Uc0565 Matematica II

UNIVERSIDAD CONTINENTAL VIRTUAL

MANUAL AUTOFORMATIVO ASIGNATURA MATEMÁTICA II

Autor: Lucio Rubén Laura Espinoza

ÍNDICE ÍNDICE INTRODUCCIÓN ORGANIZACIÓN DE LA ASIGNATURA Resultado de aprendizaje de la asignatura Unidades didácticas Tiempo mínimo de estudio UNIDAD I: LÍMITES Y CONTINUIDAD Diagrama de organización de la unidad Organización de los aprendizajes Tema N° 1: LÍMITES DE UNA FUNCION 1.

Definición

2.

Propiedades de los límites

3.

Ejercicios Resueltos

Actividad N° 1 Tema N° 2: LÍMITES LATERALES, INFINITOS Y AL INFINITO 1.

Límites infinitos

2.

Límites al infinito

3.

Ejercicios Resueltos

Actividad N° 2 Lectura seleccionada N° 1: Aquiles y la tortuga Tema N° 3: CONTINUIDAD 1.

Definición

2.

Ejercicios resueltos

Actividad N° 3 Tema N° 4: CONTINUIDAD APLICADA A DESIGUALDADES 1.

Desigualdades

2.

Ejercicios resueltos

Actividad N° 4 Glosario de la Unidad I Bibliografía de la Unidad I Autoevaluación de la Unidad I

2

UNIDAD II: DIFERENCIACION Diagrama de organización de la unidad Organización de los aprendizajes Tema N° 5: LA DERIVADA, SU INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Y REGLAS PARA LA DIFERENCIACIÓN 1. Definición 2. Reglas de diferenciación 3. Ejercicios resueltos Actividad Nº 5 Tema N° 6: LA DERIVADA COMO UNA RAZON DE CAMBIO 1. Definición 2. Aplicaciones de la razón de cambio a la economía 3. Ejercicios resueltos Actividad Nº 6 Lectura seleccionada N° 2: “17 ECUACIONES QUE CAMBIARON AL MUNDO” Tema N° 7: REGLA DEL PRODUCTO Y DEL COCIENTE 1. Regla del producto 2. Regla del cociente 3. Función consumo 4. Ejercicios resueltos Actividad N° 7

Tema N° 8: REGLA DE LA CADENA 1. Definición 2. Producto del ingreso marginal 3. Ejercicios resueltos Actividad N° 8

Glosario de la Unidad II Bibliografía de la Unidad II Autoevaluación de la Unidad II UNIDAD III: TEMAS ADICIONALES DIFERENCIACIÓN Diagrama de organización de la unidad Organización de los aprendizajes Tema N° 9: DERIVADA DE LAS FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES 1. 2. 3. 4.

Definición Ejercicios Resueltos Derivada de funciones exponenciales Regla de función inversa 3

5. Ejercicios resueltos Actividad N° 9 Tema N° 10: ELASTICIDAD DE LA DEMANDA Y DIFERENCIACIÓN IMPLÍCITA 1. 2. 3. 4.

Definición Elasticidad e ingreso Diferenciación implícita Ejercicios Resueltos

Actividad N° 10 Lectura seleccionada N° 3: PARADOJA DEL AHORRO Tema N° 11: DIFERENCIACION LOGARITMICA, MÉTODO DE NEWTON 5. 6. 7. 8.

Diferenciación logarítmica Ejercicios resueltos Método de Newton Ejercicios resueltos

Actividad N° 11 Tema N° 12: DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR 4. Definición 5. Ejercicios resueltos Actividad N° 12 Glosario de la Unidad III Bibliografía de la Unidad III Autoevaluación de la Unidad III UNIDAD IV: TRAZADO DE CURVAS Diagrama de organización de la unidad Organización de los aprendizajes Tema N° 13: EXTREMOS RELATIVOS, EXTREMOS ABSOLUTOS EN UN INTERVALO CERRADO 1. 2. 3. 4. 5.

Definición Extremos relativos Ejercicios Resueltos Extremos absolutos Ejercicios resueltos

Actividad N° 13 Tema N° 14: CONCAVIDAD 1. Definición 2. Puntos de inflexión 3. Ejercicios Resueltos Actividad N° 14

4

Lectura seleccionada N° 4: LA CURVA DE LAFFER Tema N° 15: PRUEBA DE LA SEGUNDA DERIVADA 1. 2. 3. 4.

Definición Asíntota vertical Asíntota horizontal Ejercicios resueltos

Actividad N° 15 Tema N° 16: APLICACIÓN DE MAXIMOS Y MINIMOS 1. Definición 2. Ejercicios resueltos Actividad N° 16 Glosario de la Unidad IV Bibliografía de la Unidad IV Autoevaluación de la Unidad IV

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INTRODUCCIÓN La matemática como ciencia es una de las más importantes y poderosas herramientas creadas por el ser humano. Es así como la asignatura de Matemática II, complementa lo desarrollado en Matemática I y está diseñada para desarrollar en el estudiante habilidades y competencias básicas que le permitan interpretar diversos tipos de información para resolver problemas relacionados con la vida cotidiana y el mundo laboral. De esta manera se ha planteado 4 unidades, las cuales están debidamente organizadas y sistematizadas teniendo en cuenta los principios pedagógicos, motivo por el cual en primer lugar se presenta la teoría, luego ejercicios resueltos, actividades de autoaprendizaje y finalmente la autoevaluación. Las unidades didácticas son: 

Límites y continuidad



Diferenciación



Temas adicionales de diferenciación



Trazado de curvas

Para el estudio del manual se sugiere la siguiente secuencia en cada unidad:  Realizar el estudio de los contenidos. Es necesario la lectura analítica, la comprensión de los ejemplos y el repaso de los temas.  Desarrollar las actividades, con referencia en los ejemplos resueltos por cada tema.  Desarrollar la auto evaluación, que es una preparación para la prueba final de la asignatura.  Desarrollar las actividades programadas para cada semana en el aula virtual, con la asesoría del Tutor. Por tanto Ud. requiere un conocimiento directo y práctico de la matemática que le permita aplicarlas en su carrera profesional, tomando casos de su entorno cotidiano, logrando de esta manera la adquisición de conocimientos a través de la aplicación directa de la teoría sin dejar de lado la aplicación de nuevas metodologías y tecnologías para desarrollar su buen aprendizaje. El autor

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ORGANIZACIÓN DE LA ASIGNATURA

RESULTADO DE APRENDIZAJE DE LA ASIGNATURA Al finalizar la asignatura, el estudiante estará en condiciones de resolver problemas de límites de una función y derivada de una función de variable real, relacionados a su carrera.

UNIDADES DIDÁCTICAS UNIDAD I

UNIDAD II

UNIDAD III

UNIDAD IV

LÍMITES Y CONTINUIDAD

DIFERENCIACION

TEMAS ADICIONALES DE DIFERENCIACION

TRAZADO DE CURVAS

Resultado de aprendizaje




Al finalizar la unidad, el estudiante estará en condiciones resolver ejercicios y problemas, mediante la utilización de los teoremas sobre límites y continuidad de funciones, de acuerdo a su carrera.

Al finalizar la unidad, el estudiante estará en condiciones de identificar y resolver problemas, aplicando los teoremas, las reglas, las propiedades de las derivadas y la regla de la cadena, relacionados a su carrera.

Al finalizar la unidad, el estudiante estará en condiciones de resolver ejercicios y problemas, mediante el cálculo y la aplicación de derivadas exponenciales, logarítmicas, elasticidad de demanda, diferenciación implícita, método de newton y derivadas de orden superior relacionadas a su carrera.

Al finalizar la unidad, el estudiante estará en condiciones de resolver ejercicios y problemas, formulando el modelo matemático de la función cuando es creciente o decreciente, determinando valores críticos, localizando máximos y mínimos relativos, estableciendo la prueba de la primera derivada, relacionados a su carrera.

TIEMPO MÍNIMO DE ESTUDIO UNIDAD I:

UNIDAD II:

UNIDAD III:

UNIDAD IV:

Semana 1 y 2

Semana 3 y 4

Semana 5 y 6

Semana 7 y 8

16 horas

16 horas

16 horas

16 horas 7

UNIDAD I: LÍMITES Y CONTINUIDAD DIAGRAMA DE ORGANIZACIÓN DE LA UNIDAD I

ORGANIZACIÓN DE LOS APRENDIZAJES Resultado de aprendizaje de la Unidad I: Al finalizar la unidad, el estudiante estará en condiciones resolver ejercicios y problemas, mediante la utilización de los teoremas sobre límites y continuidad de funciones, de acuerdo a su carrera. CONOCIMIENTOS HABILIDADES ACTITUDES Tema N° 1: LÍMITES DE UNA FUNCION 1. Definición 2. Propiedades de los límites 3. Ejercicios Resueltos Actividad N° 1 Tema N° 2: LÍMITES LATERALES, INFINITOS Y AL INFINITO 1. Límites infinitos 2. Límites al infinito 3. Ejercicios Resueltos Actividad N° 2 Lectura seleccionada N° 1: Aquiles y la tortuga Tema N° 3: CONTINUIDAD 1. Definición 2. Ejercicios resueltos Actividad N° 3 Tema N° 4: CONTINUIDAD APLICADA A DESIGUALDADES 1. Desigualdades 2. Ejercicios resueltos Actividad N° 4 Autoevaluación de la Unidad I

● Utiliza el concepto de límite de una función para definir sus propiedades. ● Determina la existencia de un límite a través del concepto de límites laterales. ● Utiliza los teoremas pertinentes para calcular límites infinitos. ● Utiliza los límites infinitos para hallar asíntotas verticales. ● Determina si la función es continua o discontinua utilizando las tres condiciones de continuidad de una función. ● Utiliza los teoremas de desigualdades y plantea los ejercicios de aplicación para interpretar el problema ● Los estudiantes resuelven activamente sus actividades.

Valora y utiliza sistemáticamente conductas asociadas a la actividad matemática, tales como el orden, puntualidad, contraste, precisión, revisión sistemática y critica de los resultados.

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TEMA Nº 1: LÍMITE DE UNA FUNCIÓN (Haeussler, 2015; p.460) empezaba el tema de límites, diciendo: Quizá usted ha estado en un estacionamiento en el que puede “aproximarse” al automóvil de enfrente, pero no quiere golpearlo ni siquiera rozarlo. Además hace una referencia que esta noción de estar cada vez más cerca de algo, pero sin tocarlo, es muy importante en matemática y está implícita el concepto de límite. Básicamente se estudiará situaciones en la que una variable “se aproxime” a un valor particular y se examinará en efecto que tiene sobre los valores de una función. y

f(x)  

f(x) 

x3 1 x 1





x3 1 lim 3 x1 x 1 

FIGURA 1.1





x

x3  1 x 1

A pesar que la función no está definida en x=1, podría ser muy interesante observar el comportamiento de los valores de la función f(x) cuando “x” se acerca cada vez más a 1. En la tabla 1.1 se dan algunos valores para “x”. Observe que, a medida que “x” asume valores más y más cercanos a 1, por la izquierda (x<1) o por la derecha (x>1) los valores de f(x) se acerca cada vez más al número 3. En la figura 1.1 Observe que aunque la función no está definida en x=1, los valores de la función se acercan cada vez más a 3 conforme “x” se acerca más y más a 1.

Para expresar esto, se dice que el límite de f(x) cuando “x” se aproxima a 1 es igual a 3 y se escribe, así:

lim x 1

x3  1 3 x 1

Se puede hacer que la función f(x) esté tan cercana a 3 como se desee, y mantenerla así de cerca, al seleccionar un valor cualesquiera de “x” lo suficientemente cercano a 1, pero diferente de 1. El límite existe en 1, aunque 1 no se encuentre en el dominio de la función f(x). Tabla 1.1 x<1 x>1 x f(x) x f(x) 0.800 2.440000 1.200 3.640000 0.900 2.710000 1.100 3.310000 0.950 2.852500 1.050 3.152500 0.990 2.970100 1.010 3.030100 0.995 2.985025 1.005 3.015025 0.999 2.997001 1.001 3.003001 Lo expresado en la tabla, nos permite tener una idea aproximada de lo que es el límite de una función, y este es objeto de la siguiente definición intuitiva (una definición más formal se dará en la Asignatura de Cálculo)

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La definición de los límites de una función para (Haeussler, 2015; p.461) es: El límite de f(x) cuando “x” se aproxima a “a” es el número L, lo que se escribe: lim f(x)  L x a

siempre y cuando los valores de f(x) puedan volverse tan cercanos a L como se desee, y mantenerse así de cercanos, al asumir una “x” lo suficientemente cercana pero diferente de “a”. Si tal número no existe, se dice que el límite de f(x) no existe. Cabe señalar que cuando se desee encontrar un límite, no estamos interesados en lo que pasa con f(x) cuando “x” es igual a “a”, sino solamente en lo que le sucede a f(x) cuando “x” es cercana a “a”. De hecho, aun cuando el valor f(a) no existiera, la definición anterior lo elimina de manera explícita. Además, un límite debe ser independiente de la manera en que “x” se aproxima a “a”. Entonces el límite debe ser el mismo, cuando “x” se acerque a “a” por la izquierda o por la derecha (para xa, respectivamente). EJEMPLO 01: Traza la gráfica de la siguiente función:

y = f(x) = x 2 − 4x + 4 Luego, calcular: lim(x2 − 4x + 4) x→0

Resolución: Se traza la gráfica de la función dada y además se realiza una tabulación para algunos valores aproximados a cero, obteniéndose lo siguiente: Tabla 1.2 x y -1.77156 14.22467 -1.41725 11.67759 -1.06294 9.38158 -0.70862 7.33665 -0.35431 5.54279 0.00000 4.00000 0.35431 2.70829 0.70862 1.66765 1.06294 0.87809 1.41725 0.33960 1.77156 0.05218 Si observamos en la figura 1.2 y la tabla 1.2, cada vez que el valor de “x” se aproxima por la izquierda y por la derecha a cero, el valor de “y” se acerca a 4, entonces se tiene que:

∴ lim(x 2 − 4x + 4) = 4 x→0

10

EJEMPLO 02: Traza la gráfica de la siguiente función: x 3 − 2x 2 − 6x + 12 y= x 2 + 3x − 10 Luego, calcular: x 3 − 2x 2 − 6x + 12 y lim x→2 x 2 + 3x − 10 Resolución: Se traza la gráfica y se tabula para algunos valores de “x” y se obtiene:

2 x

-0.28

FIGURA 1.3

x y 1.90000 -0.34638 1.92000 -0.33434 1.94000 -0.32225 1.96000 -0.31011 1.98000 -0.29794 2.00000 indefinido 2.02000 -0.27345 2.04000 -0.26114 2.06000 -0.24878 2.08000 -0.23638 2.10000 -0.22394 Tabla 1.3

Observando la figura 1.3 y la tabla 1.3 podemos concluir que: x 3 − 2x 2 − 6x + 12 = −0,28 x→2 x 2 + 3x − 10

∴ lim EJEMPLO 03: 1 Estime lim 2 si es que existe. x 0 x Resolución: y

Tabla 1.4

FIGURA 1.4

x

x -0.10000 -0.08000 -0.06000 -0.04000 -0.02000 0.00000 0.02000 0.04000 0.06000 0.08000 0.10000

y 100.00000 156.25000 277.77778 625.00000 2500.00000 indefinido 2500.00000 625.00000 277.77778 156.25000 100.00000

2

Sea y= 1/ x . La tabla 1.4 y la figura 1.4. Proporciona los valores de “y” para algu2 nos valores -0.28 de “x” cercanos FIGURA 1.3 a 0. Cuando “x” se acerca más y más a 0, los valores de “y” se hacen cada vez más grandes sin cota alguna. Como los valores de “y” no se acerca a ningún número cuando “x” se aproxima a 0, se concluye que: 1 lim 2 , no existe x 0 x 11

Aquí realizo un resumen de las propiedades de límites del libro de (Haeussler, 2015; p.463) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES Para determinar límites, no siempre deseamos calcular los valores de la función o hacer el bosquejo de una gráfica de manera alternativa, existen también varias propiedades razonables: 1. Si: f(x)=c, es una función constante entonces: lim f(x)  limc  c x a

2.

lim xn  an , para cualquier valor entero positivo “n”

3.

lim f(x)  g(x)  lim f(x)  limg(x)

4.

lim f(x) g(x)  limf(x) limg(x)

5.

lim c f(x)  c limf(x)

6.

lim

x a

x a

x a

x a

x a

x a

x a

x a

x a

donde "c" esunaconstante

x a

f(x) f(x) lim  x a x a g(x) lim g(x)

Si : lim g(x)  0 x a

x a

7.

lim n f(x)  n lim f(x) x a

x a

EJERCICIOS RESUELTOS Ejemplo 01: Dada la función constante, encuentre el límite de:

lim 4 x→2

Resolución: Redefiniendo la función constante, se tiene que f(x) = 4, su gráfica es una línea horizontal que pasa por y = 4, entonces su límite para cualquier punto de la abscisa siempre es 4. Además la propiedad 1 afirma que el límite de cualquier constante es la misma constante ∴ lim 4 = 4 x→2

Ejemplo 02: Determine el límite de la siguiente función lineal: lim(4x + 2) x→1

Resolución: Redefiniendo la función lineal, se tiene que f(x) = 4x + 2, utilizamos las propiedades y se obtiene que: lim(4x + 2) = lim4x + lim2 (Propiedad 3) x→1

x→1

x→1

(Propiedad 5)

lim(4𝑥 + 2) = 4. limx + lim2

𝑥→1

x→1

x→1

(Propiedad 2)

lim(4𝑥 + 2) = 4(1) + 2

𝑥→1

∴ lim(4x + 2) = 6 x→1

Ejemplo 03: Determine el límite de la siguiente función polinomial: lim(x 2 − 4x − 4) x→3

Resolución: Redefiniendo la función cuadrática, se tiene que f(x) = x 2 − 4x − 4, utilizamos las propiedades y se obtiene que: lim(x2  4x  4)  lim x2  lim 4x  lim 4 x 3

x 3

x 3

 32  4(3)  4  7

x 3

(propiedad 3) (propiedad 2)

 lim(x2  4x  4)  7 x 3

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Ejemplo 04: Determine el límite de la siguiente función racional: x2 − 9 lim x→3 x − 3 Resolución: 32 −9

0 ; 3−3 0 lo que indica que el resultado es una indeterminada; para levantar dicha indeterminación, se debe factorizar el numerador y luego simplificar la expresión; para después volver a evaluar la función simplificada. Primero se debe evaluar la función para x = 3, entonces adopta la forma

=

x2 − 9 (x − 3)(x + 3) = lim = lim(x + 3) = 3 + 3 = 6 x→3 x − 3 x→3 x→3 x−3 lim

x2 − 9 =6 x→3 x − 3

∴ lim

Ejemplo 05: Determine el límite de la siguiente función racional: x3 + 8 lim ( ) x→−2 x + 2 Resolución: Primero evaluaremos la función cuando x = -2, entonces el valor de la función racional adopta la forma

(−2)3 +8 −2+2

0

= 0; lo que indica que nuevamente el resultado es una

indeterminada, para levantar dicha indeterminación, se debe factorizar y luego simplificar la expresión; para después volver a evaluar la función simplificada. x3 + 8 (x + 2)(x 2 − 2x + 4) = lim = lim (x 2 − 2x + 4) = (−2)2 − 2(−2) + 4 = 4 + 4 + 4 x→−2 x + 2 x→−2 x→−2 x+2 lim

∴ lim ( x→−2

x3 + 8 ) = 12 x+2

Ejemplo 06: Determine el límite de la siguiente función racional: 2  x  2  22 lim x 0 x Resolución: Si evaluamos para x = 0, daría la forma indeterminada 0/0; entonces cabe desarrollar el binomio al cuadrado del numerador y luego simplificar.

 x  2

2

lim

 22

x

x 0

x2  4x  4  4 x 0 x x2  4x  lim x 0 x x(x  4)  lim x 0 x  lim(x  4)

 lim

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

x 0

04 4

 x  2

2

 lim x 0

x

 22

4

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Ejemplo 07: Determine el límite de la siguiente función racional: √x + 2 − √2 lim x→0 x Resolución: Si evaluamos para x = 0, daría la forma indeterminada 0/0; entonces cabe multiplicar por la conjugada del numerador. La conjugada de (√x + 2 − √2) es (√x + 2 + √2) lim

x→0

(√x + 2 − √2)(√x + 2 + √2) √x + 2 − √2 = lim x→0 x x(√x + 2 + √2) 2

2

√x + 2 − √2 lim = lim x→0 x x→0 x(√x + 2 + √2) Diferencia de cuadrados (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏 2 lim = lim x + 2 − 2 x→0 x x→0 x(√x + 2 + √2) x lim = lim x→0 x x→0 x(√x + 2 + √2) 1 lim = lim 𝑥→0 𝑥 𝑥→0 (√𝑥 + 2 + √2) 1 1 lim = = x→0 x √0 + 2 + √2 2√2 1 √x + 2 − √2 = x→0 x 2√2

∴ lim Ejemplo 08:

FUNCIÓN UTILIDAD. La función de utilidad (en soles) para cierto negocio está dada por: P(x)=−3.5x 2 + 22.5x − 70. Donde “x” representa la cantidad de gramos vendidos. Grafique esta función y use su tabla para determinar lim P(x). x→40.2

Resolución:

FIGURA 1.5

Como el coeficiente principal de la ecuación cuadrática es negativa, entonces su grafica cóncava hacia abajo (véase figura 1.5) Tabla 1.5 x y 40.00000 4630.00000 40.04000 4640.30560 40.08000 4650.62240 40.12000 4660.95040 40.16000 4671.28960 40.20000 4681.64000 40.24000 4692.00160 40.28000 4702.37440 40.32000 4712.75840 40.36000 4723.15360 40.40000 4733.56000

CONCLUSIÓN: Observando la gráfica y la tabla podemos concluir que la utilidad del negocio será de S/. 4681.64 para cuando la cantidad de gramos vendidos sea aproximadamente de 40.2

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ACTIVIDAD N° 01: LÍMITES DE UNA FUNCIÓN 01.

Determine el límite de la siguiente función racional: x2 − x − 2 lim x→2 x−2

02.

Determine el límite de la siguiente función racional: x2  9x  20 lim 2 x 4 x  3x  4

03.

Función utilidad. La función de utilidad (en soles) para cierto negocio está dada por: P(x)=−3.2x 2 + 225x − 700. Donde “x” representa la cantidad de gramos vendidos. Determinar lim P(x) y argumentar su respuesta. x→40.2

04.

Función ingreso. La función de ingreso (en soles) para cierto producto está dado por R(x)=−6x 2 + 500x. Donde “x” representa la cantidad de artículos vendidos. Determinar el lim R(x) y argumentar su respuesta. x→8

05.

