MATEMATICA FINANCIERA II

5/11/2018

MATEMATICA FINANCIERA II - slide pdf.c om

UNIVERSIDAD

CENTRAL DEL ECUADOR

FACUL TAD DE CIENCIAS ECONOMICAS INSTITUTO DE EDUCACION A DISTANCIA

IEADE

® W J n & [])O [ID & C W O ~ ~ 11

INGENIERiA

CARRERA: FINANCIERA

l

- ECONOMiA

SEXTO SEMESTRE

1\

ASIGNATURA: MATEMATICA FINANCIERA II

ING. MARY SAL T OS MBA. Q UIT O, S EP TIE MB RE 2 0 1 0 - F EB RE RO 2 0 1 1

http://slide pdf.c om/re a de r/full/ma te ma tic a -ﬁna nc ie ra -ii

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JUSTIFICACION 0 IMPORTANCIA DE LA MATERIA

Las MATEMATICAS FINANCIERAS II como herramienta fundamental para la solucion de problemas que se van presentando en el ejercicio de la profesion de Ingeniero en Finanzas 0 Economistas, es simplemente cuando te encuentras en la posicion casi inevitable de realizar un prestarno y deseas saber tu cuota de arnortizacion por ejemplo, 0 saber que el proyecto que vas a emprender es rentable 0 no, son analizadas en esta materia que no pretende sino: inculcarte y a la vez motivarte a ti alumno de educacion a distancia de la Facultad de Economfa, carrera de Economfa y Finanzas para la obtencion de bases de maternaticas financieras que refuercen tu formacion academics. Si escogiste esta carrera es importante aplicar los adquiriendo en este curso para enfrentar la realidad miras a enfrentar los retos que exige tu profesion 0 a en ambos casos a los mas bajos costos financieros

conocimientos que vayas econornica-financiera con levantar tu propio negocio y que ofrezcan la mayor

rentabilidad posible, deberas tener conocimientos de neqociacion con documentos financieros, bonos y, el valor esperado de vida y tablas de riesgo en los seguros. La Maternaticas Financieras II es parte fundamental para introducirte en el estudio de las amortizaciones y fondos de arnortizacion: tasas especiales (VAN, TIR) , titulos y valores y tablas de mortalidad y segura que nos permitira desarrollar la forrnulacion y resolucion de problemas financieros y que siguiendo los pasos indicados en la misma te facilitara el estudio y cornprension de los bloques que la conforman, se encuentran en una forma sistematizada y ordenada, para que tu puedas adquirir los conocimientos de manera gradual y objetiva que te encuentres solicitadaspara en cada trabajo.

en condiciones

de resolver

las actividades

En los actuales momentos y gracias al apoyo de la cibernetica las negociaciones y transacciones financieras y afectaciones, se hacen en tiempo real, por 1 0 que se requiere adquirir solidos conocimientos financieros que te permitan aprovechar las oportunidades que se presentan en el mercado y tomar medidas de prevencion cuando estas puedan inquietar las finanzas de la empresa donde trabajas 0 tu propio negocio. EQUIPO DE PROFESORES:

Tutor:

Nombre: Datos:

Saltos Chacan Mary Yesennya lnstruccion


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SUPERIOR: Universidad Central del Ecuador Facultad de Ciencias Econ6micas Escuela de Finanzas Ingenierfa en Finanzas (Matrfcula CIFP - 037) CUARTO NIVEL:

Universidad Central del Ecuador Facultad de Ciencias Administrativas Instituto Superior de Postgrado Maestrfa en Administraci6n de Empresas MBA Octava Promoci6n Febrero 2003 - Enero 2005 Universidad Tecnol6gica Equinoccial-UTE Direcci6n General de Posgrado Diplomado Superior en Investigaci6n y Proyectos Febrero - Julio 2010 REFERENCIAS DE DOCENCIA:

