Solucionario del Examen
ACADEMIA
de admisión UNASAM 2010 - II tica
Matemá PREGUNTA N.º 01 En una panadería se sabe que 6 hornos consumen 60 toneladas de leña, trabajando 10 horas diarias durante 18 días. Calcule cuántas toneladas de leña serán necesarias para mantener trabajando 5 hornos más durante 90 días a razón de 7 horas diarias.
Antes de aplicar el método práctico (al igual que el ejercicio anterior), debemos tener en cuenta que “vez y media” es equivalente a:
A) 250 ton B) 355 ton D) 400 ton
Según esto, nuestro ejercicio será equivalente a que César tiene 3/2 veces la habilidad de Jaime, y con el propósito de evitar fracciones, llamaremos 2x la habilidad de Jaime, con lo que se tiene:
C) 385 ton E) 430 ton
Resolución
1+
1 3 = 2 2
H T A M G I S
Tema: Regla de tres Compuesta
Habilidad
A I M E D
Como en el ejercicio intervienen más de 3 magnitudes, entonces se trata de una regla de tres compuesta, y para resolverlo haremos uso del método práctico.
A
CA
Hornos
h/d
Días
Leña (ton.)
6
10
18
60
11
7
90
César
3x
Jaime
2x
Aplicando el método práctico
x
Obreros
Días
Obra
5x
10
1
2x
d
1
5 hornos más
5 x ⋅ 10 ⋅ 1 = 2 x ⋅ d ⋅ 1
(6)(10)(18)( x) = (11)(7)(90)(60) x = 385
d = 25
Respuesta: Por lo tanto, se necesitan 385 toneladas de leña para mantener trabajando 11 hornos Alternativa C
Respuesta: Por lo tanto, Jaime demorará 25 días en hacer la obra sólo. Alternativa B
PREGUNTA N.º 02 César y Jaime realizan una obra en 10 días. Teniendo César vez y media la habilidad de Jaime, ¿en cuántos días realizará Jaime solo la misma obra?
PREGUNTA N.º 03 Un móvil se desplaza a velocidad constante recorriendo primero 540 km, luego 810 km. Si el MCM de los tiempos empleados es 162. ¿Cuántas horas se ha demorado en total?
A) 22 días B) 25 días D) 27 días
A) 135 h B) 105 h D) 165 h
C) 23 días E) 24 días
Resolución Tema: Regla de tres Simple
C) 120 h E) 150 h
Resolución Tema: M.R.U.
1
EXAMEN ORDINARIO
Como la velocidad del móvil es constante, entonces se trata de un M.R.U., luego: t1
t2
v→
v→ 810 km
B
C
Aplicando la ecuación del M.R.U. Tramo AB: v =
540 t1
Tramo BC: v =
810 t2
Al igualar ambas ecuaciones se tiene t = 2k t 540 810 2 = → 1 = → 1 t1 t2 t2 3 t 2 = 3k
(α)
Como dato nos dan: MCM ( t1 , t 2 ) = 162
(k) MCM ( 2, 3 ) = 162 6
6k = 162
→
Sea 100x el total de alumnos sufragantes, entre hombres y mujeres, donde Mujer = M y Hombres = H , entonces según condiciones del problema se tiene: 48 x 100 x 52 x
{M
12 x → (lista B)
{H
26 x → (lista B)
36 x → (otra lista) 26 x → (otra lista)
Según el esquema mostrado, la cantidad de votantes por la lista B es:
H T A M G I S →
MCM ( 2k, 3k ) = 162
Tema: Tanto por Ciento
A I M E D
Como piden calcular ¿Cuántas horas se ha demorado en total? Entonces sumaremos los tiempos empleados t1 + t 2 .
C) 36% E) 40%
Resolución
v→
540 km
A
A) 32% B) 34% D) 38%
A C A
12 x + 26 x = 38 x
Como piden el porcentaje de alumnos que votaron por la lista B, entonces solo hay que comparar que porcentaje representa 38x respecto de 100x , y como es fácil darse cuenta 38x representa el 38% Respuesta: Por lo tanto, el 38% de alumnos de la UNASAM votaron por la lista B Alternativa D PREGUNTA N.º 05
k = 27
Reemplazando el valor de k en (α)
Después de resolver x + 7 − x −1 > 2 . El número de soluciones enteras es:
t1 = 2k t 2 = 3k
A) 1 B) 2 D) 4
→
t1 = 54 t 2 = 81
Respuesta: Por lo tanto, el auto se ha demorado en total t1 + t 2 = 135 h.
