UNIDAD II
EXPRESIONES ALGEBRAICAS ALGEBRAICAS Y GENERALIDADES
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Orientaciones para el Estudio de la Unidad II
Esta segunda unidad está dirigida al conocimiento de los fundamentos del álgebra. Le permite al participante vericar que los aspectos tratados son combinaciones triviales triviales de números y letras, y que las mismas pueden ser utilizadas para la representación de situaciones del diario vivir, del entorno y que su simbología es de uso universal.
Si bien es cierto que con los números ha sido p osible el avance de la ciencia, es tan importante saber que con aplicaciones fundamentadas en el conocimiento del algebra, se ha podido llegar y conocer el espacio, se ha contribuido a las explicaciones de nuestra propia genética y la del universo, al convertirse en una herramienta ideal de los investigadores y cientícos. Es por esta razón, que iniciamos la unida con una biografía de un matemático que hizo descubrimientos importantes basándose en sus principios.
El participante debe comprender que en el proceso de compra y venta de artículos, depósitos y retiros de dinero de un cajero o de un banco, en la actividad de subir o bajar del metro o de un autobús, etcétera, se manejan procesos que pueden ser representados con expresiones algebraicas, lo que hace de la misma un tema interesante.
Querido participante, te sugerimos leer detenidamente cada explicación que se proporciona en la unidad, al tiempo que debes repasar los ejemplos, lo de be repetir cuantas veces crea necesario y si en algún momento te quedan dudas, pues ahí está el facilitador para ayudarte, para orientarte y posibilitar una mayor comprensión del tema.
MATEMÁTICA HOY
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Orientaciones para el Estudio de la Unidad II
Esta segunda unidad está dirigida al conocimiento de los fundamentos del álgebra. Le permite al participante vericar que los aspectos tratados son combinaciones triviales triviales de números y letras, y que las mismas pueden ser utilizadas para la representación de situaciones del diario vivir, del entorno y que su simbología es de uso universal.
Si bien es cierto que con los números ha sido p osible el avance de la ciencia, es tan importante saber que con aplicaciones fundamentadas en el conocimiento del algebra, se ha podido llegar y conocer el espacio, se ha contribuido a las explicaciones de nuestra propia genética y la del universo, al convertirse en una herramienta ideal de los investigadores y cientícos. Es por esta razón, que iniciamos la unida con una biografía de un matemático que hizo descubrimientos importantes basándose en sus principios.
El participante debe comprender que en el proceso de compra y venta de artículos, depósitos y retiros de dinero de un cajero o de un banco, en la actividad de subir o bajar del metro o de un autobús, etcétera, se manejan procesos que pueden ser representados con expresiones algebraicas, lo que hace de la misma un tema interesante.
Querido participante, te sugerimos leer detenidamente cada explicación que se proporciona en la unidad, al tiempo que debes repasar los ejemplos, lo de be repetir cuantas veces crea necesario y si en algún momento te quedan dudas, pues ahí está el facilitador para ayudarte, para orientarte y posibilitar una mayor comprensión del tema.
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Esquema de Contenidos de la Unidad II
La segunda unidad está compuesta por dos temas y en cada tema se incluyen los los contenidos que se sugieren sean abordados en el programa de estudio. El detalle aparece a continuación:
Tema 1: FUNDAMENTACIONES ALGEBRAICAS
•
Denición, representación y clasicación de expresiones algebraicas.
•
Composición y elementos de una expresión algebraica.
•
Se tratan tratan las distinciones entre el grado de un monomio y de un polinomio.
•
Construcción e interpretación de frases propias del algebra.
•
Se ordenan polinomios en forma ascendente y descendente.
•
Calculo del valor numérico de expresiones algebraicas.
•
Se representan situaciones del entorno por medio de expresiones algebraica.
•
Se plantean ejercicios ejercicios de aplicación aplicación y jación de conocimientos sobre el tema.
Tema 2: OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
•
Denición y reducción de términos semejantes.
•
Suma y Resta de expresiones algebraicas.
•
Multiplicación de expresiones algebraicas.
•
Cuadrado y cubo de un Binomio.
•
División de Expresiones Algebraicas.
•
Se plantean ejercicios ejercicios de aplicación aplicación y jación de conocimientos sobre el tema.
•
Se incluye una evaluación del tema como forma de vericación del dominio o no de los temas tratados en la unidad.
Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)
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Objetivos Objetivos de la Unidad II
•
Denir y representar grácamente expresioexpresiones algebraicas.
•
Construir e interpretar frases propias del algebra.
•
Ordenar un polinomio en forma ascendente y descendente según el grado.
•
Calcular valor numérico de expresiones algealge braicas.
•
Denir y reducir términos semejantes.
•
Realizar operaciones con expresiones algealge braicas.
•
Aplicar el algoritmo algebraico a situaciones práctica del mundo real y del entorno social del ser humano.
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TEMA 1 Expresiones Algebraicas y Generalidades
Tomas Harriot 1560-1621
Matemático ingles introdujo notaciones y símbolos matemáticos actualmente en uso, tales como los símbolos “ > ”mayor que y “<” menor que y el punto como indicación de producto. También se dedico a la astronomía, observó el cultivo solares y los satélites Júpiter. Algunas fuentes le atribuyen haber introducido el cultivo de la papa en gran Bretaña, e Irlanda. Viajo a América entre 1585 y 1586 pasando algún tiempo por los alrededores de las costas de Carolina del Norte desde donde publicó algunos relatos etnográficos de los indígenas de Norteamérica que fueron observados durante la expedición e influyó mucho en los exploradores posteriores en los colonos. En 1590 estudió con John Dee. La aparición del cometa Halley en 1607 volcó su atención hacia la astronomía. Sus observaciones de agosto de 1609 pueden considerarse como el primer caso de uso de telescopio para los descubrimientos astronómicos. Harriot fue además el primero en intentar hacer un mapa de la superficie de la luna y en observar y descubrir las manchas solares, en diciembre de 1610. Fundó la escuela inglesa de algebra. Las contribuciones de Harriot permanecen un tanto oscuras, porque no publicaba sus resultados y porque muchos de sus manuscritos se perdieron; los que sobreviven están en museos Británicos y en archivos de la familia Percy con la cual trabajó durante algún tiempo. Se presume que su muerte pudo haber ocurrido en 1621 de cáncer de la piel. Fuente: http:// es.wikipedia.org/wiki/Thomas_Harriot Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)
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TEMA 1 Fundamentaciones Algebraicas Objetivos operacionales: 1. Denir y clasicar expresiones algebraicas. 2. Determinar el valor numérico de una expresión algebraica. 3. Reducir términos semejantes. 4. Realizar suma, resta, multiplicación y división de expresiones polinómicas. 5. Ordenar polinomios en formas ascendente y descendente. 6. Interpretar símbolos y expresiones algebraicas. 7. Construir expresiones algebraicas.
1.1 Expresión Algebraica Es el resultado de llevar a cabo un número nito d e sumas, restas, multiplicaciones, divisiones o raíces, en un grupo de variables y números reales.
1.2 Variables y Términos Son los símbolos o letras que utilizamos para representar números, los mas usados son: x, y, z. también a, b, c, m y n, entre otras. Ejemplos de expresiones algebraicas:
3 x;5ab2 ; −5mnp; 4 m + 7 n; 2 x3 − 8 x2 a; −11a3 + 4a 2 b − 7 ab2
+
+
6
8b; etc.
