S2: es *am$i6n adimensional: 8 es el n<1ero de /eBnolds Re UDU DU DU en donde P es la #iscosidad a$solu*a o dinámica >H,ms? P
P U
X
8 Q es la #iscosidad cinemá*ica >m %s? El par!1etro adi1ensional S: es la rugosidad relati3a@
H r
H
D
/on *odo: se o$*iene: ;ue e9is*e una 7unci"n ;ue relaciona los *res nmeros adimensionales@ 7>/ D: Re: Hr ? C&< es decir ;ue el coe7icien*e de arras*re: de)ende del nmero de Re8nolds: 8 de la ru,osidad rela*i#a 1&@ C*HC*@/e HrD
>%? FUERQA DE ARRAS-RE@ En el caso de es7eras lisas: se *iene ;ue el coe7icien*e de arras*re solo de)ende del Re8nolds@ C*HC*@/eD: ;ue es ,rá7ica ;ue se suminis*ra en los da*os. A Re mu8 $a!os >ReW1?: se )uede o$*ener anal*icamen*e 11 ;ue /DC%'Re. /on los da*os num6ricos@ DC'2mm< C>1:1 1&4 H,ms? >1:%&' H,m3? C 12:&33 1& 4 m%/s; la fuerza de arras*re de la es7era lisa de '2 mm de diáme*ro: )ara dis*in*as #elocidades es@ F / D 1 UU % A %
D
UC&:&&1ms
Re
&:&&1; &:&'2 %:3 <
/DC1&
4
UC1 ms
Re
12:&33;1& 1; &:&'2
Re
12:&33;1& 1& ; &:&'2
D
%3 <
/DC&:'
4
UC1&ms
%3' < /DC&:'
4
Re
1&& ; &:&'2 12:&33;1&
4
F D
F D
12:&33;1&
UC1&&ms
F
%3'1 < /DC&:1
F D
1& ; 1 1:%&' ; &:&&1% /&:&'2%
:2 ;1& N
'
%
&:' ; 1 1:%&' ;1% /&:&'2% %
3
&:33;1& N
'
&:' ; 1 1:%&' ;1&% /&:&'2% % ' &:1; 1
%
% 1:%&' ;1&& /&:&'2 % '
3
3:3;1& N &:2 N
En el caso del 7lu!o so$re un )er7il aerodinámico: el área es el )roduc*o de la cuerda )or la en#er,adura. En el caso de 7lu!o so$re una carena de un $arco: el área es la su)er7icie mo!ada de la carena. 9
1& En el )ro$lema no =emos considerado los e7ec*os de la com)resi$ilidad: si el 7lu!o se desarrolla a MaX&:3< el coe7icien*e de arras*re: *am$i6n de)ende del nmero de Mac=. 11Es la ecuaci"n de S-O0ES: ;ue se o$*iene resol#iendo: en coordenadas es76ricas: las ecuaciones de con*inuidad 8 de Na#ierS*oHes: en donde la #elocidad *an,encial es nula: no asi la radial 8 la meridional. La ecuaci"n coincide con los resul*ados e9)erimen*ales a ReW&:1< a Re C1: se o$*iene un error del 1&[ >/DC%4:'? ((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( JMC A)un*es de Mecánica de Fluidos 03
3. Análisis Dimensional
%&
%&2& Ensayo de modelos de carenas: números de Froude y de Reynolds.
La resis*encia al a#ance de una carena: #iene de*erminada )or las 7ueras de su)er7icie de$idas a la )resi"n 8 a la #iscosidad: so$re la )ro)ia su)er7icie mo!ada de la carena. En cuan*o a la )resi"n: se *ienen )resiones =idros*á*icas: ,eneradas )or el cam)o de olas. 5ara man*ener seme!ana dinámica *o*al: en*re modelo 8 )ro*o*i)o: es necesario ;ue los cam)os de 7ueras sean seme!an*es: lo ;ue lle#a@ en el caso de las 7ueras de roamien*o #iscoso: a ;ue el Re de modelo 8 )ro*o*i)o sean i,uales: 8 en el caso de las 7ueras de )resi"n =idros*á*ica: a ;ue el Fr de modelo 8 )ro*o*i)o sean i,uales. 5or la im)osi$ilidad e9)erimen*al de ;ue simul*áneamen*e se cum)la ;ue Fr MCFr 5 8 ReMCRe5: los ensa8os: se de$en realiar con una nica condici"n: ;ue en el caso de carena de $u;ues: es el Fr: )or ser el cam)o ,ra#i*a*orio el )redominan*e: en la resis*encia al a#ance. En el ensa8o de un modelo de carena: se realian ensa8os en el canal de e9)eriencias: arras*rando el modelo a de*erminada #elocidad >marcada )or el Fr?: 8 se mide la resis*encia al a#ance. DE-ERMINE )ara cada )un*o de 7uncionamien*o de la carena )ro*o*i)o@ 1. /oe7icien*es de resis*encia )ara el modelo@ *o*al: 7riccional 8 residual. %. /oe7icien*es de resis*encia )ara el )ro*o*i)o@ residual: 7riccional 8 *o*al. 3. Resis*encia al a#ance del )ro*o*i)o )ara las dis*in*as #elocidades del $u;ue. DA-OS@
Eslora@ L5 C 1&3: m< Su)er7icie mo!ada@ A m5 C 31&3 m%< 7ac*or de escala de lon,i*udes@ $ C 13:&%
5ro*o*i)o@ Modelo@
1 1:24 #M>ms? : R -M>N? )ro)iedades 7sicas@