C) 3 E) 5
Resolución Tema: Inecuaciones Irracionales
Alternativa A
PREGUNTA N.º 04 En la UNASAM se ha realizado las elecciones para la Federación de Estudiantes. El 48% de los alumnos sufragantes son mujeres, de las cuales el 25% votan por la lista B, que además obtuvo los votos del 50% de los hombres. El porcentaje de los alumnos que votaron por la lista B es:
x + 7 − x −1 > 2
(α)
Calculando el campo de existencia (el universo) x +7 ≥ 0 x ≥ −7
∧ ∧
x −1 ≥ 0 x ≥1
Por lo tanto U = 1, +∞ es el campo de existencia.
2 3
EXAMEN ORDINARIO
A la inecuación (α) la podemos escribir equivalentemente de la siguiente manera. x + 7 > 2 + x −1
Elevando al cuadrado
x + 7 > 4 + 4 x −1 + x −1
Observación.- en i) y ii) se han considerado los valores positivos porque la condición inicial es: 0 < y < x En el ejercicio piden calcular x 2 − y 2 , dándole forma a esta expresión y reemplazando los valores de i) y ii) se tiene:
4 > 4 x −1
x 2 − y 2 = ( x + y )( x − y )
1 > x −1
x 2 − y 2 = ( 1)
1 > x −1
Respuesta:
x<2
(β) →
C.S. = 1, 2
A C A
x 2 + y2 = 7
Teniendo en cuenta que: El valor de x − y
( x 2 + x + 1)
2
H T A M G I S
PREGUNTA N.º 06
2
Alternativa D
PREGUNTA N.º 07
Respuesta: Por lo tanto, como piden el número de soluciones enteras, entonces solo habrá uno. Alternativa A
2
)
13 = 13
Por lo tanto, x 2 − y 2 = 13
Luego el C.S. = (β) ∩ U
0
(
,
Al factorizar primo, es:
A I M E D
− 15 + 3 x + 3 x 2 ; un factor
A) x 2 + x − 7 B) x 2 + 7 D) x − 2
C) x + 1 E) x + 2
Resolución
xy = 3 ,
Tema: Factorización
es
( x 2 + x + 1) − 15 + 3 x + 3 x 2 2 ( x 2 + x + 1) + 3 ( x 2 + x − 5 ) 2 ( x 2 + x + 1) + 3 ( x 2 + x + 1 − 6 ) 2
A) – 1
B) 1
C) 2
D) 13
E) 2 + 13
Resolución
Con el efecto de simplificar los cálculos, en esta parte del ejercicio haremos un cambio de variable, sea:
Tema: Productos Notables Como datos tenemos
x 2 + y2 = 7 ;
Además sabemos que: i)
( x + y)
2
= x + 2 xy + y
( x + y)
2
= 7 + 6 = 13
2
2
2
= x 2 − 2 xy + y 2
2
=7−6 =1
( x − y) ( x − y)
x −y = 1 =1
xy = 3
x2 + x + 1 = m Reemplazando este valor en (α)
x + y = 13 ii)
(α)
m2 + 3 ( m − 6 )
( m + 6 )( m − 3 ) Volviendo a la variable primitiva x
( x 2 + x + 1 + 6 )( x 2 + x + 1 − 3) ( x 2 + x + 7 )( x 2 + x − 2) ( x 2 + x + 7 ) ( x + 2)( x − 1)
3
EXAMEN ORDINARIO
Respuesta: Por lo tanto, según las alternativas, uno de los factores primos es ( x + 2 )
PREGUNTA N.º 09 Dada la matriz
Alternativa E
1 1 1 A = 1 x + 1 1 1 1 y + 1
PREGUNTA N.º 08 Sea el polinomio homogéneo b −5
P( x, y, z) = b 2 x b
3
− ayb + ba −2 z a
El determinante de la matriz A es:
b +1
A) 0
La suma de sus coeficientes es: A) 64 B) 68 D) 46
D)
C) 24 E) 32
B) x + y
x+y xy
H T A M G I S A I M E D
Tema: Determinantes
A C A
Como el polinomio P( x, y, z) es homogéneo (según condición del problema), entonces debe cumplirse que el grado absoluto de todos sus términos sean iguales: b b −5
= b3
(I)
De (I):
b
b −5
=b
3
= ab+1
El determinante adjunto a la matriz A es: 1 1 1 A = 1 x +1 1 1 1 y +1
(II)
→ b−5 = 3 → b =8
Reemplazando el valor de b en (II) De (II):
Como el determinante A es de orden 3, entonces aplicaremos la regla de Sarrus.