Las expresiones Algebraicas se componen de términos
Así decimos: 1) 3x → es una expresión algebraica de un término 2) 4m +7n → es una expresión algebraica de dos términos MATEMÁTICA HOY
103
3) 2 x3 − 8 x2 + 6 → es una expresión algebraica de tres términos 4) −11a 3 + 4a 2 b − 7 ab2
+
8b
→
es una expresión algebraica de cuatro términos y así sucesiva-
mente las hay de 5, 6, 7 y mas términos.
1.3 Elementos de un Término Sea el término − 5 x6
−
6
5 x
signo Coeciente numérico
Nótese que en
−
exponente
Parte literal
5 x6, el 6 representa el grado del término, decimos que es de 6º grado con re-
lación a la letra x.
Actividad Escriba los elementos del término 7m2
• Signo: •
Coeciente
•
Parte literal
•
Exponente
1.4 Grado de un Término El término 7m2 es de 2º con relación a la letra m. •
Si escribimos el termino 9 p2q5, sumando 2 + 5 = 7, decimos que es de 7º, o sea, es de 7º absoluto (7º = a la suma del grado de cada variable).
•
En n en todo término encontramos un grado absoluto y otro relativo a una variable o letra.
Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)
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Actividad Escriba el grado absoluto y relativo cada letra.
1)
−9a3b8
2) x6 y 4 z 3
Absoluto:
Absoluto: ____________
Relativo:
Relativo:
a)
x)
b)
y) z)
3)
3
p 2 q5
4 Absoluto: Relativo:
5)
4) −m 2 n Absoluto: ____________ Relativo:
p)
m)
q)
n)
2abcd
6) 1/3 x15 y12
Absoluto:
Absoluto: ____________
Relativo:
Relativo:
a)
x)
b)
y)
c) d)
MATEMÁTICA HOY
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1.5 Clases de Expresiones Algebraicas Ciertas expresiones algebraicas reciben nombres especiales según la cantidad de términos que poseen, veamos.
3 p2 - 1 q4 + 7 5 2 Tiene tres términos Es un trinomio
3x - 7y Tiene dos términos Es un binomio
6ab2c3 Tiene un solo término Es un monomio −
9 x4 + 7 x3 y - 3 x2 y2 + 5 Tiene cuatro términos. Se lee polinomio de cuatreo términos Todo polinomio de cuatro términos, en adelante se lee según la cantidada de términos que posee
Actividad Lea la expresión algebraica siguiente:
5a 6
−
+
7 a5 − 10a 4
+
2 a3 − 9a2
+
8a − 15
Construye una expresión algebraica de 8 términos de variables xy.
1.6 Defnición de Polinomio Un polinomio de grado “n” en una variable “x” es cualquier expresión algebraica de la forma.
an x n
+
an 1 x n −
1
−
+
.... + a2 x 2
+
a1 x + a0 , an
≠
0
Donde “n” es un entero no negativo y ai, i = 0, 1,….n, son números reales.
Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)
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Podemos decir que un polinomio es cualquier suma fnita de monomios.
Ejemplo:
−
7m3 + 8m2 + 4m + 10 Es un polinomio de 4 términos.
Los términos del polinomio son los monomios que lo forman.
1.7 Grado de un Polinomio El grado de un polinomio con relación a una letra lo determina el monomio de mayor grado. −
- En
3 3 7m 8m2 +2 4m + 10 + 8m + 4 m + 10 (polinomio de 3 grado.) 7 m +
−
Termino de mayor Grado 3°
6 6 99 8 x8 x −−77xx + 2xx33−−5 5 +2
- En
(polinomio de 9 grado.)
Terminode demayor mayor Termino Grado 9° Grado 9°
Actividad 1. Escribe el grado de estos polinomios.
1)
2
−
2) 6
3
4
−
+
3 x3 + x − 2
4 x 2 + 3x − 5
3) 7 a 2b + 6ab4 − 5ab 4)
3
1 mn3 − 8m2 n4 − 2mn 4 2 2
5) 0.5 p 4 + 0.2 p3 + 0.1 p − 10 p - 3 2. Escriba un polinomio del grado indicado.
a) 4° _______________
d) 8° _______________
b) 6° _______________
e) 5° _______________
c) 7° _______________
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1.8 Construcción e Interpretación de Expresiones Algebraicas Cierta situaciones de nuestro diario vivir pueden ser escrita en forma de un polinomio siempre y cuando interpretemos y usemos variables correctamente. Ejemplos: 1) Juan tiene tres veces la cantidad de dinero que se hermana Carla. ¿Qué cantidad tienen Juan? La expresión polinómicas que representa la situación es:
Carla tiene: x cantidad de dinero. Juan tiene 3 veces x, es decir 3x Luego la cantidad de dinero de Juan la representamos por 3x
2) Ana compró en el Súper 6 libras de arroz, 3 libras de carne y 2 libras de bacalao, ¿por cual expresión algebraica podemos expresar la compra de Ana? Asignemos variables a cada artículo comprado: • arroz:
a
• carne:
c → 3 libras = 3c
→
6 libras = 6a
• bacalao: b → 2 libras = 2b La compra de Ana la representamos por la expresión 6a + 2b + 3c
3) Seis veces el cuadrado de un numero aumentado en su duplo y disminuido en 3 unidades.
Sea x el número. • Su cuadrado:
x2 → 6 veces = 6 x2
• duplo del numero:
2x
• disminuido en 3 unidades:
-3
La expresión algebraica que la representa es 6 x 2 + 2 x - 3
4) El precio nal de un artículo si le rebajamos un 20% respecto a su precio inicial P es: • El precio inicial es: P • Rebaja del 20%
: -0.20P
Precio nal escrita como polinomio es: P - 0.20p
Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)
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Actividad 1.- Traduce al lenguaje algebraico las expresiones que aparecen a continuación:
a) El cuadrado del triple de x. b) El doble de la diferencia entre x e y. c) La raíz cuadrada de la mitad de y. d) El opuesto del cociente entre “x” y el triple de “y”. e) El peso de “x” paquetes si cada uno pesa “y” gramos. f) La diferencia entre los cuadrados de “x” y su consecutivo. g) El precio de “C” metros de cuerda a 200 pesos el metro. h) El retiro de 50 billetes del banco en denominación de x valor. i) El depósito de 105 billetes de “x” valor más 125 monedas de “y” valor. j) La compra de un carro por Z valor más el 20% del pago de impuestos.
2.- Escriba una frase que describa las siguientes expresiones:
a)
9 xy
b) a − 3b c) d)
x 2 5 4 x 2
−
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( 3m )
e)
−
f)
3 −
g)
1 2
4
2
( y )
3
h) 6 p 2 i) 5 − 3 j)
10a 2 2b3
1.9 Orden de un Polinomio Recuerda: Dado un polinomio, su orden viene expresado según cada término esté ordenado desde el mayor grado en orden sucesivo hasta el de menor grado o viceversa.