Profesora de Maternatica Basica, Maternatica Aplicada y Econ6mica I, II, III Y IV, Maternatica Financiera I y II de la Universidad Central del Ecuador, Facultad de Ciencias Administrativas y Ciencias Econ6micas, Universidad Aut6noma de Quito "UNAQ", Instituto Tecnol6gico Superior "H. Consejo Provincial de Pichincha" en las Modalidades Presencial, Semipresencial ya Distancia. Profesora de Administraci6n de Empresas, Planificaci6n Estrateqica, Administraci6n por Procesos, Calidad Total, Estructuraci6n y Evaluaci6n de Proyectos, Gerencia del Talento Humano, Negocios Internacionales en la Universidad Central del Ecuador, Facultad de Ciencias Administrativas, Universidad Aut6noma De Quito "UNAQ", Universidad del Mar de Chile, Sede Ecuador y Universidad Metropolitana. Conferencista en los temas de Planificaci6n Estrateqica, Calidad Total, Gesti6n Empresarial por Procesos, Liderazgo Gerencial, Desarrollo Humano Integral. EXPERIENCIA PROFESIONAL:

Responsable de las funciones de Desarrollo Organizacional de la COMANDANCIA GENERAL DE MARINA, desde el 1 de Enero de 2006, hasta el 31de Diciembre del 2006. Responsable de las funciones de Desarrollo Organizacional de la CASA DE LA CULTURA ECUATORIANA "BENJAMiN CARRION", desde el 01 de Agosto del 2007, hasta la presente fecha.


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TRABAJOS DESARROLLADOS DIFERENTES ORGANIZACIONES:

PROFESIONALMENTE

EN

LAS

Desarrollo, ejecuci6n, seguimiento y mejoramiento de los procesos Planificaci6n Estrateqica, Gerencia de Calidad Total, Gesti6n Empresarial Procesos, Proyectos y Auditorfa de Gesti6n.

de por

Asesorfas Tecnicas - Administrativas.

A NIVEL DE AUTOEDUCACION: Tecnicas y Herramientas

Gerenciales de Actualidad.

Correo: Blog:

[email protected]

Telefono:

094511836

http://matefinancieraucfe.blogspot.com/

Profesor Alterno del Area: Nombre: Bibliografia: • Texto Basico: MORA ZAMBRANO, Armando 2009, Matematicas Ediciones. Grupo Gu1A, Tercera Edici6n.

Financieras.

Enfoque

• Textos complementarios: ALVAREZ, Alberto 1999.Matematicas Financiera, Segunda edici6n AYRES, Frank Jr. 2003, "Matematicas resueltos ", McGraw-Hill,

Financieras

D1Az MATA, Alfredo. 1999. "Matematicas Tercera Edici6n

Teoria y 500 problemas

Financieras",

McGraw Hill,

HERNANDEZ HERNANDEZ, Abraham 2002 "Matematicas Thomson Learning, Quinta edici6n

Financieras ",

VIDAURRI AGUIRRE, Hector Manuel 2004. Matematicas Mexico Editorial Ecafsa Thomson Learning, Tercera Edici6n.

Financieras.


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Vinculacion Con Competencias Anteriores. Para iniciar el estudio debes tener conocimiento fundamentales

de las

cuatro

operaciones

- Suma, resta, rnultiplicacion y division - Elementos de algebra Por eso, te sugerimos que repases los textos que tienes, caso contrario recurre a las bibliotecas que pueden ser de gran ayuda 0 adquierelos, Eso sera muy util, obtendras mayor habilidad en el manejo de las destrezas para desarrollar problemas.

Orientaciones Generales: GQue utilidad tiene la Maternatica Financiera? EI

dinero es una mercancfa de valor inteligentemente con el paso del tiempo; a la inflacion pierde valor, que perocambia si se invierte producedebido mas dinero. Por otro lado, nuestra econom fa actual esta basad a en el credito, factor determinante para el desarrollo del pals y el cual tenemos que saber manejar de manera apropiada. Con el fin de tomar una decision financiera correcta, es necesario tomar en cuenta el valor del dinero en el tiempo, por tal motivo, el estudio de la rnaternatica financiera nos capacita para elaborar modelos maternaticos que permitan resolver de una manera mas racional los problemas financieros que se nos presenten en la vida diaria. Dentro del mundo de los negocios, te enfrentaras muchas ocasiones a tomar decisiones que involucran la inversion adecuada de los recursos disponibles 0 a la disponibilidad de los mismos por 1 0 tanto es necesario que cuentes con conocimientos que involucran a la Maternatica Financiera