1 1 1 A = 1 x +1 1 1 1 y +1
b 3 = ab+1 → 8 3 = a 9 → 29 = a 9 → a = 2 Reemplazando los valores de a y b en la función:
(−) 1
(−)
1 x +1 1 1 (+) (+) (+)
A = [(1)( x + 1)(y + 1) + (1)(1)(1) + (1)(1)(1)] −
A = ( x + 1) ( y + 1) + 2 − ( x + 1 + 1 + y + 1)
Calculando la suma de coeficientes
A = xy + x + y + 1 + 2 − x − y − 3 = xy
Coeficientes = 64 − 2 + 2 = 64
Respuesta:
Respuesta: Por lo tanto,
(−) 1
[(1)(x + 1)(1) + (1)(1)(1) + (y + 1)(1)(1)]
P( x, y, z) = 64 x 512 − 2y 512 + 2z 512
∑
E) 2
Resolución
Resolución Tema: Polinomios
C) xy
∑
Coeficientes = 64
Por lo tanto, A = xy Alternativa A
Alternativa C
4 5
EXAMEN ORDINARIO
PREGUNTA N.º 10 En la figura, determinar el valor de “x”, sabiendo que AC = PT y QP // RC
También se cumple que:
B 12 cm Q
x
R
8 cm P
A
x+4 4 = 4k 2k 5
4 cm
C) 6 cm E) 10 cm
8 A
PREGUNTA N.º 11 En un triángulo ABC, con AB = 18 cm , se traza la mediana BM . Calcular la longitud de tal mediana, si
m = 5k
x
n = 2k
A C A
3k1 a = 2k1 a = 5k1
2k1
A) 4 cm B) 5 cm D) 9 cm
T
Resolución
Piden calcular la longitud de la mediana BM
B
Como QP // RC , entonces los triángulos ∆AQP y ∆ABC son semejantes, o sea ∆AQP ≅ ∆ABC y en ello se cumple que: ⇒
n 2 = m 5
⇒
m = 5k n = 2k
⇒
a 5 = b 2
⇒
α+β
18
α+β
α
A
α
M
N
β
C
Como dato tenemos: mA = mMBC − mC
También por semejanza a b = 5k 2k
C) 8 cm E) 12 cm
Tema: Triángulos
4
R
C
P
A I M E D
Sean AP = b , AC = a , QP = n , BC = m
20 8 = m n
Alternativa E
mA = mMBC − mC
Tema: Semejanza de Triángulos
12
⇒ x=6
H T A M G I S
Resolución
B
x + 4 20 = 2k 4k
⇒
Respuesta: Por lo tanto, x = 6
T
C
A) 3 cm B) 5 cm D) 8 cm
Q
5k1 2k1 4k PT CT = ⇒ = ⇒ RC = 2k RC 5 QP RC
→
mMBC = mA + mC
a = 5k1 b = 2k1
Como AC = PT , entonces PC = 3k1 y CT = 2k1 En la figura también hay otros dos triángulos que son semejantes ∆PQT ≅ ∆CRT , entonces
Si mA = α y mC = β , entonces mMBC = α + β Si trazamos la recta MN // AB obtenemos que MN es base media del ∆ABC , entonces MN = 9 . El ∆BMN , es un triángulo isósceles (ver figura), con BM = MN , entonces BM = MN = 9
5
EXAMEN ORDINARIO
Respuesta: Por lo tanto, la mediana BM = 9 cm.
Alternativa D
Respuesta: Por lo tanto, la recta L que contiene a la altura “h” intersecta en el punto D(0, −4)
Alternativa B
PREGUNTA N.º 12 Los vértices de un triángulo son los puntos A(−3, 3) , B(5,6) y C(9, −3) . La recta que contiene la altura BH del triángulo intersecta el eje “y” en el punto.