Tasa de cambio. La tasa de cambio de la productividad P (en número de unidades producidas por hora) aumenta con el tiempo de trabajo de acuerdo con la función:P(t) = nar

50(t2 +4t) . t2 +3t+20

Donde “t” representa el tiempo de trabajo. Determi-

el lim P(t) y argumentar su respuesta. t→2

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TEMA Nº 2: LÍMITESy LATERALES, INFINITOS Y AL INFINITO Adaptado de (Haeussler, 2015; p.469) En la figura 2.1 se muestra la gráfica de una función f. Observe que f(x) no está definida cuando x=0. Cuando “x” se aproxima a 0 por la derecha, f(x) se aproxima a 1. Esto se escribe como:

y = f(x) = x +1





lim f(x)  1

x 0

x 





Por otra parte, cuando “x” se aproxima a 0 por la izquierda, f(x) se aproxima a -1 y se escribe:





lim f(x)  1

x 0

y = f(x) = x - 1

Los límites de este tipo se conocen como límites unilaterales. El límite de una función a medida que x  a es FIGURA 2.1 independiente del modo en que “x” se aproxima a “a”. Por lo tanto, el límite existirá si y solo si ambos límites existen y son iguales. Entonces se concluye que: lim f(x) no existe x 0 , 1. LÍMITES INFINITOS 

Adaptado de (Haeussler, 2015; p.469), ahora examinaremos límites en los cuales el denominador se aproxima a 0, pero el numerador se aproxima a un número deferente de 0. Por ejemplo. Considere:

lim

y

x 0

f(x) 

FIGURA 2.2

1 x2

1 x2

Tabla 2.1 x y -0.10000 100.00000 -0.08000 156.25000 -0.06000 277.77778 -0.04000 625.00000 -0.02000 2500.00000 0.00000 indefinido 0.02000 2500.00000 0.04000 625.00000 0.06000 277.77778 0.08000 156.25000 0.10000 100.00000 x

1 cuando “x” es cercana a 0. El número x2 x2 es positivo y también cercano a 0. Por lo tanto, al dividir 1 entre tal número da como resultado un número muy grande. De hecho entre más cercana a 0 este x, mayor es Analizamos el comportamiento de f(x) 

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el valor de f(x), vea la tabla 2.1 y la figura 2.2. Es claro que cuando x  0 tanto por la izquierda como por la derecha, f(x) aumenta indefinidamente. De aquí que no exista el límite en 0. Se dice que cuando x  0 , f(x) se vuelve infinito positivamente:

lim x 0

1     x2

2. LÍMITES AL INFINITO Adaptado de (Haeussler, 2015; p.470). Ahora veamos el comportamiento de la función f(x) 

1 . Cuando “x” se vuelve infinito, primero en sentido positivo y después x

en sentido negativo. En la tabla 2.2 puede verse que cuando “x” aumenta indefinidamente al tomar valores positivos, los valores de f(x) se aproximan a 0. De la misma forma cuando “x” disminuye indefinidamente al tomar valores negativos, los valores de f(x) se aproximan a 0. En forma simbólica se escribe

lim x 

1 1  0 y lim  0 x  x x

Estos límites se conocen como límites al infinito: Tabla 2.2 x f(x) x 100 0.01 -100 1000 0.001 -1000 10000 0.0001 -10000 100000 0.00001 -100000 1000000 0.000001 -1000000

f(x) -0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001 -0.000001

EJERCICIOS RESUELTOS EJEMPLO 01: Determine el límite (si existe) en: lim x 

4

 x  5

10

Resolución: Cuando “x” se vuelve muy grande, también lo hace (x + 5). Un número muy grande de exponente 10 también es demasiado grande, entonces (x  5)10   . Al dividir el número 4 entre números muy grandes se tiene como resultado números cercanos a 0. Por lo tanto,  lim x 

4 0 (x  5)10

Recuerda que estos son aproximaciones.

NUMERO  INFINITO CERO

NUMERO  CERO INFINITO

17

EJEMPLO 02:

x2  2016 x  2015  2x  8x2

Determine el límite (si existe) en: lim

Resolución: Utilizamos la propiedad de límites al infinito.

x2  2016 x2  2016  lim x  2015  2x  8x2 x  8x2  2x  2015 x2  lim 2 x  8x Recuerda que primero se ordena los términos del numerador y denomina1  lim dor y luego solo dividimos los térmix  8 nos de mayor grado, en este caso los cuadráticos. x2  2016 1  lim  x  2015  2x  8x2 8 lim

EJEMPLO 03: Determine el límite de la siguiente función racional: xlim 

x  2016

3x  4

2

Resolución: Primero desarrollamos el binomio del denominador. x  2016 x  2016 lim  lim 2 x  x  9x2  24x  16 3x  4

x 9x2 1 1 Binomio al cuadrado  lim x  x 2 2 2 9 (a − b) = a − 2ab + b 1  .(0) 9 x  2016  lim 0 2 x  3x  4  lim

x 

EJEMPLO 04: Determine el límite de la siguiente función racional:

3

2

lim 3x 3+2x 2+x+2

x→∞

x +4x +4

Resolución: La técnica, es dividir a cada término entre el término de mayor grado. 3x 3 2x 2 x 2 3x 3 + 2x 2 + x + 2 3 + x3 + x3 + x3 x lim = lim x→∞ x→∞ x 3 4x 2 4 x 3 + 4x 2 + 4 + 3 + 3 x3 x x 2 1 2 3 2 3+ + 2+ 3 3x + 2x + x + 2 x x x lim = lim 4 4 x→∞ x→∞ x 3 + 4x 2 + 4 1+ + 3 x x Observa que 𝑥 3 3x 3 + 2x 2 + x + 2 3 + 0 + 0 + 0 es el término de lim = x→∞ x 3 + 4x 2 + 4 1+0+0 mayor grado 3x 3 + 2x 2 + x + 2 =3 x→∞ x 3 + 4x 2 + 4

∴ lim

18

EJEMPLO 05: Determine el límite de la siguiente función racional: lim(4 x  1)  x 1

Resolución: Evaluamos mediante una tabla para algunos valores cercanos a 1 por la derecha. Tabla 2.3 x 4 x 1 1,1 1,2649 1,01 0,4000 1,001 0,1265 1,0001 0,0400 1,00001 0,0126 Por lo tanto, se concluye que, cuando el valor de x se aproxima cada vez más hacia 1 por el lado derecha, el valor de la función se aproxima hacia 0.  lim(4 x  1)  0  x 1

EJEMPLO 06: El endeudamiento en dólares de una multinacional se ha calculado como una función del tiempo de la forma: 6300t 2 + 1500t + 0,95 E(t) = 25000 + 0,007t 2 + 4,5t ¿Cuál sería el endeudamiento a largo plazo, es decir calcule lim E? t→∞

Resolución: Reescribiendo se tiene: 6300t 2 + 1500t + 0,95 6300t 2 + 1500t + 0,95 lim (25 000 + ) = lim 25000 + lim ( ) 2 t→∞ t→∞ t→∞ 0,007t + 4,5t 0,007t 2 + 4,5t 2 2 6300t + 1500t + 0,95 6300t lim (25000 + ) = lim 25 000 + lim 2 t→∞ t→∞ t→∞ 0,007t 2 0,007t + 4,5t 2 6300t + 1500t + 0,95 6300 Cuando t tiende al infinito, limdividir (25000los + térmi- 2 ) = lim 25 000 + lim bastará con t→∞ t→∞ t→∞ 0,007 0,007t + 4,5t nos de mayor grado6300t 2 + 1500t + 0,95 lim (25000 + ) = 25 000 + 900 000 t→∞ 0,007t 2 + 4,5t 6300t 2 + 1500t + 0,95 lim (25 000 + ) = 925 000 t→∞ 0,007t 2 + 4,5t Por lo tanto, el endeudamiento de la multinacional en un tiempo de largo plazo será de 925 000 dólares.

19

EJEMPLO 07: Población. Se pronostica que dentro de “t” años la población de una cierta ciudad pequeña será: 5000 N  40000  t3 Determine la población a largo plazo, esto es, determine limN t 

Resolución: Reescribiendo se tiene

lim(40000  t 

5000 5000 )  lim 40000  lim t  t  t  3 t3  40000  0

Cuando t tiende al infinito, bastará con dividir los términos de mayor grado

 lim(40000  t 

 40000 5000 )  40000 t3

ACTIVIDAD N° 02: LÍMITES LATERALES, INFINITOS Y AL INFINITO 01.

Encuentre el límite, si el límite no existe indíquelo así o utilice el símbolo  ;  donde sea apropiado. lim (1  x2 ) x 1

02.

Encuentre el límite, si el límite no existe indíquelo así o utilice el símbolo  ;  donde sea apropiado.

lim(2 

x 2

03.

1 ) x 2

Población. Se pronostica que dentro de “t” años la población de cierta ciudad pequeña será: 5000 N  45000  t 3 Determine la población a largo plazo, esto es, determine limN t 

04.

Relación huésped-parásito. Para una relación particular huésped-parásito, se determinó que cuando la densidad del huésped (número de huésped por unidad de área) es x, el número de huéspedes parasitados en cierto periodo es: 900X y 10  45X Si la densidad del huésped aumenta indefinidamente, ¿a qué valor se aproximaría y?

05.

Población. La población P de una ciudad pequeña en t años a partir de ahora se predice mediante: 20000t 3 + 5t 2 P(t) = 5000 + 4t 3 + 5 Encuentre la población a largo plazo, esto es encuentre lim 𝑃 𝑡→∞

20

LECTURA SELECCIONADA N° 1 AQUILES Y LA TORTUGA Lectura tomada de (Haeussler, 2003; p.397) El filósofo Zenón de Elea era aficionado a las paradojas acerca del movimiento. Su más famosa era algo parecida a ésta. El guerrero Aquiles acepta correr una carrera en contra de una tortuga. Aquiles puede correr 10 metros por segundo y la tortuga sólo 1 metro por segundo, de modo que la tortuga tiene una ventaja de 10 metros de la línea de salida. Aun así, como Aquiles es mucho más rápido debe ganar. Pero en el tiempo que él haya cubierto sus primeros 10 metros y llegado al lugar en donde la tortuga inició, la tortuga ya avanzó 1 metro y aún lleva la delantera. Y después de que Aquiles haya cubierto ese metro, la tortuga ha avanzado 0.1 metro y aún llevaría la delantera. Y así sucesivamente. Por tanto, Aquiles estaría cada vez más cerca de la tortuga pero nunca la alcanzaría. Por supuesto que la audiencia de Zenón sabía que algo estaba mal en el argumento. Nosotros podemos escribir una ecuación algebraica con el avance total de Aquiles a la izquierda, el de la tortuga a la derecha y t, que representa el tiempo en segundos en los cuales Aquiles se empareja con la tortuga: (10 m/s)t = (1 m/s)t + 10 m 1 1 10𝑚 La solución es 𝑡 = 1 segundos, tiempo en el que Aquiles ha corrido (1 𝑠) ( ) = 1

9

9

𝑠

11 𝑚 9

Lo que desconcertaba a Zenón y a sus escuchas es cómo podría ser que: 1 1 1 10 + 1 + + + ⋯ = 11 10 100 9 En donde el lado izquierdo representa una suma infinita y el lado derecho es un resultado finito. La solución moderna a este problema es el concepto de límite, que es el tema principal de este capítulo. El lado izquierdo de la ecuación es una serie geométrica infinita. Utilizando la notación de límite y la fórmula de la sección 8.3 para la suma de una serie geométrica, escribimos

lim ∑ 101−𝑛 = lim

𝑘→∞

𝑛=0

1 𝑘+1 ) ) 10 1 = 11 1 9 1− 10

10 (1 − (

𝑘 𝑘→∞

21

TEMA Nº 3: CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN Ejemplo tomado de (Haeussler, 2015; p.477) donde presenta funciones que tienen la propiedad de que no presentan “pausa” alguna en sus gráficas. Por ejemplo compare las funciones: x si x  1 f(x)  x g(x)   2 si x  1 y Realizamos la gráfica de cada una de las funciones y se obtiene que:

f(x)  x

y

x g(x)   2

S in pausa en la figura



en el punto (1,1)

si x  1 si x  1



x 







x 







FIGURA 3.2 FIGURA 3.1

 

Observando la figura 3.1 y la figura 3.2 la gráfica de “f” no tiene pausa, pero la gráfica de “g” tiene una pausa en x=1. Dicho de otra forma, si usted tuviera que trazar ambas gráficas con un lápiz, tendría que levantar el lápiz del papel en la gráfica de “g” cuando x=1, pero no tendría que despegarlo en la gráfica de “f”. Estas situaciones pueden expresarse mediante límites. Compare el límite de cada función con el valor de la función en x=1 cuando x se aproxima a 1. Por lo tanto la función f(x) es continua en x=1; mientras que la función g(x) es discontinua en x=1. Defunción adaptada de (Haeussler, 2015; p.477) Una función f(x) es continua en “a” sí y solo si se cumplen las siguientes tres condiciones: 1. f(a) existe. 2. lim f(x) existe x a

3.

limf(x)  f(a) x a

Si la función f(x) no es continua en “a”, entonces se dice que la función f(x) es discontinua en “a” y “a” se denomina punto de discontinuidad de la función f(x). Se puede resumir excepcionalmente como: f(a)  limf(x)  limf(x)   x a

x a

22

EJERCICIOS RESUELTOS EJEMPLO 01: Demuestre que g(x)  x2  3 es una función continua en -4. Resolución: La función “g” está definida en x=–4; reemplazando se obtiene que: g(–4)=13. También, lim g(x)  lim x2  3  13  g(4) x 4



x 4





Tabla 3.3 x g(x) -4 13 -3 6 -2 1 -1 -2 0 -3 1 -2 2 1 3 6 4 13

y

             









x 





  



 Por lo tanto, “g” es continua en –4. (Vea la Figura 3.3).

FIGURA 3.3

EJEMPLO 02: Dada la siguiente función:

f(x)  x3  5x Utilice la definición de continuidad, para verificar si la función es continua en el punto x = 2. Resolución: Las tres condiciones de la definición de continuidad las podemos expresar en una sola, si resulta una proposición verdadera diremos que es una función continua, caso contrario será una función discontinua.

f(2)  limf(x)  limf(x)   x 2

x 2

Evaluamos para x=2

23  5(2)  23  5(2)  23  5(2) 2  2  2 Se obtiene que los tres resultados son iguales, entonces f(x) es una función continua en x=2. EJEMPLO 03: Dada la siguiente función:

x3 5x Utilice la definición de continuidad, para verificar si la función es continua en el punto x = 3. f(x) 

23

Resolución: Utilizamos la propiedad de:

f(3)  limf(x)  lim f(x) x 3

x 3

Evaluamos para x=-3 3  3 3  3 3  3   5(3) 5(3) 5(3) 6 15



6 15

6 15



Se obtiene que los tres resultados son iguales, entonces f(x) es una función continua en x=-3. EJEMPLO 04: En la siguiente función, encuentre todos los puntos de discontinuidad: x2  3 f(x)  2 x  2x  8 Resolución: Para poder averiguar la discontinuidad, basta con igualar a cero el denominador: x 2 + 2x − 8 = (x + 4)(x − 2) = 0 Aplicando la propiedad Si: a. b = 0 entonces a = 0  b = 0 Se obtiene que: x=–4 o x=2 Por lo tanto la función racional es discontinua en –4 y 2. EJEMPLO 05: En la siguiente función encuentre todos los puntos de discontinuidad: h(x) 

x4 x2  4

Resolución: Para esta función racional, el denominador nunca es 0. (Siempre es positivo). De este modo, h(x) no tiene discontinuidad. EJEMPLO 06: Inventario Bosqueja la gráfica de: 100x  600  y  f(x)  100x  1100 100x  1600 

si: 0  x  5 si: 5  x  10 si: 10  x  15

Una función como la anterior podría describir el inventario y de una compañía en el instante x; ¿f es continua en 2?, ¿en 5? Resolución: Estudiando la continuidad para x=2 Utilizamos la propiedad, para verificar si la función es continua en x=2 f(2)  limf(x)  limf(x)   x 2

x 2

Observando la función por partes, se tiene que: 100(2)  600  100(2)  600  100(2)  600 400  400  400 Por lo tanto, la función f(x) es continua en x=2

24

Estudiando la continuidad para x=5 Utilizamos la propiedad, para verificar si la función es continua en x=5 f(5)  limf(x)  limf(x)   x 5

x 5

Observando la función por partes, se tiene que: 100(5)  1100  100(5)  600  100(5)  1100 600  100  600 Los resultados muestran valores diferentes para x=5. Por lo tanto f(x) es una función discontinua en x=5 ACTIVIDAD N° 03: CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN 01.

Determine, si la función es continua en los puntos dados.

f(x)  02.

x4 ; x2

para

x 2

x0

Inventario Bosqueja la gráfica de la siguiente función definida por partes: si: 0  x  5 100x  600  y  f(x)  100x  1100 si: 5  x  10 100x  1600 si: 10  x  15  Una función como la anterior podría describir el inventario y de una compañía en el instante x; ¿f es continua en 3? y ¿en 10?

03.

Calcular el valor de “a” y “b” para que la función sea continua. 3𝑥 2 − 1 𝑠𝑖: 𝑥 ≤ −1 𝑓(𝑥) = {2𝑎𝑥 + 3𝑏 𝑠𝑖: − 1 < 𝑥 < 2 4𝑥 + 7 𝑠𝑖: 𝑥 ≥ 2

04.

Encuentre todos los puntos de discontinuidad, en la siguiente función racional: x2  6x  9 f(x)  2 x  2x  15

05.

Encuentre todos los puntos de discontinuidad, en la siguiente función racional: x2  5x  2 f(x)  x2  9

25

TEMA Nº 04: CONTINUIDAD APLICADA A DESIGUALDADES Ahora se verá cómo puede aplicarse la noción de continuidad para resolver una desigualdad no lineal de la forma ax 2 + bx + c ≥ 0; ax 2 + bx + c ≤ 0. Esta habilidad será importante en nuestro estudio sobre el cálculo. Ejemplo tomado de (Haeussler, 2015; p.483) Para resolver x2  3x  4  0 , se hace f(x) = x 2 + 3x − 4 = (x − 1)(x + 4)

y

-4

1

x

Cuando la función f(x)=0 se obtiene las raíces, estas son -4 y 1; de modo que la gráfica de la función f(x) tiene intersecciones con el eje de las abscisas (eje x) en los puntos (-4,0) y (1,0). (Vea la figura 4.1) Además las raíces determinan tres intervalos sobre el eje x: < −∞; −4 >; < −4; 1 >; < 1; ∞ >

FIGURA 4.1

Considere el intervalo < −∞; −4 > Como f(x) es una función continua en este intervalo, se afirma que f(x)>0 o bien, f(x) <0 en todo el intervalo. Podemos contrastar esta idea con la siguiente tabla 4.1 x f(x)

-8 36

-7 24

-6 14

-5 6

-4 0

Tabla 4.1 -3 -2 -1 -4 -6 -6

0 -4

1 0

2 6

3 14

4 24

5 36

Observando la figura 4.1 y la tabla 4.1 se concluye que en el intervalo < −∞; −4 > siempre la función f(x) es positiva; mientras que en el intervalo < −4; 1 > la función f(x) resulta ser negativa y en el intervalo < 1; ∞ > también es positiva. De modo que se ha resuelto la desigualdad. Estos resultados son obvios a partir de la gráfica de la figura 4.1 y la tabla 4.1. La grafica está por arriba del eje “x”, esto significa que f(x)>0 en < −∞; −4 > y en < 1; ∞ >. En ejercicios de mayor complejidad, será necesaria utilizar la naturaleza multiplicativa de los signos, teniendo como base a cada factor primo de la función. Por ejemplo la función f(x) = x 2 + 3x − 4 = (x + 4)(x − 1). Cada uno de los términos (x + 4) y (x – 1) tiene un diagrama de signos más simples que la función f(x) = x 2 + 3x − 4. Considere el diagrama de signos de la figura 4.2. Igual que antes, se colocaron las raíces de f(x)=0 en orden ascendente de izquierda a derecha, con el fin de subdividir el eje “x” en tres intervalos abiertos. Esto forma la línea superior de la tabla. Directamente debajo de la línea superior se determinaron los signos de (x + 4) y (x – 1) en los tres sub intervalos, estos signos se obtiene reemplazando algunos valores que pertenece al intervalo.

(x + 4) (x – 1) f(x)= (x+4)(x–1)

< −∞; −4 > < −4; 1 > + + FIGURA 4.2

< 1; ∞ > + + +

Ahora se obtiene el reglón inferior tomando, para cada componente, el producto de las entradas previas. Por lo tanto en el primer intervalo se tiene que (–)(–)=+; además en el segundo intervalo es (+)(–)=–; mientras que en el tercer intervalo se tiene 26

(+)(+)=+. Los diagramas de signos de este tipo son útiles siempre que la función continua se pueda expresar como un producto de varias funciones continuas más simples, cada una de las cuales tiene un diagrama de signos simple. EJERCICIOS RESUELTOS EJEMPLO 01: Resuelva la siguiente desigualdad: x2  3x  10  0 Resolución: Sea la función f(x)= x2  3x  10 , entonces f(x) es una función cuadrática por lo tanto es continua en todos los intervalos. Para encontrar las raíces reales de f(x) igualamos a cero, se tiene: x2  3x  10 =0

 x  2  x  5  0.

Aplicando la propiedad Si: a. b = 0 entonces a = 0  b = 0 x = -2 x=5 Las raíces -2 y 5 determinan tres intervalos: < −∞; −2 >; < −2; 5 >; < 5; ∞ > Se construye un diagrama de signos y se obtiene que:

(x+2) (x – 5) f(x)=(x+2)(x–5)

< −∞; −2 > +

< −2; 5 > + -

< 5; ∞ > + + +

Observando la tabla podemos concluir que la función f(x) es mayor que 0 en los intervalos de < −∞; −2 > y < 5; ∞ > EJEMPLO 02: Resuelva la siguiente desigualdad: x2  1  0 Resolución: La expresión (𝑥 2 + 1) siempre es positiva, de modo que x2  1  0 no tiene solución, lo cual significa que el conjunto de soluciones es

 , el conjunto vacío.

EJEMPLO 03: Resuelva la siguiente desigualdad:

x2  4x  5 0 x2  3x  2

Resolución: Primero encontraremos los puntos críticos y para ello vamos a factorizar el numerador y denominador de la función racional, mediante la técnica de aspa simple, y se tiene que:

27

x2  4x  5 0 x2  3x  2 (x  5)(x  1) 0 (x  2)(x  1) x  5 x 1 x  2 x  1 Evaluamos mediante una tabla la función racional. (x + 5) (x – 1) (x + 2) (x + 1) f(x)

< −∞; −5 > +

< −5; −2 > + -

< −2; −1 > + + +

< −1; 1 > + + + -

< 1; ∞ > + + + + +

Por lo tanto, como la función racional es menor o igual a cero, el intervalo de solución es < −5; −2 > y < −1; 1 > EJEMPLO 04: Ingresos. Suponga que los consumidores compran “q” unidades de un producto cuando el precio de cada unidad es de (28 – 0,2q) ¿Cuántas unidades deben venderse para que el ingreso sea al menos de 750 soles? Resolución: Se sabe que el ingreso es igual al producto de la cantidad y el precio unitario.

q(28  0,2q)  750 28q  0,2q2  750 0,2q2  28q  750  0 q  36, 09 q  103, 91 Reemplazamos algunos valores en los tres intervalos generados por los dos puntos críticos o raíces de la ecuación cuadrática, para establecer el signo de la función y buscar el intervalo donde será menores o iguales a cero.

2

0,2q  28q  750

< −∞; 36,09 >

< 36,09; 103,91 >

< 103,91; ∞ >

+

-

+

Por lo tanto el intervalo de solución es < 36,09; 103,91 > ; pero como mínimo se debe vender 37 unidades para tener un ingreso superior a 750 soles.

28

ACTIVIDAD N° 04: CONTINUIDAD APLICADA A LAS DESIGUALDADES 01.