•
Si el polinomio tiene todos sus términos ordenados de manera sucesiva de mayor a menor grado, se dice que su orden es descendente. Ejemplos: P( x )
•
=
2 x5 − 4 x 4 + 11x3 − 14 x 2 + 19 x − 5
Si el polinomio tiene todos sus términos ordenados de manera sucesiva de menor a mayor grado, se dice que su orden es ascendente. Ejemplo: P( a )
=
1 − 5a + 8a 2 − 7 a3 + 6a 4 − 10 a5 −15a 6
Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)
110
Actividad 1.- Ordena en forma ascendente estos polinomios.
a) P( x )
=
7 x 4 − 5 x + 7 − 3 x2
b) P( y )
=
11 y 3 − 2 y + 5 y5 − 11 y4
c) P( z )
=
2 z + 3z 2 − z 7
d) P( x )
=
3x2
e) P( a )
=
25a 6 + 4a 2
+
3
+
+
6 x3 +
3 y2
−
14 − 3z 6 + 12 z 5
10
−
z4
−
20z 3
4 x − 6 + 7 x3 −
7 a4
2
+
3a − 12a5 − 10a3
5
6
+
30
4
f) P (q) = 6q 2q + 9q – 7q + 6- 10q – 8q
2.- Ordena en forma descendente estos polinomios.
a) P( y )
= −
1
y2 − 2 y4
+
x3 + 7 x −
1
b) P( x )
=
c) P( x )
=
8 + 7 x2 − 9 x
d) P( a )
=
12a5 − 7 a 2
e) P( x )
=
2
3 4
−
1 2 3
x+
3 7 2
5 y − 6 y3 + 12 x2
3
+
+
5 8
8a + 4 a3
x4
−
1 6
x3 +
f) P(z) = ½ z + 5z – ¾ z + 1
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−
9 a4 − 15a6
2 9
x5
−
1
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1.10 Valor Numérico de Expresiones Algebraicas Dada una expresión algebraica, su valor numérico es el resultado de sustituir las incógnitas ó variables que contiene los valores asignados a cada una. Ejemplos:
1) Hallar el valor numérico del polinomio P ( x) = 2 x2 − 3 x + 3 para x = -1. Solución: sustituimos la “x” del polinomio por -1.
P (-1) = 2(-1)2 − 3(-1) + 3 P (-1) = 2(1) + 3 + 3 P (-1) = 8 2) Hallar el valor numérico de P ( y) = 2 y2 − 6 y + 7, para y = 4. Solución:
P (4) = 2(4)2 − 6(4) + 7 P (4) = 2(16) − 24 + 7 P (4) = 32 − 24 + 7 P (4) = 8 + 7 P (4) = 15 3) Hallar el valor numérico de P ( a ) Solución:
P (12)
=
P (12)
=
P (12)
=
=
3( a − 9)
, si a = 12
2a
3 (12 − 9) 2 (12 ) 3 ( 3) 24 9 24
=
=
9 24
3 8
Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)
112
Evaluación del tema 1, Unidad II 1) Hallar el valor numérico de las expresiones para los números que se indican.
a) 2 x2 − 3 x + 3, par x = 7 b) 6abc , para a = -2, b = 3, c = 1 b2 c) 10 x + xy, para x = 3, y = d) e)
9−c 2ac − 3 4
−
, para a = 15, c =
2 x3 − x 2
+
−
−
3 5 1 3
x , para x = 5
2) Suma el polinomio 7 x
3
−
2 3 4 x2 − 6 x − 5 con 3 x + x − 5 x + 7 y luego calcula el valor numérico
de su total para x = 9.
3) Resta -10 xyz de 25 xyz , luego calcula el valor numérico de la diferencia para x = 2, y = -1, z = 1. 4) De 2 x3 + 2 x 2
−
6 x + 10 restar 4
3
−
5 x 2 + 9 x − 7 , luego de la diferencia calcular su valor
numérico para x = -3
5) Hallar el valor numérico de los polinomios siguientes:
a) P( x )
= −
x3 + 3 x2 + 17 x + 7 , para x = -1
b) P( x )
=
3x2
c) Q( x )
=
x4
d) R( x )
=
6 x3 + 2 x 2 + x − 3 , para x = -2
e) P( x )
=
+
+
2 x − 1 , para x = 0
5 x3 − 3 x + 5 , para x =
1 2
x3 − 2 x2 − x + 2 , para x = -4
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113
TEMA 2 Operaciones con Expresiones Algebraicas Objetivos operacionales: 1. Denir términos semejantes. 2. Realizar reducciones de términos semejantes. 3. Realizar adición y sustracción de expresiones algebraicas. 4. Aplicar la multiplicación de expresiones algebraicas entre monomios y polinomios. 5. Dividir expresiones algebraicas monómicas y polinómicas. 6. Realizar actividad de evaluación de la unidad.
2.1 Términos Semejantes En actividades propias de la vida diaria nos manejamos con situaciones que en matemática las consideramos de las mismas especies, es decir, decimos que son semejantes. Ejemplos: 1) Analicemos los elementos de los conjuntos siguientes:
P
Conjunto P = 3 carros.
Q
Conjunto Q = 5 carros
El conjunto P y el conjunto Q, son de la misma especie, en algebra decimos que son seme jantes. Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)
114
Escribimos en símbolos: P = 3 carros = 3c
Q = 5 carros = 5c
P + Q = 3c + 5c = 8c
Suma de términos semejantes ó de la misma especie.
2) Observemos estos nuevos conjuntos:
A Conjunto A = 4 computadoras
B Conjunto B = 3 televisores
El conjunto A y el conjunto B, no son de la misma especie, en algebra decimos que no son semejantes.
En símbolos lo escribimos: A = 4 computadoras = 4c B = 3 televisores
= 3t
A + B = 4c + 3t
No son semejantes, por tanto no pueden reducirse a un total.
3) Ejemplos como estos son también interesantes para el algebra:
* Debo 5 pesos a Juana. Lo simbolizo como -5P * También le debo a Marcos diez pesos Esta deuda la simbolizo como -10p MATEMÁTICA HOY
115
En total la cantidad de dinero que debo es: -5p + (-10p), -5 p
−5 p −10 p Es decir: debo en total 15 pesos. −15 p Para una mejor interpretación, en álgebra, las deudas la expresamos como una cantidad negativa.
En general: *Dos o mas términos son semejantes si las partes literales son iguales y c on exponente iguales. * La suma o la resta solo es posible reducirla a un total si los términos son semejantes.
2.2 Adición y Sustracción de Expresiones Algebraicas Para realizar ambas operaciones, se colocan los términos uno debajo del otro, de modo que cada termino quede de forma vertical a su semejante y luego se reduce a un total según vimos anteriormente. Ejemplo: reducir a un total según sea posible. 4m 2 1) 4m2 , −6m2 → solución:
6m 2
−
2m 2
−
6
12 6
6
6
2) 12 x , 7 x , 3 x
→
solución: +
3)
2
2
3a b, −4a b → solución:
−
7
6
3
6
22
6
3a 2b
−
4a 2b
−
7 a 2b
−
Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)
116
6 xy
2
4) 6 xy , -9 x y → solución:
+
9 x 2 y
−
este es el resultado
6 xy − 9 x 2 y No se coloca uno debajo del otro, en forma vertical, ya que no son de la misma especie, es decir, no son semejantes. 5) 8 x − 4 x 2 ; 6 x − 2 x2 ; 7 x − 3 x2 Solución:
8 x − 4 x 2 6 x − 2 x 2 7 x − 3 x 2 21 x − 9 x 2
Si las expresiones a sumar o restar son polinomios se procede a ordenar los términos y luego se reducen según la forma vista 3 2 3 2 6) Sumar 7 x − 4 x − 3 x + 9 con 6 x − 3 x
+
8x − 4
Colocando términos semejantes uno debajo del otro y luego reduciéndolo: 7 x3 − 4 x2 − 3 x + 9 6 x3 − 3x 2 + 8 x − 4 13
3
−
7 x 2 + 5 x + 5
7) Sumar 2 p + 3q + 6r con p − 2 q + 3r Solución:
2 p + 3q + 6r p − 2 q + 3r 3 p + q + 9 r
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117
8) Restar
5a − 6b + 3c de 8a + 2b − 9c
−
Debemos recordar que restar una cantidad a otra es sumar su opuesto. Así:
8a + 2b − 9c , le sumamos el opuesto de −5a − 6b + 3c que es 5a + 6b − 3c Solución:
8a + 2b − 9c +
5a + 6b − 3c
→
13a + 8b − 12c
Polinomio opuesto de
−
5a − 6b + 3c
9) ( mn − 6 n − 8) − ( 5mn + 9 n − 12) 2
3
2
Solución:
3
mn2 − 6 n3 − 8
−
5mn2 − 9n3 + 12
−4mn 2 − 15n3 + 4
10) Encuentra la suma o total de las expresiones del paréntesis:
1⎞ ⎛ 3 2 3 1⎞ ⎛3 2 1 x x x x + − + + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 8⎠ ⎝ 2 8 16 ⎠ ⎝4 Solución:
3
3
x 2 +
1
x−
1
4 2 8 3 2 3 1 x + x − 2 8 16 9 2 7 3 x + x − 4 8 16
4 1 2
+
3 2
=
4
3
4+3
8
8
+ =
1
3+6
− −
1
8 16
=
=
=
4
7 8
−2 − 1 16
9
=−
3 16
Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)
118
Actividad 1) Dado los polinomios
a) A + B
4
3
3
2
= x5 − 2 x3 +
x 2 + x − 1, B = −3 x4 +
b) A – B
c) 2A - 3B
2 3
x2 − 3 x − 2 , calcular: d) 3 A +
1 2
B
2) Realizar las siguientes operaciones. 3 2 2 3 a) −11 x − 2 x − 7 x + x
b)
7 2
y 3 − y − 4 y 2 −
2
c) 6
3 2
y 3 + 5y + 4y 2
+ 3 x 2 − 7 x2 − 9 x2 + 11x2
d) 2a 2b + 4 a2 b + 3 a2 b − 5 a2 b
e) 3
3
− 7 p 2 + 8q − 4q2 + 6 p2 − 3 p3 + 11q2 − 7 q
3) Resolver reduciendo los términos semejantes.
