10. MÓDULO 3: APLICACIONES DE LA DERIVADA 10.1. CONTENIDO DEL MÓDULO:
Conceptos de la Derivada, aplicación de la derivada: máximo y mínimo y práctica en soluciones a problemas reales.
10.2 Objetivos Específicos del Módulo lasderivadas. 1. Trazar gráfica de una función utilizando lasderivadas. 2. Identificar contextos y situaciones donde la derivada tiene un significado
3.
particular y contribuye a la modelación de situaciones o fenómenos. Plantear y resolver problemas con situaciones modeladas a través de funciones y en cuya solución interviene la noción de derivada.
10.3. Esquema Conceptual del módulo:
10.4. Lecturas Sugeridas 10.4.1 Lectura 1: Trazo de graficas de funciones de valor real. Estudiemos algunos Elementos Básicos necesarios para el Trazado de una Curva Si una función f tiene un valor Máximo Relativo, ó, un Mínimo Relativo en un valor c, c (a, b ) , se dice que: - f tiene un VALOR EXTREMO (Relativo) en c - c es un VALOR CRÍTICO de f . - f (c ) es el Máximo Relativo ó el Mínimo Relativo de f
Ejemplo 1. En la función f definida por f ( x ) = x² - 2 x − 3 (cuya gráfica corresponde a una Parábola) de vértice V (h, k ) ocurre que k es el valor Mínimo de f por lo tanto, h es un Valor Crítico de f , y, k es un valor Extremo de f
Veamos:
h=
−b
y
2a
k = f (h ) ,
Entonces, h=
2 2
h =1
y
k = f (1)
y
k = −4
Así, 1 es un Valor Crítico de f, así f tiene un Valor Extremo en 1, dicho valor extremo es – 4, que es, en este caso, el Mínimo de f. Observe que f ’( 1 ) = 0 , en efecto, f ’( x ) = 2 x − 2 ; f ’( 1 ) = 2(1 ) − 2 = 0 En general, Si una función f tiene un Extremo Relativo en c, entonces f ’(c ) = 0,
si
f ’(c )
existe
-1
0 1
3
-4 V(h,k)=(1,-4)
Analicemos la siguiente gráfica:
f ’( d) no existe f (d) f ’( x ) < 0
d
f ’( x ) > 0
t
f ’ (t ) = 0
f (t)
d, t : Valores Críticos f (d ), f( t ) : Valores Extremos f( d ) : Máximo Relativo f( t ) : Mínimo Relativo La función f es creciente en los intervalos (− , d ), y ( t , ) en estos casos se dice que f es Creciente en ( − , d ) U (t , ) La función f es decreciente en el intervalo ( d , t ) Si se trazan algunas tangentes a f, se puede determinar que: En donde f es creciente, la pendiente de dichas rectas es positiva ( m > 0 ) En donde f es decreciente, la pendiente de dichas rectas es negativa ( m < 0 ) En donde f tiene un valor extremo, f ’( x ) = 0 ó f ’( x ) no está definido. En general, el Criterio de la Primera Derivada, que es como se denomina, indica que: Si f ’( x ) > 0 para todo x en un intervalo I, entonces f es creciente en dicho intervalo I Si f’( x ) < 0 para todo x en un intervalo I, entonces f es decreciente en dicho intervalo I Si b Df , y f ’ ( b ) = 0, ó, f’( b ) no está definido entonces b es un valor Crítico de f, y, f ( b ) es un valor extremo relativo de f.
Ejemplo 2. Para la función f definida por la ecuación f ( x ) = − x ³ + 6 x ² - 9 x - 1, determine utilizando el criterio de la primera derivada: -
Valores Críticos Intervalos de Crecimiento y de Decrecimiento Valores Extremos Gráfica de f
Veamos: Para determinar los valores críticos, se calcula la derivada de la función f: f ’( x ) = −3 x² + 12 x - 9 Se tiene en cuenta que dichos valores ocurren cuando f ’( x ) = 0, ó f’( x ) no está definido. Para la función f que estamos estudiando, f ’( x ) está definida para todo x R f ’( x ) = 0
Analizamos entonces −3 x² + 12 x - 9 = 0
por lo tanto:
− 3 ( x ² - 4 x + 3) = 0 ( x − 3)( x − 1) = 0 x = 3 ó, x = 1
Los Valores Críticos de f son 1 y 3. Para examinar si f tiene un extremo relativo en esos números, aplicamos el Criterio de la Primera Derivada. En la figura que aparece a continuación, se encuentran ubicados los valores críticos 1 y 3
1 Construimos los intervalos
3
(− ,1 ), ( 1 ,3 )
y
( 3 , ) en donde analizamos el signo de
f’ :