Resuelva la desigualdad 15  2x  x2  0

02.

Ingresos. Suponga que los consumidores compran “q” unidades de un producto cuando el precio de cada unidad es de (28 – 0,2q) ¿Cuántas unidades deben venderse para que el ingreso sea al menos de 700 soles?

03.

Temperatura. Las especificaciones para realizar unas pruebas a una muestra de campo es que debe ser mantenida entre el 34ºF y 60ºF. ¿Cuál es el rango 5(𝐹−32) de temperatura en centígrado que la muestra debe ser mantenida? 𝐶 = 9

04.

Utilidades. Un fabricante de un cierto artículo puede vender todo lo que produce a un precio de 50 soles cada uno. Si existe mensualmente unos gastos fijos de 10000 soles y el costo de fabricación por artículo es de 30 soles. ¿Cuantos artículos debería producir y vender con el fin de obtener utilidades de al menos 150 000 soles al mes?

05.

Ingreso. Una compañía de teléfonos ofrece dos planes para llamadas nacionales donde el valor del minuto es de 50 soles. El primer plan vale 13 000 soles al mes más el valor de los minutos consumidos. El segundo plan vale 26 000 soles al mes y le rebaja un 25% al valor de los minutos consumidos ¿A qué tipo de clientes le conviene el segundo plan?

29

GLOSARIO DE LA UNIDAD I Para el presente glosario se toma como referencia la siguiente pagina: http://www.aprendematematicas.org.mx/obras/DICM.pdf 1. Continuidad. Se dice que una función f(x) es continua en un intervalo dado [a, b] si toma todos los valores entre f(a) y f(b) y se puede dibujar en ese intervalo sin despegar la punta del lápiz del papel sobre el cual se le dibuja. En la siguiente figura, la función y = f(x) es continua en el intervalo [a, b]:

Formalmente, se dice que una función y = f(x) es continua en el punto x = a, si el límite de la función cuando “x” tiende a “a” es igual al valor de la función evaluada en x = a. 2. Desigualdad. Una desigualdad es una relación matemática que compara el valor de dos números o expresiones algebraicas (del tipo mayor o menor). Por ejemplo, 2 < 5 es una desigualdad. Algunas veces es conveniente indicar que un número debe ser mayor o igual, o bien que es menor o igual. Las desigualdades usan la siguiente notación: Desigualdad > < ≥ ≤

Significado mayor que menor que mayor o igual que menor o igual que

Decimos que a es mayor que b, si la diferencia (a – b) es positiva. Si la diferencia es negativa, entonces decimos que a es menor que b. Evidentemente, si la diferencia es cero, entonces, a = b. 3. Discontinuidad. Se dice que una función es discontinua en un punto de su dominio cuando no es continua en él. Por ejemplo, la siguiente figura muestra una función que presenta una discontınuidad en el intervalo [a, b]:

La función no es continua porque no se le puede dibujar sin despegar la punta del lápiz del papel sobre el cual se le dibuja.

30

4. Función utilidad. Asigna un valor numérico a cada cesta de bienes de manera consistente con las preferencias del consumidor; es decir, si una cesta A es preferida (o indiferente) a otra cesta B, entonces el número que asigna a A es mayor (igual) que el asignado a B. 5. Función ingreso. Los ingresos totales son el efectivo que el fabricante o el productor recibe por la venta de su producción. Relaciona a las cantidades vendidas por el precio de cada una de ellas, es decir: Ingreso total = (precio por unidad).(número de unidades vendidas) El precio algunas veces lo rige el mercado, por lo cual se pude determinar que la variable “p” estará determinada por la función de demanda en el mercado, es decir: Ingreso total = (función de demanda).(número de unidades vendidas) De la función ingreso no se puede definir si es una función creciente o decreciente, ya que la misma está relacionada con la venta de unidades. Para determinar el ingreso promedio o ingreso medio, se deberá dividir el ingreso total por la cantidad vendida. 6. Indeterminado, da. Adj. indefinida, no determinada. 7. Infinito. Intuitivamente es una expresión que indica que algo no tiene fin. Se denota con el símbolo ∞. También puede indicar que no tiene fronteras. 8. Límite (Algebra) Límite en un intervalo, los límites son los valores extremos del mismo. Por ejemplo, en el intervalo [a, b], los límites son los valores a (límite inferior) y b (límite superior). (Análisis) El límite de la función f cuando la variable independiente tiende a un valor constante k se denota por: lim 𝑓(𝑥) = 𝑀 y M representa el valor al cual se acerca 𝑛→𝑘

conforme los valores de x se aproximan más al valor k, en caso de que el límite exista.

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BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD I BASICA: Haeussler, E., Paul, R. y Wood, Ri. (2015). Matemáticas para Administración y Economía. 13. México: Pearson Educación. UC 519 H14 2015 COMPLEMENTARIA: Budnick, F. (2007). Matemáticas aplicadas para administración, economía y ciencias sociales. (4ta. Ed.). México: McGraw-Hill. ISBN: 970-10-5698-1. Demana, Franklin, y otros. (2007). Precálculo: Gráfico, Numérico, Algebraico. (7ma. ed.). México: Pearson. ISBN: 9702610168. Larson, R. y Edwards, B. (2010). Cálculo 1 de una variable. 9na. Ed.) México: McGraw-Hill. ISBN: 978-607-15-0273-5. Stewart, J., Redlin, Lothar y Watson, Saleem. (2007). Pre cálculo: matemáticas para el cálculo. Quinta. México: Cengage Learning Editores, S.A. ISBN-13: 978607-481-406-4. Soo Tang Tan. (2005). Matemáticas para Administración y Economía. (3era. Ed.). México: Cencage Learning Latin america, S.A. Zill, D.G. y Wright, W. S. (2011). Cálculo Trascendentes tempranas. (4ta. Ed.). México: McGraw-Hill. ISBN 13: 978-607-15-0502-6.

32

AUTOEVALUACIÓN Nº 1 1. Encuentre el límite de: 𝑥 2 − 𝑥 − 12 𝑥→4 𝑥−4 c) 7 d) 8 lim

a) 5

b) 6

e) 0

2. Encuentre el límite de:

5  h 

2

lim

a) 5

b) 6

 25

h

h 0

c) 8

d) 0

e) 10

3. Función de utilidad. La función de utilidad para cierto negocio está dada por P  x   225x  3.2x2  700 . Determinar el lim P(x) , Utilice la regla acerca del líx 20.2

mite de una función polinomial. a) 2539.27 b) 2540.25 d) 2545.72 e) 2552.76

c) 2531.34

4. Población. Se pronostica que dentro de “t” años la población de cierta ciudad pequeña será:

N  40000 

50 2t  3

Determine la población a largo plazo, esto es, determine. limN t 

a) 20000 d) 40050

b) 40000 e) 0

c) 39950

5. Relación huésped-parásito. Para una relación particular huésped-parásito, se determinó que cuando la densidad del huésped (número de huésped por unidad de área) es x, el número de huéspedes parasitados en cierto periodo es:

y

900X 10  45X

Si la densidad del huésped aumenta indefinidamente, ¿a qué valor se aproximaría y? a) 20 b) 40 c) 50 d) 45 e) 0 6. Inventario. Bosqueja la gráfica de la siguiente función definida por partes:

100x  600  y  f(x)  100x  1100 100x  1600 

si: 0  x  5 si: 5  x  10 si: 10  x  15

Una función como la anterior podría describir el inventario y de una compañía en el instante x; ¿Diga en qué punto la función no es continua? a) 2 b) 4 c) 5 d) 12 e) 8 7. Encuentre los puntos de discontinuidad de:

f(x)  a) -5; 1 d) 1; 5

b) -4; 1 e) 0; -1

x2  6x  9 x2  4x  5 c) 5; 1

33

8. Encuentre los puntos de discontinuidad de la siguiente función racional:

f(x)  a) -5; 1 d) -1; 1

x2  5x  2 x2  25

b) -4; 1 e) 25; -1

c) -5; 5

9. Determinar el valor máximo entero que satisfaga la inecuación.

 x  5  x  2   x  7   0

a) -5 d) 2

b) -2 e) 7

c) 5

10. Ingresos. Suponga que los consumidores compran “q” unidades de un producto cuando el precio de cada unidad es de (28 – 0,1q) ¿Cuántas unidades deben venderse como mínimo para que el ingreso sea al menos de 800 soles? a) 33 b) 32 c) 35 d) 42 e) 70

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ANEXO Nº 1 Respuestas de la Autoevaluación de la Unidad I Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Respuesta C E A B A C A C E A

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UNIDAD II: DIFERENCIACIÓN DIAGRAMA DE ORGANIZACIÓN DE LA UNIDAD II

ORGANIZACIÓN DE LOS APRENDIZAJES Resultado de aprendizaje de la Unidad II: Al finalizar la unidad, el estudiante estará en condiciones de identificar y resolver problemas, aplicando los teoremas, las reglas, las propiedades de las derivadas y la regla de la cadena, relacionados a su carrera. CONOCIMIENTOS HABILIDADES ACTITUDES Tema N° 5: LA DERIVADA, SU INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Y REGLAS PARA LA DIFERENCIACIÓN 1. Definición 2. Ejercicios Resueltos 3. Reglas de diferenciación 4. Ejercicios resueltos Actividad N° 5 Tema N° 6: LA DERIVADA COMO UNA RAZON DE CAMBIO 1. Definición 2. Aplicaciones a la economía 3. Ejercicios Resueltos Actividad N° 6 Lectura seleccionada N° 2: “17 ECUACIONES QUE CAMBIARON EL MUNDO” DE IAN STEWART Tema N° 7: REGLA DEL PRODUCTO Y DEL COCIENTE 1. Regla del producto 2. Regla del cociente 3. Función consumo 4. Ejercicios resueltos Actividad N° 7 Tema N° 8: REGLA DE LA CADENA 1. Definición 2. Producto del ingreso marginal 3. Ejercicios resueltos Actividad N° 8 Autoevaluación de la Unidad II

● Define e interpreta la derivada de una función. ● Utiliza en forma adecuada las reglas básicas de derivación ● Aplica la derivada para ver la razón de cambio de una función ● Determina la derivada de una función aplicando los teoremas del producto y cociente de funciones ● Aplica la regla de la cadena para hallar la derivada de funciones compuestas ● Los estudiantes resuelven activamente sus actividades.


2

TEMA 05: LA DERIVADA, SU INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Y REGLAS PARA LA DIFERENCIACIÓN

Rectas tangentes a un círculo FIGURA 5.1

Según Haeussler, (2003; p.442), el problema principal del cálculo diferencial consiste en encontrar la pendiente de la recta tangente en un punto situado sobre una curva. Sabemos por geometría elemental que una recta tangente, a un círculo es una recta que interseca al círculo en un solo punto exacto (figura 5.1). Sin embargo, esta idea de una tangente no es muy útil en otras clases de curvas. Por ejemplo, en la figura 5.2 las rectas L1 y L2 intersecan a la curva en exactamente un solo punto P. Aunque L2 no se vería como la tangente

en este punto, parece natural que L1 si lo sea. En la figura 5.3 se podría considerar de manera intuitiva que L3 es la tangente en punto P, aunque L3 interseca a la curva también en otros puntos.

En los ejemplos anteriores, pueden verse que la idea de que una tangente es simplemente una línea que interseca una curva en solo un punto resulta inadecuada. Para obtener una definición conveniente de recta tangente, se utiliza el concepto de límite y la noción geométrica de una recta secante. Una recta secante es una línea que interseca una curva en dos o más puntos. Observe la gráfica en la figura 5.4 se desea definir la recta tangente en el punto P. si Q es un punto diferente sobre la curva, la línea PQ es una recta secante. Si Q se desplaza a lo largo de la curva y se acerca a P por la derecha (vea la figura 5.5), PQ1, PQ2. etc. Son rectas secantes características. Si Q se acerca a P por la derecha, PQ1, PQ2, etc., son las secantes. En ambos casos, las rectas secantes se acercan a la misma posición límite. Esta posición límite

3

común de las rectas secantes se define como la recta tangente a la curva en P esta definición parece razonable y se aplica a las curvas en general, no solo a los círculos.

Ahora que se tiene una definición conveniente de la tangente a una curva en un punto, puede definirse la pendiente de una curva en un punto. Definición: La pendiente de una curva en un punto P. Es la pendiente (en caso de que exista) de la recta tangente en el punto P. Como la tangente en P es una posición límite de las rectas secantes PQ, consideremos ahora la pendiente de la tangente como el valor límite de las pendientes de las rectas secantes conforme Q se aproxima a P. Por ejemplo, considere la curva 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 ; y las pendientes de algunas rectas secantes PQ, donde P=(1,1). Para el punto Q=(2.5;6.25), la pendiente de PQ (vea la figura 5.6) es

elevacion 6.25  1   3.5 desplazamiento 2.5  1 En la tabla 5.1 se incluyen otros puntos Q situados sobre la curva, así como las correspondientes pendientes de PQ. Observe que conforme Q se aproxima a P, las pendientes de las rectas secantes parecen aproximarse al valor 2. Entonces, puede esperarse que la pendiente de la recta tangente indicada en (1,1) sea 2. Generalizando el procedimiento. mPQ 

Tabla 5.1 Pendientes de rectas secantes a la curva P

Q

(1;1)

(2.5; 6.25)

(1;1)

(2; 4)

(1;1)

(1.5; 2.25)

(1;1)

(1.25; 1.5625)

(1;1)

(1.1; 1.21)

(1;1)

(1.01; 1.0201)

𝑓(𝑥) = 𝑥 2

Pendiente de PQ 6.25 − 1 = 3.5 2.5 − 1 4−1 =3 2−1 2.25 − 1 = 2.5 1.5 − 1 1.5625 − 1 = 2.25 1.25 − 1 1.21 − 1 = 2.1 1.1 − 1 1.0201 − 1 = 2.01 1.01 − 1 4

Para la curva y=f(x) de la figura 5.7, se encontrará un expresión para la pendiente en el punto P=(a; f(a)). Si Q=(z, f(z)), la pendiente de la recta secante PQ es: mPQ 

f(z)  f(a) za

Si le llamamos “h” a la diferencia (z – a), entonces podemos escribir “z” como (a + h). Aquí se debe tener h  0 , porque si h=0, entonces z=a y no existirá recta secante. De acuerdo con esto mPQ 

f(z)  f(a) f(a  h)  f(a)  za h

¿Cuál de estas dos formas sea la más conveniente para expresar la pendiente de la recta PQ?. Depende de la naturaleza de la función f. Conforme Q se desplaza a lo largo de la curva hacia P, “z” se aproxima a “a”. Esto significa que “h” se aproxima a cero. El valor límite de la pendiente de las rectas secantes es:

mtan  lim z a

f(z)  f(a) f(a  h)  f(a)  lim h  0 za h

De nuevo, cuál de estas dos formas sea la más conveniente- cuál de los límites es más fácil de determinar- depende de la naturaleza de la función f.

DEFINICION La derivada de una función f es la función denotada como f’ (se lee “f prima”) y definida por

f '(x)  lim z x

f(z)  f(x) f(x  h)  f(x)  lim h  0 zx h

Siempre que este límite exista. Si f’(a) puede encontrarse (quizá no todas las f’(x) puedan encontrarse), se dice que f es diferenciable en ”a” y f’(a) se la llama derivada de f en “a” o derivada de f con respecto a “x” en “a”. El proceso de encontrar la derivada se llama diferenciación. En la definición de la derivada la expresión

f(z)  f(x) f(x  h)  f(x)  zx h Donde: z = x + h, se llama cociente de diferencias. Así, f’(x) es el límite de un cociente de diferencias. 5

EJERCICIOS RESUELTOS EJEMPLO 01: Uso de la definición para encontrar la derivada de la función. Si: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , encuentre la derivada de f Resolución: Aplicaremos la definición de la derivada y se obtendrá, que:

f(x  h)  f(x) h 2 x  2xh  h2  x2 f '(x)  lim h 0 h 2xh  h2 f '(x)  lim h0 h h(2x  h) f '(x)  lim h0 h f '(x)  lim 2x  h

f '(x)  lim h 0

h0

∴ 𝑓´(𝑥) = 2𝑥 EJEMPLO 02: Determinación de una ecuación de una recta tangente Sea la función cuadrática definida como 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 2𝑥 + 3, encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el punto (1;7) Resolución: Primero determinaremos la pendiente de la recta tangente a la función, para ello calcularemos la primera derivada y luego evaluaremos cuando x=1. f '(x)  lim h 0

f '(x)  lim

f(x  h)  f(x) h 2(x  h)2  2  x  h  3  2x2  2x  3





h 2 2 2x  4xh  2h  2x  2h  3  2x2  2x  3 f '(x)  lim h0 h 2 4xh  2h  2h f '(x)  lim h 0 h f '(x)  lim  4x  2h  2  h 0

h 0

Por lo que, la primera derivada es: f '(x)  4x  2 Evaluando con x = 1, se obtiene que: Pendiente : m  f '(1)  4(1)  2  6 Por lo tanto, la pendiente es: m = 6 La ecuación de la recta en la forma punto – pendiente, es: y – y0 = m(x – x0) Reemplazando en ésta ecuación la pendiente y el punto fijo (1; 7) se obtiene: y – 7 = 6(x-1) Además, ésta ecuación de la recta tangente puede ser expresada en la forma pendiente – ordenada, como: ∴ y = 6x+1 6

REGLAS PARA LA DIFERENCIACION. Primero se mostrará que la derivada de una función constante es cero. La cual tiene pendiente nula en todo punto. Esto significa que si f(x)=c entonces f’(x)=0:

f(x  h)  f(x) h cc f '(x)  lim h 0 h 0 f '(x)  lim h 0 h f '(x)  0

f '(x)  lim h 0

REGLA BÁSICA: Derivada de una constante Si “c” es una constante, entonces

d (c)  0 dx

Ejemplos: Si: f(x) = 10, entonces

𝑑(10)

=0

𝑑(𝑥) 𝑑(−2016)

Si: f(x) = -2016, entonces

𝑑(𝑥)

=0

REGLA BÁSICA: Derivada de xa Sí “a” es cualquier número real, entonces d (x a )  ax a1 dx

Ejemplos: Si: 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 entonces

𝑑(𝑥4 ) 𝑑(𝑥)

= 4𝑥3

Si: 𝑦 = 𝑥 2016 entonces 𝑦 ′ = 2016𝑥 2015 Si: 𝑦 = 𝑥 −20 entonces 𝑦 ′ = −20𝑥 −21 Si: 𝑦 = 4𝑥 6 entonces 𝑦 ′ = 24𝑥 5 EJERCICIOS RESUELTOS EJEMPLO 01: Diferenciación de una suma de funciones 5 Diferencie la siguiente función: F(x)  3x  x

Resolución: Aquí la función F(x) ésta expresada como la suma de dos funciones simples, que son 3x5 y x . Por lo tanto, para determinar la derivada de la función F(x) bastará derivar cada función simple, así: d d F '(x)  3x5  x1/2 dx dx d d F '(x)  3 x5  x1/2 dx dx









 





7





F '(x)  3 5x 4 

 F '(x)  15x4 

1 1/2 x 2 1 2 x

EJEMPLO 02: Diferenciación de una diferencia de funciones z4 5 Diferencie la siguiente función: f(z)   1/3 4 z Resolución:

1 4 z  5z1/3 4 Luego, la función f(z) ésta expresada como la diferencia de dos funciones simples, entonces derivaremos cada función simple, así: d 1 4 d f '(z)  z  5z1/3 dz  4  dz Para aplicar la segunda regla básica, expresaremos f(z) como f(z) 





1 d 4 d 1/3 (z )  5 z 4 dz dz 1  1  f '(z)  (4z3 )  5   z4/3  4 3  



f '(z) 

f '(z)  z3 



5 4/3 z 3

∴ 𝑓 ′ (𝑧) = 𝑧 3 +

4 3

3 √𝑧 4

EJEMPLO 03: Diferenciación de una función polinomial Diferencie la siguiente función: y  6x3  2x2  7x  8 Resolución: Derivaremos cada término de la función polinomial utilizando la segunda y primera regla básica, así: d d d d y'  6x3  2x2  7x   dx (8) dx dx dx d d d d y'  6 x3  2 x2  7  x   dx (8) dx dx dx







 





 



y '  6 3x2  2 2x   7(1)  0  y '  18x2  4x  7 EJEMPLO 04: Determinación de una derivada Encuentre la derivada de f(x)  2x(x2  5x  2) y calcule f’(2) Resolución: Aplicaremos la propiedad distributiva en la función f(x) a fin de convertirla en una función polinomial y después derivaremos cada término mediante las reglas básicas, así:

8

f(x)  (2 x)(x2 )  (2 x)(5 x)  (2 x)(2) f(x)  2x3  10x2  4x

f '(x)  2(3x2 )  10(2x)  4(1)  f '(x)  6x2  20x  4 Reemplazamos x = 2 en la derivada encontrada, y se tiene que:

f '(2)  6(2)2  20(2)  4  12 EJEMPLO 05: Problema de aplicación Una compañía de venta a domicilio, ha determinado que sus beneficios anuales dependen del número de vendedores, verificando la expresión:

𝐵(𝑥) = −9𝑥 2 + 360𝑥 + 1875 Donde B(x) es el beneficio en miles de soles para x vendedores. Determinar, ¿Qué número de vendedores ha de tener la empresa para que sus beneficios sean máximos? ¿Cuál será el valor de dichos beneficios máximos? Resolución: Primero derivaremos la función B(x), así: 𝐵′(𝑥) = −18𝑥 + 360 Luego haremos que B(x) = 0, a fin de encontrar el valor de x que maximice la función. 𝐵′(𝑥) = −18𝑥 + 360 = 0 −18𝑥 + 360 = 0 𝑥 = 20 Reemplazaremos x = 20, para saber el valor de sus beneficios. 𝐵(20) = −9(20)2 + 360(20) + 1875 𝐵(20) = 5475 Por lo tanto, sus beneficios harán máximos cuando la empresa tenga 20 vendedores y éstos beneficios serán 5475 miles de soles.

9

ACTIVIDAD N° 05: LA DERIVADA, SU INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Y REGLAS PARA LA DIFERENCIACIÓN 01.

Encuentre la pendiente de la curva y  x2  4 en el punto (-2,8).

02.

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y  1  x2 que pasa por el punto (1,0).

03.

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de y  x3  2x  1 en el punto (1,0). Grafique la función y la recta tangente sobre la misma pantalla.

04.

Una compañía de venta a domicilio, ha determinado que sus beneficios anuales dependen del número de vendedores, verificando la expresión:

𝐵(𝑥) = −9𝑥 2 + 360𝑥 + 475 Donde B(x) es el beneficio en miles de soles para x vendedores. Determinar, ¿Qué número de vendedores ha de tener la empresa para que sus beneficios sean máximos? ¿Cuál será el valor de dichos beneficios máximos? 05.

Encuentre todos los puntos sobre la curva y  x2  5x  3 , en los que la pendiente es 1.

10

TEMA 06: LA DERIVADA COMO UNA RAZON DE CAMBIO Haeussler, (2003; p.459) ha dado una interpretación geométrica de la derivada como la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto. Históricamente, una aplicación importante de la derivada implica el movimiento de un objeto que viaja en línea recta. Esto proporciona una manera conveniente de interpretar la derivada como una razón de cambio. Para denotar el cambio en una variable como x, comúnmente se usa el símbolo x (Se lee “delta x”). Por ejemplo, si “x” cambia de 1 a 3, entonces el cambio en “x” es

x

=2.