a)
−6m 2 n
b)
+7 m n 2
−5
2
+ 7 y
+8
2
− 4 y
c)
1 2 3 8
d)
3 xy + 3 yz − 5 2 xy − yz + 4 6 y − 4 yz − 3
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e)
+5b − 3c +2b + 4c −9b − 7c
a−
3 4 1
b
a− b 3
119
4) Realiza lo que se te pide en cada caso.
a) Reste 2
3
− 3 x 2 + x − 5 de 4 x3 + 2 x 2 − 5 x + 9
4 3 2 b) Encuentra la suma de los polinomios 6 x − 3 x + 4 x − 9 x − 10 con −2 x 4 + 5 x3 − 3 x2 + 8 x + 12
3 2 c) De x − 3 x − 1 restar 2 x − 4 x + 5
d) De 25 xyz restar 25 xyz
e) Sumar
1 2
a 2 b con
3 8
a 2b − 16
5) Efectúa las siguientes sumas y restas: 2 2 a) ( x − 3 x + 4 ) + ( −2 x + 3 x − 1)
b) ( − y 2 + 5 y + 3) − ( −2 y 2 − 2 y + 3) c) ( 0.3 x3 + 2 x − 0.4) − ( −0.6 x3 − 2 x + 9)
⎛ ⎝
d) ⎜ 2a 2 − ab +
3⎞ ⎛1 2 1⎞ + ⎜ a + ab − ⎟ ⎟ 4⎠ ⎝3 2⎠
3 1 ⎞ ⎛3 5⎞ ⎛1 e) ⎜ a 2b − ab − ⎟ − ⎜ a2 b − ab + ⎟ 6 12 ⎠ ⎝ 4 2⎠ ⎝2 6) Problema de aplicación.
a) En el mes de noviembre la familia de Pedro ha consumido “x” Kilowatt horas de energía y la familia de Santa consumió en el mismo mes “3y” Kilowatt horas de luz, ¿Qué cantidad de Kw. horas consumieron entre las dos familias en el mes indicado?
Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)
120
b) La distancia en Km. de Santo Domingo a Santiago viene dada por la formula D = 2 x3 + 5 x2 y la de Santiago a Puerto Plata por D = 2 x
3
+
5 x2
−
−
3
3 , ¿Cuál polinomio representa la dis-
tancia total que habrá de Santo Domingo a Puerto Plata?
c) Si en la distancia total del ejercicio anterior x = 6 km. ¿A cuánto kms., representa esta ecuación?
d) Verique la distancia real en kilómetros de Santo Domingo a Puerto Plata y determinar la diferencia con la que calculaste en la sección (c).
2.3 Multiplicación de Expresiones Algebraicas 2.3.1 Multiplicación Esta operación es la suma abreviada de dos o mas sumando iguales. Ejemplo: p + p + p + p = 4p.
Para manejarnos mejor es más conveniente recordar las siguientes reglas de los signos: 1) El producto de dos cantidades con igual signos esta precedido del signo positivo.
( − x)( − x) =
+
( + m)( + m) =
x2
+
m2
2) El producto de dos cantidades donde una de las cantidades esta precedida de signo positivo y la otra de signo negativo, el signo del producto es negativo.
( + x)( − x) =
−
x2
( − )( + x) =
−
x2
MATEMÁTICA HOY
121
2.3.2 Regla de los exponentes La multiplicación de potencias de igual base, se suman los expo nentes, en caso de que no sean iguales se dejan con sus propios exponentes. Ejemplos: Multiplicar monomios. 1) −3a 2 b por 5a 4b3
Pasos: a) -3 x 5 = -15 b) ( a 2b)( a 4 b3 ) = a6 b4 2) Multiplicar −6
3
6 4 respuesta: −15a b
→
y 2 por −9
4
y5
Se pueden colocar de manera vertical.
−6 3 y 2 −9 4 y 5 * +54 x 7 y 7
(Se sumaron los exponentes de “x” y lo mismo se hizo con los de la letra “y”)
Otra forma de hacerlo es colocando las cantidades entre paréntesis y en forma horizontal.