% 3 ' 2 4 1:4'& 1:11 1:% 1:23 1:%2 1:4 %:&4 %:13 1&:3 11:1 13&:2 1'': 141: 1%:4 %&: %3:' aceleraci"n ,ra#edad@ , C :&442 ms % densidad a,ua de mar >12/?@ U5C1&%2: H,m3 #iscosidad cinemá*ica a,ua de mar@ Q5C1:1% 1&4 m%s densidad a,ua del canal >1:4/?@ UM C :4 H,m 3 #iscosidad cinemá*ica a,ua del canal @ QM C 1:&423 1& 4 m%s
RESOLU/IN@ *o*al@ /R-
Ecuaciones de cálculo de coe7icien*es de resis*encia@ &: &2 < R < 7riccional@ /RF residual@ / RR / R- / RF 1 % % lo, Re % % U# Am La eslora 8 la su)er7icie mo!ada del modelo son@ AmM C Am5$% C 31&113:&%% C1:%3 m% LM C L5 $C 1&3:13:&%C:& m< >1? /OEFI/IEN-ES 5ARA MODELO@ )ara cada uno de los )un*os de 7uncionamien*o: se o$*iene el coe7icien*e de resis*encia *o*al: a )ar*ir de la medida de la resis*encia al a#ance< el coe7icien*e de resis*encia 7riccional: )or la ecuaci"n I--/2< 8 7inalmen*e el coe7icien*e residual )or di7erencia en*re am$os@ )un*o de 7uncionamien*o 1@ § ¨
/
¨ R- M
R1
· ¸ ¸
¨ ¨
©%
%
¸
U#
Am ¸
¹M
: N
R ReM
#L 1:24m s\:&m Q 1:&423\1& 4 m% s
1 % U# Am %
,, %,J,0F < /RF
1 ; : 4H, m 3 ;1:24% ;1: %3m % % &:&2 M %
lo, Re %
/ RR
2 K,KJ,0-%
&:&2 %
lo,11:31\1&4 %
M
/
R-
M
/
RF
M
': 34& %: 1
1&3
, 44,J,0-%
((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( JMC A)un*es de Mecánica de Fluidos 03
3. Análisis Dimensional
%1
Análo,amen*e: se o$*ienen los #alores )ara el res*o de )un*os de 7uncionamien*o@
1 1:24 :
#M>ms? R -M>N? /R-M ReM /RFM /RRM
% 1:4'& 1&:3
3 1:11 11:1
' 1:% 13&:2
2 1:23 1'':
4 1:%2 141:
1:4 1%:4
%:&4 %&:
%:13 %3:'
':34&E&3 1:13EG&
':34E&3 1:%%EG&
':'1E&3 1:%&EG&
':'E&3 1:333EG&
':41E&3 1:34EG&
':3E&3 1:''&EG&
2:&1E&3 1:'3EG&
2:3%E&3 1:2'4EG&
2:&2E&3 1:4&&EG&
%:1E&3 1:''1E&3
%:4E&3 1:'%E&3
%:2E&3 1:2'1E&3
%:24E&3 1:4''E&3
%:3E&3 1:&E&3
%:1E&3 1:42E&3
%:&1E&3 %:%1E&3
%:2E&3 %:2'%E&3
%:4E&3 %:34E&3
>%? /OEFI/IEN-ES 5ARA 5RO-O-I5O@ )ara cada uno de los )un*os de 7uncionamien*o: la de*erminaci"n de los coe7icien*es de resis*encia es@ /oe7icien*e de resis*encia RESIDUAL@ )or de)enden del Fr: 8 ensa8ar con Fr MCFr 5 los coe!cientes residuales ser"n iguales# La relación entre las $elocidades de protopo % modelo $ienen determinadas por esta igualdad del numero de &raude:
Fr 5
#
Fr M L
)
,L )
L # )
#M ,LM
#
L
M
#M $
)
L
M
/oe7icien*e de resis*encia FRI//IONAL@ )or de)ender del Re: 8 no )oder ensa8ar a Re cons*an*e@ Re M % Re5 < se o$*iene a )ar*ir de la de*erminaci"n del Re 8 la a)licaci"n de la ecuaci"n de la I--/2. /oe7icien*e de resis*encia -O-AL@ es la suma de los dos an*eriores. 5ara el )un*o de 7uncionamien*o 1@
, 44,J,0-%
/
/
RR 5
RR M
11 nudos # 5 # M $ 1:24m s 13: &% 5 F5L1Ms ...9 34&&s = 12%m milla § #L · 2: 42m s\1&3: m 4K4,%5J,0 < Re5 ¨ ¸ © 1:1%\1& m s Q ¹5 &:&2 &:&2 , F4J,0-% F
4
/RF
%
)
lo, Re % %
%% lo, '':132\1&4
/ RR ) R- ) / RF ) 1: ''1 1: 4' 1&3 %,,5J,0-% Análo,amen*e: )ara el res*o de )un*os de 7uncionamien*o del )ro*o*i)o@
/
V5 >ms? /RR5 Re5 /RF5 /R-5
1 2:42
% 2:1
3 4:1'
' 4:'3&
2 4:44
4 4:'4
:%&%
:'2
:1
1:''1E&3 ':'1EG&
1:'%E&3 2:14EG&
1:2'1E&3 2:3%EG&
1:4''E&3 2:414EG&
1:&E&3 2:3EG&
1:42E&3 4:&44EG&
%:%1E&3 4:%&EG&
%:2'%E&3 4:21'EG&
%:34E&3 4:'1EG&
1:4'E&3 3:112E&3
1:44'E&3 3:134E&3
1:422E&3 3:14E&3
1:4'4E&3 3:%&E&3
1:43E&3 3:'1E&3
1:43&E&3 3:22E&3
1:4%3E&3 3:3E&3
1:412E&3 ':12E&3
1:4&E&3 ':2''E&3
((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( JMC 03 A)un*es de Mecánica de Fluidos
3. Análisis Dimensional
%%
>3? RESIS-EN/IA -O-AL DEL 5RO-O-I5O@ 5ara cada )un*o de 7uncionamien*o: conociendo su coe7icien*e de resis*encia *o*al: se *iene@ )ara el )un*o de 7uncionamien*o 1@ %
§1
R - )
/
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· Am ¸
3:112\1&
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1&%2: ; 2: 42
,5LC I, N' ; 31&3
R- )
©
¹ )
Análo,amen*e )ara el res*o de )un*os de 7uncionamien*o@ V5 >ms? R -5 >HN?