El nuevo valor de (x=3) es el valor previo más el cambio, que es 1+ x de manera similar, si t se incrementa en  t , el nuevo valor es t +  t . Suponga que un objeto se desplaza a lo largo de una recta de acuerdo con la ecuación f(t)=t2 donde “s” es la posición del objeto en el tiempo “t”. Esta ecuación se llama ecuación de movimiento y f se denomina función de posición. Suponga que “t” esta es segundos y “s” en metros. En t=1, la posición es: s=f(1)=12=1 mientras que en t=3 la posición es:

s  f(3)  32  9 En este intervalo de 2 segundos el objeto tuvo un cambio de posición, o desplazamiento, de 9 – 1 = 8 metros y la velocidad promedio del objeto de define como

vprom 

desplazamiento 8  = 4 m/s longitud del int ervalo de tiempo 2

Decir que la velocidad promedio es de 4 m/s desde t=1 hasta t=3 significa que, en promedio, la posición del objeto cambia 4m hacia la derecha cada segundo durante ese intervalo de tiempo.

Duración del intervalo

Tabla 6.1 Intervalo de tiempo

t

t=1 a t=1+  t

0.1 0.07 0.05 0.03 0.01 0.001

t=1 t=1 t=1 t=1 t=1 t=1

a a a a a a

t=1.1 t=1.07 t=1.05 t=1.03 t=1.01 t=1.001

s f(1  t)  f(1)  t t 2.1 m/s 2.07 m/s 2.05 m/s 2.03 m/s 2.01 m/s 2.001 m/s

De manera más general, en el intervalo de t=1 a t=1+  t , el objeto se desplaza a partir de la posición, f (1) hasta la posición f(1+  t ). Entonces, su desplazamiento es: s  f(1  t)  f(1) Como el intervalo de tiempo tiene una duración  t , la velocidad promedio del objeto está dada por: s f(1  t)  f(1) vprom   t t 11

ds s  lim , que  t  0 dt t proporciona la explicación para la notación de Leibniz, la cual sin esta justificación podría parecer extraña. (Después de todo,  es la letra griega (mayúscula) correspondiente a d). En forma selectiva, al combinar las ecuaciones para v se tiene

EJEMPLO 01: Estimación de y mediante el uso de dy/dx dy =8 cuando x=3. dx Estime el cambio en y si x cambia de 3 a 3.5.

Suponga que y=f(x) y

Resolución: dy Se tiene =8 y x  3.5  3  0.5 dx dy y  x  8(0.5)  4 dx Se destaca que, como y  f(3.5)  f(3) , se tiene f(3.5)  f(3)  y . Por ejemplo, si f(3)=5, entonces f(3.5) puede estimarse como 5 + 4 = 9 EJEMPLO 02: Determinación de una razón de cambio Encuentre la razón de cambio de y  x4 con respecto a “x” luego evalúela cuando x=2 y cuando x=-1. Interprete los resultados. Resolución: La razón de cambio es:

dy  4x3 dx

dy  4(2)3  32 dx Esto significa que si “x” aumenta a partir de 2 en una cantidad pequeña, entonces “y” aumenta aproximadamente 32 veces esa cantidad. En forma más sencilla, se dice que cuando x=2, “y” está creciendo 32 veces más rápido que “x”.

Cuando x=2,

dy  4(1)3  4 dx El significado del signo menos en 4 es que, cuando x=-1, “y” está decreciendo a un ritmo 4 veces más rápido que el aumento de “x”.

Cuando x=-1,

APLICACIONES DE LA RAZON DE CAMBIO A LA ECONOMIA La función de costo total de un fabricante, c= f (q), proporciona el costo total de “c” de producir y comerciar “q” unidades de un producto. La razón de cambio de “c” con respecto a “q” se llama costo marginal. Así, dc cos to m arginal  dq Por ejemplo, suponga que c  f(q)  0.1q2  3 es una función de costo, donde está en soles y “q” en kilogramos. Entonces. dc  0.2q dq

El costo marginal cuando se producen 4 kilogramos es

𝑑𝑐 𝑑𝑞

, evaluando cuando q=4:

12

dc  0.2(4)  0.80 dq q4 Esto significa que si la producción se incrementa en 1 kilogramo, desde 4 hasta 5 libras, entonces el cambio en el costo es aproximadamente de $0.80. Es decir, la libra adicional cuesta así para cualquier función f de siempre se puede ver a f’(q) y f(q+1) – f(q) como aproximaciones una de la otra. En economía, este último puede verse como el valor exacto del costo (o de la utilidad, dependiendo de la función) del (q+1) – enésimo articulo cuando se produce q. Con frecuencia la derivada es más fácil de calcular que el valor exacto. En el caso estudiado aquí, el costo real de producir una libra después de 4 kilogramos es f(5)  f(4)  5.5  4.6  0.90 soles . Si “c” es el costo total de producir “q” unidades de un producto, entonces el costo promedio por unidad c es c c q Por ejemplo, si el costo total de 29 unidades es de 100 soles, entonces el costo 100  $5 . promedio por unidad es c  20 EJEMPLO 01: Ingreso marginal Suponga que un fabricante vende un producto a $2 por unidad. Si se vende “q” unidades, el ingreso total está dado por r=2q La función de ingreso marginal es dr d  (2q)  2 dq dq Que es una función constante. Entonces, el ingreso marginal es igual a 2 sin importar el número de unidades vendidas. Esto es lo que se esperaría, puesto que el fabricante recibe $2 por cada unidad vendida. EJEMPLO 02: Razones de cambio relativa y porcentual Determine las razones de cambio relativa y porcentual de: y  f(x)  3x2  5x  25 , cuando x=5. Resolución: Calculando la derivada de la función se tiene que: f '(x)  6x  5 Reemplazamos x = 5 en la función y en la derivada y se obtiene que:

f(5)  3(5)2  5(5)  25  75 f´(5)  6(5)  5  25 La razón de cambio relativa de “y” cuando x=5 es f '(5) 25   0.333 f(5) 75 Al multiplicar 0.333 por 100% se obtiene la razón de cambio porcentual: (0.333)(100%)=33.3%

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ACTIVIDAD N° 06: LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO 01.

Si: y  f(x)  2x  5 encuentre la razón de cambio promedio de “y” con respecto a “x” en el intervalo 3;3  x , donde  x está dado en la tabla siguiente:

x

1

0.5

0.2

0.1

0.01

0.001

y / x

Con base en sus resultados, estime la razón de cambio de “y” con respecto a “x” cuando x=3 02.

Fábrica de calcetas. La función de costo total de una fábrica de calcetas es estimada por un fabricante como c  10484.69  6.750q  0.000328q2 donde “q” es la producción en docenas de pares y “c” el costo total. Encuentre la función de costo marginal y evalúe cuando q=2000.

03.

Depreciación. Según el método de depreciación lineal, el valor “V” de cierta máquina después de “t” años está dada por V=120000 – 15500t, donde 0  t  6 ¿qué tan rápido cambia “V” con respecto a “t” cuando t=2? ¿En cualquier momento?

04.

Función de costo. Para la función de costo c  0.3q2  3.5q  9 . ¿Qué tan rápido cambia “c” con respecto a “q” cuando q=10?. Determine la razón de cambio porcentual de “c” con respecto a “q” cuando q =10.

05.

Costo. Un fabricante de bicicletas de montaña determinó que cuando se producen 20 bicicletas por día, el costo promedio es de $200 y el costo marginal de $150. Con base en esta información determine el costo total en producir 21 bicicletas por día.

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LECTURA SELECCIONADA N° 2 “17 ECUACIONES QUE CAMBIARON EL MUNDO” DE IAN STEWART El progreso humano contado a través de 17 ecuaciones explicadas en un libro de lectura apasionante. – Claudi Alsina La alarma suena, miras el reloj, son las 6:30 am, ni siquiera te has levantado de la cama, y ya hay por lo menos seis ecuaciones matemáticas que están influenciando tu vida. El chip de memoria que almacena la hora de tu reloj no podría haber sido elaborado sin una ecuación clave de la mecánica cuántica. Su tiempo ha sido establecido por una señal de radio que nunca habrías soñado inventar si no fuera por las cuatro ecuaciones del electromagnetismo de James Clerk Maxwell. Y la misma señal viaja según lo que se conoce como la ecuación de onda. “Las ecuaciones, esos conjuntos de números y símbolos separados por el signo igual, son el alma de las matemáticas, la ciencia y la tecnología. Sin ellas, nuestro mundo no existiría en su forma actual: escondidas para muchos, han constituido una fuerza motriz en la civilización humana durante miles de años, abriendo nuevas perspectivas en campos tan variados como las comunicaciones, la tecnología espacial o la física nuclear. Que así es, es algo que se encarga de demostrar, con su maestría habitual, el distinguido matemático y reputado divulgador Ian Stewart. Para ello ha seleccionado 17 ecuaciones, pertenecientes a dos grupos diferentes. Uno es el de las ecuaciones que revelan regularidades matemáticas, como el teorema de Pitágoras, que nos dice cómo están relacionados los tres lados de un triángulo rectángulo, mientras que el otro es el de las ecuaciones que expresan leyes de la naturaleza, como la ley de gravitación universal de Newton, las ecuaciones del electromagnetismo de Maxwell, la ecuación de Schrödinger de la mecánica cuántica, o la ecuación desarrollada por Claude Shannon que define cuánta información contiene un mensaje.” El libro es, para una persona medianamente preparada, fácilmente digerible. Al principio de cada uno de los capítulos el autor se hace tres preguntas en relación a las ecuaciones que luego responderá: Primera, ¿Que nos dice?; segunda, ¿Por qué es importante?; y tercera, ¿Que provocó? Luego analiza cada una de las 17 ecuaciones: El teorema de Pitágoras, porque conectó el álgebra y la geometría. La suma de logaritmos, porque permitió simplificar operaciones muy complejas

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El teorema fundamental del cálculo, porque todas las matemáticas de la física reposan sobre él. La teoría de la gravitación de Newton, porque unificó en una sola ecuación fenómenos en apariencia tan diferentes como la caída de una manzana y las órbitas de los planetas. El cuadrado de la unidad imaginaria, porque el análisis complejo es esencial para resolver muchos problemas. La fórmula de Euler para los poliedros, porque representa el nacimiento de la topología. La distribución Gaussiana, uno de los pilares de la estadística. La ecuación de onda, porque unifica fenómenos tan dispares como la luz, el sonido o los terremotos. La transformada de Fourier, esencial en el tratamiento de señales. La ecuación de Navier-Stokes, la base de la aerodinámica y la hidrodinámica. Las ecuaciones de Maxwell, que describen el electromagnetismo. La segunda ley de la termodinámica y el incremento de la entropía. La identidad masa-energía de Einstein, que unifica masa y energía. La ecuación de Schrödinger, que describe la evolución de un sistema cuántico La entropía de la información de Shannon, que describe el límite hasta el que se puede comprimir la información. El modelo logístico, quizás el sistema más simple donde aparece el caos. El modelo de Black-Scholes, que se utiliza en banca para calcular el precio de productos financieros derivados. Y un capítulo al final muy interesante titulado ¿qué es lo próximo? A los curiosos de la ciencia les recomiendo este libro, pues estoy seguro que no le defraudará.

Fuente: https://laslecturasdeguillermo.wordpress.com/2013/03/13/17-ecuaciones-quecambiaron-el-mundo-de-ian-stewart/

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TEMA 07: REGLA DEL PRODUCTO Y DEL COCIENTE La ecuación F(x)  (x2  3x)(4x  5) expresa F(x) como un producto de dos funciones (x2  3x) y (4x  5) Para encontrar F '(x) usando sólo las reglas previas, se multiplican primero las funciones. Después se diferencia el resultado término por término:

F(x)  (x2  3x)(4x  5)  4x3  17x2  15x

F '(x)  12x2  34x  15 Sin embargo, en muchos problemas que implican diferenciar un producto de funciones, la multiplicación no es un proceso sencillo como en este caso. En ocasiones, ni siquiera resulta práctico intentarlo. Por fortuna, existe una regla para diferenciar un producto que evita tener que efectuar tales multiplicaciones. REGLA DEL PRODUCTO Si f y g son funciones diferenciables, entonces el producto f.g es diferenciable y d  f(x).g(x)  f '(x).g(x)  f(x).g'(x) dx 

Algunas veces se presenta de la siguiente forma: Si:

𝒚 = 𝐮. 𝐯

entonces

𝒚′ = 𝐮′ . 𝐯 + 𝐮. 𝐯′

Dicho de otro modo, seria: d (producto)  (derivada de laprimera)(segunda)  (primera)(derivada de la segunda) dx

Demostración Si: F(x)=f(x).g(x), entonces, por la definición de la derivada de F,

F '(x)  lim h0

F(x  h)  F(x) f(x  h).g(x  h)  f(x).g(x)  lim h  0 h h

Ahora se emplea un artificio. Sumando y restando f(x).g(x + h) en el numerador, se tiene f(x  h).g(x  h)  f(x).g(x)  f(x).g(x  h)  f(x).g(x  h) F '(x)  lim h 0 h Reagrupando se obtiene

f(x  h).g(x  h)  f(x).g(x  h)  f(x).g(x  h)  f(x).g(x) h f(x  h)  f(x) .g(x  h)  f(x). g(x  h)  g(x) F '(x)  lim h0 h f(x). g(x  h)  g(x) f(x  h)  f(x) .g(x  h) F '(x)  lim  lim h0 h0 h h f(x  h)  f(x) g(x  h)  g(x)) F '(x)  lim lim g(x  h)  lim f(x)lim h0 h0 h0 h0 h h

F '(x)  lim h 0

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Como se ha supuesto que f y g son diferenciables,

lim h0

f(x  h)  f(x)  f '(x) h

lim

y

h0

g(x  h)  g(x)  g'(x) h

La diferenciabilidad de g implica que g es continua, por lo que, limg(x  h)  g(x) h0

Entonces queda demostrada que: F '(x)  f '(x)g(x)  f(x)g'(x)

EJEMPLO 01: Aplicación de la regla del producto





Si: F(x)  x2  3x  4x  5 , encuentre F’(x) Resolución: Se considera a F como un producto de dos funciones:





F(x)  x2  3x  4x  5 f(x)

g(x)

Por lo tanto, es posible aplicar la regla del producto: F '(x)  f '(x)g(x)  f(x)g'(x) F '(x) 

d x2  3x (4x  5)  (x2  3x) dx segunda primera



d  4x  5 dx



derivada de la primera



Derivada de la segunda



F '(x)  2x  3  4x  5  x2  3x (4)  F '(x)  12x2  34x  15

De manera alternativa, se podría haber encontrado la derivada sin la regla del pro-





ducto al determinar primero el producto x2  3x  4x  5 para después diferenciar el resultado término por término, y se tiene que:





F(x)  x2  3x  4x  5 3

F(x)  4x  17x2  15x

Aplicando la regla básica de las derivadas a funciones polinomiales se tiene que:  F '(x)  12x2  34x  15

Como podemos observar llegamos al mismo resultado.

18

EJEMPLO 02: Aplicaciones de la regla del producto Si: y  (x2/3  3)(x1/3  5x) , encuentre

𝑑𝑦 𝑑𝑥

Resolución: Al aplicar la regla del producto se obtiene. dy d d  (x2/3  3)(x 1/3  5x)  (x2/3  3) (x 1/3  5x) dx dx dx

dy  2 1/3  1/3  1 4/3   x (x  5x)  (x2/3  3)  x  5  dx  3   3 



dy 25 2/3 1 2/3  x  x  x 4/3  15 dx 3 3

REGLA DEL COCIENTE Si f y g son funciones diferenciables, entonces:

d  f(x)  f '(x).g(x)  f(x).g'(x)  2 dx  g(x)  g(x) Algunas veces, se presenta de la siguiente forma: Si:𝒚

𝒖

𝒚′ =

entonces

=𝒗

𝒖′ .𝒗−𝒖.𝒗′ 𝒗𝟐

Dicho de otro modo, sería: d N (derivada de N)(D)  (N)(derivada de D) ( ) dx D (D)2 EJEMPLO 01: Aplicación de la regla del cociente

x f(x) 

2

Si:

 3x

 , encuentre f’(x)

 4x  5

Resolución: La función f(x)=y, tiene la forma de un cociente, entonces: PROPIEDAD: Si:𝑦 Si: 𝑢 = 𝑥 2 + 3𝑥 Si: 𝑣 = 4𝑥 + 5

=

𝑢 𝑣

entonces

𝑦′ =

𝑢′ .𝑣−𝑢.𝑣 ′ 𝑣2

entonces 𝑢′ = 2𝑥 + 3 entonces 𝑣 ′ = 4

Reemplazando en la propiedad se tiene: (2𝑥 + 3)(4𝑥 + 5) − (𝑥 2 + 3𝑥)(4) 𝑦′ = (4𝑥 + 5)2 ∴ 𝑦′ =

4𝑥 2 + 10𝑥 + 15 (4𝑥 + 5)2

19

EJEMPLO 02: Aplicación de la regla del cociente Si:

3x y x

2

2

 , encuentre y’  5x  1  4x  1

Resolución: La función “y” tiene la forma de un cociente, entonces: PROPIEDAD: Si:𝑦

=

𝑢 𝑣

entonces

𝑦′ =

𝑢′ .𝑣−𝑢.𝑣 ′ 𝑣2

Si: 𝑢 = 3𝑥 2 − 4𝑥 + 1 entonces 𝑢′ = 6𝑥 − 4 Si: 𝑣 = 𝑥 2 + 5𝑥 − 1 entonces 𝑣 ′ = 2𝑥 + 5 Reemplazando en la propiedad se tiene: 𝑦′ =

(6𝑥 − 4)(𝑥 2 + 5𝑥 − 1) − (3𝑥 2 − 4𝑥 + 1)(2𝑥 − 5) (𝑥 2 + 5𝑥 − 1)2 ∴ 𝑦′ =

(41𝑥 2 − 40𝑥 + 9) (𝑥 2 + 5𝑥 − 1)2

FUNCIÓN DE CONSUMO Para Haeussler, (2003; p.464), una función que desempeña un papel importante en el análisis económico es la función de consumo. Esta función, C=f(I), expresa una relación entre el ingreso nacional total I, y el consumo nacional total C. Por lo general, tanto I como C se expresan en miles de millones e I se restringe a cierto intervalo. La propensión marginal al consumo se define como la razón de cambio del consumo con respecto al ingreso. Es simplemente la derivada de C con respecto a I Propensión marginal al consumo=

dC dI

Si asumimos que la diferencia entre el ingreso I y el consumo C es el ahorro S, entonces

S  IC

Al diferenciar ambos lados de la ecuación con respecto a I se obtiene dS d d dC  (I)  (C)  1  dI dI dI dI

Se define dS/dI como la propensión marginal al ahorro. Así, La propensión marginal al ahorro indica que tan rápido cambia el ahorro con respecto al ingreso, y Propensión marginal al ahorro = 1 – Propensión marginal al consumo EJEMPLO 01: Determinación de las propensiones marginales al consumo y al ahorro. Si la función de consumo está dada por: c



5 2 I3  3



I  10 Determine la propensión marginal al consumo y al ahorro cuando I=100.

20

Resolución: Calculamos la derivada por la regla del cociente: d d   3/2 3   I  10 dI 2I  3  2 I  3 dI I  10   dC  5  2 dI   I  10  

















  I  10  3I1/2  2 I3  3 (1)  dC    5 2  dI I  10       Cuando I=100, la propensión marginal al consumo es dC  1297   5   0.536 dI I100  12100 

La propensión marginal al ahorro cuando I=100 es 1 – 0.536 = 0.464. Esto significa que si un ingreso actual de $100000 millones aumenta en $1000 millones, la nación consume aproximadamente el 53.6%(536/1000) y ahorra 46.4 % (464/1000) de ese incremento. ACTIVIDAD N° 07: REGLA DEL PRODUCTO Y REGLA DEL COCIENTE 01.

Encuentre la pendiente de la curva y  (2x2  x  3)(x3  x  1) en (1,12).

02.

Función de consumo. Para Estados Unidos (1922 – 1942), la función de consumo se estima por medio de la ecuación c  0.6721  113.1 Encuentre la propensión marginal del consumo.

03.

Costo marginal. si la función de costo total de un fabricante esta dad por 6q2 c  6000 encuentre la función de costo marginal. q2

04.

Relación huésped-parásito. Para un relación particular huésped- parásito, se determinó que cuando la densidad de huésped (número de huéspedes por unidad de área) es x, el número de huéspedes que tienen parásitos es y, donde 900x y 10  45x ¿A qué razón está cambiando el número de huéspedes que tienen parásitos con respecto a la densidad de huésped cuando x=2?

05.

Negocios. El fabricante de un producto encontró que cuando se producen 20 unidades por día, el costo promedio es de 4125. ¿Cuál es la razón de cambio relativa del costo promedio con respecto a la cantidad cuando q=20?