( −6 x y )( −9 x y ) = 54 x 3
2
4
3) Multiplique
5
1 2
7
y7
m 2 n3 por
3 5
mn
1 3 ⎞ 3 3 4 Solución: ⎛⎜ m 2 n3 ⎞⎛ mn ⎟ = mn ⎟⎜ ⎝2 ⎠⎝ 5 ⎠ 10 4) Multiplicar 4abc por −8ab Solución:
4abc *
−8ab
ó también ( 4abc )( −8ab ) = −32a b c 2
−32a b c 2
2
2
3
5) Multiplicar 0.4 x y por 0.6
(
Solución: 0.4 2 y 3
)( 0.6 x
2
2
2
y 3 z
y3 z ) = 0.24 x4 y6 z
Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)
122
6) Multiplique
3 4
5 m 2 n3 p por −6mnp
18 9 ⎛3 2 3 ⎞ m n p ⎟ ( −6mnp 5 ) = − m3 n 4 p 6 = − m3n 4 p 6 4 2 ⎝4 ⎠
Solución: ⎜
2.4 Multiplicar un Monomio por un Polinomio Se procede a multiplicar el monomio por cada término del polinomio, esto se puede hacer directamente o también organizando la multiplicación de forma vertical. Ejemplos: multiplicar 1) 5a − 7 a + 8a − 10 por 6a 3
2
4
1era. Forma (directamente):
( 6a )( 5a 4
3
− 7 a 2 + 8a − 10) = 30a7 − 42 a6 + 48a5 − 60a4
2da. Forma (vertical): 5a 3 − 7 a 2 + 8a − 10
×
6a 4 30a 7 − 42a 6 + 48a 5 − 60a 4
2 2 2) Multiplique x − 2 xy + y por −3 x
Solución:
( −3 ) ( x 2 − 2 xy + y 2 ) En forma vertical tenemos: x 2 − 2 xy + y2 (-3x se multiplica por cada término del polinomio; se toma
−3 x × −3 x3 + 6 x 2 y − 3 xy2 3. Multiplique
1 2
2
en cuenta la regla de los signos.) 3
2
4
5
+ x − 6 por
Solución:
⎛ 2 ⎞⎛ 1 2 3 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎛ 3 ⎞ ⎛ 2 ⎞ x x x 6 + − ⎜ 5 ⎟⎜ 2 ⎟ = ⎜ 5 x ⎟⎜ 2 x ⎟ + ⎜ 5 x ⎟⎜ 4 x ⎟ + ⎜ 5 x ⎟ ( −6 ) 4 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ MATEMÁTICA HOY
123
Desarrollando y simplicando queda
1 3 3 2 12 x + x − x 5 10 5
2.5 Multiplicación de un Polinomio por otro Polinomio Para estas multiplicaciones podemos utilizar las propiedades distributivas y las leyes de los exponentes, según mostramos en el ejemplo. a) Multiplicar 8m3 + 4m2 − m + 5 por 2m 4 − 5m2 − 3m Solución:
(8m
3
+
4 m2 − m + 5 )( 2m 4 − 5m 2 − 3m )
(8m
3
(16m
+
7
4m2 − m + 5 )( 2m 4 ) + (8m3 + 4m2
+
8m6 − 2m5 + 10 m4 ) + ( −40m5
−
−
m + 5 )( −5m
20m4
+
5m3
−
2
) (8m +
3
+
4m 2
−
m + 5 ) ( −3m )
25m2 ) + ( 24m4 − 12 m3
+
3m2 − 15m )
Combinando y reduciendo los términos semejantes nos da el producto:
(16m
7
+
8m6 − 42m5 − 34m4
−
7m3 − 22m2
−
15m )
Este tipo de multiplicaciones la podemos realizar usando un formato vertical con tal de conservar los términos semejantes alineados de la forma siguiente:
x
8m3 + 4m 2 − m + 5 2m 4 − 5m 2 − 3m 24m
4
−
12m
3
+
3m
2
−
( −3m ) (8m3 + 4m2 − m + 5)
15m
40m5 − 20m 4 + 5m3 − 25m 2
−
16m7 + 8m6 − 2m5 + 10m4
(
5m2 ) ( 8m3 + 4m 2 − m + 5 )
−
( 2m ) (8m 4
3
+
4m 2 − m + 5 )
16m7 + 8m6 − 42m5 − 34m 4 − 7m3 − 22m 2 − 15m
Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)
124
b) Multiplicar x
2
−
3 x − 1 por
−
5
Solución:
.
2
+
x − 5 2
5
−
3
3
3 x − 1
−
( −5 ) ( x 2 + 3x − 1)
15 x + 5
( x ) ( x2 + 3 x − 1)
+
3 x 2 − x
−
2 x 2 − 16 x + 5 3
c) Multiplicar 8 y
3
−
12 x 2 y5 por x 2 y3 + xy
Solución: usemos el formato vertical.
8 x3 y3 − 12 x2 y5
.
x 2 y3 + xy
8 x 4 y 4 − 12 x3 y 6
Nótese que no hay términos semejantes por lo que cada término se coloca solo
8 5 y 6 −12x4 y8
de manera vertical.
8 x 5 y 6 − 12x 4 y 8 + 8x 4 y 4 − 12x 3 y 6
Actividad 1.- Realice cada uno de los productos indicados.
a) ( 5 x 2 − 3 x + 6 ) ( 7 x + 2) b)
c)
1 2 1 2
x3 +
x +
3 4
2 5
x2 − 6 por
y por
d) (a - 1) (a + 2) MATEMÁTICA HOY
1 5
−
3 5 1 2
y
2
−
1 x 3
125
e) a 3 por a 2 + 2a + 7 2
f)
y + 1 por 6 y 3
−
g) (2p) (3p -1) (3p + 1) h) (a + b + c) (a) i)
3
m4 +
8
1 4
m3 −
3
m2
12
−
1 16
m + 12 por
1
1 1 m2 − m + 4 3 3
j) ( 0.6 x 2 − 0.3x + 0.8)( 0.2 x3 ) k) a 4 + ab3 − b8 − b12 por a 2 − b 2 l) ( p 2 − p + 3)( p 4 − p2 )
2.- Multiplica los monomios siguientes, recuerda aplicar la ley de los signos y de los exponentes.
a) ( 0.3) ( 0.7 x 2 ) b) ( 9 y ) por
(
c) − x 2 por
7 x5
5
−
2
y 3 z )
−
d) ( 4t 2 )( 6t 4 ) 3 pq 2 por
e)
6 p 2 q
f) (3mn) (-3mn) 8 x 2 y 2 z 3 por
1
g)
−
h)
( −3 ) ( x 2 )( 6 x3 )
i)
−
1 5
xyz 4
a 2 por 20a
Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)
126
j)
k)
1 2
pq por
3 8
6
t por
4
l) -5ab por
3 8
p 2 q3
t 2 3a 2 b 2 c 2
−
1 1 m) t 2 por t 2 2 2 3 3 n) y 2 por − 4 4
2
ñ) 5 x 2 y 2 por 5 x 2 y −
2
−
o) 0.3a 2b por 0.04ab 2
2.6 Casos particulares de la Multiplicación de Polinomios 2.6.1 Cuadrado de un binomio Es el caso en que se multiplica un binomio (cualquiera) por si mismo.
Sea a + b un binomio cualquiera; Como ( a + b )
(a + b)
2
=
2
=
( a + b )( a + b) , tenemos:
( a + b )( a + b) = a2 + ab + ab + b2
y sumando términos semejantes resulta:
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b2
El polinomio resultante se conoce con el nombre de trinomio cuadrado perfecto.
2.6.2 Cubo de un binomio Como ( a + b ) MATEMÁTICA HOY
3
=
2
( a + b ) ( a + b) , resulta teniendo en cuenta el resultado anterior, que:
127
( a + b)
3
=
(a
2
+
2 ab + b2 ) ( a + b) = a3 + a2 b + 2 a2 b + 2 ab2
( a + b)
Y sumando los términos semejantes:
3
+
ab2
a3 + 3a2 b + 3ab2
=
+
b3
+
b3
El polinomio resultante se conoce con el nombre de cuadrinomio cubo perfecto.
2.6.3 Producto de dos binomios conjugados Denición: dos binomios se dicen conjugados cuando uno de ellos es la suma de dos términos cualesquiera y el otro binomio es la diferencia entre esos mismos términos. Sus formas algebraicas son a + b y a – b, respectivamente. Sea entonces: ( a + b )( a − b ) resulta, por aplicación de la propiedad distributiva:
( a + b)( a − b) = a2 + ab − ab − b2 , reduciendo términos semejantes se obtiene: ( a + b )( a − b ) = a2 − b2 En lenguaje vulgar: El producto de dos binomios conjugados es igual a la diferencia de los cuadrados de los términos que los conforman.