1 2:42 12:1&
% 2:1 1':3
3 4:1' 13:%4
' 4:'3& %14:2%1
2 4:44 %'3:%2%
4 4:'4 %4:&4
:%&% 314:
:'2 34:1'
:1 '3&:2
EN LA -ALA SIUIEN-E: SE RESUMEN -ODOS LOS RESUL-ADOS@
#M>ms? R -M>N? Fr M ReM /R-M /RFM /RRM
V5>NUD&S? V5 >ms? R -5>HN? 5ARRAS-RE>N? Fr 5 Re5 /R-5 /RF5 /RR5
1
%
3
'
2
4
1:24 : &:14
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((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( JMC 03 A)un*es de Mecánica de Fluidos
3. Análisis Dimensional
%3
%&%& Fuerza de arrastre: números de Reynolds y de Euler.
La 7uera de arras*re so$re un diri,i$le de$e de*erminarse median*e ensa8os con un modelo a escala reducida. Los ensa8os se realian en un *nel de a,ua: en donde el modelo de diri,i$le se 7i!a a un so)or*e ins*rumen*ado con un sensor de 7uera< la #elocidad del 7lu!o a a,ua ;ue incide so$re el modelo: se con*rola con una $om$a de #elocidad #aria$le ;ue es la ;ue ori,ina el 7lu!o =acia el modelo. DE-ERMINE@ 1. /uali*a*i#amen*e los nmeros adimensionales con*rolan*es. %. Jus*i7i;ue )or;ue se *iene ;ue ensa8ar el modelo en un *nel de a,ua. 3. Velocidad a la ;ue se de$e ensa8ar el diri,i$le modelo en el *nel de a,ua. '. 5o*encia de arras*re del diri,i$le )ro*o*i)o. DA-OS@
Diri,i$le@
L )C%&m< U )C34 Hm=< aire a %2/ 8 1 $ar@ #iscosidad C 12:2 1& 4 m%s< densidad C 1:% H,m 3 LmC1m< a,ua: #iscosidad C 1& 4 m%s< densidad C 1&&& H,m 3 Fuera de arras*re a la #elocidad de ensa8o C 14' N
Modelo@ RESOLU/IN@
>1? 5ARÁME-ROS ADIMENSIONALES /ON-ROLAN-ES. Los nmeros adimensionales más im)or*an*es en un )roceso de 7lu!o son@ Re: Eu: Ma 8 Fr. De$ido a la $a!a #elocidad del su$marino con res)ec*o a la #elocidad del sonido: los e7ec*os de com)resi$ilidad no son im)or*an*es: 8 en nmero de M A/+ no es con*rolan*e< )or no =a$er su)er7icies li$re: el nmero de Froude *am)oco es con*rolan*e< con lo ;ue los nmeros adimensionales ;ue se *ienen en cuen*a )ara la simili*ud dinámica son e9clusi#amen*e el nmero de R ENOLDS 8 el nmero de E ULER . Se )uede lle,ar anal*icamen*e a es*a conclusi"n: )ar*iendo de ;ue la 7uera de arras*re de)ende de las si,uien*es #aria$les@ F DC7>U:L:U ᄂ P?: 8 a)licando el *eorema de U/0IN+AM : se o$*ienen dos )aráme*ros adimensionales: ;ue es*án relacionados: res)ec*i#amen*e: con los nmeros de R ENOLDS 8 de E ULER . >%? ENSAO EN UN -UNEL DE AUA. 5ara la seme!ana dinámica en*re modelo 8 )ro*o*i)o: sus nmeros de Re8nolds de$en ser i,uales@ Rem
U m L m
Re )
en un diri,i$le la lon,i*ud carac*ers*ica en su ESLORA.
U ) L )
.
.
)
m
/on lo ;ue la #elocidad a la ;ue se de$e mo#er el modelo es@ U m
U ) L ) .m L m . )
Num6ricamen*e: con los da*os@
U ) C 34>1&&&34&&?C 1& ms L ) C %& m< L m C 1 m 4
%
4
%
Q ) C 1& m s< Qma,ua C 12:2 1& m s
Si el ensa8o se realia en un *nel de #ien*o: la #elocidad del aire en el *nel de$era ser de@ U m U ) L ) .m L m . )
1& %& 12:2 ;1& 4 %&& m s
1
12:2 ;1&
4
Es*a #elocidad *iene dos )ro$lemas@ uno el e9)erimen*al: )or;ue se *iene ;ue *ra$a!ar con ,randes #elocidades de 7lu!o de aire 8 so$re *odo )or;ue se *iene nmeros de Mac= rela*i#amen*e al*os >MaX&:3?: 8 se de$eran considerar los e7ec*os de la com)resi$ilidad. 5ara e#i*ar es*os dos )ro$lemas: se ensa8a en un *nel de a,ua: de$ido a la ;ue la 3iscosidad cine1!tica del a,ua es unas 12 #eces 1enor ;ue la del aire: 8 con ello la 3elocidad de ensaBo en agua $a!a en la misma )ro)orci"n.