21

SEMANA 08: REGLA DE LA CADENA La siguiente regla de la cadena, es una de las más importantes para obtener derivadas. Implica una situación en la que “y” es una función de la variable “u”; pero “u” es una función de “x” y se desea encontrar la derivada de “y” con respecto a “x”. Por ejemplo, las ecuaciones 𝑦 = 𝑢2 ; 𝑢 = 2𝑥 + 1 dy Para encontrar , bastara reemplazar la segunda ecuación en la primera y luego dx desarrollar con la propiedad de binomio al cuadrado, y se obtiene que: 𝑦 = 𝑢2 𝑦 = (2𝑥 + 1)2 𝑦 = 4𝑥 2 + 4𝑥 + 1 Luego:

dy  8x  4 dx

Por ejemplo si se hubiera tenido 𝑦 = 𝑢100 en vez de 𝑦 = 𝑢2 ni siquiera se intentaría efectuar la sustitución. Por fortuna la regla de la cadena permite manejar tales situaciones con facilidad. REGLA DE LA CADENA Si y es una función diferenciable de “u” y “u” es una función diferenciable de “x”, entonces “y” es una función diferenciable. dy dy du  . dx du dx

Se puede mostrar por qué la regla de la cadena es razonable considerando razones de cambio. Suponga y  8u  5 y u  2x  3 Si “x” cambia en una unidad. ¿Cómo cambia “u”? Para responder esta predu  2 . Pero cada cambio de una unidad en “u” gunta se deriva y se encuentra que dx dy  8 . Por lo tanto ¿Cuál es el cambio en “y” si “x” cambia hay un cambio en “y” de du dy en una unidad?; esto es ¿Qué valor tienen ? La respuesta es 8x2=16, que es dx dy dy du dy du  . . . Así . dx du dx du dx Ahora se utilizará la regla de la cadena para volver a resolver el problema planteado al principio de esta sección. Si: y  u2 ; u  2x  1 Entonces:

22

dy dy du  . dx du dx dy d 2 d  (u ). (2x  1) dx du dx dy  (2u)2 dx 

dy  4u dx

Al reemplazar u por 2x+1 se obtiene dy  4(2x  1) dx



dy  8x  4 dx

Lo cual concuerda con el resultado previo. EJERCICIOS RESUELTOS EJEMPLO 01: Uso de la regla de la cadena Si: y  2u2  3u  2;

u  x2  4 , encuentre

dy dx

Resolución: Aplicando la regla de la cadena, se obtiene que: dy dy du  . dx du dx dy d d 2  2u2  3u  2 . x 4 dx du dx dy   4u  3  2x  dx Se puede escribir la respuesta sólo en términos de x reemplazando “u” por









x2  4 . dy   4 x2  4  3 2x   dx  dy  4x2  13 2x  dx







dy  8x3  26x dx

EJEMPLO 02: Uso de la regla de la cadena dy Si: y  w y w  7  t3 , encuentre dt Resolución: Aquí, “y” es una función de “w” y “w” es una función de “t”, por lo que se puede considerar a “y” como una función de “t”. Por la regla de la cadena, dy dy dw  . dt dw dt dy d d  w . 7  t3 dt dw dt

  



23

dy  1 1/2  2  w  3t dt 2  dy 1  3t2 dt 2 w









dy 3t2  dt 2 w dy 3t2  dt 2 7  t3



EJEMPLO 03: Uso de la regla de la potencia





7

Si: y  x3  1 , encuentre y’ Resolución: Como “y” es una potencia de una función de x, es aplicable la regla de la potencia. PROPIEDAD: Dada y  ua  y '  a(u)a1.u' Realizamos la sustitución de x3  1  u;

a7

a1

y '  a(u) u' y '  7(x3  1)7 1



d x3  1 dx







6

y '  7 x3  1 (3x2 )  y'  21x2 (x3  1)6

PRODUCTO DEL INGRESO MARGINAL Haeussler, (2003; p.488) dice: Suponga que un fabricante emplea “m” personas para producir un total de “q” unidades de cierto artículo por día. Se puede pensar que “q” es una función de “m”. Si “r” es el ingreso total que el fabricante recibe al vender esas unidades, entonces “r” también puede considerarse una función de “m”. Así dr podemos ver se llama producto del ingreso marginal. dm EJEMPLO 01: Producto del ingreso marginal Un fabricante determina que m empleados producirán un total de “q” unidades de 10m2 cierto articulo por día, donde: q  . Si la ecuación de demanda para el prom2  19 ducto es

900

𝑝 = 𝑞+9, determine el producto del ingreso marginal cuando m=9

Resolución: Es necesario encontrar

dr , donde “r” es el ingreso. Observe que por la regla de la dm

cadena, dr dr dq  . dm dq dm

24

Así, se debe encontrar ingreso está dada por

dr dr dq y cuando m=9. Se comienza con . La función de dm dq dq r  pq  900  r  q q  9 900q r  q9

Por lo que, a partir de la regla del cociente, dr  q  9   900   900q(1)  2 dq q  9 dr 8100  dq  q  9 2

Para evaluar esta expresión cuando m=9, se utiliza primero la ecuación q 

10m2 m2  19

para encontrar el valor correspondiente de q: 10(9)2 q  81 92  19 De modo que dr dr 8100   1 dq m9 dq q81  81  9 2 Ahora se calcula

dq . A partir de las reglas del cociente y la potencia se tiene dm

dq d  10m2     dm dm  m2  19  1/2 d d  2  (m2  19)1/2 (10m2 )  (10m2 ) m  19   dq  dm dm = 1 dm ((m2  19)2 )2 dq Por lo que: =10.71 dm Entonces, por la regla de la cadena, esto significa que al emplear a un décimo trabajador, el ingreso aumentará en aproximadamente $10.71 por día.





25

ACTIVIDAD N° 08: REGLA DE LA CADENA





3

01.

Encuentre la pendiente de la curva y  x2  7x  8

02.

Altas de hospital. Una dependencia gubernamental de salud examinó los registros de un grupo de individuos que estuvieron hospitalizados por una enfermedad específica. Se encontró que la cantidad total de personas que fueron dada de alta al final de “t” días de hospitalización estaba dada por

en el punto (8,0).

3

 250  f(t)  1    encuentre f’(100) e interprete su respuesta.  250  t  03.

Costo marginal. Si la función de costo total para un fabricante está dada por 4q2 c  6000 . Encuentre la función de costo marginal. q2  2

04.

Salario y educación. Para cierta población, si E es el número de años de educación de una persona y S representa el salario anual promedio, entonces para E  7 s  340E2  4360E  42800 (a) ¿Qué tan rápido estará cambiando el salario con respecto a la educación cuando E=16? (b) ¿A qué nivel educativo la tasa del cambio del salario e igual a $5000 por año de educación?

05.

Economía. Suponga que pq=100 es la ecuación de demanda para el producto de un fabricante. Sea “c” el costo total y suponga que el costo marginal es 0.01 cuando q =200. Utilice la regla de la cadena para encontrar dc/dp cuando q=200.

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GLOSARIO DE LA UNIDAD II 1. Derivada En Cálculo, la derivada es la mejor aproximación lineal a una función en un punto. Por ejemplo, para la gráfica de la función y = x 2, en el punto P(1, 1) que esta sobre esta curva, la mejor aproximación lineal es la recta: y = 2 x − 1. La siguiente grafica muestra la función y su derivada en el punto P(1, 1):

La derivada de una función evaluada en un punto siempre es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto. Formalmente, la derivada se define como el siguiente límite: 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) = lim ∆𝑥→0 ∆𝑥 La derivada se interpreta como una razón de cambio instantánea con respecto a la variable independiente, es decir, la derivada nos dice cómo crece la función en un punto. 2. Función derivable. Una función y = f(x) es derivable en un punto x 0 de su dominio si la derivada de la función y’(x0) = f’(x0) está definida en ese punto. Decimos que una función es derivable en un intervalo (a, b) si es derivable en cada punto de ese intervalo. 3. Diferenciable. Una función es diferenciable en un punto o en un intervalo, si es posible calcular su derivada en ese punto o en cada uno de los puntos del intervalo considerado. 4. Ecuación de la recta. La ecuación general de la recta es: Ax + By + C = 0 La ecuación de la recta en su forma pendiente–ordenada al origen es: y = mx + b La ecuación de la recta en su forma punto–pendiente es: y − y1 = m(x − x1) La ecuación de la recta en su forma simétrica es: 𝑥 𝑦 + =1 𝑎 𝑏 La ecuación de la recta en su forma normal es: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 =0 √𝐴2 + 𝐵2 5. Logaritmo natural. Logaritmo cuya base es el número de Euler (e ≈ 2.7182818). El logaritmo natural del número “x” se denota por ln x, y se entiende que es equivalente a escribir: 𝑙𝑛𝑥 = log 𝑒 𝑥 donde e ≈ 2.718281828 6. Logaritmo vulgar. Logaritmo en base 10. El logaritmo vulgar del número “x” se denota por logx, y se entiende que es equivalente a escribir: 𝑙𝑜𝑔𝑥 = log10 𝑥 Es decir, cuando la base del

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logaritmo no se especifica, se entiende que es 10. Al logaritmo vulgar también se le conoce como logaritmo común. Por ejemplo, dado que 10000 = 10 4 𝑙𝑜𝑔1000 = log10 1000 = 4 7. Productos notables Los productos notables reciben su nombre debido a que aparecen frecuentemente en algebra; se han establecido sus reglas para no tener que calcularlos cada vez que se requiera conocer su resultado. Algunos productos notables de frecuente uso son: (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏 2 8. Punto de tangencia. Punto en el cual una recta toca tangentemente a una curva. En la siguiente figura se muestra una circunferencia y una recta tangente. El punto de tangencia es P

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BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD II BASICA: Haeussler, E.F. Jr., Paul, R.S. y Wood, R.J. (2015). Matemáticas para Administración y Economía. (13ª ed.). México: Pearson Educación. UC 519 H14 2015 COMPLEMENTARIA: Budnick, F. (2007). Matemáticas aplicadas para administración, economía y ciencias sociales. (4ta. ed.). México: McGraw-Hill. ISBN: 970-10-5698-1. Demana, Franklin, y otros. (2007). Precálculo: Gráfico, Numérico, Algebraico. (7ma. ed.). México: Pearson. ISBN: 9702610168. Larson, R. y Edwards, B. (2010). Cálculo 1 de una variable. (9na. ed.) México: McGraw-Hill. ISBN: 978-607-15-0273-5. Stewart, J., Redlin, L. y Watson, S. (2007). Pre cálculo: matemáticas para el cálculo. (5ta. ed.). México: Cengage Learning Editores, S.A. ISBN-13: 978-607481-406-4. Soo Tang Tan. (2005). Matemáticas para Administración y Economía. (3ra. ed.). México: Cencage Learning Latin America, S.A. Zill, D.G. y Wright, W. S. (2011). Cálculo Trascendentes tempranas. (4ta. ed.). México: McGraw-Hill. ISBN 13: 978-607-15-0502-6.

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AUTOEVALUACIÓN Nº 2 1. Encuentre la pendiente de la curva y  x2  4 en el punto (-1,5). a) -5

b) -6

c) -2

d) 8

e) 0

2. Encuentre la pendiente de la curva y  1  x2 en el punto (2,-3) a) -5

b) -4

c) 8

d) 0

e) 4

3. Una compañía de venta a domicilio ha determinado que sus beneficios anuales dependen del número de vendedores verificando la expresión:

𝐵(𝑥) = −9𝑥 2 + 540𝑥 + 1875 Donde B(x) es el beneficio en miles de soles para “x” vendedores. Determinar, ¿Qué número de vendedores ha de tener la empresa para que sus beneficios sean máximos? a) 20 b) 30 c) 25 d) 35 e) 40 4. Encuentre la pendiente de la curva y  (2x2  x  3)(x3  x  1) en x = 0 a) 2 d) 5

b) 4 e) 6

c) 3



5. Encuentre la pendiente de la curva y  x2  7x  1 a) -20 d) 45

b) -21 e) 0



3

en el punto (0;-1).

c) -22

6. Función de costo. El costo “c” de producir “q” unidades de un producto está dado por. c  5500  12q  0.2q2 Si el precio de p unidades está dado por la ecuación q=900 – 1.5p Utilice la regla de la cadena para encontrar la razón de cambio del costo con respecto al precio unitario cuando p=80. a) -486 b) -245 c) -435 d) -512 e) -428 7. Encuentre la pendiente de la curva y  a) 1/3 d) 1/6

b) 1/2 e) 1/5

x  2 en el punto (7,3).

c) 1/4

4 3 r , donde r es 3 el radio. En un tiempo de t segundos, el radio (en centímetros) está dado por: r  t2  t Use la regla de la cadena para encontrar dV/dt cuando t=1 a) 24𝜋 b) 12𝜋 c) 20𝜋 d) 42𝜋 e) 48𝜋

8. Biología. El volumen de una célula esférica está dado por V 

9. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y  4x2  5 cuando x=0 a) y = 5 d) y = -4

b) y = -5 e) y = -3

c) y = 4

10. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y  2x cuando x=18 a) x – 6y +18=0 d) x – 6y = 0

b) x – 6y + 36=0 e) x – 6y – 18 = 0

c) x + 6y=0

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ANEXO Nº 2 Respuestas de la Autoevaluación de la Unidad II Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Respuesta c b b a b a d e b a

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UNIDAD III: TEMAS ADICIONALES DIFERENCIACIÓN DIAGRAMA DE ORGANIZACIÓN DE LA UNIDAD III

ORGANIZACIÓN DE LOS APRENDIZAJES Resultado de aprendizaje de la Unidad III: Al finalizar la unidad, el estudiante estará en condiciones de resolver ejercicios y problemas, mediante el cálculo y la aplicación de derivadas exponenciales, logarítmicas, elasticidad de demanda, diferenciación implícita, método de newton y derivadas de orden superior relacionadas a su carrera. CONOCIMIENTOS HABILIDADES ACTITUDES Tema N° 9: DERIVADA DE LAS FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES 1. Definición 2. Ejercicios Resueltos 3. Derivada de funciones exponenciales 4. Regla de función inversa 5. Ejercicios resueltos Actividad N° 9 Tema N° 10: ELASTICIDAD DE LA DEMANDA Y DIFERENCIACIÓN IMPLÍCITA 1. Definición 2. Elasticidad e ingreso 3. Diferenciación implícita 4. Ejercicios Resueltos Actividad N° 10 Lectura seleccionada N° 3: PARADOJA DEL AHORRO Tema N° 11: DIFERENCIACION LOGARITMICA, MÉTODO DE NEWTON 1. Diferenciación logarítmica 2. Ejercicios resueltos 3. Método de Newton 4. Ejercicios resueltos Actividad N° 11 Tema N° 12: DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR 1. Definición 2. Ejercicios resueltos Actividad N° 12 Autoevaluación de la Unidad III

● Calcula la derivada de las funciones logarítmicas ● Calcula la derivada de las funciones exponenciales ● Determina la elasticidad de la demanda ● Aplica la diferenciación implícita para calcular la derivada de ecuaciones implícitas ● Encuentra la diferenciación logarítmica de una


función de la forma ● Utiliza el método de Newton para estimar la raíz que se indica de la ecuación dada ● Determina la derivada de orden superior ● Los estudiantes resuelven activamente sus actividades.

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TEMA 09: DERIVADA DE LAS FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES En la segunda unidad, hemos tratado acerca de las derivadas que pertenecen a funciones algebraicas construidas a partir de las operaciones elementales del algebra. En realidad no hemos visto acerca de las funciones logarítmicas ni las exponenciales que no se puede construir a partir de las funciones elementales. Por eso existe la necesidad de estudiar por lo menos una de ellas, de preferencia las funciones logarítmicas. A continuación explicaremos el desarrollo de la derivada de (ln x). Paso 01: lim

ln  x  h  ln x

h  x  h ln  x  Paso 02: lim  h 0 h 1 h   Paso 03: lim  .ln 1    h0 h x    h 0

Aplicando la definición de derivada

Equivalencia logarítmica 𝑙𝑛𝐴 − 𝑙𝑛𝐵 = 𝑙𝑛 Equivalencia algebraica

1 1 x  . h x h

1 x  h  Paso 04: lim  . ln 1    h0 x h x   

Regla de cadena

x /h 1 h   Paso 05: lim  .ln 1    h0  x x    

Propiedad de logaritmos 𝑛 𝑙𝑛𝐴 = 𝑙𝑛𝐴𝑛

x /h   1 h  Paso 06: lim  ln 1    x h0   x  

Propiedad de límite

1 h .ln(lim(1  )x/h h  0 x x 1 h Paso 08: .ln( lim (1  )x /h h/x 0 x x 1 Paso 09: .ln(lim(1  k)1/k k 0 x 1 Paso 10: .ln(e) x Paso 07:

Paso 11:

1 x

𝐴 𝐵

La función logarítmica es continua Equivalencia para x>0 Cambio de variable k =

h x

Propiedad de límites Propiedad ln e=1

Después de todos los pasos mostrados se concluye, que: 𝑆𝑖: 𝑦 = ln 𝑥

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

𝑦′ =

1 𝑥

Otra forma de escribir la derivada logarítmica, sería:

d 1 ln x   x dx

Para x>0

Habría que tener cuidado esta propiedad, puesto que está definida solamente por la derecha, entonces necesitamos realizar algunas operaciones para saber si cumple la propiedad cuando x es negativo, vale decir, para x<0, el ln(-x) está definida y utilizando la regla de la cadena, se tiene:

3

d 1 d 1 1 (ln(x))  (x)   , dx x dx x x para x<0 De ambas ecuaciones se puede deducir la siguiente formula:

d 1 (ln x )  , para x≠0 dx x

EJERCICIOS RESUELTOS EJEMPLO 01: Dada la función f(x)=2016(ln x). Determine la derivada de f(x) Resolución: Aquí f(x) es una función que resulta de multiplicarse la constante 2016 con la función (ln x); así que, se puede derivar utilizando la propiedad básica, pero debemos tener en cuenta que x>0: d 1 2016 f '(x)  2016 (ln x)  2016.  dx x x

 f '(x) 

2016 x

EJEMPLO 02: Dada la siguiente función y 

4 ln x . Determine la derivada de “y” x2

Resolución: Observe que la función “y” esta expresada como cociente de dos funciones algebraicas, entonces aplicaremos la regla del cociente para poder encontrar su derivada.

d d 2 (4ln x)  (4ln x) (x ) dx dx y'  (x2 )2 4 x2 ( )  (4 ln x)(2x) x y'  x4 4x  8xln x y'  x4 x2

 y' 

4(1  2ln x) x3

EJEMPLO 03: 2 Dada la función f(x)  ln 22 x . Determine la derivada de la función

x 2

Resolución: Primero necesitamos reescribir la función, luego aplicar una propiedad de logarítmicos, entonces se obtiene: 4

1/2

 2  x2  f(x)  ln  2  x 2 f(x) 

1  2  x2  ln   2  x2  2 

1 ln(2  x2 )  ln(x2  2) 2 Ahora la función se puede derivar utilizando la regla de la cadena y la derivada de una función logarítmica, así: 1 1 1  f '(x)   (2x)  2 (2x) 2 2 2  x x 1  f(x) 

x x  2 2 2x x 2 x(x2  2)  x(2  x2 ) f '(x)  (2  x2 )(x2  2)

f '(x) 

 f '(x) 

4x 4  x4

EJEMPLO 04: Dada la función f(x)  2016ln3 (2x  5) . Determine la derivada de la función. Resolución: El exponente 3 es únicamente para la función logarítmica, entonces se puede reescribir de la siguiente manera

f(x)  2016 ln3 (2x  5)  2016 ln(2x  5)

3

Para derivar podemos utilizamos el cambio de variable o la regla de la potencia, haciendo uso de la regla de la potencia se tiene: 2 d f '(x)  6048 ln(2x  5) ln(2x  5) dx 

2  1  f '(x)  6048 ln(2x  5)  (2) 2x  5  

 f '(x) 

2 12096 ln(2x  5) 2x  5

EJEMPLO 05: Dada la función y  5log(2x  1)2 , encuentre la razón de cambio de la función “y” con respecto a su variable “x”. Resolución: Podemos reescribir la función, haciendo que el exponente del argumento pasa a multiplicar al coeficiente de la función logarítmica, así: y  10log(2x  1) 5

La razón de cambio de la función es

dy . Además la base del logaritmo es 10. Por lo dx

tanto, se tiene que: dy d  10 log(2x  1) dx dx  dy d  10 ln(2x  1)    dx dx  ln10 

dy 10 1  . (2) dx ln10 2x  1 

dy 20  dx (2x  1)ln10

DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Según (Haeussler, 2015; p.545) dice: “Las funciones exponenciales no se pueden construir a partir de funciones de potencias utilizando la multiplicación por una constante, operaciones aritméticas y la composición. Sin embargo, las funciones ( bx ), para b>0 y b≠0, son inversas a las funciones ( logb x ) y si una función invertible f es diferenciable. La idea clave es que la gráfica de la inversa de una función se obtiene mediante la reflexión de la gráfica de la función original en la recta y=x. Este proceso de reflexión conserva la suavidad de modo que si la gráfica de una función invertible es suave, entonces también lo es la gráfica de su inversa”.

d d  f(f 1 (x)  (x) dx dx d 1 f (x)  1 f ' f 1 (x) dx  

d 1 1 f (x)  1 dx f '(f (x))

REGLA DE LA FUNCIÓN INVERSA Si la función f(x) es invertible y diferenciable, entonces la función inversa definida como f 1 es diferenciable, que se puede entender así: d 1 1 f (x)  dx  f '(f 1 (x))

FUNCIÓN EXPONENCIAL Suponga la función

y  e x , tomando logaritmo natural a ambos lados de la ecuación

se obtiene lny = x lne, además se sabe que lne es igual a 1, entonces otra forma de dx 1 1 x expresar y  e sería x= lny, ahora derivando esta última función se tiene   dy y ex dy multiplicando en aspa la primera con la tercera fracción se obtiene ex  , pero dx sabemos que

y  e x , entonces se concluye que: 6



d (ex )  ex dx

A veces en lugar de la variable “x” aparece una función u, entonces la función “u” es diferenciable con respeto a su variable “x”, para derivar necesitamos aplicar la regla de la cadena llegando a la siguiente conclusión: 

d du (eu )  eu dx dx

EJERCICIOS RESUELTOS EJEMPLO 01: Dada la función y  2016ex , determina la derivada de la función. Resolución: Aplicando la regla de la derivación exponencial, se tiene que: dy d  (2016ex ) dx dx dy d  2016 (ex ) dx dx 

dy  2016ex dx

EJEMPLO 02: Dada la función y 

5x , determine la derivada de la función. ex

Resolución: Aplicando la derivada por la regla del cociente, se tiene que: d d x ex (5x)  5 x (e ) dy dx dx  dx (ex )2 dy ex (5)  5 x(ex )  dx (ex )2



dy 5(1  x)  dx ex

Sin embargo se puede reescribir la función como y  5xe x y usar la regla del producto.

dy d d  e x (5x)  5x (e  x ) dx dx dx dy  e x (5)  5x(e x )(1) dx

7

dy  5e x (1  x) dx 

dy 5(1  x)  dx ex

EJEMPLO 03: 2

x

Dada la función y  2016e  e  2 ln3 , determine la derivada de la función. Resolución: Como 2016e2 y 2ln3 son funciones constantes, entonces sus derivadas son ceros y sólo se tendrá que derivar ex , luego se tiene: dy d  (2016 e2  ex  2 ln3) dx dx dy d d d  (2016 e2 )  (ex )  (2 ln3) dx dx dx dx dy  0  ex  0 dx 

dy  ex dx

2x

, determine la derivada de la función.

EJEMPLO 04: 3

Dada la función y  ex

Resolución: La función “y” tiene la forma eu donde u  x3  2x , entonces podemos aplicar la siguiente propiedad: d du (eu )  eu dx dx Reemplazando en esta propiedad, se tiene que: d x3 2x y'  (e ) dx 3 d 3 y'  ex 2x (x  2x) dx 3

y'  ex

2x

(3x2  2) 3

 y '  (3x2  2)ex

2x

EJEMPLO 05: Dada la función y  ex 1 ln(x2  1) , determine la derivada de la función Resolución: Para encontrar lo pedido tenemos que aplicar la regla del producto

8

d ex 1 ln(x2  1) dx d d x 1 y'  ex 1 ln(x2  1)  ln(x2  1) (e ) dx dx  1  2 x 1 y '  ex 1  2  (2x)  ln(x  1) e (1)  x  1

y' 

 2x   y '  ex 1  2  ln(x2  1)  x 1 

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ACTIVIDAD N° 09: DERIVADA DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES 01.

Ingreso marginal. Determine la función del ingreso marginal, si la función de 5 la demanda ésta expresada mediante p  . Donde “q” es la cantidad ln  q  2 demandada y “p” el precio en soles.

02.

Costo marginal. Una función de costo total está expresada mediante

C  5ln  q  1  12 , encuentre el costo marginal cuando q=6. Donde “q” es la 2

cantidad demandada y “c” es el costo total en soles. 03.

Costo marginal. La función de costo promedio de un fabricante está expresada 500 mediante c  . Determine la función que representa el costo marginal ln  q  20 y evalúala cuando q=50.

04.

Calcule la razón de cambio relativa y porcentual de la siguiente función: f  x   10 x  ln  8  x   0.01ex 2 Cuando x=2. Redondee su respuesta a dos decimales.

05.

Cambio en la oferta. La oferta de “q” unidades de cierto producto al precio “p” soles por unidad está expresada mediante q  27  ln(2p  1)3 . Determine la tasa de cambio de la oferta respecto al precio luego evalúala cuando p = 20.