Ejercicios resueltos 2
2 2 2 1) 1) ((33 x x ++55yy 2)) ==((3 (3 xx))2 + x)5( 5y )y+ ) +( 5( 5y y) ) ) +22( 3( x3)( 2
9 x 2 + 30 xy + 25 y 2
=
2) ( 4
2
−
6 y 3 )
2 = =
( 4x ) 2
16
4
2
−
2
−
2 ( 4 x2 )( 6 y3 ) + ( 6 y3 ) 2
48 x y
3
+
36 y
R e cuerde :
( x ) ( y ) 2
6
3
3) ( x + y )
3
=
( x)
3
=
+
3
3( x) +
2
2
( y ) + 3 ( x )( y )
3 x 2 y + 3 xy2
+
+
3
2 =
x4
=
y
2
6
( y)
y3
Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)
128
4) ( 2
2
3
−
4 y )
3
( 2x ) 2
=
=
8
6
−
2
−
3 ( 2 x2 )
48 x 4 y + 96 x 2 y 2
5) ( 7 p + 8q )( 7 p − 8q ) = ( 7 p ) =
49
2
( 4 y ) + 3( 2 x2 ) ( 4 y )
−
2
−
64 y3
2
( 8q )
64q 2
6) ( 6m3 − 5n2 )( 6m3 + 5n2 ) = ( 6m3 ) =
−
2 −
2
( 5n ) 2
36m 6 − 25n4
Actividad Resuelve en tu cuaderno los ejercicios siguientes.
1) ( x − y )
2
2) ( 3 x + 3 y )
2
3) ( 5a 2 + 3b 2 ) 1 ⎛1 4) ⎜ x 2 − 4 ⎝2
2
⎞ y⎟ ⎠
2
1 ⎞ ⎛3 5) ⎜ m3 + n 4 ⎟ 8 ⎠ ⎝4 6) ( 0.2 x − 0.3 y ) 7) ( 3 p 2 + 2q 2 )
9) ( 9a 5 + 7b 4 ) MATEMÁTICA HOY
3
3
1 ⎞ ⎛1 8) ⎜ r 4 − t 3 ⎟ 4 ⎠ ⎝2 3
2
3
2
−
( 4 y)
3
129
10) ( 2u − 5 z ) 11) ( x − 2 y )
3
3
12) ( 4 x 2 − 9 y )( 4 x2 + 9 y ) 13) ( 2 x + 3)( 2 x − 3) 1 ⎞⎛ 1 1 ⎞ ⎛1 14) ⎜ v 2 − w2 ⎟⎜ v2 + w2 ⎟ 3 ⎠⎝ 9 3 ⎠ ⎝9 15) ( 2a 6 + 3b 8 )( 2a6 − 3b8 ) 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 16) ⎜ 4m 2 − n3 ⎟⎜ 4m 2 + n3 ⎟ 8 ⎠⎝ 8 ⎠ ⎝
2.7 División de Expresiones Algebraicas La división como operación inversa a la multiplicación, obedece a reglas las cuales deben ser cumplidas para llegar al cociente correcto. Es valido recordar que el producto del divisor por el cociente es igual al dividendo, siempre que el divisor sea diferente de cero. Paralelo entre los Elementos de la multiplicación y la división. 4 24 24 x x
( 4 x ) ( 6 x ) 3
Factores
=
24 x
4
producto
x == 66 x
4
3 3 4 4 x
dividendo divisor
cociente
Como vemos, el divisor (4 x3) por el cociente (6 x) es igual al dividendo (24 x4), siempre que la división sea exacta.
Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)
130
2.7.1 Regla de los signos 1) El cociente de dos cantidades con igual signo está precedido del signo positivo.
3
−
x =
÷−
x3
−
x
= +
x2
−
+
m
3
÷+
m
=
m3 m
= +
m2
2) El cociente de dos cantidades donde una de las cantidades está precedida de signo positivo y el otro signo negativo, el signo del cociente es negativo.
3
x
+
÷−
x=
x3
+
x
= −
x2
= −
x2
−
x
−
3
÷ +
x=
x3
−
x
+
2.7.2 Regla de los exponentes en la división 1) Cuando las expresiones que se dividen son potencias de bases iguales, se escribe la misma base de las potencias y con un nuevo expone nte que se obtiene por la diferencia del exponente del dividendo y el exponente del divisor. Ejemplos: a)
b)
p 7 q8 r 4 5
3 2
p q r
= p 7−5 q8 −3 r 4 −2 = p2 q5 r 2
−a 4 m3 n2 3
am n
= −a 4−1m3−3 n2 −1 = a3 m0 n = a3 n
2) Para obtener el coeciente del cociente se procede a dividir el coeciente del dividendo entre el coeciente del divisor. Ejemplo: a)
8 x6 y 9
⎛8⎞ =⎜ ⎟ 2 x y ⎝ 2⎠ 2
MATEMÁTICA HOY
4
6−2
y 9 − 4 = 4 x 4 y5
131
b)
−28a 5b3 4a 2 b 7
c) − p3 ÷
⎛ −28 ⎞ 5−2 3−7 − a b = −7 a3 b 4 =⎜ ⎟ ⎝ 4 ⎠
1⎞ ⎛ p 2 = − ⎜ −1 ÷ ⎟ p3−2 = −2 p 2 2⎠ ⎝
1
2.8 División de Monomios Cabe señalar que los ejemplos anteriores de por si se constituyen en divisiones de monomios, agregando que en los casos donde las potencias aparezcan con las letras desordenadas, se deben ordenar y luego seguir los pasos anteriormente explicados. Ejemplo: 1) Dividir 4 x3 y4 z 2 entre -2 xyz 2 Solución:
4 x 3 y 4 z 2
−2 xyz 2
= −2 x 2 y 3 z 0 = −2 x 2 y 3
− 6m 7 a 8 n 5 2) −3m3a 4 n Solución: ordenemos las letras del dividendo y el divisor
−6 a 8 m 7 n 5 = 2a 4 m 4 n 4 4 3 −3a m n 3) Dividir
3
p5 q9 ÷ −
1
p 2 q6
4 8 Solución: ordenamos las letras del divisor 3 4
p 5 q9 ÷ −
1 8
3 2 3 ⎛ 3 / 4 ⎞ 5 − 2 9 −6 p q p q = − ⎟ 32 ⎝ −1/ 8 ⎠
p 2 q6 = − ⎜
⎛ 3 ⎞ 5 −3 8 −2 1 2 6 ⎟x y = 4 x y ⎝ 12 ⎠
4) 3 x5 y8 ÷ 12 x3 y 2 = ⎜
1 1 5) a 9 ÷ −3a 5 = ⎛⎜ − ⎞⎟ a9 −5 = − a4 3 ⎝ 3⎠ Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)
132
Actividad Divide directamente los siguientes monomios, escribe el cociente sobre la raya. Si es necesario, utiliza tu cuaderno. 1) −3 8 y 6 ÷ −3x 2 y 4
=
2) a 24b8 ÷ 6a12b 6
=
3) mpn ÷ 2mpn
=
3 7 4) 6 y ÷ −2 y
=
1 3 5) − x 7 y 2 ÷ x 7 y 3 4
=
6)
7)
15ab
3
=
3a 2b3 7 x 3
=
14 y 3 2
8)
30a bc
=
3ab
−
2 3 5 3 3 4 9) − p q ÷ − p q 5 5
=
10) 9k 6 w6 ÷ 81k 5 w7
=
1
=
12) 33a 2b 7 ÷ 11ab 5
=
13)
2
5 4
2
y 3 ÷
3
x5 y8
11)
3
mn
4
÷
4
3 8
mn
3
=
14) 125 p 6 q 8 ÷ 25 p 3q 4
=
15) 28 z12
=
÷
7 z 5
MATEMÁTICA HOY
133
2.9 División de un Polinomio entre un Monomio Esta operación se puede realizar de dos formas diferentes:
Primero
Consiste en aplicar la propiedad distributiva en donde se divide cada termino del polinomio entre el monomio dado, después simplicamos cada fracción siempre que sea posible. Ejemplos: a)
14 x3 + 7 x 2 − 21xy ÷ 7 x
−
Solución:
14 x 3 7 x b)
+
7 x2 7x
−
21xy 7x
2 x 2
= −
+
x − 3y
20 3 y + 10 x2 y − 5 xy ÷ 5 xy Solución:
20 x3 y
−
5 xy
c)
+
10 x 2 y 5 xy
−
5 xy 5 xy
4 x 2
= −
+
2x −1
81ab3 − 63ab4 − 36b3 ÷ 9ab2 Solución:
81ab3
−
9ab
2
−
63ab 4 9ab
2
−
36b3 9ab
2
=
-9b – 7b2 – 4a-1b
Segundo
Se procede a ordenar el polinomio de forma ascend ente o descendente con relación a una letra, normalmente se elige el orden descendente. Luego se divide el primer termino del polinomio entre el monomio, esto se hace parte por parte.
Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)
134
Sigamos los ejemplos: a)
2
7
3
14
−
+
−
21 xy
7 x ________ 2 x 2 + x − 3 y
14 x3
−
7 x 2 7 x 2
−
21 y
−
21 y 0
10 x 2 y − 5 xy + 10
b)
+
20 y
−
5 xy ______
3
20 x3 y
4
−
2
+
2 x − 1
10 2 y 10 x 2 y
−
5 xy
−
5 xy +10
c) 81ab3
63ab 4 − 36ab3
−
9ab2 _________ 9b − 7b2
81ab3
−
−
63ab 4
−
63ab 4 36ab3
−
36ab3 0
MATEMÁTICA HOY
4b 4a2 1 b −
135
Actividad a) Realizar las siguientes divisiones. Especifca el cociente y el residuo.
1) 12 4 y 3 − 2 x4 y3 − 8 xy ÷ −4 xy 2) 50m 4 n 2 − 25m4 − 10m3 ÷ 25m2 3
3) 6
y 2 − 9 y ÷ 3 y
−
4) 39ab3 − 12ab4 − 26b3 ÷ 13ab2 5) 2 x 6 + 50 x 4 − x3 + 6 x ÷ −2 x 6) 6a 5 + 12ab ÷ 3a 7) a 3 + ab3 ÷ ab 8) x 4 − 5 x3 + 10 x2 + 15 x ÷ −5 x 9)
2
1 a 5 − a 3b3 − ab5 ÷ 5 a 5 3
10)
1
2
2
−
2 2 x ÷ x 5 3
1 3 11) a 3 − a 2 3 5 12)
2 3
4
y 3 −
1 5
÷−
3 5
a
x3 y 4 +
1 4
x2 y5 − xy6
13) 0.8m 4 + 0.6m3 − 0.4m2 14)
1 16
p12 +
1 8
p6
−
1 4
p2
÷
+
1 2
÷−
1 5
xy3
0.2m ÷ 0.2m p
15) 6 y 3 − 3 y 2 − 9 ÷ 3 y
Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)
136
2.10 División de Polinomio El procedimiento es semejante a los anteriores, debido a la complejidad de algunos pasos, es preferible explicarlo con ejemplos: Ejemplo 1: Hallar el cociente y resto de la división.
(4
4
−
2 x3 + 10 x 2
+
3x )
÷
1° Dividiendo
( x 2 + x + 1)
4
4 x
−
2
=
4 x 2
del cociente. 2
3
4
3
−
4
4 x 4
x obtenemos el primer termino
Solución:
4
Pasos:
−
+
10 x 2 + 3x
x 2 + x + 1
−
4 x 2
4 x 2 − 6 x + 12
6 x 3
−
6
3
2° Multiplicamos el divisor por 4 x2 y el resultado se le resta al dividendo para lo cual se cambia
6 x 2 + 3 x
+
el signo a cada término. 2
6
+
+
6 x 3° El primer resto es
12
12 x 2
−
6 x3 + 6 x2
−
9 x
+
2
12 x − 12
−
proceso para los demás términos.
3 x − 12
Ejemplo 2: Dividir 16x4 – 1 ÷ 2x – 1 Solución:
−
1
2
− 3 4
16 x
8
+
3
8 x3 8
−
−
1
8 x3 + 4 x2 + 2 x + 1
1 2 +4 x −
3
1
2
4 4
−
−
2
2 x
+
1 −2 x +1 2 x
−
0 MATEMÁTICA HOY
3x
a partir de aquí, se repite el mismo
−
3 16 x4
+
137
Actividad 1) Hallar el cociente y el resto de la división.
a) ( 4 x5 − 3 x4 + 2 x3 − 2 x ) ÷ ( x2 + 3 x + 1) b) ( −2
4
+ 3 x3 + x − 2 ) ÷ ( x2 + x )
c) ( 2 x3 − 3 x 2 + 5 x + 1) ÷ ( x2 + 1) d) ( 5 x 4 − 6 x 2 + 2 x − 3) ÷ ( x2 − 2) e) ( a 4 − a 2 − 2a − 1) ÷ ( a2 + a + 1) 35 2 2 3 ⎞ ⎛2 3 ⎞ ⎛1 f) ⎜ x3 − x y + xy2 − y3 ⎟ ÷ ⎜ x − y ⎟ 36 3 8 ⎠ ⎝3 2 ⎠ ⎝3 2) Efectúa las siguientes divisiones.
a) ( −12 x3 − 8 x2 + 21x + 14) ÷ ( − 3x − 2) b) ( 3 x − 8 x + 9 x − 2 x + 7 ) ÷ ( x − x − 1) 4
3
2
2
c) ( 6 x 4 − 5 x3 − 5 x 2 + 1) ÷ ( 3 x2 + 2 x − 1) d) ( 3 x 4 − x2 − 1) ÷ ( 3 x 2 − 3 x − 4) e) ( 9 x 4 − 4 x 2 − 1) ÷ ( 3x 2 − 2 x + 1) 3) Completa estas divisiones.
a) 6 x3 − 4 x 2 + 3 x − 5
−6 x3 x2 − 6 x
x 2 − 3 x + 1 6 x + 14
b) 2
2
+ 5 x − 1
4 x + 1
1
1
9 x + 2 8
−2 x 2 − x 2
14 x 2 − 3 x − 5
−14 x 2 x −
x − 1
− x − − Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)
138
Evaluación del tema 2, Unidad II I. Escribe V o F según sean verdaderas o falsas, las siguientes expresiones.
a)
5mnp es un término algebraico.
b)
3 x2 + 5 y está formada por dos términos.
c)
en 9a 2 b3 , el coeciente del término es positivo.
d)
Una variable es un símbolo usado para representar números.
e)
El grado absoluto de la expresión 6m2n5 es 7mo.