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3. Análisis Dimensional
%'
>3? VELO/IDAD DEL FLUJO UE IN/IDE SORE EL MODELO@ La #elocidad del 7lu!o uni7orme ;ue se =ace incidir so$re el modelo: #iene de*erminada )or la i,ualdad de nmeros de Re8nolds en*re modelo 8 )ro*o*i)o@ 1& %&
U m U ) L ) .m
1& 4
1
L m . )
12:2 ;1&
1%:' m s 4
>'? 5O-EN/IA DE ARRAS-RE@ La )o*encia de arras*re: #iene de*erminada )or@ 5 D C FD U. El ensa8o suminis*ra el #alor de la 7uera de arras*re so$re el modelo. La 7uera de arras*re so$re el )ro*o*i)os se de*ermina )or análisis dimensional: ;ue es*a$lece ;ue )ara la seme!ana dinámica los nmeros de E ULER : de$er ser i,uales@
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Num6ricamen*e con los da*os@ FDmC14' N<
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U )
Um C 1%:' ms Lm C 1 m '&:1 N
/on lo ;ue la )o*encia de arras*re: es*imada )ara el )ro*o*i)o del diri,i$le es@
P*pC FD) U ) C >'&:1 N?>1&ms? C 4L N La )o*encia de arras*re in#olucrada en el modelo a escala reducida es@ 5DmCFDmUmC>14'N?>1%:'ms? C%1:1H No de$e e9*raZar: ;ue *an*o la 7uera de arras*re: como la )o*encia de arras*re: sean ma8ores en el modelo a escala reducida: ;ue en el )ro*o*i)o: de$ido a ;ue el modelo se ensa8a en a,ua 8 el )ro*o*i)o se mue#e en aire.
((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( JMC A)un*es de Mecánica de Fluidos 03
3. Análisis Dimensional
%2
3.. !a"itación: número de Euler #número de ca"itación$ E% el 'l$?o de l(#$)do1 ) &or a$me%to de +elo")dad1 la &re)% !a?a ata +alore &r9)mo a la &re)% de +a&or 4a la tem&erat$ra del 'l$?o51 el l(#$)do "am!)a de 'ae1 e *e%era% !$r!$?a de +a&or1 #$e o% arratrada &or la "orr)e%te a")a @o%a de alta &re)%1 e% do%de la )m&lo)o%e *e%era% &$lo de alta 're"$e%")a , alta &re)%. A ete 'e%me%o e de%om)%a "a+)ta")%. Co%)deremo el 'l$?o e%tor%o a $% arpón de pesca su:1arina "o%'orme el d)&aro e real)@a a me%o &ro'$%d)dad1 la +elo")dad &ara "o%d)")o%e de "a+)ta")% e me%or. /e real)@a% $% e%a,o e% do%de e determ)%a #$e a $%a &ro'$%d)dad de 2 m1 ) la +elo")dad e me%or de mF %o a, "a+)ta")%. DETERMINE
:. Nmero de "a+)ta")% m(%)mo &ara %o "a+)ta")%. 2. 0elo")dad m>9)ma &ara %o "a+)ta")% a $%a &ro'$%d)dad de:7 m. 3. A #$e &ro'$%d)dad de?a de "a+)tar1 ) el ar&% e d)&ara +ert)"alme%te a"(a a!a?o1 dede $% &ro'$%d)dad de 2 m a la +elo")dad del a&artado a%ter)or a*$a de mar de%)dad6:72 Q*Fm 3- &re)% de +a&or 6 23 m!ar Ar&% a 2 m de &ro'$%d)dad la +elo")dad de %o "a+)ta")% e mF CD671 4$&o%erlo "o%ta%te5 Peo 6 7127 Q*- de%)dad 6 2377 Q*Fm 3- Yrea re"ta m>9)ma 62 "m % Pre)% atmo'8r)"a ZZ7 m!ar
DATO/
RE/O=UCI[N /e de')%e "omo %mero de "a+)ta")%1 al %mero de E$ler1 der)+ado de "o%)derar la d)'ere%")a1 e%tre la &re)% de +a&or , la &re)% %o &ert$r!ada &or la )%tera"")% del o!?eto #$e e m$e+e e% el e%o del l(#$)do. E% %$etro "ao
Ca
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1
%
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#a)or
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e% do%de “N” e la &ro'$%d)dad
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1 % UU %
4:5 NMERO DE CA0ITACI[N M\NIMO Co% el re$ltado e9&er)me%tal1 de #$e a 2 m de &ro'$%d)dad la "a+)ta")% e )%)")a a +elo")dade ma,ore de :2 mF- el %mero de "a+)ta")% m(%)mo &ara %o "a+)ta")% e Ca
&
U *N &
O a*m
ZZ777 :72 ; Z1] ; 2 2377
71::] , e de%om)%a %mero de "a+)ta")% "r(t)"o
#a)or
1 % % UU
:72B ; %
1 %
425 0E=OCIDAD MY^IMA PARA NO CA0ITACI[N A UNA PROUNDIDAD DE :7 m la "o%d)")% de %o "a+)ta")% e #$e el %$mero de "a+)ta")% ea ma,or #$e el "r(t)"o Ca
&
a*m
U* &
#a)or
_ Ca
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1 % % UU
U* &
#a)or
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a :7 metro de &ro'$%d)dad1 la +elo")dad de!e er U
&
U* &
a*m
ZZ777 :72 ; Z1] ;:7 2377
B`1: m F
#a)or
1 %
U ; Ca
1 %
:72B ; 71::]
((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( JMC A)un*es de Mecánica de Fluidos 03
3. Análisis Dimensional
%4
435 PROUNDIDAD A =A XUE DEA DE CA0ITAR1 CON UN DI/PARO 0ERTICA= DE/CENDENTE1 EN =A/ CONDICIONE/ 76 2m- U7 6 `1: mF. d+ =a e"$a")% de e#$)l)!r)o de '$er@a o!re el ar&% e P E m D dt “P” e el &eo3 E% do%de P6m* % D” e la“'$er@a de arratre C 1 U+ A D %
D
“E ” e el em&$?e de 'lota")%U*0 “m ” e la maa del ar&% “d+Fdt ” e $ a"elera")%
"o% todo e t)e%e la e"$a")% d)'ere%")al
E6
m* C D 1% U+% A U*0
md+ F dt - "omo lo #$e )%terea o!te%er e%
la ecuación '(')$*; en la ecuación se puede expresar el elemento de empo en función de la $elocidad % de la $ariación de profundidad: dt(d'/$; con todo se ene la ecuación diferencial: 1 FU C UA F m d +d+ e% do%de la "o%ta%te o% B *4: U 5- C a,ua
B C ; +% "$,a )%te*ra")% da la e"$a")% 64+5
o!te%)edoe tam!)8% la '$%")% +6+45
+
%
D
B C ; +& % b
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l% c
2C B C ; +
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B 4B C ; +&% 5 ;
C B * N$mer)"ame%te
F Uar)"n
C D UA
m B C ; + &%
%
:72 b
Z1]c:
: Ua,ua C
133 mF
2377 f ;:72 ; 2b:7 ' 71:g m 1 7127 133 71:g ; `1: % 2Z12` mF % 1 % 71
Co% lo #$e la +elo")dad e% '$%")% de la &ro'$%d)dad e +
e
B133 B2Z12`B ;
%\&:14'> = %?
e
&:3%> = %?