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ELASTICIDAD DE LA DEMANDA Y DIFERENCIACIÓN IMPLÍCITA La elasticidad de la demanda según (Haeussler, 2015; p. 550) “es un medio por el cual los economistas miden como afecta su cambio en el precio de un producto la cantidad demandada. Esto es, se refiere a la respuesta del consumidor frente al cambio de precio. En términos informales, la elasticidad de la demanda es la razón del cambio porcentual en la cantidad demandada que resulta en un cambio porcentual dado en un precio:”

𝐶𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐶𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 De modo general, suponga que el precio es una función respeto de la cantidad demandada, que se denota como p=f(q). Las personas compraran “q” unidades a un precio de f(q) soles por unidad, en cambio compraran (q + h) unidades a un precio de f(q + h) soles por unidad (vea la figura 10.1). El cambio relativo y porcentual de la cantidad demandada a partir de (q + h) se expresa como:

 q  h  q .100%  h .100% q

q

...(I)

Mientras que el cambio relativo y porcentual del precio por unidad es: f  q  h  f  q f(q)

.100%

...(II)

Si dividimos la ecuación I y II se obtiene que: h f(q) f(q) p .100% h f(q) q q q q  .    f(q  h)  f(q) f '(q) dp q f(q  h)  f  q f  q  h  f  q .100% h dq f  q A este resultado se le llama elasticidad puntual de la demanda.

Según (Haeussler, 2015; p. 551) la elasticidad puntual de la demanda se define: Si p=f(q) es una función de demanda diferenciable, la elasticidad puntual de la demanda, denotada por la letra griega  (eta), en (q, p) está dada por:

p q   (q)  dp dq

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EJERCICIOS RESUELTOS EJEMPLO 01: Encuentre la elasticidad puntual de la ecuación de demanda que se expresa como q  3p2  4p  1 cuando p = 10 Resolución: A partir de la definición, se tiene que: p p dq q   dp q dp dq

...(I)

Primero calculamos la derivada de la función de demanda respeto a su precio, entonces se obtiene: dq  6p  4 dp Si el precio es 10, reemplazando en la función de demanda cantidad se obtiene que q = 261, con estos valores obtenidos, se tiene que: 10  (6p  4) 261 10  (54) 261   2, 06 Por lo tanto, se concluye que la ecuación de la demanda es elástica. EJEMPLO 02: Encuentre la elasticidad puntual de la ecuación de demanda que se expresa como q  5p2  4p  1200 cuando p = 10 Resolución: Del problema anterior, se tiene:

p dq ...(I) q dp Primero calculamos la derivada de la función de demanda respeto a su precio, entonces se obtiene: dq  10p  4 dp Si el precio es 10, reemplazando en la función de demanda cantidad se obtiene que q = 1660, con estos valores obtenidos, se tiene que: 10  (10p  4) 1660 10  (94) 1660   0,57 

Por lo tanto, se concluye que la ecuación de la demanda es inelástica.

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ELASTICIDAD E INGRESO En el campo de la economía, se puede establecer cómo afecta la elasticidad de la demanda a los cambios de la función ingreso (ingreso marginal), se sabe que p=f(q) es la función de demanda, entonces su ingreso total está expresada mediante la siguiente ecuación por: Ingreso total = pq Suponga que “r” representa el ingreso total, entonces para encontrar el ingreso mardr ginal bastará calcular y con ello se transforma a: dq  dr 1  p 1   dq  

Observamos la figura 10.2 donde muestra que, la demanda es elástica cuando   1    1 ; en cambio la demanda es inelástica, para 1    1 , pero debe ser diferente de 1, ya que se llamaría elasticidad unitaria. Podemos concluir que, el ingreso total “r” es creciente en los intervalos donde la demanda es elástica y es decreciente en los intervalos donde la demanda es inelástica. Por otro lado, cabe analizar la siguiente ecuación: dr  q(1  ) dp Si la demanda es elástica se concluye que el ingreso total (r) crece, entonces se puede afirmar que se venden más unidades de dicho producto, de lo contrario las ventas disminuyen si la demanda es inelástica. De lo expuesto se deduce, si la demanda es elástica ofreciendo a un precio menor el ingreso total del fabricante aumentará o por menos existirá un incremento considerable; mientras que si la demanda es inelástica para un precio menor el ingreso total disminuirá y por otro lado para una elasticidad unitaria ofreciendo a un precio menor no existe cambio alguno en el ingreso total.

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DIFERENCIACION IMPLÍCITA La diferenciación implícita es una técnica utilizada para diferenciar funciones que no están definidas en la forma usual como y=f(x) (ni en la forma x=g(y)) dice (Haeussler, 2015; p.555) y recomienda algunos pasos que señalaremos a continuación. Para cualquier ecuación que supuestamente define a “y” de manera implícita como dy la función diferenciable respecto de x, la derivada se puede calcular de la sidx guiente manera: 1. Se debe diferenciar ambos lados de la ecuación respecto a “x” dy 2. Agrupe todos los términos que contengan en un lado de la ecuación y los dedx más términos debe encontrarse en el otro lado. dy dy 3. Obtenga como factor común en el lado que contenga los términos dx dx dy 4. Despeje , teniendo las restricciones. dx EJERCICIOS RESUELTOS EJEMPLO 01: Dada la siguiente ecuación: y  y3  x  2016 Determine

dy por diferenciación implícita dx

Resolución: Observando la ecuación, se supone que “y” es una función implícita de variable “x” entonces para encontrar y’ es necesario seguir los cuatro pasos sugeridos: PASO 1. Diferenciar ambos lados con respecto a la variable “x” d d (y  y3  x)  (2016) dx dx d d d d (y)  (y3 )  (x)  (2016) dx dx dx dx dy dy  3y2 1  0 dx dx PASO 2. Agrupar los términos

dy en el lado izquierdo y los demás en el derecho dx dy dy  3y2 1 dx dx

dy en el lado izquierdo dx dy (1  3y2 )  1 dx dy PASO 4. Despejar dividiendo ambos lados entre 1  3y2 dx dy 1   dx 1  3y2

PASO 3. Factorizar

14

EJEMPLO 02: Dada la siguiente ecuación x3  4xy2  2016  y4 Determine

dy utilizando diferenciación implícita dx

Resolución: Como “y” no está definida de manera explícita en términos de la variable “x”, se utiliza el método de diferenciación implícita: PASO 1. Diferenciar ambos lados con respecto a la variable “x” d d (x3  4xy2  2016)  (y 4 ) dx dx d d d d (x3 )  4 (xy2 )  (2016)  (y 4 ) dx dx dx dx d dy  d  3x2  4 x (y2 )  y2 (x)  0  4y3 dx dx  dx  dy dy   3x2  4 x(2y )  y2 (1)  4y3 dx dx   dy dy 3x2  8xy  4y2  4y3 dx dx dy PASO 2. Agrupar los términos en el lado izquierdo y los demás en el derecho dx dy dy 8xy  4y3  3x2  4y2 dx dx dy PASO 3. Factorizar en el lado izquierdo dx dy (8xy  4y3 )  3x2  4y2 dx dy PASO 4. Despejar dividiendo ambos lados entre 4y3  8xy  0 dx dy 3x2  4y2  dx 8xy  4y3 

dy 3x2  4y2  dx 4y3  8xy

15

ACTIVIDAD N° 10: ELASTICIDAD DE DEMANDA Y DIFERENCIACIÓN IMPLÍCITA 01.

Ecuación de demanda. Dada la ecuación de demanda lineal p=13 – 0.05q, verifique si la demanda es elástica cuando p=10, inelástica cuando p=3 y si tiene elasticidad unitaria cuando p=6.50

02.

Ecuación de demanda. La ecuación de la demanda para cierto producto esta expresada mediante q  3000  p2 Encuentre la elasticidad puntual de la demanda cuando p=40.

03.

Pendiente. Encuentre la pendiente de la curva 4x2  9y2  1 en el punto  0, 1  3

04.

2 Ecuación de demanda. Dada la ecuación de demanda q 1  p   p , deter-





2

mine la elasticidad puntual de la demanda cuando p=9. 05.

Ingreso marginal. Un fabricante de cierto artículo puede vender actualmente 500 artículos por semana a un precio de 80 soles por unidad. Si el precio se reduce a 75 soles por unidad, podría vender 50 artículos más por semana. Determine la elasticidad puntual de la demanda para dichos artículos y también el valor actual de la función de ingresos marginal del fabricante.

16

LECTURA SELECCIONADA N° 3 PARADOJA DE LA AHORRO La paradoja de la frugalidad o del ahorro, es un fenómeno económico sucedido cuando la población incrementa su nivel de ahorro, algo que sucede en toda crisis, cuya consecuencia es la diminución del ingreso total y con ello, paradójicamente, la disminución de la capacidad de ahorro. Es decir que entre más se ahorra, menor capacidad de ahorro se tendrá. Sucede que cuando la gente incrementa su ahorro sin que haya incrementado sus ingresos, que es precisamente lo que sucede en tiempos de crisis, debe necesariamente disminuir el consumo, lo que a su vez disminuye el ingreso total de la población, y si el ingreso total se disminuye, la capacidad de ahorro también. La razón es que el ingreso de una persona sólo es posible por el consumo de otra, de suerte que si todos ahorran más y consumen menos, la suma total del ingreso disminuirá. De allí que ahorrar en tiempos de crisis, si bien es una buena idea individualmente considerada, no lo es para la sociedad en general, puesto lo único que hará será acentuar la crisis al disminuir la demanda. Supongamos una población de dos individuos: A y B. B obtiene un ingreso de 100 gracias a que A gasta 100. Si A decide ahorrar y gastar sólo 80, B sólo obtendrá un ingreso de 80. Pero resulta que los ingresos de A son los gastos de B, y como B sólo ganó 80 por el ahorro de A, A terminará ganando menos por cuenta de su propia decisión de ahorrar más. Incrementar el ahorro, así no sea en tiempos de crisis conduce necesariamente a una disminución del consumo, de la demanda, y cuando eso sucede se aumenta el desempleo y demás congéneres de este. El incremento del ahorro es posible sin dañar la economía, cuando hay también un incremento del ingreso, pero el comportamiento humano hace que se gaste más cuando más se gana y se ahorre más cuando menos se gana, es decir, exactamente lo contrario de lo que debería hacer si actuara con base a la reglas de la economía y no con base a las emociones.

Fuente: http://www.gerencie.com/paradoja-de-la-frugalidad.html

17

SEMANA 11: DIFERENCIACION LOGARITMICA, MÉTODO DE NEWTON Se sabe que la función logarítmica permite realizar transformaciones de producto a suma, de cociente a diferencia y de potenciación a multiplicación, por ese hecho la técnica de la diferenciación logarítmica es muy importante para agilizar los procesos de desarrollo. DIFERENCIACIÓN LOGARÍTMICA Para diferenciar y=f(x), dice (Haeussler, 2015; p.561) hay que seguir los siguientes procedimientos: 1. Obtenga el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación. Esto resulta en: ln y =ln f(x) 2. Simplifique ln f(x) usando las propiedades de los logaritmos. 3. Diferencie ambos lados con respecto a x. 4. Despeje

dy dx

5. Exprese la respuesta sólo en términos de x. Esto requiere sustituir f(x) por y. Recuerda que: y' d  ln f(x) . y dx 



dy d y ln f(x) dx dx 

f '(x) que resulta de diferenciar ln f(x) es lo que se f(x) conoce como tasa relativa de cambio de f(x).

Además la siguiente ecuación

EJERCICIOS RESUELTOS EJEMPLO 01:

2x  5

3

Dada la siguiente ecuación y=

x2 4 x 2  1 Determine la derivada de la función, utilizando la técnica de diferenciación logarítmica Resolución: Utilizando los pasos de la diferenciación logarítmica se tiene: PASO 1: Obtener el logaritmo natural de ambos lados

2x  5

3

ln y  ln

x2 4 x2  1

PASO 2: Simplificar mediante las propiedades de los logaritmos

ln y  ln 2x  5  ln(x2 4 x2  1) 3

lny  3ln(2x  5)  ln x2  ln(x2  1)1/4 

lny  3ln(2x  5)  2ln x 

1 ln(x2  1) 4

18

PASO 3: Diferenciar la función “y” con respecto a “x” y'  1  1 1  1   3  (2)  2  x   4  2  (2x) y 2x  5      x  1

y' 6 2 x    2 y 2x  5 x 2(x  1)

PASO 4: Despejar y’  6  2 x y'  y    2  2x  5 x 2(x  1) 

PASO 5: Sustituir la expresión inicial para “y” se obtiene y’ sólo en términos de x:  y' 

 (2x  5)3  6 2 x     2 24 2 x x  1  2x  5 x 2(x  1) 

EJEMPLO 02: x Dada la función y  x , determine su derivada usando la diferenciación logarítmica

Resolución: Utilizando los pasos de la diferenciación logarítmica se tiene: PASO 1: Obtener el logaritmo natural de ambos lados ln y  ln xx PASO 2: Simplificar mediante las propiedades de los logaritmos ln y  xln x PASO 3: Diferenciar la función “y” con respecto a “x” y'  (x ')ln x  x(ln x)' y y' 1  (1)ln x  x( ) y x y'  ln x  1 y

PASO 4: Despejar y’

y '  y ln x  1

PASO 5: Sustituir la expresión inicial para “y” se obtiene y’ sólo en términos de x:  y '  x x ln x  1

19

MÉTODO DE NEWTON Posiblemente para la mayoría de nosotros sea muy fácil resolver ecuaciones de la forma f(x)=0 cuando la función f(x) es lineal o cuadrática. Sin embargo cuando la función f(x) tiene un grado mayor que 2, puede resultar complicada e inclusive imposible de encontrar soluciones de la función f(x) utilizando los métodos conocidos. Es por esa razón que se recurre a soluciones con aproximaciones que pueden obtenerse de diferentes maneras. Una de ellas sería con el uso de la calculadora, y la otra mediante el procedimiento del método de Newton, pero para eso la función f(x) debe ser diferenciable. Para utilizar el método de Newton es necesario encontrar un valor aproximado para f(x) = 0. Una forma de encontrar este valor aproximado es realizando un bosquejo de grafica para la función y de esa manera podemos estimar una raíz a partir de la gráfica. La definición de una raíz de una ecuación, según (Haeussler, 2015; p.564) es: Si f es continua en el intervalo  a,b  y f(a) y f (b) tiene signos opuestos, entonces la ecuación f(x)=0 tiene al menos una raíz real entre a y b. Observando la figura 11.1 se nota una raíz entre a y b, entonces en esa intersección la función es igual a cero, vale decir, f(x) = 0. Tomando como referencia uno de los puntos ya sea a o b se puede aproximar y encontrar una de las raíces de la ecuación por lo menos. Muchas veces al suponer que se tiene un valor estimado para una raíz de una ecuación, podemos estar equivocados, entonces necesitamos realizar varias aproximaciones mediante el método inductivo hasta llegar a una fórmula de recurrencia. En la figura 11.2 se puede ver que f(r)=0 por lo que r sería una raíz de la ecuación f(x)=0. Observemos la figura 11.2, en ella notamos que en el punto (x1;y1 ) existe una recta tangente a la curva que interseca al eje de las abscisas en el punto ( x2 ,0) y que x2 sería una mejor aproximación que x1 . De la misma forma en el punto (x2;y2 ) existe otra ecuación de recta tangente que intersecta a la abscisa en el punto x3 , lo cual es una mejor aproximación que cualquiera de las otras dos anteriores. De esta manera se puede encontrar un valor muy cercano a “r” siempre utilizando la ecuación de la recta tangente, hasta llegar a la fórmula de recurrencia utilizada por Newton.

20

Método de Newton xn1  xn 

f(xn ) f '(xn )

n  1,2,3

Esta fórmula encontrada de manera inductiva, se llama fórmula recursiva o ecuación iterativa. EJERCICIOS RESUELTOS EJEMPLO 01: Aproxime la raíz de la siguiente ecuación x4  4x  1  0 que se encuentra en el intervalo de 0 y 1. Continúe el proceso de aproximación hasta que dos aproximaciones sucesivas difieran en menos de 0.0001. Resolución: Como la raíz de la ecuación se encuentra en el intervalo de 0 a 1, entonces primero evaluamos las imágenes de la función f(x)  x4  4x  1 , y se obtiene que:

f(0)  04  4(0)  1  1 f(1)  14  4(1)  1  2 Además observando las imágenes sus signos son diferentes, entonces es verdad que existe una raíz entre aquellos dos valores. Como la imagen de 0 es más cercana al origen de la recta que la imagen de 1, se elige a 0 como la primera aproximación, vale decir, x1  0 Al calcular la derivada de la función, se tiene que:

f '(x)  4x3  4 Además reemplazando xn en la función y en su derivada, se tiene: f(xn )  xn4  4xn  1

f '(xn )  4xn3  4 Reemplazando estas dos ecuaciones en la fórmula recursiva, se tiene que: f(xn ) xn1  xn  f '(xn )

xn1  xn 

xn1 

xn4  4xn  1 4xn3  4

4xn4  4xn  xn4  4xn  1 4xn3  4

Reduciendo la ecuación, se obtiene la fórmula recursiva de la ecuación dada. 3xn4  1 xn1  4xn3  4 Como x1  0 , reemplazamos con n=1, resulta: x2 

3x14  1 4x13  4

3(0)4  1 4(0)3  4 x2  0.25

x2 

Como x2  0.25 , reemplazando con n=2, resulta:

21

x3 

3x24  1 4x32  4

3(0.25)4  1 4(0.25)3  4 x3  0.25099

x3 

Como x3  0.25099 , reemplazando con n=3, resulta: x4 

3x34  1 4x33  4

3(0.25099)4  1 4(0.25099)3  4 x 4  0.25099

x4 

Por lo tanto, como los valores de x3 y x 4 casi ya no difieren, se puede concluir que la raíz de la ecuación dada es igual a 0.25099. EJEMPLO 02: Determine la raíz de la siguiente ecuación x3  3x  1 que se encuentra en el intervalo de -1 a -2. Continúe el proceso inductivo hasta que dos aproximaciones sucesivas difieran en menos de 0.0001. Resolución: Primero evaluamos la función con los extremos de los intervalos. f(1)  (1)3  3(1)  1  3 f(2)  (2)3  3(2)  1  1

Elegimos x1  2 porque su imagen para -2 es más cercano al punto de origen. Además, necesitamos la derivada de la función, obteniendo: f '(x)  3x2  3 Reemplazando xn en la función y su derivada se tiene:

f(xn )  xn3  3xn  1 f '(xn )  3xn3  3 Al sustituir en la ecuación fórmula recursiva general, se tiene: f(xn ) xn1  xn  f '(xn )

xn1  xn 

xn3  3xn  1 3xn2  3

Por lo tanto la fórmula recursiva para este problema es: 2xn3  1 xn1  3xn2  3 Como x1 =-2, reemplazando con n=1 resulta x2 

2x13  1 3x12  3

2(2)3  1 3(2)2  3 x2  1.8889

x2 

Como x2  1.8889 , reemplazando con n=2 resulta

22

x3 

2x32  1 3x22  3

2(1.88889)3  1 3(1.88889)2  3 x3  1.87945

x3 

Como x3  1.87945 , reemplazando con n=3 resulta x4 

2x33  1 3x23  3

2(1.87945)3  1 3(1.87945)2  3 x 4  1.87939

x4 

Por lo tanto, como los valores de x3 y x 4 difieren en 0.00006, que es menor a 0.0001, se considera que la raíz de la ecuación es -1.87939.

23

ACTIVIDAD N° 11: DIFERENCIACIÓN LOGARÍTMICA, MÉTODO DE NEWTON 01.

Ecuación de recta. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva

y   x  1  x  2   x  3 en el punto donde x=0. (Utiliza logaritmos para sim2

2

plificar las operaciones) 02.

Ecuación de demanda. La ecuación de demanda para un cierto artículo esta expresada mediante la función q  500  40p  p2 , además si el precio de 15 soles se incrementa en ½%, encuentre el cambio porcentual correspondiente a la función ingreso.

03.

Equilibrio.

Dada la ecuación de oferta expresada mediante p  2q  5 y la

ecuación de demanda expresada como p 

100 . Use el método de newton q2  1

para estimar la cantidad de equilibrio del mercado. Encuentre su respuesta con cuatro decimales de precisión. 04.

Use el método de Newton para aproximar (con cuatro decimales de precisión) x3  x2  5x  1 en el intervalo 3, 4 un valor crítico de la función f(x)  3

 

24

SEMANA 12: DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Según (Haeussler, 2015; p.568). Se sabe que la derivada de una función y=f(x) en sí misma una función, f’(x). Cuando se diferencia f’(x), la función resultante se llama segunda derivada de f con respecto a x. Esta se denota como f’’(x), lo cual se lee como “f doble prima de x“. De manera similar, la derivada de la segunda derivada se llama tercera derivada y se escribe f’’’(x). Continuando de esta manera, se obtiene derivadas de orden superior. En la tabla 12.1 aparece algunos de los símbolos utilizados para representarlas. Para evitar notaciones confusas, las primas no se usan para derivadas de orden superior al tercero. Tabla 12.1 Primera derivada

y'

f’(x)

dy dx

d (f(x)) dx

Dx y

Segunda derivada

y ''

f’’(x)

d2y dx2

d2 (f(x)) dx2

D2x y

Tercera derivada

y '''

f’’’(x)

d3y dx3

d3 (f(x)) dx3

D3x y

Cuarta derivada

y4

f 4 (x)

d4y dx 4

d4 (f(x)) dx 4

D4 xy

EJERCICIOS RESUELTOS EJEMPLO 01: Dada la siguiente función polinomial f(x)  6x3  12x2  6x  2 Determine todas sus derivadas de orden superior. Resolución: Su primera derivada de la función es: f '(x)  18x2  24x  6 La segunda derivada es: f ''(x)  36x  24 Mientras que la tercera derivada es: f '''(x)  36 Finalmente, f (4)  0 A partir de la cuarta derivada, siempre el valor de la derivada será 0. EJEMPLO 02: Dada la siguiente función y  e

x2

Determine la segunda derivada de la función dada, vale decir,

d2 y dx2

Resolución: Calculando la primera derivada, se tiene: 2 dy  ex (2x) dx



2 dy  2xex dx

Utilizamos la regla del producto para calcular la segunda derivada 25

2 2 d2 y  2 x(ex )(2x)  ex (1) 2   dx



2 d2 y  2ex (2x2  1) 2 dx

EJEMPLO 03: Dada la siguiente función y=f(x)= Determine la segunda derivada (

16 x4

d2 y ) y evalúela cuando x=4 dx2

SOLUCIÓN: Reescribimos la función como y  16(x  4)1 , luego aplicando la regla de la potencia se obtiene la primera derivada: dy  16(x  4)2 dx Para determinar la segunda derivada se aplica la regla de la potencia y resulta. d2 y  32(x  4)3 dx2 d2 y 32  2  dx (x  4)3

Si se evalúa cuando x=4, resulta



d2y 32 1   2 3 dx (4  4) 16

26

ACTIVIDAD N°12: DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR 01.

2

Dada la siguiente ecuación implícita x gunda derivada, vale decir,

02.

 3x  y2  4y , determine la se-

d2 y y luego evalúala cuando x=0 ; y=0. dx2

Costo marginal. Sea C  0.2q2  2q  500 una función que representa el costo total de la venta de un cierto producto. ¿Que tan rápido está cambiando el costo marginal cuando la cantidad demandada es 97.357?

03.

Ingreso marginal. Sea p  400  40q  q2 una ecuación de demanda de cierto producto. ¿Que tan rápido está cambiando el ingreso marginal cuando la cantidad demandada es 4?

04.