(i) Si x (−,1 ),f ’( x ) < 0 Veamos por qué: Esto se determina eligiendo un valor arbitrario para x en dicho intervalo, por ejemplo, – 2, y calculamos f ’( − 2 ) : f ’( − 2 ) = −3( −2)² + 12( -2) - 9 f ’( − 2 ) = −12 - 24 - 9 f’ ( − 2 ) = −45,
f’( − 2 ) < 0
Así, para x = 0,f’( 0 ) = −9 ;f’( 0 ) < 0 ,entonces, f es decreciente en el intervalo (− ,1 ) . (ii) Si x ( 1 ,3 ) entonces f ’( x ) > 0 , veamos por qué: Sea x = 2, f ’(2) = 3, Así f ’ (2) > 0 Entonces, f es creciente en el intervalo ( 1 ,3 ) (iii) Si x
( 3 , ), entonces
f ’( x ) < 0
Veamos por qué: Sea x = 4, f ’ (4 ) = −9, Así f’ (4 ) < 0 Sea x = 10, f’ (10 ) = −189. Así f ’(10 ) < 0 Entonces, f es decreciente en el intervalo ( 3, ) Estos resultados pueden presentarse en una tabla como la siguiente, con el propósito de realizar una síntesis de resultados: (−, 1 ) f ’ (x ) < 0
f es decreciente
( 1, 3 ) f ’ (x ) > 0
f es creciente
( 3, ) f ’ (x ) < 0
f es decreciente
En x = 1 , f tiene un Extremo Relativo, que es en este caso, un Mínimo Relativo, calculemos este punto: f ( 1 ) = −5. El valor − 5 es un Mínimo Relativo de f. En x = 3 , f tiene un Extremo Relativo, que es en este caso, un Máximo Relativo, calculemos este punto: f ( 3 ) = −1. El valor − 1 es un Máximo Relativo de f. Finalmente, la gráfica de f es entonces:
Ahora, ¿Cómo determinar la concavidad de la curva? Para esto, basta calcular la segunda derivada de la función de la función f ’ .
f, es decir, calcular la derivada
Veamos: f ( x ) = −x ³ + 6 x ² - 9x - 1 f ’( x ) = −3 x ² + 12x - 9
(f ’( x ))’ =
f ’’( x ) = −6x + 12
Determinamos ahora los valores x en los que f ’’( x ) = 0,
ó, f ’’( x ) no está definida:
f ’’( x ) = 0 − 6 x + 12 = 0
x=2
Con base en esta información, se construyen los intervalos ( −, 2 ) analizar la concavidad. En la figura aparece indicado el punto 2:
0
2
y
( 2, ) para
−, 2 ),
•
Si
x(
•
Si
x ( 2, ),
f ’’ ( x ) > 0 entonces la curva es cóncava hacia arriba. f ’’ ( x ) < 0 entonces la curva es cóncava hacia abajo.
Este resultado también puede ser presentado en una tabla: ( 2, ) f ’’( x ) < 0
( −, 2 ) f ’’( x ) > 0
f es cóncava hacia arriba
En x = 2 , la curva cambia de concavidad. Se dice que
f es cóncava hacia abajo
P( 2, f ( 2 ) )
es un punto de inflexión
El Criterio de la Segunda Derivada dice que si c es un valor crítico de f, y se tiene que: (i) (ii)
f ’’ ( c ) > 0 entonces f tiene un MINIMO en c f ’’ ( c ) < 0 entonces f tiene un MAXIMO en c
Se puede comprobar con los valores críticos 1 y 3, veamos: f ’’ ( 1 ) = 6, f ’’ ( 3 ) = −6,
f ’’ ( 1 ) > 0 , entonces, f tiene
un Mínimo en 1 f ’’ ( 1 ) < 0 , entonces, f tiene un Máximo en 3
Autoevaluación: Desarrolle el análisis correspondiente de la siguiente función 5 f ( x ) = x - 5 x³ - 20 x - 2 y trace su gráfica.
EJERCICIOS Para cada una de las siguientes funciones determine: Valores críticos Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento Valores Extremos, Máximos y Mínimos relativos Concavidad Puntos de inflexión Gráfica. 1.
f (x ) = x ² − 4 x − 1
2.
f (x ) = x³ - x² - x
3.
f (x ) = x³ - 9 x² + 15 x - 5
4.
f (x ) = 2x ³- 9x² + 2
5.
f (x ) = 2x 3 − x
10.4.2 Lectura2: Optimización. Una aplicación de la derivada, al interior de la matemática, se establece mediante el proceso de optimización de una función. Este proceso consiste en la determinación de los valores de la variable independiente, para los cuales existen máximos y mínimos. Las funciones en consideración modelan situaciones de realidad física o mental y tienden un puente entre la consideración teórica de la derivada y su aplicación en situaciones prácticas. Ejemplo 1. El costo total de producción de x unidades de una mercancía está dado por C( x ) = x ² + 4 x + 8 (dólares) Determinar: a. La función de costo promedio b. La función de costo marginal c. El costo mínimo por unidad en promedio Veamos: C( x ) = C( x ) x
a. Costo promedio
x 2 + 4x + 8 x
C( x ) =
C( x ) = x + 4 + 8/x
b.