331:2] 322`12]`b
71:g el %mero de "a+)ta")% e% '$%")% de la &ro'$%d)dad e
Ca
ZZ777 :72; Z1]; 2377 1 % :72; + %
:]]1g]3 :Z1g ; +
%
Co% la do lt)ma e"$a")o%e e "o%tr$,e la ta!la
89:2;6575 ?@ (, (A*( )B(* )B ), )*A* ))C
Nº ;786<7;6=4 ,,, ,,B* ,,( ,,C ,) ,B ,AB
=a @o%a de "a+)ta")% eta e% lo &$%to de %mero de "a+)ta")% me%or de 71::] 4CaCa 5- e de")r1 el ar&% ale e% "a+)ta")% 4Ca67.7`75 , al al"a%@ar la &ro'$%d)dad de 313 m de?a de "a+)tar. ((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( JMC A)un*es de Mecánica de Fluidos 03
3. Análisis Dimensional
%
%&5& !ampo de olas en din%mica de &u'ues: número de Froude.
E% la d)%>m)"a de !$#$e1 e et$d)a el e'e"to de $% "am&o de ola1 o!re el "om&ortam)e%to de la %a+e. Para ello e real)@a% e%a,o e% "a%ale #$e )%"or&ora% $% *e%erador de ola- $%a +e@ eta!le")do el "am&o de ola1 e arratra% la "are%a modelo , e m)de% lo e'$er@o. Para $% determ)%ado !$#$e1 e #$)ere o!te%er el &ar e"ora%te al #$e le ometer(a $% "am&o de ola de ] metro de alt$ra , $% &er)odo de 27 e*$%do. Para ello e "o%tr$,e $% modelo #$e e e%a,a e% el "a%al de d)%>m)"a del !$#$e. A &art)r de lo dato. DETERMINE
DATO/
:. Nmero ad)me%)o%ale #$e "o%trola% la )drod)%>m)"a de +e("$lo mar)%o. 2. =a +elo")dad a la #$e a, #$e mo+er el modelo. 3. El "am&o de ola #$e a, #$e *e%erar am&l)t$d , &er)odo. . El 'a"tor de e"ala de mome%to e"ora%te e%tre modelo , &rotot)&o. B$#$e &rotot)&o
Elora 6 277 m- +elo")dad : %$do- a*$a de mar :72Q*Fm 3
Care%a modelo
Elora 6 m- a*$a d$l"e :777 Q*Fm 3
RE/O=UCI[N 4:5 NUMERO/ ADIMEN/IONA=E/ CONTRO=ANTE/ E% )drod)%>m)"a de +e("$lo mar)%o1 lo %mero ad)me%)o%ale "o%trola%te o% el %mero de ro$de 4r5 , el %mero de /tro$al 4/t5. E% el mo+)m)e%to de !$#$e e% $% "am&o de ola e9ter%o el %mero ad)me%)o%al "o%trola%te1 e el #$e "o%trola la am&l)t$de1 &er)odo , 're"$e%")a del olea?e1 e de")r el %mero de /tro$al /t ' ; = = U;T U E% el mo+)m)e%to de $% !$#$e1 el "am&o de ola *e%erado e% $ mo+)m)e%to1 &or mod)')"a")% de la $&er')")e l)!re1 e de tal )m&orta%")a1 #$e la ma,or &arte de la re)te%")a al a+a%"e1 e de!)da a ete "am&o de ola. Por ello1 el &ar>metro ad)me%)o%al #$e "o%trola lo 'e%me%o de $&er')")e l)!re e% "am&o *ra+)ta")o%al1 e el %mero de ro$de1 #$e er(a "o%trola%te. E% &r)%")&)o lo e'e"to de la +)"o)dad tam!)8% de!er(a% "o%)derare1 e de")r el %mero de Re,%old er(a tam!)8% "o%trola%te- "o% lo #$e lo e%a,o de modelo1 e de!er(a% real)@ar de tal 'orma #$e e "$m&l)ee r m6r ) , Rem6Re )- &ara ae*$rar la eme?a%@a d)%>m)"a. Pero eta do!le )*$aldad1 lle+a a $% a!$rdo =a )*$aldad de ri1 lle+a a #$e la +elo")dad de arratre del modelo ea rm
Um
r )
*=m
U )
Um
U ) = m
*= )
= )
=a )*$aldad de Rei1 lle+a a #$e la +elo")dad de arratre del modelo ea Rem
U m =m .m
Re )
U ) = )
U
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U
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)
= m . )
. )
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Para #$e la do e9&re)o%e1 "o)%")da%1 e t)e%e #$e
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E% %$etro "ao1 la e"ala *eom8tr)"a e =mF=& 6 :F71 "o% lo #$e la +)"o)dad del 'l$)do $t)l)@ado e% el "a%al de e%a,o1 de!er(a er :777 +e"e me%or #$e la del a*$a de mar4 4:F75 3%6:F35. E+)de%teme%te1 la *ra% "a%t)dad de 'l$)do #$e e t)e%e #$e $t)l)@ar e% el "a%al de e%a,o1 a"e )%+)a!le la !#$eda de $% 'l$)do de e%a,o de tal +)"o)dad1 &or lo #$e e+)de%teme%te e $a a*$a d$l"e "omo 'l$)do de e%a,o. A( &$e1 $a%do a*$a d$l"e "omo 'l$)do de e%a,o1 la )*$aldad de Rei1 lle+a a +elo")dade de e%a,o m$"o ma,ore #$e la "orre&o%d)e%te a "o%)derar la )*$aldad de ri. No o!ta%te ete &ro!lema e re$el+e1 de!)do a #$e e% el mo+)m)e%to de $% !$#$e1 el Re e &o"o "o%trola%te1 're%te al r1 "o% lo #$e el e%a,o e% el "a%al de d)%>m)"a del !$#$e1 e real)@a a ri "o%ta%te. ((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( JMC A)un*es de Mecánica de Fluidos 03
