ACADEMIA
SI G
M A
T
SOLUCIONARIO
SIGMATH
MATEMÁTICA
UNASAM - 2009 II
DE PIE SOBRE LOS HOMBROS DE LOS DEMÁS
MATEMÁTICA Pregunta N.º 01 Hallar “ a b c ” en:
En la tercera columna, la suma de todos los números más lo que se llevo en la segunda debe ser igual a 38 Se llevo de la 2da columna
c1a c 2a c 3a c7a 38b1
A) 7 D) 10
B) 8
C) 9 E) 12
c c c c 3 38 7 sumandos
7c 3 38 7c 35
a i m e d a c A
Resolución
H T A M G I S
Tema: Cuatro operaciones
Disponemos la suma de la siguiente manera: c1a c 2a c 3a c 7a 38b1
c5
Respuesta:
abc 305 8
Alternativa B
Pregunta N.º 02 Calcular el valor de:
E
En la primera columna, la suma de todos los números debe terminar en 1 a a a a 1
A) 1, 30
1 1 0,916 3,6
B) 1, 32
C) 1,34
D) 1, 36
E) 1, 38
7 sumandos
7 a 1 7 3 21
Resolución
Tema: Fracciones
a3 En la segunda columna, la suma de todos los números más lo que se llevo en la primera debe terminar en b Se llevo de la 1ra columna
Descomponiendo el decimal periódico puro y mixto se tiene:
E
1 2 3 7 2 b
1 1 916 91 36 3 900 9
E
900 9 25 825 33 25
7(8) 2 b 2 30 b
E
1125 1, 363636 825
b0
E 1, 36
n(n1) 2
homogenizando
1
MATEMÁTICA Respuesta:
Pregunta N.º 04 Calcular A B sabiendo que:
Por lo tanto E 1, 36
Alternativa D
MCD 35 A;5 B 70 MCM 42 A;6 B 504
Pregunta N.º 03 Dados los conjuntos:
B x
A x
5 x 37
Como datos del problema se tiene: C) 3 E) 9
a i m e d a c A
Del conjunto A se tiene:
8 x 4
Del conjunto B se tiene:
()
5 MCD 7 A; B 70 MCD 7 A; B 14
Factorizando () y simplificando
Según propiedad, dados dos números 7 A y B , se cumple:
x2 9
x 1 x 1 0
MCM 42 A;6 B 504
6 MCM 7 A; B 504 MCM 7 A; B 84
A 7, 6, 5, , 1, 2, 3
1 x2
()
Factorizando () y simplificando
Determinando por extensión los conjuntos A y B.
1 x2 9
MCD 35 A;5 B 70
H T A M G I S Resolución
5 x 3 7
C) 164 E) 168
Tema: MCD y MCM
B) 2
Tema: Conjuntos
B) 162 Resolución
1 x2 9
Determinar n AB A) 5 D) 4
A) 160 D) 166
x 3 x 3 0
7 A B MCD 7 A; B MCM 7 A; B 7 A B 14 84
B 3, 2, 1, 1, 2, 3
A B 168
Ahora hallamos la diferencia simétrica AB , que es lo mismo que AB A B A B AB 7, 6, 5,,1, 2, 3 3, 2, 1,1, 2, 3
Respuesta: Por lo tanto A B 168 Alternativa E Pregunta N.º 05
AB 7, 6, 5, 4,0 Si: Respuesta: Por lo tanto n AB 5 Alternativa A
x 3n9 y 6n11 es un cociente notable, hallar “n” x n1 y 2n3
A) 2 D) 5
B) 3
C) 4 E) 6
2
MATEMÁTICA Resolución
m 5 m 1 0
Tema: Cocientes notables
m5
x 3n9 y 6n11 sea un cociente x n1 y 2n3 notable, debe cumplir que:
Volviendo a la variable x
Para que la expresión
m 1
Para m 1 3 x 1
3n 9 6n 11 n 1 2n 3
log 3 x log 1
2n 3 3n 9 n 1 6n 11
El logaritmo de un número negativo no existe, por lo tanto descartamos esta opción.