Dada la siguiente función polinomial f(x)  x4  6x2  5x  6 , determine los valores de “x” para los cuales f ''(x)  0

05.

x5 x4 5x3 x2    . Determine la segunda derivada de 20 12 6 2 dicha función. Luego use su calculadora para encontrar todas las raíces reales de f’’(x)=0. Redondee sus respuestas a cuatro decimales. Dada la función f(x) 

27

GLOSARIO DE LA UNIDAD III 1. Costo marginal. Es el incremento del costo total al aumentar una unidad la cantidad producida. 2. Demanda. Es la relación entre el precio de un bien y la cantidad demandada de ese bien. 3. Demanda elástica (inelástica) Es aquella en la que la variación porcentual de la cantidad demandada es mayor (menor) que la variación porcentual en el precio. El valor de la elasticidad precio es mayor (menor) que 1. La inelasticidad en la cantidad demanda de un bien frente a variaciones de su precio es un indicador de su necesidad y/o de la falta de bienes sustitutivos. 4. Elasticidad Mide el grado de respuesta de una variable a los cambios de otra. Así la elasticidad precio de la demanda mide las variaciones porcentuales de la cantidad demandada ante un cambio porcentual en el precio de la mercancía demandada. La elasticidad de oferta registra los cambios porcentuales de la cantidad ofrecida de una mercancía ante una variación porcentual de los precios. La elasticidad cruzada de la demanda mide el incremento o reducción porcentual en la demanda de un bien cuando se produce un cambio porcentual en el precio de otra. La demanda y la oferta se consideran perfectamente elásticas cuando un cambio porcentual en el precio de un bien da origen a un cambio infinitamente grande en la cantidad demandada u ofrecida; si el cambio es más que proporcional, se habla de una demanda u oferta elásticas. En el caso de que un cambio en el precio dé origen a un cambio en las otras magnitudes exactamente en la misma proporción, se habla entonces de elasticidad unitaria: ello ocurre cuando un aumento de un 5% en el precio, por ejemplo, reduce la cantidad demandada en la misma proporción, es decir en un 5%. Del mismo modo se habla de oferta o demanda inelásticas cuando los cambios en las mismas son menos que proporcionales, o perfectamente inelásticas, cuando al cambiar el precio la variación en la cantidad resulta nula. 5. Elasticidad precio de la demanda Es la variación porcentual de la cantidad demandada ante cambios porcentuales en el precio. Medida de la sensibilidad de la cantidad demandada ante cambios en el precio. 6. Elasticidad precio de la oferta Es la variación porcentual de la cantidad ofrecida ante cambios porcentuales en el precio, o lo que es lo mismo, medida de la sensibilidad de la cantidad ofrecida ante cambios en el precio. 7. Ley de la demanda Es la relación inversa entre el precio de un bien y la cantidad demandada de ese bien, ceteris paribus. Esto es, cuando sube el precio de un bien, disminuye la cantidad demandada de ese bien. 8. Utilidad marginal Es el incremento de la utilidad total de un consumidor debido al consumo de una unidad adicional de bien.

28

BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD III Haeussler, E.F. Jr., Paul, R.S. y Wood, R.J. (2015). Matemáticas para Administración y Economía. (13ª ed.). México: Pearson Educación. UC 519 H14 2015 Budnick, F. (2007). Matemáticas aplicadas para administración, economía y ciencias sociales. (4ta. Ed.). México: McGraw-Hill. ISBN: 970-10-5698-1. Demana, Franklin, y otros. (2007). Precálculo: Gráfico, Numérico, Algebraico. (7ma. ed.). México: Pearson. ISBN: 9702610168. Larson, R. y Edwards, B. (2010). Cálculo 1 de una variable. (9na. ed.). México: McGraw-Hill. ISBN: 978-607-15-0273-5. Stewart, J., Redlin, Lothar y Watson, Saleem. (2007). Pre cálculo: matemáticas para el cálculo. (5ta. ed.). México: Cengage Learning Editores, S.A. ISBN-13: 978607-481-406-4. Soo Tang Tan. (2005). Matemáticas para Administración y Economía. (3ra. ed.). México: Cencage Learning Latin america, S.A. Zill, D.G. y Wright, W. S. (2011). Cálculo Trascendentes tempranas. (4ta. ed.). México: McGraw-Hill. ISBN 13: 978-607-15-0502-6.

29

AUTOEVALUACIÓN Nº 3





1. Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva y  ln x2  3x  3 cuando x=4 a) 5

b) 6

c) -2

d) 8

e) 0

2. Costo marginal. Una función de costo total está dada por c  21ln  q  1  2016 encuentre el costo marginal cuando q=6 a) 3 b) 4 c) 8

d) 0

e) 7

3. Costo marginal. La función de costo promedio de un fabricante está dada por 500 Encuentre el costo marginal (redondeado a dos decimales) cuando c ln  q  20 q=50 a) 20.45 d) 35.65

b) 30.34 e) 97.90

c) 25.23

4. Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva y  x ln x  x en el punto donde x=e a) 2 d) 5

b) 4 e) 6

c) 1

5. Dada la ecuación de demanda lineal p = 13 – 0.05q, Calcule el valor de la elasticidad cuando p=15. a) -2 b) 7.5 c) 2 d) 5 e) 0.5 6. Dada la ecuación de demanda q2 1  p   p , determine la elasticidad puntual de 2

la demanda cuando p=9. a) -4/5 b) -4/3 d) -5/3 e) -4/9

c) -4/7

7. Encuentre la pendiente de la curva  x2  y2   4y2 en el punto (0,2). 2

a) 1 d) 0

b) 2 e) 5

c) 4

x 8. Encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y  x cuando x=1.

a) 2 d) 4

b) 1 e) 5

c) 3

9. Si: f(x)  x4  6x2  5x  6 , determine los valores de x para los cuales f ''(x)  0 a) -1; 1 d) -4; 4

b) -2; 2 e) -5; 5

c) -3; 3

10. Ingreso marginal si p  400  40q  q2 es una ecuación de demanda, ¿Que tan rápido está cambiando el ingreso marginal cuándo q=4? a) 20% b) 32% c) 8% d) 15% e) 10%

30

ANEXO Nº 3 Respuestas de la Autoevaluación de la Unidad III Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Respuesta a a e c b b d b a c

31

UNIDAD IV: TRAZADO DE CURVAS DIAGRAMA DE ORGANIZACIÓN DE LA UNIDAD IV

ORGANIZACIÓN DE LOS APRENDIZAJES Resultado de aprendizaje de la Unidad IV: Al finalizar la unidad, el estudiante estará en condiciones de resolver ejercicios y problemas, formulando el modelo matemático de la función cuando es creciente o decreciente, determinando valores críticos, localizando máximos y mínimos relativos, estableciendo la prueba de la primera derivada, relacionados a su carrera. CONOCIMIENTOS HABILIDADES ACTITUDES Tema N° 13: EXTREMOS RELATIVOS, EXTREMOS ABSOLUTOS EN UN INTERVALO CERRADO 1. Definición 2. Extremos relativos 3. Ejercicios Resueltos 4. Extremos absolutos 5. Ejercicios resueltos Actividad N° 13 Tema N° 14: CONCAVIDAD 1. Definición 2. Puntos de inflexión 3. Ejercicios Resueltos Actividad N° 14 Lectura seleccionada N° 4: LA CURVA DE LAFFER Tema N° 15: PRUEBA DE LA SEGUNDA DERIVADA 1. Definición 2. Asíntota vertical 3. Asíntota horizontal 4. Ejercicios resueltos Actividad N° 15 Tema N° 16: APLICACIÓN DE MAXIMOS Y MINIMOS 1. Definición 2. Ejercicios resueltos Actividad N° 16 Autoevaluación de la Unidad IV

● Determina los extremos relativos de una función ● Encuentra los valores extremos en un intervalo cerrado ● Determina la concavidad en los que se presentan los puntos de inflexión ● Localiza extremos relativos mediante aplicación de la prueba de la segunda derivada ● Modela situaciones que Involucran la maximización o minimización de cantidades. ● Modela situaciones que involucran problemas de optimización. ● Los estudiantes resuelven activamente sus actividades.


2

TEMA 13: EXTREMOS RELATIVOS, EXTREMOS ABSOLUTOS EN UN INTERVALO CERRADO NATURALEZA CRECIENTE O DECRECIENTE DE UNA FUNCION (Haeussler, 2015; p.577) dice: “El análisis del comportamiento grafico de las funciones es una parte básica de las matemáticas y tiene aplicaciones en muchas áreas de estudio. Cuando se hace el bosquejo de una curva. Si solo se colocan puntos quizás no se obtenga información suficiente acerca de su forma. Por ejemplo, los 3 puntos (-1,0), (0,-1) y (1,0) satisfacen la función dada por (x  1)  x  1 Con base en estos puntos, podría concluirse a la ligera que la gráfica debe tener la forma que se muestra en la figura 13.1; pero de hecho, la forma verdadera es la que se ilustra en la figura 13.2. En este capítulo se explorara la gran utilidad de la diferenciación en el análisis de una función de manera que se pueda determinar su forma verdadera y el comportamiento de su gráfica”.

La definición de función creciente y decreciente, según (Haeussler, 2015; p.577) es: Se dice que una función f(x) es creciente en el intervalo I cuando para cualesquiera de dos números x1, x2 incluidos en I, si x1  x2 entonces f( x1 ) f( x 4 )

Observando los gráficos de las funciones se puede concluir que, f(x) es creciente en un intervalo I si la curva se eleva hacia la derecha y f(x) es decreciente en un intervalo I si la curva cae hacia la derecha.

En la figura 13.3 se nota que el intervalo I1 , las rectas tangentes en cada punto de la curva tienen pendientes positivas, por lo que la primera derivada de la función es mayor que cero para todo “x” del intervalo I1 ; mientras que en el intervalo I2 , las rectas tangentes tienen pendientes negativas, por lo que la primera derivada es menor que cero para todo “x” del intervalo I2 . Entonces, la primera derivada de la función te permite identificar los intervalos donde la función es creciente y decreciente, pero para ello se necesita calcular los puntos críticos, haciendo que la primera derivada sea igual a cero. 3

Según (Haeussler, 2015; p.578) el criterio para funciones crecientes y decrecientes es: Sea la función f(x) diferenciable en el intervalo (a, b). Si: f’(x)>0 para todo “x” en (a, b), entonces la función f(x) es creciente en (a, b). Si: f’(x)<0, para toda “x” en (a, b), entonces la función f(x) es decreciente en (a, b). EJEMPLO 1: 2 3 x 3 Determine los puntos críticos y los intervalos de crecimiento.

Dada la siguiente función y  18x 

Resolución: Para determinar los puntos críticos, la primera derivada debe ser igual a cero. y '  18  2x2

y '  2(9  x2 ) y'  2(3  x)(3  x) 2(3  x)(3  x)  0 x  3  x3 Luego, se construye una tabla, con la finalidad de observar los signos y determinar los intervalos de crecimiento.

3+x 3–x f'(x)=2(3 + x)(3 – x)

< −∞; −3 > – + –

< −3; 3 > + + +

< 3; ∞ > + – –

De la tabla, se puede concluir, que: Si “x” tiene valores menores a -3, entonces el signo de f’(x) es negativa, por lo que la función f(x) es decreciente para el intervalo < −∞; −3 >; mientras que para valores que se encuentra en el intervalo < −3; 3 > la función es creciente, ya que el signo de su primera derivada es positiva. Por último para valores mayores a 3, la función es decreciente puesto que su primera derivada es negativa. 2 3 x , se 3 puede comprobar los intervalos de crecimiento y los signos de las pendientes a lo largo de la curva. Así, la función y=f(x) es decreciente en los intervalos , 3 y 3,  y es creciente en el inter-

Utilizando la gráfica de y  18x 

valo 3,3 . Este análisis corresponde a la naturaleza creciente y decreciente de la gráfica de la función f(x) mostrada en la figura 13.4. Desde luego, la utilidad de un cuadro de signos bien construido consiste en proporcionar información para la construcción propia del gráfico de la función.

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EXTREMOS RELATIVOS Observemos la función y=f(x) en la figura 13.5. Gráfico tomado de (Haeussler, 2015; p.579) donde se puede visualizar los puntos máximos relativos y mínimos relativos.

Además (Haeussler, 2015; p.579) define lo siguiente: Una función f(x) tiene un máximo relativo en “a” si existe un intervalo abierto que

contenga a “a” sobre el cual f(a)  f(x) para toda “x” incluida en el intervalo. El valor máximo relativo es f(a). Una función f(x) tiene un mínimo relativo en “a” si existe un intervalo abierto que

contenga a “a” sobre el cual f(a)  f(x) para toda “x” incluida en el intervalo. El valor mínimo relativo es f(a). EJERCICIOS RESUELTOS EJEMPLO 01: Dada la siguiente función y  f(x) 

3

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x  2016 determine sus extremos relativos.

Resolución: La función f(x) es continua dentro del conjunto de los números reales, para conocer sus extremos relativos debemos calcular sus puntos críticos, si es que existiera, y para ello necesitamos la primera derivada de la función, entonces se tiene: 2 f '(x)  x 1/3 3 2 f '(x)  3 3 x Por lo tanto, f’(0) no existe, a pesar que la función f(x) es continua en 0, luego se concluye que la función f(x) tiene un mínimo relativo cuando x = 0 y que no existe otros extremos relativos. EJEMPLO 02: Dada la siguiente función y  f(x)  x2ex  2016 determine sus extremos relativos Resolución: Para determinar sus extremos relativos se requiere la primera derivada de la función, la cual se puede obtener con la regla del producto, y se tiene que:

f '(x)  x2ex  ex (2x) f '(x)  xex (x  2) 5

Si igualamos a cero la primera derivada obtendremos los puntos críticos. xex (x  2)  0

x0  x  2 Estos valores son necesarios para obtener el siguiente cuadro de signos. Observando el diagrama de signos elaborado a partir de los puntos críticos, se tiene la figura 13.6, de ello utilizando el criterio de cambio de signo podemos concluir que existe un máximo relativo cuando x=-2 y un mínimo relativo cuando x=0.

EXTREMOS ABSOLUTOS EN UN INTERVALO CERRADO Si f(x) es una función continua dentro de un intervalo cerrado a,b , puede encontrarse que entre todos los valores de f(x), debe haber por lo menos un valor máximo llamado máximo absoluto y un valor mínimo denominado mínimo absoluto. Por lo menos estos dos valores se llaman valores extremos de la función f(x) dentro de ese intervalo a,b . Existe una propiedad importante que se llama teorema del valor extremo, definida por (Haeussler, 2015; p.588) como: Teorema del valor extremo Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado, entonces la función tiene tanto un valor máximo como un valor mínimo en ese intervalo. Observando la figura 13.7 se nota que el gráfico de cada función es continua en el intervalo cerrado  1, 3  . Vale decir, según el teorema del valor extremo existe un punto más alto con respeto a la recta de la abscisa y otro más bajo, los cuales son los extremos absolutos dentro del intervalo indicado. Para la aplicación del teorema del valor extremo, es importante las siguientes condiciones, primero debe existir una función continua y segundo dicha función debe estar en un intervalo cerrado, caso contrario no puede aplicar el teorema del valor extremo.

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Para encontrar los extremos absolutos de una función continua f(x) que pertenece al intervalo  a,b  , se sugiere hacer los siguientes procedimientos: Paso 1: Encontrar los valores críticos de la función f(x), mediante f’(x) = 0 Paso 2: Evaluar en la función f(x) los valores críticos encontrados en el paso, además reemplazar los valores extremos del intervalo  a,b  Paso 3: El valor del máximo absoluto de la función f(x), es el mayor de los valores encontrados en el paso 2. Paso 4: El valor del mínimo absoluto de la función f(x), es el menor de los valores encontrados en el paso 2. EJERCICIO RESUELTO EJEMPLO 01: 2 Dada la siguiente función f(x)  x  4x  5

Determine los valores de los extremos relativos en el intervalo cerrado 1, 4 . Resolución: Como la función f(x) es cuadrática entonces es continua en el intervalo  1, 4  , por lo tanto aquí se puede aplicar los procedimientos mencionados con anterioridad. Paso 1: Encontrar los valores críticos de la función f(x), para eso necesitamos derivar la función, luego resulta: f '(x)  2x  4 Igualando a cero esta primera derivada se obtiene el punto crítico, que es x=2 Paso 2: Evaluamos la función f(x) con los puntos extremos del intervalo que son: 1 y 4; además con el punto crítico que es 2, y se tiene:

f(1)  12  4(1)  5



f(1)  2

f(4)  4  4(4)  5 

f(4)  5

2

2

f(2)  2  4(2)  5



f(1)  1

Paso 3: El máximo absoluto ocurre cuando x=4 y ese máximo es 5. Paso 4: El mínimo absoluto ocurre cuando x=2 y ese mínimo es 1. (Vea la figura 13.8)

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ACTIVIDAD N° 13: EXTREMOS RELATIVOS EXTREMOS ABSOLUTOS EN INTERVALO CERRADO 01.

Costo promedio. Si 25000 es el valor del costo fijo, demuestre que el costo fijo promedio es una función decreciente cuando la cantidad demandada es mayor que cero. Por lo que, cuando la producción “q” crece una unidad, se reduce la porción unitaria de costo fijo.

02.

Ingreso marginal. La función de demanda de cierto producto esta expresada mediante la ecuación p = 500 – 5q. Determine cuando es una función creciente el costo marginal.

03.

Dada la siguiente función f(x)  3x3  7x2  4x  2 determine la primera y la segunda derivada de la función f(x). Además encuentre los puntos críticos de la función.

04.

2 3 Costo marginal. La siguiente ecuación c  3q  3q  q expresa una fun-

ción de costo total, ¿determine cuándo es función creciente el costo marginal? 05.

4 3 2 Dada la siguiente función polinomial f(x)  x  8x  21x  20x  9, definida en

el intervalo

 4,9 .

(a) Determine los valores de la variable “x” en que la función f(x) alcanza un valor mínimo. (b) ¿Cuál es el valor mínimo de la función f(x)? (c) Determine los valores de “x” en que la función f(x) alcanza un valor máximo. (d) ¿Cuál es el valor máximo de la función f(x)?

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TEMA 14: CONCAVIDAD (Haeussler, 2015; p.591) afirma que: “La primera derivada proporciona mucha información útil para el trazado de gráficas. Se usa para determinar cuándo es creciente o decreciente en una función y para la localización de máximos y mínimos relativos. Sin embargo para conocer la verdadera forma de una curva se necesita más información. Por ejemplo, considere la curva y  f(x)  x2 como f’(x)=2x, x=0 es el valor crítico. Si x<0, entonces f’(x) <0 y f es decreciente; si x>0, entonces f’(x)>0 y f es creciente. Por lo tanto, se tiene un mínimo relativo cuando x=0. En la figura 14.1 ambas curvas satisfacen las condiciones anteriores. Pero ¿Cual 2

gráfica describe verdaderamente la curva y  x ? Esta pregunta se contesta con facilidad usando la segunda derivada y la noción de concavidad”. Observando la figura 14.2 vemos que cada curva de la función y=f(x) se abre hacia arriba. Esto significa que cuando se trazan rectas tangentes a cada curva, las curvas quedaran por encima de las rectas tangentes. Además, las pendientes de las rectas tangentes crecen en valor al aumentar el valor de la variable “x”. En la parte (a) los valores de la pendiente son positivas pero van de valores positivos pequeños a valores grandes. En la parte (b) son pendientes negativas pero igual se acercan cada vez más a cero, en consecuencia también son crecientes. En la parte (c) los valores de la pendiente pasan de valores negativos a positivos, entonces por principio la función es creciente.

En la figura 14.3 puede observarse que cada curva se encuentra por debajo de las rectas tangentes, entonces es cóncava hacia abajo.

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(Haeussler, 2015; p.591) dice: Sea la función f(x) diferenciable en el intervalo (a,b). Entonces se dice que la función f(x) es cóncava hacia arriba (cóncava hacia abajo) en (a,b) si f’ es creciente (decreciente) sobre (a,b) (Tome en cuenta que en economía se acostumbra llamar funciones convexas a aquellas que son cóncavas hacia arriba y funciones cóncavas a las funciones que son cóncavas hacia abajo) Cabe señalar que; Si la función f(x) es cóncava hacia arriba dentro de un intervalo, entonces geométricamente, su gráfica flexiona hacia arriba, mientras que si la función f(x) es cóncava hacia abajo, su gráfica flexiona hacia abajo. Además debemos recalcar que una función f(x) es creciente cuando su primera derivada es positiva en cambio la función f(x) es decreciente cuando su primera derivada es negativa. De ahí que; (Haeussler, 2015; p.592) establece la regla siguiente: Regla: Criterios de concavidad. Sea la función f(x) diferenciable en el intervalo (a,b). Si f’(x)>0 para todo “x” en (a,b), entonces la función f(x) es cóncava hacia arriba en (a,b). Si f’’(x)<0 para todo “x” en (a,b), entonces la función f(x) es cóncava hacia abajo en (a,b). Además, para (Haeussler, 2015; p.591) un punto de inflexión es: Definición Una función f(x) tiene un punto de inflexión en “a” si y sólo si es continua en “a” y la función f(x) cambia de concavidad en “a”. Debe satisfacer dos condiciones: Primero: La segunda derivada debe ser cero o no existir en ese punto. Segundo: La función f(x) debe ser continua en ese punto. EJERCICIO RESUELTO EJEMPLO 01: Dada la siguiente función: y  f(x)  (x  1)3  1 Determine los intervalos de concavidad. Resolución: Para determinar los intervalos de concavidad es necesario tener la segunda derivada de la función y luego igualar a cero a fin de encontrar un punto de inflexión. La primera derivada es: y '  3(x  1)2 La segunda derivada es: y’’=6(x-1) Luego su punto de inflexión es: x = 1 Por lo tanto, la función f(x) es cóncava hacia arriba cuando x>1, mientras que la función f(x) es cóncava hacia abajo cuando x<1. (Vea la figura 14.4).

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ACTIVIDAD N° 14: CONCAVIDAD 01.

Bosqueje la gráfica de una función continua f(x) que satisfaga las siguientes condiciones: f(2)=4, f´(2)  0, f '(x)  0, Si x  2 y f ''(x)  0, si x  2

02.

Dada la siguiente función y  0.35x3  4.1x2  8.3x  7.4 , determine el número de: (a) puntos máximos relativos (b) puntos mínimos relativos (c) puntos de inflexión.

03.

Dada la siguiente función y  x5  x  2.3  , bosqueje una gráfica, determine el número de puntos de inflexión. Ahora, pruebe que para cualquier a  0 , la 5 curva y  x (x  a) tiene dos puntos de inflexión.

04.

3

2

Dada la siguiente función y  x  2x  x  3 y trace la gráfica de la curva y también la recta tangente a la curva en x=2. ¿está la curva arriba o debajo de la recta tangente? Con la base de su apreciación, determine la concavidad en x=2.

05.

6

5

4

2

Dada la siguiente función f(x)  x  3x  4x  2x  1 , encuentre los valores de los puntos de inflexión de la función f(x).