3. Análisis Dimensional
%
>%? VELO/IDAD A LA UE +A UE ARRAS-RAR EL MODELO. 5or la i,ualdad de Fr en el modelo 8 el )ro*o*i)o: la #elocidad de ensa8o es@
L
U m U )
' 1: nudos 1:' 12% 1:&1 m s %&& 32&&
1'
m
L ) >3? /AM5O DE OLAS@
+l modelo % el protopo de,en mo$erse en campos de olas seme-antes cinem"camente con lo .ue sus nmeros de trou'al de,en ser iguales:
S* m
S* )
Lm
L ) U ) - )
U m -m
/on lo ;ue el )eriodo de las olas a ,enerar es@
L m U )
Lm )
L) Lm
-
-m - ) ) U m - ) L %& ' %:% se,undos -m %&& ' &:14m A m A ) L m %&& L
la am)li*ud de las olas ,eneradas de$e ser@
Lm
)
L )
)
>'? FA/-OR DE ES/ALA DE MOMEN-OS@ 5or el ucHin,=am se )uede o$*ener ;ue =a8 el )aráme*ro adimensional: con el ;ue es*a relacionado el momen*o de escora es@ M U;U
%
3 ;L
/on lo ;ue )or seme!ana dinámica en*re modelo 8 )ro*o*i)o: am$os )aráme*ros adimensionales de momen*o: de$en ser i,uales@ M
Mm %
)
%
3
3
U ) ; U ) ; L )
Um ; U m ; L m
Lo ;ue lle#a a o$*ener el 7ac*or de escala de momen*os@ Mm N M
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&:124
;1&4
((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( JMC A)un*es de Mecánica de Fluidos 03
3. Análisis Dimensional
%
%&F& Frecuencias caracter(sticas:
número de )trouhal. E% el d)eo de aleta de $!mar)%)mo1 e )%te%ta
real)@ar $% &rotot)&o1 a &art)r de lo dato o!te%)do de la &ro&$l)% de $% del'(%. Al t)&o de &ro&$l)% #$e $t)l)@a% lo &e"e1 e le de%om)%a &ro&$l)% &or etela de remol)%o1 e% do%de el em&$?e "o%e*$)do de&e%de de la am&l)t$d del "oleteo1 de la +elo")dad de a+a%"e , de la de%)dad del a*$a. A &art)r de lo dato DETERMINE
:. Par>metro "o%trola%te de la &ro&$l)% &or etela de remol)%o. 2. Am&l)t$d "o% la #$e de!e% mo+ere la aleta del $!mar)%)ta1 &ara te%er $% 'l$?o d)%>m)"ame%te eme?a%te al "oleteo del del'(%. 3. re"$e%")a de aleteo del $!mar)%)ta.
DATO/
Del'(% +elo")dad 6 mF- "oleteo am&l)t$d 6 :m- 're"$e%")a 6 :1 H@ /$!mar)%)ta +elo")dad 6 : mF H)drod)%>m)"a C Dsu$ 6 3 CDdel7n- Asu$ 6 71 Adel7n
RE/O=UCI[N 4:5 PARAMETRO/ CONTRO=ANTE/ E% &ro"eo o")lator)o ,Fo %o eta")o%ar)o1 el par"metro "o%trola%te1 e el 'a"tor de e"ala de t)em&o1 o %mero de /-ROU+AL =FU /t ' ; = = U
T
T;U
e% do%de “'” e $%a 're"$e%")a "ara"ter(t)"a1 “T” $ &er)odo1 = $%a lo%*)t$d "ara"ter(t)"a1 U $%a +elo")dad "ara"ter(t)"a , =FU el t)em&o de re)de%")a. El otro &ar>metro "o%trola%te1 +)e%e determ)%ado &or la '$%")% T6T4=1U1U5- e o!t)e%e &or el teorema de B$"Q)%*am1 e de%om)%a "oe')")e%te de em&$?e K -1 , der)+a del %mero de E ULER T K1 % % % UU = e% do%de “T” e la '$er@a de em&$?e $m)%)trada &or el )tema de &ro&$l)% 4del )%*le “tr$t”5
“=
” e $%a lo%*)t$dE%"arael caoter(t)"adeN8l)"e. mar)%a1 e el d)>metro de la N8l)"e1 ,
e% ete "ao e la am&l)t$d de lo "oleteoaleteo. 425 AMP=ITUD DE =A/ O/CI=ACIONE/ De la )*$aldad de "oe')")e%te de em&$?e de modelo , &rotot)&o1 e o!t)e%e el 'a"tor de e"ala de lo%*)t$de
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e+)de%teme%te la de%)dade o% )*$ale1 &or#$e ta%to el del'(% "omo el $!mar)%)ta e m$e+e% e% el mar. El 'a"tor de e"ala de '$er@a T dFTs1 e o!t)e%e a &art)r de la '$er@a de arratre #$e e o&o%e% al mo+)m)e%to 1
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A)un*es de Mecánica de Fluidos 03
JMC
3. Análisis Dimensional
3&
/on las ecuaciones ,B 8 2B: se o$*iene el 7ac*or de escala de lon,i*udes@
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/omo la am)li*ud de los cole*eos del del7n es de 1m: la am)li*ud de los ale*eos del su$marinis*a: será de@
)s C Ld&:14 C 1&:114 C ,225 1
>3? FRE/UEN/IA DE LOS ALE-EOS DEL SUMARINIS-A@
5or la i,ualdad de nmeros de S*rou=al@ S* s
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La 7recuencia del mo#imien*o de las ale*as del su$marinis*a de$e ser de &:%'2 +: es decir un ale*eo cada &:%'2 se,undos o $ien 1&:%'2 C ' se,undos ale*eo: ;ue es el )eriodo del mo#imien*o de las ale*as.