II. Escribe el grado absoluto de cada término.
a) b)
11m5 n7 = _______________
−
3 4
a5 b 6 c2 =________________
c)30 xyz = _________________ d) 7 p6 q 7 = ________________ e) −9 x4 y 6 = _______________ III. Haga un apareamiento de los términos de la izquierda con la clase de expresión que le corresponda en la derecha.
a) 3a6 b)
1
* Trinomio y − 3
2
c) x2
* Polinomio de 4 términos
5
d) 11 p7 e) 3w5
* Binomio
y 2 − z 3
−
−
+
* Monomio
8
2v 4
−
* polinomio de 5 términos
6t − 4
f) 100c 6 g) a
6
−
7a 5 + 4a 4
MATEMÁTICA HOY
−
9a 3
+
5a 2
139
IV. Escribe el grado de cada polinomio
a) 3a 2 + 8a − 7 a 4 6
b) 3
−
11 x 4
c) 9 − m + 70m2 + 50m7
−
30m8
d) 3 x3 + 8 x 2 − 7 x e) 19k 12 + 14 p16 − 17q11 V. Dado el termino:
15 p 6 q 4 r 12 , complete:
−
a) El
es de 6to. Grado con relación a la letra
b) El término es
grado absoluto
c) El término es de
con relación a la letra r y de cuarto grado con rela-
ción a la letra d) Es un e)
negativo es el coeciente del término
VI. Clasifcar las siguientes expresiones algebraicas de acuerdo al número de términos que posee.
a) 5m3 n 2 + n4 = _____________ b)
12 xy = ______________
−
c) 4 p − 8q + 6r = __________ d) −205 y 4 = ___________ e) a = _______________ f) p + q = ____________ g) 3 y 3 + 4 y 2 − y + 6 xy + 10 = _____________ Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)
140
VII. Defne y ejemplifque un polinomio P de variable X.
VIII. Decido ir al cine con Rosa. Si una entrada vale “x” pesos y una funda de palomitas “y” pesos, elige que expresión de la 1 a la 5 se relaciona con el ga sto que supone cada una de estas situaciones:
a) Ir los dos al cine, comprar una palomita y 50 pesos de dulces.
___ 2x - 50
(1)
b) Comprar 2 entradas y 2 palomitas de maíz.
___ (2x + 2y) - 50
(2)
c) He comprado 2 entradas y hemos gastados 50 pesos en dulces. ___ 2(x + y)
(3)
d) Me faltaron 50 pesos para poder comprar dos entradas.
___ 2x + y + 50
(4)
e) Al comprar 2 entradas y 2 palomitas nos rebajamos 50 pesos.
___ 2x + 50
(5)
IX. Con la cantidad “m” de dinero que tengo decido comprar un apartamento que vale “n” cantidad de dinero, pero al pagar me hacen saber que hay una promoción de rebajar “P” pesos por comprar al contado. Decide cual de las siguientes expresiones corresponde al dinero que me queda fnalmente. “explica la respuesta”.
a) m – (n + p)
MATEMÁTICA HOY
b) m – n – p
c) m – (n – p)
141
X. Juan compra un boleto aéreo que cuesta “K” pesos, para dos personas. La línea aérea rebaja $500 por escoger esta opción, ¿Cuál expresión algebraica representa la situación planteada?
XI. Ordene en forma ascendente los polinomios siguientes
a) P( x ) ) Q( x )
=
2 x 4 − 7 x + 3 x5 −10 x8 5 xy 2
= −
+
+
12 x2
−
4 x7
3 x2 y − 9 x5 y3 + 10 x4 y4
−
−
x3
+
5 x6
−
15
7 x6 y5
XII. Ordene en forma descendente estos polinomios
a) 4a 5 − 8a + 3a 2 − 9a4 + 8a3 − 1 = ____________________ b) 5 y 6 − 3 y 2 + 4 y 5 − 9 y3 − y 4 + 7 − y = ____________________
XIII. Encuentra el valor de “a” de forma que:
a) Para y = a, el valor numérico de -6y + 1 sea -5
b) Para x = a, el valor numérico de 3 x2 -6 sea 6 c) Para x = a 2 , el valor numérico de 3x – 8 - a 2 , sea 0
d) Para x = a + 2, y = a, el valor numérico de xy - y2 sea -10
XIV. Realiza las siguientes operaciones:
a) −11 x3 − 2 x 2 − 7 x 2 + x3
⎛3 ⎝5
b) ⎜
3
⎞⎛ 1 2 ⎞ ⎟⎜ 2 y ⎟ ⎠⎝ ⎠
c) −16a8 ÷ 4a3 Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)
142
⎛6 ⎞ ⎛ 3 ⎞ d) ⎜ x3 ⎟ ÷ ⎜ − x ⎟ ⎝7 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎛ 1 2 ⎞⎛ 1 6 ⎞⎛ 3 5 ⎞ y ⎟⎜ y ⎟⎜ y ⎟ ⎝ 4 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 7 ⎠
e) ( 7 y 3 ) ⎜ −
XV. Hallar el valor numérico de los polinomios siguientes:
a)
3a x
+
2y m
+
3
17 n y
−
m n
+ 2 ( x − y + 4 ) ; para a = 2, x = -2, y = -1, m = 3, n= 1/2
3
3
b) ( b + a ) − ( b − c ) − ( a − c ) ; para a = -1, b = 2, c = -1/2
XVI. Suma las expresiones siguientes.
a) a 3 + b 3 ; −3a 2 b + ab2 − b3 − 5 a3 − 6 ab2 + 8;3 a2 b − 2 b3
b)
3 4
a2 +
2
1 1 1 1 b 2 ; − ab + b 2 ; ab − b2 3 3 9 6 3
XVII. De la suma de a − 7 + a ; a − a − 6 a + 8; −5 a − 11a + 26 , restar la suma de 3
5
4
2
2
−a3 + a 2 − a 4 con 15 + 16a 3 − 8a 2 − 7a con
XVIII. Defnir términos semejantes y poner 3 ejemplos.
MATEMÁTICA HOY
143
XIX. Multiplique:
⎛1 ⎞ a) ⎜ x 2 y3 ⎟ ( 6 x3 y 2 − 8 x4 y3 + 12) ⎝2 ⎠ b) ( − 3 y ) ( 6 x3 − 7 xy + 8 y − 12 y2 ) 7 ⎞⎛ 2 ⎛3 ⎞ c) ⎜ ab − b2 ⎟⎜ ab2 − 10 ⎟ 8 ⎠⎝ 5 ⎝4 ⎠
XX. Escribe el resultado de cada división
3 1 a) − y12 ÷ y 7 8 2 b) 8m6 ÷ 4m 2 c) (15a 4 + 6a3 − 12a ) ÷ 3a ÷ (2 x – 4) d) 6 x − 4 x − 10 x + 6 x ( 2 x − 4) 4
2
XXI. Escribe V o F según sean falsas o verdaderas cada expresión
a) Dos cantidades negativas divididas dan un cociente negativo b) En la división de bases iguales, se copia la base y se suman los exponentes c) En la multiplicación algebraica, los exponentes de las bases, se dividen d) En la suma algebraica los exponentes de las bases, se dividen e) Dos cantidades positivas multiplicada, dan su resultado negativo
Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)
144
XXII. Relaciona cada columna de la izquierda con su correspondiente. 6
a)
x 2
b) 3a 7 b 4 ÷ 3ab2 c)
−
d)
(
1 2
p8 ÷
3
*
÷−
1 3
p3
2 p 7 )( −5 p 2 )
−
2
p5
* 10 p9 *
−
4
* a 6b2
e) (12a 9b6 ) + ( −7 a9 b6 )
* 6 x 6 y + 4
f) (120 x3 y 2
* 5a 6b6
+
80 xy ) ÷ ( 20 xy )
XXIII. Escribe lo que se te pide:
a) Un polinomio en la variable x de 4º completo P(X): ________________________
b) Un polinomio en la variable “y” de 5º incompleto. P(X): _________________________
c) El sustraendo que se le debe quitar a ¾ q3 + 8 para que la resta dé Sustraendo: ____________________
d) El producto de 6 x3 por -4 x3 y2 Producto: _____________________ e) La suma o total de 3x + y; -6x + 5y; 2x + y Total: ____________________
f) Un monomio de 6° absoluto: Monomio: ________________
MATEMÁTICA HOY
7 8
q3 − 1