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LECTURA SELECCIONADA N° 4 LA CURVA DE LAFFER: LA RELACIÓN ENTRE IMPUESTOS E INGRESOS DEL ESTADO Decía Keynes que aumentar los impuestos para incrementar la recaudación del Estado es similar al comerciante que, ante la pérdida de ventas, decide subir los precios de los productos. Con el efecto de que el Estado, al igual que el comerciante, constatará que las cuentas al final no se equilibran. Siendo dramático el caso del Estado que decida seguir esta política, ya que comprobará la paradoja de que una gran parte de los costes asociados a las prestaciones por desempleo vendrán, en parte, de aquellos que todavía trabajan, con lo que el resultado será aún más negativo. Más modernamente, siguiendo el mismo principio, Arthur Laffer, en su día miembro del Consejo Asesor de Política Económica del presidente Ronald Reagan, desarrolló en 1980 su famosa curva, que representa la relación entre el nivel de los impuestos y los ingresos del Estado. Según su criterio, si los tipos impositivos son cero, los ingresos fiscales también lo serán; al igual que si los tipos alcanzan el 100%. A medida que los tipos se vayan separando de su punto máximo (100%), los ingresos irán aumentando hasta un punto en el que, con tipos menores, se producirá el camino inverso: los ingresos fiscales se irán reduciendo hasta llegar a cero. La clave es que con el aumento de los tipos impositivos se llegará a un punto en que los ingresos por vía fiscal disminuirán. Es lo que se define en la gráfica como zona prohibida; a partir de la cual existe un punto en que los ingresos son máximos, pero siempre alejados de una mayor carga fiscal. Las evidencias que Laffer demostró en su día se basaban en experiencias ya conocidas en el pasado. Bien es verdad, que el problema siempre será encontrar ese punto ideal en que se maximizan los ingresos fiscales manteniendo unos impuestos razonables. Sin embargo, la realidad demuestra que la sola política de aumentar los impuestos, sin contrapartidas, conduce inevitablemente a una menor recaudación. Cosa muy acusada en períodos de recesión económica. Hace unos días un diario español realizaba una entrevista a Arthur Laffer. Entre las consideraciones que el economista ofrecía en la entrevista había respuestas tales como: "En 1981, cuando yo trabajaba con el presidente Reagan, aprobamos una ley que bajaba los impuestos de forma inmediata, pero aplazaba el recorte del gasto dos años, a 1983. Así, la gente acelera su consumo e inversión y, cuando recortas el gasto, la economía ya está creciendo y recaudas más". Respecto del problema de los impuestos, Laffer fue muy tajante en este sentido: "Lo peor es que el IRPF es muy progresivo. El problema de España no es de presión fiscal; es de presión fiscal mal repartida sobre las rentas más altas y las del trabajo. Sus impuestos dañan a los creadores de riqueza y a los trabajadores que reciben una nómina. Castigan al trabajador y da incentivos al defraudador, tanto cuando no paga impuestos como cuando recibe ayudas públicas. Si la gente cree que el sistema fiscal no es justo, trata de evadir impuestos. Eso pasa en España y pasa en Estados Unidos". Finalmente, al comentar la política de austeridad actual, Laffer fue muy concreto, apuntando algo en lo que mucha gente solvente está de acuerdo: "Cuando hablan de austeridad hablan de déficit. Yo hablo de reducir el peso del Estado en la economía. El gasto público no es estímulo ni austeridad. Es un concepto idiota. Mire Alemania: tiene tipos de interés de su deuda negativos y aun así apenas está creciendo. O el Reino Unido: David Cameron subió el IRPF a las rentas más altas y la economía se hundió en otra recesión".

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La entrevista no tiene desperdicio: habla del sistema judicial español calificándolo de caprichoso e ideologizado; considera que el multiplicador keynesiano, según el cual el gasto público genera actividad económica, lleva a incrementar el nivel de deuda, a lo que añade además: "Y al final hay que pagar esa deuda. ¿Cómo? Con impuestos. No puedes crear prosperidad a base de impuestos". Se podrá estar o no de acuerdo con este reconocido economista, pero de lo que no hay duda es que no sólo existe una política económica como ahora se defiende. La economía no se comporta como un automóvil. Este se arranca y se conduce de manera predecible. La economía es una ciencia social y por tanto es interpretable. La política actual, aunque ha reducido el déficit dejado por el Gobierno socialista anterior, está estancada, genera desempleo y su recuperación será muy lenta. Fuente: http://www.eleconomista.es/firmas/noticias/4871018/05/13/La-curva-de-Laffer.html

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TEMA 15: PRUEBA DE LA SEGUNDA DERIVADA. (Haeussler, 2015; p.597) dice: La segunda derivada puede usarse para probar si ciertos valores críticos corresponden a valores extremos relativos. En la figura 15.1, observe que se tiene una recta tangente horizontal en “a”; esto es, f’(a)=0. Además alrededor de “a” la función es cóncava hacia arriba, esto es, f’’(a)>0. Lo anterior lleva a concluir que habrá un mínimo relativo en “a”. Por otra parte alrededor de “b” la función es cóncava hacia abajo (esto es, f’’(b)<0). Como la recta tangente es horizontal en “b”, se concluye que ahí existe un máximo relativo. Esta técnica de examinar la segunda derivada un punto donde la primera derivada es cero, se llama prueba de la segunda derivada para extremos relativos. Prueba de la segunda derivada para extremos relativos. Suponga que la primera derivada es cero, vale decir, f’(a)=0 Si la segunda derivada es negativa, f’’(a)<0, entonces la función f(x) tiene un máximo relativo en “a”. Si la segunda derivada es positiva, f’’(a)>0, entonces la función f(x) tiene un mínimo relativo en “a”. Se debe enfatizar que la prueba de la segunda derivada no es aplicable cuando la primera derivada y la segunda derivada resulta cero para un mismo valor, vale decir, f’’(a)=0 si tanto f’(a)=0, entonces puede existir un máximo relativo, un mínimo relativo o ninguno de estos en “a”. En estos casos deben usarse la prueba de la primera derivada para analizar que está sucediendo en “a”. EJERCICIOS RESUELTOS EJEMPLO 01: Dada la siguiente función:

2 3 x 3 Determine los extremos absolutos, utilizando la prueba de la segunda derivada. y  18x 

Resolución: Primero necesitamos encontrar la primera derivada a fin de conocer los puntos críticos, entonces se tiene: y '  18  2x2

y '  2(9  x2 ) y'  2(3  x)(3  x) Luego igualando a cero, la primera derivada, se tiene los puntos críticos: x=3, x=-3 Calculando la segunda derivada, se tiene: y’’=-4x Luego su punto de inflexión, es: x=0 Por lo tanto, existe un máximo relativo cuando x=3, mientras que existe un mínimo relativo cuando x=-3.

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EJEMPLO 02: Dada la siguiente función:

y  6x4  8x3  1 Determine los valores máximos y mínimos relativos. De ser posible, utilice la prueba de la segunda derivada. Resolución: Calculando la primera derivada, resulta: y '  24x3  24x2

y '  24x2 (x  1) Igualando a cero la primera derivada, se obtiene los puntos críticos: 24x2 (x  1)  0 x0  x 1 Calculando la segunda derivada, resulta: Si : y '  24x3  24x2  y ''  72 x2  48x Igualando a cero la segunda derivada, se obtiene los puntos de inflexión: 72 x2  48x  0

2 3 Por lo tanto, para x=0 no existe ni máximo ni mínimo, puesto que ese valor es punto crítico y punto inflexión entonces la función solo tendrá un mínimo relativo cuando x=1. x0



x

EJEMPLO 03: Dada la siguiente función polinomial

y  f(x)  x3  3x2  9x  5 Determine los extremos absolutos de la función en el intervalo 0,  . Resolución: Calculando los valores críticos o puntos críticos:

f '(x)  3x2  6x  9 f '(x)  3(x2  2x  3) f '(x)  3(x  3)(x  1) 3(x  3)(x 1)  0 x  1  x3 Analizando los dos valores críticos obtenidos, solo x=3 es el valor que se encuentra dentro del intervalo 0,  Calculando los puntos de inflexión: si : f '(x)  3x2  6x  9  f ''(x)  6x  6 6x  6  0 x 1 Por lo tanto, existe un mínimo relativo en 3. Como este es el único extremo relativo en 0,  y la función f(x) es continua en ese intervalo, se concluye que, en realidad, existe un valor mínimo absoluto en 3; este valor es f(3)=-22. (Vea la figura 15.2)

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ASINTOTAS VERTICALES Para el trazado de curvas, es necesario averiguar si la función tiene algunas restricciones, a veces existe valores que hacen cero al denominador, de ser así, a ellos se les conoce como asíntotas verticales. Una asíntota vertical es una recta a la que una curva se acerca cada vez más. Observando cada letra de la figura 15.3, la línea punteada en x=a es una asíntota vertical. Cabe señalar que, es necesario hacer uso de los límites infinitos, a fin de establecer estas asíntotas verticales con mayor precisión. En la figura 15.3 (a). Observe que cuando “x” se acerca por la derecha cada vez más hacia el punto “a”, la función f(x) se vuelve positivamente infinita. En la figura 15.3 (b). Observe que cuando “x” se acerca por la derecha cada vez más hacia el punto “a”, la función f(x) se vuelve negativamente infinita. En la figura 15.3 (c). Observe que cuando “x” se acerca por la izquierda cada vez más hacia el punto “a”, la función f(x) se vuelve positivamente infinita. En la figura 15.3 (d). Observe que cuando “x” se acerca por la izquierda cada vez más hacia el punto “a”, la función f(x) se vuelve negativamente infinita.

Debemos tener en cuenta que este análisis es tan importante en el trazado de las curvas, puesto que la asíntota vertical nos asegura que la función f(x) no es continua en ese punto, pero podemos averiguar si es infinitamente positiva o negativa, para poder orientarlos hacia dónde va el trazado de la curva. Además la asíntota no es parte de la gráfica. (Haeussler, 2015; p.597) dice: La recta en x=a es una asíntota vertical. Para la gráfica de la función sí y solo si se cumple al menos uno de los enunciados siguientes: lim f(x)    lim f(x)   x a

x a

P(x) Q(x) Donde P(x) y Q(x) son funciones polinomiales. La recta en x=a es una asíntota vertical para la gráfica de la función f(x) sí y solo si Q(a)=0 y P(a)  0 . Suponga que exista la siguiente función racional f(x) 

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EJERCICIOS RESUELTOS EJEMPLO 01: Determine las asíntotas verticales de la siguiente función racional: x2  4x f(x)  2 x  4x  3 Resolución: Como la función f(x) es una función racional, aquí es aplicable la regla de las asíntotas verticales. Para ello reescribimos la función de la siguiente forma: x(x  4) f(x)  (x  3)(x  1) Igualando a cero el denominador de la función racional, resulta: (x  3)(x  1)  0 x3  x 1 Por lo tanto, resulta claro que, la función no es continua en estos dos puntos. Entonces las rectas x=3 y x=1 son asíntotas verticales. (Vea la figura 15.4) EJEMPLO 02: Determine las asíntotas verticales de la siguiente función racional: x2  4x  2016 f(x)  x2  3 Resolución: Igualando a cero el denominador de la función f(x), se tiene: x2  3  0 x 2  3 x   3 Por lo tanto, no existe ningún número real que hace que el denominador sea cero. Entonces la función racional no tiene asíntotas verticales. Tal vez existe otro tipo de asíntotas horizontales u oblicuas.

ASINTOTAS HORIZONTALES x2  4x  2016 no tiene asíntota vertical es posible que x2  3 tenga asíntota horizontal, entonces cabe estudiar acerca de las asíntotas horizontales. En la figura 15.5 (a), conforme los valores de la variable “x” se incrementa sin límite, su gráfica de la función f(x) se acerca a la recta horizontal y=b. Esto es, lim f(x)  b

La función f(x) 

x 

En la figura 15.5 (b), cuando los valores “x” tiende al infinito negativo, la gráfica de la función se acerca a la recta horizontal y=b, Esto es: lim f(x)  b x 

En cada inciso las líneas punteada en y=b se llama asíntota horizontal de la gráfica. Esta es una recta horizontal hacia la cual tiende la gráfica cuando los valores de “x” tienden al infinito positivamente y negativamente.

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(Haeussler, 2015; p.597) dice: Sea la función f(x) una función no lineal. La recta y=b es una asíntota horizontal de la gráfica de la función f(x) si y solo si, por lo menos, unos de los siguientes enunciados es cierto: lim f(x)  b  lim f(x)  b x 

x 

EJERCICIOS RESUELTOS EJEMPLO 01: Determine las asíntotas horizontales de la siguiente función: x2  4x  2016 f(x)  x2  3 Resolución: Aplicando la definición de asíntotas horizontales, resulta: x2  4x  2016 x2 lim  lim 2 2 x  x  x x 3  lim1 x 

1

Recuerdas que la f(x) no tenía asíntota vertical, pero si tiene una asíntota horizontal cuando y=1. EJEMPLO 02: Determine las asíntotas horizontales de la siguiente función: x2  4x f(x)  2 x  4x  3 Resolución: Aplicando la definición de asíntotas horizontales, resulta: x2  4x x2 lim 2  lim 2 x  x  4x  3 x  x  lim1 x 

1

Por lo tanto, la recta y=1 es una asíntota horizontal.

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ACTIVIDAD N° 15: PRUEBA DE LA SEGUNDA DERIVADA ASÍNTOTAS 01.

Trace la gráfica de una función f(x) que satisfaga las siguientes condiciones f (0)  0 , tenga una asíntota horizontal y=1 para cuando los valores de “x” tiende al infinito positivo o negativo, una asíntota vertical x=2, tanto f '( x)  0 como f ''( x)  0 para x<2 y tanto f ´( x)  0 como f ''( x)  0 para x>2.

02.

Trace la gráfica de una función f(x) que satisfaga las siguientes condiciones f (0)  0 ; tenga una asíntota horizontal y=0 para cuando los valores de “x” tiende al infinito positivo o negativo, asíntotas verticales x=-1 y x=2, f '( x)  0 para x<-1 y para -12 como un modelo matemático. Determine las asíntotas para su modelo.

03.

Mercado para un producto. Para un producto nuevo, el número anual de miles de paquetes vendidos y después de “t” años contados a partir de su introducción al mercado, se estima que está expresada mediante la función

y  f (t )  250  83e  t Demuestre que y=250 es una asíntota horizontal para la gráfica de esta función exponencial. Lo cual revela que una vez que el producto se ha establecido entre los consumidores, el mercado tiende a ser constante. 04.

Trace la gráfica de una función f(x), que cumpla las siguientes condiciones f(0)  4 y f(4)  2 , tenga una asíntota horizontal y=-3 para cuando los valores de “x” tiende al infinito positivo o negativo, una asíntota vertical x=2, tanto f '(x)  0 como f ''(x)  0 para x<2 y tanto f '(x)  0 como f ''(x)  0 para x>2.

05.

Trace la gráfica de una función f(x), que satisfaga las siguientes condiciones: f(-2) = 2, f(0) = 0 y f(2) = 0, tenga una asíntota horizontal y=1 para cuando los valores de “x” tiende al infinito positivo o negativo, sus asíntotas verticales x=-1 y x=1, f ''(x)  0 para x<-1 y f '(x)  0 para -1
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TEMA 16: APLICACIÓN DE MAXIMOS Y MINIMOS Después de haber estudiado muchos temas, es posible resolver problemas de nuestro entorno profesional que impliquen maximización o minimización. Por ejemplo, se podría calcular o pronosticar cual sería mi máxima ganancia a un costo mínimo. La parte más difícil es determinar que función es la que expresa la cantidad que se debe maximizar o minimizar como función de alguna variable contenida en el problema, una vez determinada la función se realiza la prueba de la primera y la segunda derivada a fin de encontrar los valores críticos y los puntos de inflexión. Veamos un ejemplo a fin de aclarar estos términos: EJEMPLO 01. La ecuación de demanda para el producto de un fabricante esta expresada mediante la función:

p

80  q 4

0  q  80

Donde “q” es el número de unidades y “p” es el precio por unidad. ¿Para qué valor de “q” se tendrá un ingreso máximo? Resolución: Sea “r” el ingreso total, entonces se tiene: Ingreso = (precio)(cantidad)

r  pq 80  q r .q 4 80q  q2 r 4 Calculando la primera derivada, resulta dr 80  2q  dq 4 Luego, igualando a cero esta primera derivada, se obtiene un valor crítico que determina el valor que hace máximo a la función: 80 – 2q=0 q=40 Por lo tanto, q=40 es el único valor crítico. Examinando la primera derivada de la función “r”, se determina que “r” es una función creciente a la izquierda de 40 y una función decreciente a la derecha de 40, entonces se concluye que q=40 expresa el ingreso máximo absoluto de la función (80)(40)  (40)2 r 4  r  400 Por lo tanto, para una cantidad de 40 unidades, el ingreso será de 400 soles como máximo.

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ACTIVIDAD N° 16: APLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS 1. Costo promedio. Un fabricante determinó que el costo total de producir un artículo está dado por la siguiente función de costo c  0.05q2  5q  500 . ¿Cuál será el nivel de producción será mínimo el costo promedio por unidad? 2. Ingreso. La ecuación de demanda para el producto de un monopolista esta expresada mediante la función p  5q  30 , ¿a qué precio se maximizara el ingreso del monopolista? 3. Utilidad. Un fabricante puede producir a lo más 120 unidades de cierto artículo cada año. La ecuación de demanda para este producto esta expresada mediante la siguiente función p  q2  100q  3200 . Determine la cantidad producida que maximiza la utilidad correspondiente. Donde “q” es cantidad producida y “p” el precio en soles. 4. Ingreso. Una empresa de bienes raíces posee 100 departamentos tipo jardín. Cada departamento puede rentarse a 400 soles por mes. Sin embargo. Por cada 10 soles mensuales de incremento habrá dos departamentos vacíos sin posibilidad de ser rentados. ¿Qué renta por departamento maximizara el ingreso mensual? 5. Ingreso. Una empresa de televisión por cable tiene 6400 suscriptores que pagan cada uno 24 soles mensuales y puede conseguir 160 suscriptores más por cada reducción de 0.50 soles en la cuota mensual. ¿Cuál será la cuota que maximice el ingreso y cual será este ingreso?

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GLOSARIO DE LA UNIDAD IV 1. Asíntota Se dice que una curva tiene una asíntota si se acerca mucho a una recta, pero sin llegar a tocarla. La recta representa la asíntota de la curva.

2. Eje de simetría La recta que divide a una figura geométrica en dos partes iguales que se pueden superponer una sobre la otra doblando la figura sobre esta recta. Por ejemplo, el cuadrado tiene cuatro ejes de simetría. La siguiente figura muestra uno de ellos:

3. Función polinomial La función polinomial de grado “n” es una función de la forma: y = a0 + a1x + a2x 2 + a3x3 + · · · + anxn donde a0, a1, a2, a3, · · · , an, son números reales y an≠0. El dominio de toda función polinomial es el conjunto de los números reales. El rango de la función polinomial de grado “n” impar es R. Para determinar el rango de la función polinomial de grado “n” par con frecuencia se requiere graficarla. 4. Intervalo abierto Intervalo que no incluye sus valores extremos. Si los extremos del intervalo abierto son a y b, entonces, se denota por: (a, b). Geométricamente, el intervalo incluye a todos los puntos de la recta numérica entre a y b, pero excluyendo a estos dos valores. La siguiente figura muestra el intervalo abierto (a, b):

5. Intervalo cerrado Intervalo que sí incluye sus valores extremos. Si los extremos del intervalo cerrado son los puntos a y b, se denota por [a, b]. Geométricamente, el intervalo cerrado [a, b] se indica como muestra la siguiente figura:

6. Parábola Curva plana generada por un punto que se mueve de manera que se mantiene a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

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7. Punto crítico En una curva, el punto crítico es el punto donde una recta tangente a la curva es horizontal. En la siguiente figura, el punto P indicado es un punto crítico de la función y = f(x)

8. Recta real Recta en la cual se elige un punto fijo al cual se llama origen y al que se le asigna el cero, y utilizando una unidad de medida se marcan puntos con esa unidad de distancia entre ellos para marcar los números enteros positivos hacia la derecha y los negativos a la izquierda del origen:

A cada número real se le puede asignar un punto de la recta real y a cada punto de la recta numérica le corresponde exactamente un número real. Recta numérica es sinónimo de recta real.

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BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD IV BASICA: Haeussler, E., Paul, R. y Wood, Ri. (2015). Matemáticas para Administración y Economía. 13. México: Pearson Educación. UC 519 H14 2015 COMPLEMENTARIA: Budnick, F. (2007). Matemáticas aplicadas para administración, economía y ciencias sociales. (4ta. Ed.). México: McGraw-Hill. ISBN: 970-10-5698-1. Demana, Franklin, y otros. (2007). Precálculo: Gráfico, Numérico, Algebraico. (7ma. ed.). México: Pearson. ISBN: 9702610168. Larson, R. y Edwards, B. (2010). Cálculo 1 de una variable. 9na. Ed.) México: McGraw-Hill. ISBN: 978-607-15-0273-5. Stewart, J., Redlin, Lothar y Watson, Saleem. (2007). Pre cálculo: matemáticas para el cálculo. Quinta. México: Cengage Learning Editores, S.A. ISBN-13: 978607-481-406-4. Soo Tang Tan. (2005). Matemáticas para Administración y Economía. (3era. Ed.). México: Cencage Learning Latin america, S.A. Zill, D.G. y Wright, W. S. (2011). Cálculo Trascendentes tempranas. (4ta. Ed.). México: McGraw-Hill. ISBN 13: 978-607-15-0502-6.

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AUTOEVALUACIÓN Nº 4 1. Encuentre la(s) asíntota(s) vertical(es) de la siguiente función: 2x2 f(x)  2 x x6 a) -3; 2 b) -2; 3 c) -2; 4 d) -3;3 e) -4; 3 2 3 2. Costo marginal. Si c  3q  3q  q es una función de costo, ¿en qué inter-

valo es decreciente el costo marginal? a) (0;1) b) (1;2) c) (-1;1) d) (-1;3) e) (-3;1) 3. Considere la función f(x)  x4  8x3  21x2  20x  9, en el intervalo

 3, 1 . De-

terminar el valor máximo relativo de la función. a) 1 d) 5

b) 4 e) 0

c) 3

4. Encuentre la(s) asíntota(s) vertical(es) de la siguiente función:

y a) 2; -2 d) 5; -5

b) 4; -4 e) -3; 3

x x2  9

c) 1; -1

2 5. Encuentre el máximo absoluto para f(x)  x  4x  5 en el intervalo cerrado

 1, 4 .

a) -2 d) 5

b) 7.5 e) 0.5

c) 2

6. Determine donde es cóncava hacia arriba y donde es cóncava hacia abajo la función dada: f(x)  (x  4)3  10 a) x<1 d) x<5

b) x<2 e) x<4

c) x<3

7. Encuentre las asíntotas horizontales para la gráfica de: 2x2  4x f(x)  2 x  4x  3 a) 1 b) 2 c) 4 d) 0 e) 5 8. Ingreso. La ecuación de demanda para el producto de un monopolista es p  5q  30 ¿a qué precio se maximizara el ingreso? a) 12 d) 14

b) 11 e) 15

c) 13

9. Si: f(x)  x4  6x2  5x  2016 , determine los valores de x para los cuales f ''(x)  0

a) -1; 1 d) -4; 4

b) -2; 2 e) -5; 5

c) -3; 3

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10. Ingreso. Si p  400  40q es una ecuación de demanda, ¿a qué precio se maximizará el ingreso? a) 200 d) 150

b) 320 e) 100

c) 80

ANEXO Nº 4 Respuestas de la Autoevaluación de la Unidad IV Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Respuesta a a d e d e b e a a

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Uc0565 Matematica II

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