6n2 9n 27 6n2 5n 11 4 n 16 n4
a i m e d a c A
H T A M G I S
Respuesta: Por lo tanto el valor de n 4
Pregunta N.º 06
Para m 5 3x 5
Alternativa C
Los números log 2 ; log 3 x 1 ; log 3 x 3 forman una progresión aritmética. Calcular “x”. A) log 5
B) log 2 5
D) log 3
C) log 5 3
E) log 3 5
Resolución
log 3 x log 5
x log 3 log 5
log 5 x log 3
x log 3 5
Respuesta:
Por lo tanto el valor de x log 3 5
Pregunta N.º 07
Tema: Logaritmos
Resolver
Para que los números formen una progresión aritmética se debe cumplir:
A) 6 D) – 6
log 3 x 3 log 2 log 3 x 1 log 3 x 1
x 1 1
2 3 x 3 3 x 1 2 3 x 6 3
x 2
2
x x8
B) 8
Tema: Ecuaciones Hallando el universo U:
2
2 3 x 1
x 1 0 x 8 0 x x 8 0
3x 4 3x 5 0
1 33 U: , 2
Sea m 3 x
Ahora en la ecuación se tiene:
2
m2 4 m 5 0
C) 24 E) – 8/9
Resolución
log 3 x 3 log 3 x 1 log 3 x 1 log 2
log 2 3 x 3 log 3 x 1
Alternativa E
x 1 1
x x8
3
MATEMÁTICA 2
x 1
x x 8 1
x 2 1 x 1 x 0 x 1 x
2
x 1 x x 8 2 x x 8 1
2x 1 0 x x 1
x 1 x 1 x 8 2 x x 8
x8
2
2 x x8
x8 4 x x8
4
x8
2
x0
2
a i m e d a c A
Según el universo U solo x 8 se admite como solución. Respuesta: Por lo tanto el valor de x 8
Hallar el conjunto solución de
Alternativa A
Pregunta N.º 09
Dada la figura, calcular x, si CT es tangente y O centro. B
Alternativa B
x 1 x 1 x x
A) ,0 1 / 2,1
T
32
A
B) 22°
C) , 2 1 / 2, 3
C) 24° E) 28°
Tema: Circunferencia
E) ,0 1 / 2,
B
Resolución
T
x
Tema: Inecuaciones Antes de resolver la inecuación primero hay que identificar algunas restricciones.
x 1 x 0 1 x x
C
Resolución
D) ,0 1 / 2, 4
x 1 x , 1 x x
x
M
O
A) 16° D) 26°
B) ,1 1 / 2,
En:
1
H T A M G I S
x 8 / 9
Pregunta N.º 08
1 2
C.S. ,0 1 / 2,1
9 x 8 x 8 0
0
16 x 8 9 x 2 48 x 64
x8
2
9 x 2 64 x 64 0
x 1
,
Ubicando los puntos críticos en la recta.
3x 8
x 1/ 2
,
x 0 , x 1
32
A
2
x
M
O
C
En el triángulo ABT , el ángulo BTA 58 , entonces se tendrá que: x 58
(I)
4
MATEMÁTICA En el triángulo OTC , la suma de los ángulos TOC y TCO deben sumar 90 , entonces:
medirán 45° c/u. Del gráfico se observa que: BAC 45 , entonces:
2 x 90
x 50 45 x 95
(II)
Respuesta: Por lo tanto el valor de x 95
De (I) y (II) se tiene: 32 x 26
Alternativa E
Pregunta N.º 11
Respuesta: Por lo tanto el valor de x 26 Pregunta N.º 10
Alternativa D
Si 22 , ABC 90 , BE BD . Calcular “x” B
a i m e d a c A
En la figura, hallar PAC , si PB AB BC y
H T A M G I S
BPC 5
B
P
E
C
A
A) 91° D) 94°
A) 32° D) 35°
x
C
D
A
B) 33°
C) 34° E) 36°
Resolución
B) 92°
C) 93° E) 95°
Tema: Triángulos
B
Resolución
Tema: Cuadrilátero
90
B P
80 5
E
95
45
50
x x 50
5
C
A
Como el triángulo PBC es isósceles, entonces los ángulos BPC BCP 5 .