C ’( x ) = 2x + 4
Costo Marginal
c. Para determinar el costo Mínimo, C’ ( x ) = 1 −
hallamos el valor de
8 x2
C’( x ) = 0
si
x=2 2
x
tal que
C’ ( x ) = 0 :
C’’ ( x ) = 16/ x 3
y
C’’(2 2 ) > 0
Mínimo y se tiene que ese Mínimo es
entonces en
2
C ( 2 2 , 9.66 )
2
hay un
(9.66 dólares)
En consecuencia, el costo mínimo por unidad en promedio es de 9.66 dólares.
Ejemplo # 2: La función de utilidad de una empresa en cierto periodo de tiempo se describe a través de la función U ( x ) = 1 + 12 x - x³ miles de dólares (x representa el número de unidades producidas y vendidas). Calcule el nivel de producción en donde se obtiene la utilidad máxima. U(x) = 1 + 12x -x³ U’(x) = 12 – 3x ² 0 = 12 – 3x² 3x² = 12 x² = 4 x = 2 ó x = -2 En consecuencia se deben producir 2 unidades para obtener las máximas utilidades. Nota: El valor de x = -2 no tiene sentido como solución al problema, ya que no se pueden producir y/o vender una cantidad negativa de artículos.
Autoevaluación
1. El costo fijo para un fabricante es 4000 dólares y el costo por unidad adicional que se produce es de 3 dólares. Calcular: a. Función de costo total b. Función de costo promedio c. Función de costo marginal d. ¿Cuál es el menor número de unidades que debe producir para que el costo promedio unitario sea menor que 3.42 dólares? 2. La ecuación de demanda de cierta mercancía es p x² + 9p = 18 donde se demandan 100 x unidades cuando el precio es p dólares. Determine: a. La función de ingreso total. b. La función de ingreso marginal. c. El ingreso total máximo. Resuelva los siguientes problemas de forma individual
3. El ingreso total obtenido cuando se demandan x unidades de una mercancía es I( x ) = 30 + 50 ( x + 1) , x [ 3, 24 ]
a. Hallar la ecuación de la demanda. b. Hallar la función de ingreso marginal. c. Calcular el ingreso máximo total. 4. El costo de construcción de un edificio de oficinas que tiene n pisos es C( n ) = 2n² + 500n + 600 miles de dólares ¿Cuántos pisos deberá tener el edificio para minimizar el costo promedio por piso? Resuelva los siguientes problemas de forma grupal
5. La función de ingresos para cierto producto cuando se producen y venden x unidades,
1 23
32
45
2
está dada por I (x) = − 5 x² + 200 x - 500 dólares. Utilice el análisis marginal para determinar el ingreso por la venta de la unidad 11. 6. Dada la función de costos C(x) = 3 x ² + 5 x + 300 (x: cantidad de artículos producidos). Determine el nivel de producción para el cual el costo promedio es mínimo; ¿cuál es este costo promedio mínimo? 7. En la función f de la gráfica ubicada en la parte superior derecha, determine: a) Valores críticos, b) Extremos relativos c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Puntos de inflexión e) Concavidad. 8. Para la función f(x) = x ² ( x − 4 )² determine: a) Valores críticos b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento c) Extremos relativos d) Concavidad e) Puntos de inflexión f) Un bosquejo de la gráfica 9. Trace la gráfica de la función g con base en la siguiente información: a. D g : R b. g ( 0 ) = g ( 4/3) = 0,
g ( 2/3 ) = 16/27
c . g’(x) > 0 si x (−, 1 ). g’’(0) = 0 g’’(2/3) = 0 d. g’’( 1) < 0 e. g’’( x ) < 0
g ( 1) = 1, g’(1) = 0 si x (−, 0 )
U ( 2/3, )
10. Haga lo mismo para la función f, si se sabe que: a. f ( - 5 ) = - 6, f ( - 2 ) = 3, f ( 3 ) = 9, f(5)=4 b. f ´´(x) < 0 -2 0 -53 e. f ´´(x) > 0 x<-2 y x>5
BIBLIOGRAFÍA. ARYA, J. Y OTRO (2006). MATEMÁTICAS APLICADAS a la Administración, Economía. Editorial Pearson Education. México.
BARÓN, E. (2006) MATEMÁTICAS 1. Primera Edición, Editorial Politécnico Grancolombiano HAEUSSLER,P.(1.996) MATEMÁTICAS para Administración, Economía, Ciencias Sociales y de la Vida. Octava edición. México. Prentice Hall Hispanoamericana S.A. ORDÓÑEZ, M. (2005) NOTAS DE MATEMÁTICAS 2 Politécnico Grancolombiano PURCELL, E. (1.992) CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA. Sexta Edición.México. Prentice Hall Hispanoamericana S.A. STEWART. J. (1.999) CÁLCULO, Conceptos y contextos. México. Thomson Editores. THOMAS, G. (1.998) Cálculo una variable. Argentina. Addison Wesley Longman.