PREGUNTA N.º 13 Con los datos que se dan en la figura, determinar: tan(θ) + sec ( θ ) B
A) (0, −2)
B) (0, −4)
C) (−4,0)
D) (0, −6)
θ
θ
Q
P
E) (0, 2)
6
Resolución
8 A
20
C
Tema: Geometría Analítica
L
Y
B(5,6)
A
h
A(−3, 3)
3 2
CA
A)
A I M E D
B)
D) 3 + 5
X
a
D(0, y)
C(9, −3)
Para calcular la componente “y” del punto D usaremos la propiedad de rectas ortogonales que dice: a ⊥ b ⇔ a⋅b = 0
1+ 5 2
E) 5 − 1
Resolución
Tema: Razones Trigonométricas en el Triángulo Rectángulo
AB = cot θ 6
→
AB = 6 cot θ
→
BC = 8 cot θ
• En el ∆BCQ BC = cot θ 8
• En el ∆ABC aplicamos el teorema de Pitágoras: AB 2 + BC 2 = 20 2
En nuestro ejercicio: a = CA = A − C = (−3, 3) − (9, −3) = (−12,6) b = DB = B − D = (5,6) − (0, y) = (5,6 − y)
100 cot 2 θ = 400
Reemplazando en la propiedad
cot θ = 2
→
(−12,6) ⋅ (5,6 − y) = 0 (−12)(5) + (6)(6 − y) = 0 y = −4
C)
• En el ∆PAB
b
a⋅b = 0
1+ 5 3
H T A M G I S
Ubicando y uniendo los puntos A, B y C en el plano euclidiano obtenemos el siguiente triángulo
( 6 cot θ )
2
→ 2
+ ( 8 cot θ ) = 400
36 cot 2 θ + 64 cot 2 θ = 400
• En el ∆PAB AB = 6 cot θ = 6 ( 2 ) = 12 PB = 6 5
(por Pitágoras)
6 7
EXAMEN ORDINARIO
De aquí se obtiene que
Piden calcular
(
)
tan θ =
6 12
(I)
E = sec 4 θ 1 − sen 4 θ − 1
sec θ =
6 5 12
(II)
4 E = sec 4 θ − sen ⋅ sec 4θ − 1 θ tan4 θ
Piden calcular tan θ + sec θ .
Recordar :
Reemplazando los valores de (I) y (II) en lo pedido: tan θ + sec θ =
(
)
6 6 5 6 1+ 5 1+ 5 + = = 12 12 2 12
sec 4 θ = 1 + 2 tan 2 θ + tan 4 θ
E = 1 + 2 tan 2 θ + tan 4 θ − tan4 θ − 1 2
E = 2 tan 2 θ = 2 ( 2 ) = 8
Respuesta: Por lo tanto, tan θ + sec θ =
1+ 5 2
Respuesta: Por lo tanto, E = 8
H T A M G I S Alternativa C
PREGUNTA N.º 14
CA
A I M E D
θ θ Si cos(θ) ⋅ sec = sen , determinar el valor de 2 2
(
)A
E = sec 4 θ ⋅ 1 − sen4 θ − 1 A) 3 B) 4 D) 7
C) 5 E) 8
Alternativa E
PREGUNTA N.º 15 Siendo α un ángulo agudo tal que sen(3705°) = cos(α) , calcular: E = sec(15α) − csc(9α)
A) 2
B) − 2
C) 2 2
D) −2 2
Resolución
E) −2
Resolución
Tema: Identidades Trigonométricas
Tema: Razones Trigonométricas
Como condición del problema tenemos:
sen(3705°) = cos(α)
θ θ cos θ ⋅ sec = sen 2 2
Reduciendo el primer cuadrante (IC) a sen(3705°) .
θ sen 2 = sen θ ⋅ cos θ cos θ = 2 2 θ sec 2 Recordar : θ θ sin θ sin ⋅ cos = 2 2 2
sen θ cos θ = 2
(∗)
3705° 105°
360° 10
El residuo r = 105° ∈ IIC El ángulo de referencia α r = 180° − 105° → α r = 75° .
Como 3705° ∈ IIC , entonces sen(3705°) es positivo, luego: sen(3705°) = sen(75°) .
→
tan θ = 2
Reemplazando en (∗) .
7
EXAMEN ORDINARIO
sen(75°) = cos(α) Co-razones trigonométricas
Como α es un ángulo agudo y sen, cos son complementarios, entonces: 75° + α = 90°
→
α = 15°
Piden calcular E = sec (15α ) − c sc(9α) E = sec ( 225° ) − c sc(135°) Reduciendo al primer cuadrante (IC)
H T A M G I S
E = − sec ( 45° ) − c sc(45°) E = − 2 − 2 = −2 2
Respuesta:
Por lo tanto, E = −2 2
A C A
A I M E D
Alternativa D
8