x
x
x
D
A
C
Como el triángulo EBD es isósceles, entonces los ángulos BED BDE . En el triángulo EBD , la suma de sus ángulos internos deben sumar 180°, entonces:
Como el triángulo PBA es isósceles, entonces los ángulos BPA BAP 50 , ya que el PBA 80 .
x 90 x 180
Como el triángulo ABC es isósceles con el ángulo ABC 90 , entonces sus otros dos ángulos
22 2 x 90 x 34
2 x 90 180 2 x 90
,
22 (dato)
5
MATEMÁTICA Respuesta: Por lo tanto el valor de x 34
Alternativa C
Pregunta N.º 12
P csc x csc x sen x sec x sec x cos x
cos 3 Calcular: F 1 sen
B) 2
C) 3 E) 8
Resolución
sec sen 1
1 sen 1 cos
1 sen cos 1 1 sen cos cos cos (1)
* Analizamos la pregunta:
F
Tema: Identidades trigonométricas P csc x csc x sen x sec x sec x cos x P csc 2 x csc senx sec 2 x sec cosx x x 1 1
P ctg 2 x tg 2 x 2
2
P csc x 1 sec x 1
2
P 1
cos 1 sen cos 1 sen 1 sen 2 1 sen 1 sen
Respuesta: Por lo tanto el valor de P 1
Alternativa A
3
* F
C) 1/2 E) – 1
Resolución
P ctg x tg x 1
Multiplicar al numerador y denominador por: 1 sen 3
B) 2
H T A M G I S
* Analizamos el dato:
cos 3 1 sen
A) 1 D) – 2
a i m e d a c A
Tema: Identidades trigonométricas
F
Alternativa A
Pregunta N.º 13 Simplificar:
Sabiendo que sec sen 1.
A) 1 D) 4
Respuesta: Por lo tanto el valor de F 1
Pregunta N.º 14 En un salón de 10 alumnos, las notas de un examen fueron: 8, 9, 9, 10, 10, 12, 14, 14, 15 y 17. Hallar x
cos 3 1 sen cos 2
F üüü
A) 9,4 D) 12,8
B) 10,8
C) 11,8 E) 13,8
Resolución
F cos sen cos
Tema: Medidas de posición (Media Aritmética) Reemplazamos (1) en F 8 9 9 10 10 12 14 14 15 17 10 118 x 11,8 10 x
F 1 sen cos sen cos F 1
6
MATEMÁTICA Respuesta: Por lo tanto el valor de x 11,8
Alternativa C
Pregunta N.º 15 Un estudiante desea matricularse en el curso de Matemática I, el cual se dicta en tres turnos (mañana, tarde y noche): en la mañana, en 3 secciones diferentes; en la tarde, en 2 secciones diferentes, y en la noche, en 4 secciones diferentes. Si no hay cruces de horario por turno, ¿de cuántas maneras diferentes podrá matricularse dicho estudiante en el curso mencionado? A) 9 D) 24
B) 10
C) 16 E) 28
a i m e d a c A
H T A M G I S Resolución
Tema: Análisis combinatorio
El estudiante deberá escoger el turno: Mañana
o
3
escoge la sección
Tarde
o
2
escoge la sección
Noche
escoge la sección
4
9
En el conteo aplicaremos el principio de adición, ya que un evento no puede ser realizado simultáneamente con otro evento, es decir que solo podrá matricularse en la mañana, tarde o noche. En consecuencia, podrá matricularse en el curso de 9 maneras diferentes.
Respuesta: Por lo tanto el estudiante podrá matricularse de 9 maneras diferentes Alternativa A
7