((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( JMC A)un*es de Mecánica de Fluidos 03
3. Análisis Dimensional
31
%&& Aplicación
de la teor(a de modelos: dise*o de un e+perimento para el estudio de impresión por chorro de tinta.
En la im)resi"n )or c=orro de *in*a: se *ienen im)ac*os de ,o*as mu8 )e;ueZas so$re su)er7icies )lanas. La secci"n de con*ac*o en*re la ,o*a de *in*a 8 la su)er7icie del )a)el: es una 7unci"n del *iem)o. De$ido al *amaZo de las ,o*as >#olumen del orden de nanoli*ros 8 diáme*ros del orden de d6cimas de milme*ros ?: es im)osi$le la #isualiaci"n e9)erimen*al de la dinámica del )roceso< )or ello se )lani7ica un e9)erimen*o: con ,o*as mas ,randes >del orden de milme*ros?: 8 se mide el *amaZo de con*ac*o en di#ersos ins*an*es correla*i#os de *iem)o. A )ar*ir de los resul*ados e9)erimen*ales )ara las ,o*as modelo@ DE-ERMINE@ 1. Nmeros adimensionales con*rolan*es. %. Escala de lon,i*udes: #elocidades 8 *iem)os. 3.Diáme*ro 8 #elocidad de im)ac*o de las ,o*as modelo. '. E#oluci"n *em)oral del *amaZo de con*ac*o de las ,o*as de *in*a. DA-OS@ o*as de *in*a @ *amaZo@ D )C&:% mm < Velocidad de im)ac*o@ V )C1ms densidad@ UC1&'& H,m3< #iscosidad@ PC2c5< *ensi"n su)er7icial en aire V C &:&' Nm L;uido de ensa8o@ densidad C 1&&& H,m 3< #iscosidad@ 1c5: *ensi"n su)er7icial en aire C &:&2Nm E9)erimen*ales@ I #s t < #C diáme*ro del área mo!ada< *C*iem)o & &
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*iem)o #
RESOLU/IN@ >1? N]MEROS ADIMENSIONALES /ON-ROLAN-ES@ Las #aria$les ;ue in*er#ienen son@
Diáme*ro de las ,o*as@ D Velocidad de im)ac*o de las ,o*as@ U Densidad ,o*as@ U Viscosidad ,o*as@ P -ensi"n su)er7icial ,o*aaire@ V
DB C L UB C L-1 3 >UB C ML PB C ML1-1 VB C M-%
1or el teorema de 2ucing'am con $aria,les % 3 di mensiones disntas se o,enen 53(6 par"metros adimensionales: como $aria,les independientes se consideran la $iscosidad % la tensión super!cial#
"1CP Da U $ Uc
M&L&-&C>ML1-1? >L?a >L-1? $ >ML3?c C M1Gc L1GaG$3c -1$ 1GcC&< 1GaG$3cC&< 1$C& "1
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3. Análisis Dimensional
3%
>%? FA/-ORES DE ES/ALA@ LONI-UDES >NL?: VELO/IDADES >N V ? 8 -IEM5OS >N-? @ 5ara seme!ana en*re las ,o*as modelo 8 las ,o*as )ro*o*i)o: se de$e cum)lir@ RemCRe )
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2B
El 7ac*or de escala de *iem)os #iene de*erminado: a )ar*ir de los 7ac*ores de escala de #elocidades 8 lon,i*udes@
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3. Análisis Dimensional
33
>3? -AMA^O VELO/IDAD DE IM5A/-O DE LAS O-AS MODELO@ A )ar*ir del *amaZo 8 #elocidad de im)ac*o de las ,o*as de *in*a >)ro*o*i)o?: 8 de los 7ac*ores de escala de lon,i*udes 8 de #elocidades: se o$*ienen el *amaZo 8 la #elocidad de las ,o*as de l;uido: con las ;ue se realian los e9)erimen*os@ Dm C NL D ) C >1&? >&:% mm? C % mm Vm C NV V ) C >&:341?>1 ms? C &:341 ms
>'? EVOLU/IN -EM5ORAL DEL -AMA^O DE LA SU5ERFI/IE MOJADA 5OR LA -IN-A@
A )ar*ir de la *a$la de #alores e9)erimen*ales )ara las ,o*as modelo: se o$*iene una *a$la )ara #alores de las ,o*as de *in*a: a )ar*ir de los 7ac*ores de escala de lon,i*udes 8 de *iem)os@ # ) C #mNL C #m1&
* ) C *m N- C *m %:
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':1
3:%
%: 1&
Las unidades de *iem)o )ara el modelo son milise,undos
Iprototipo>mm?
& &
tprototipo>Ps?
&:%1 &:'% 1:&2 34:1
&:2 %:%
&:4 1&:3
&:1 &:4% 1'':' 1&:2
&:23 %14:4
&:'2 &:'1 &:3% %2%: %: 3%':
&:% 341
Las unidades de *iem)o )ara el )ro*o*i)o son microse,undos
EVOLU/IN DEL -AMA^O DE LA QONA MOJADA 5OR LA -IN-A: EN FUN/IN DEL -IEM5O
,B ,
-amaZo ona mo!ada >milme*ros?
,* ,( ,) ,3
-amaZo ,o*a de *in*a an*es del im)ac*o C &:% mm
,A ,
, ,
(,
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3,,
3(,
),,
-iem)o >microse,undos? ((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( JMC 03 A)un*es de Mecánica de Fluidos
3. Análisis Dimensional
3'
%&L& Reglas de seme,anza en &om&as y "entiladores: El 'l$?o e% $%a !om!a de&e%de '$%dame%talme%te del "a$dal1 de la +elo")dad de *)ro , del tamao del rodete- adem> de la &ro&)edade del 'l$)do 4+)"o)dad , de%)dad5. =o &ar>metro de '$%")o%am)e%to de )%ter8 o% el a$me%to de &re)% “ '&” 4alt$ra o "ar*a e% $%)dade de lo%*)t$d H 6 '&F U*51 la &ote%")a "o%$m)da “P” , el re%d)m)e%to “ ” 4rela")% e%tre la &ote%")a e%tre*ada al l(#$)do , la "o%$m)da 64X '&5FP 6 UX*HFP5. =a e%er*(a e&e")')"a 4&or $%)dad de maa5 #$e e tra%')ere al l(#$)do e el term)%o “*H”1 , e el &ar>metro #$e %ormalme%te e $t)l)@a e% a%>l)) d)me%)o%al e% !om!a A &art)r de la )%'orma")% a%ter)or , de lo dato DETERMINE :. Par>metro ad)me%)o%ale1 a &art)r del teorema de B$"Q)%am. 2. Par>metro ad)me%)o%al )%de&e%d)e%te del tamao de la !om!a +elo")dad e&e"(')"a. 3. Re*la de eme?a%@a e%tre m>#$)%a *eom8tr)"a , d)%>m)"ame%te eme?a%te . P$%to de '$%")o%am)e%to "$a%do la +elo")dad de *)ro a$me%ta $% 27j. Bom!a D 6 :2` mm- X 6 :] =F- U6:777 Q*Fm3- N 6 :7 r&m- H 6 g1] m- 6 g3j
DATO/
"e%tr)'$*a o rad)al 71 's H 712
RE/O=UCI[N
m)9ta 71g 71] :17
a9)al 317 17
217
Cla)')"a")% de !om!a e% '$%")% de la +elo")dad e&e"(')"a
4:5 PARYMETRO/ ADIMEN/IONA=E/ E% el 'l$?o de !om!a1 la +ar)a!le o%
E%er*(a e&e"(')"a
*H
*H 6 =% T%
Ca$dal Pote%")a "o%$m)da D)>metro del rodete 0elo")dad de *)ro De%)dad del l(#$)do 0)"o)dad del l(#$)do
X P D
X 6 = T P 6 M =% T3 D 6 = Z 6 T1 U 6 M = 3 P 6 M =1 T1
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Co%)deraremo "omo +ar)a!le )%de&e%d)e%te la de%)dad1 la +elo")dad de *)ro , el d)>metro- "o% lo #$e lo &ar>metro ad)me%)o%ale #$e e t)e%e% 4` +ar)a!le metro5 o% "1
a $ c 4*H5 U Z D
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3. Análisis Dimensional
32
El )aráme*ro adimensional del aumen*o de ener,a es)eci7ica del l;uido: se denomina coe7icien*e de al*ura: 8 de*ermina ;ue )ara una misma $om$a: si la #elocidad de ,iro se du)lica: la al*ura de $om$eo de cuadru)lica< 8 ;ue la al*ura de)ende del cuadrado del *amaZo del rode*e. ,+
/+
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El )aráme*ro adimensional de la )o*encia consumida: se denomina coe7icien*e de )o*encia: 8 de*ermina ;ue la )o*encia de)ende del cu$o de la #elocidad de ,iro 8 de la ;uin*a )o*encia del *amaZo del rode*e. 5
/5
UZ3D2
El )aráme*ro adimensional del caudal: se denomina coe7icien*e de caudal: 8 de*ermina ;ue el caudal aumen*a linealmen*e con la #elocidad: 8 c$icamen*e con el *amaZo@
/
ZD
3
El cuar*o )aráme*ro adimensional es la in#ersa del nmero de Re8nolds@
Re
UZD
%
P
>%? 5ARÁME-RO ADIMENSIONAL INDE5ENDIEN-E DEL -AMA^O@ VELO/IDAD ES5E/IFI/A. En $om$as: =a8 un )aráme*ro adimensional: ;ue se o$*iene de los an*eriores: ;ue no de)ende del *amaZo de la má;uina: sino de su mor7olo,a@ es la 3elocidad especiica ' s: ;ue se o$*iene )or la relaci"n en*re los )aráme*ros adimensionales >S?1% >S1?3': Z1 % Ns >,+?
3I'
El #alor de la #elocidad carac*ers*ica: )ermi*e clasi7icar las $om$as@ om$as cen*r7u,as o radiales om$as de 7lu!o mi9*o om$as a9iales
Ns $a!os >&:% a &:2? Ns in*ermedio >&:2 a 3? Ns al*o >3 a '?
$a!os caudales 8 al*as car,as caudales 8 al*uras in*ermedias al*os caudales 8 $a!as car,as
En la ecuaci"n de la #elocidad carac*ers*ica: las #aria$les se e9)resan en el S.I.: es decir la #elocidad de ,iro en radianes se,undo: el caudal en m 3s: la al*ura o car,a en me*ros 8 la aceleraci"n ,ra#i*a*oria en ms %. No o$s*an*e es =a$i*ual: u*iliar dos *i)os de sis*emas *6cnicos: el euro)eo > en donde la #elocidad de ,iro se e9)resa en +erios >+Cre#olucionesse,undo?< 8 el americano >en donde la #elocidad de ,iro se e9)resa en r)m >re#olucionesminu*o?: el caudal en ,)m >,alones minu*o?: 8 en lu,ar de la ener,a es)eci7ica: se )one la car,a en )ies< las relaciones en*re las dis*in*as #elocidades carac*ers*icas es@
's6SA H 2%2 'sSI 's 6E H 'sSI M 2 H 0,5K2 's SI 's6SA H ,,FF 's6E
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