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COMPETENCIA


I

SEMANAS

CONTENIDO

I UNlOAD: AMORTIZACIONES,

DEPRECIACIONES

TRABAJO AUTONOMO Y AGOTAMIENTO

AMORTIZACIONES 1

a. Definiciones b. Elaboraci6n

RECURSOS

INVESTIGAR EN SU TEXTO GUIA EL TEMA PROPUESTO

de tab las de

amortizaci6n gradual c. Reconstrucci6n de tab las de amortizaci6n gradual

2

3

d. Calculo de reajustes de las tablas por variaci6n en la tasa de interes en los endeudamientos por amortizaci6n gradual e. Calculo de los derechos del a cre ed or y d eu do r f. Elaboraci6n de tab las de valor futuro g. Reconstrucci6n de tab las de valor futuro 0 de fondos de amortizaci6n. DEPRECIACIONES Y AGOTAMIENTO a . Co nce pt os y d ef in ici on es b. Metodo de linea recta c. Metodo de la suma de digitos

4

d. Metodo de la tasa fija e. Metodo del fonda de amortizaci6n f. Ag ot am ie nt o y su c alc ulo ,


8 EJ ER CI CI OS

10 EJERCICIO

D E AP LI CAC IO N


REVISAR

EL

ANEXO

1

REVISAR

EL

ANEXO

1

DE APLICACION

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I UNlOAD: VALOR ACTUAL NETO (VAN), PERIODO DE RECUPERACION

TASA INTERNA DE RETORNO (TIR), (PAY

BACK)

Y TASA REAL

VAN, TIR, PAY BACK Y TASA REAL

REVISAR

EL

ANEXO

2

REVISAR

EL

ANEXO

2

a. Valor Actual Neto (VAN) b. Tasa Interna de Retorno (TIR) 5, 6

7 EJERCICIOS c. Periodo de recuperaci6n back) d. Tasa de lnteres Real

DE APLICACION

(Pay

7,8

Semana 9:

Entrega de Evaluaci6n a Distancia (Trabajos Aut6nomos) Examen (producto integrador) primer hemisemestre

III UNlOAD: DOCUMENTOS

FINANCIEROS DOCUMENTOS

8, 9

10, 11

12, 1 3

Y BONOS

FINANCIEROS


a. b. c. d.

Sistema Financiero Mercad o de Valores Pr in cip ale s d oc ume nt os f in an ci er os Precio de los documentos financieros BONOS a. Definiciones b. Calculo del precio de un bono c. Calculo del precio de un bono en fecha de pago de cup6n d. Calculo del precio de un bono entre fechas de pago de cup6n e . Ca lcu lo d el i nt er es r ed it ua ble f. Calculo del rendimiento de in ve rsi 6n e n b on os


8 AC TI VI DA D

REVISAR

EL

ANEXO

3

REVISAR

EL

ANEXO

3

D E A PL IC AC IO N

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IV UNlOAD: MATEMATICAApLiCADA

A LAS PROBABILIDADES

MATEMATICA APLICADA PROBABILIDADES

A

LAS

REVISAR EL

ANEXO 4

REVISAR EL

ANEXO 4

a. Definiciones b. Probabilidades Maternaticas c. Probabilidades estadisticas 6 EJERCICIOS DE APLICACION 14,15,16 17, 18

d. Esperanza Maternatica e. Valor actual de un contingente f. Tablas de Mortalidad

pago

Semana 19: Entrega de Evaluaci6n a Distancia (Trabajos Aut6nomos) Examen (producto integrador) fin de semestre Semana 21 : Examen (producto integrador de la asignatura) de recuperaci6n

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Orientaciones

para el desarrollo de los trabajos autonomos:

Las orientaciones son instrucciones que te ayudan al correcto desarrollo de las actividades. Senor estudiante para un mejor aprovechamiento de tu aprendizaje, procura seguir las siguientes orientaciones: •

Debes fundamentar tu estudio en el texto gu ia, de ser necesario al final de cada capitulo encontraras, ejercicios y problemas, resuelve algunos, considera aquellos que se presentan con cierto grado de dificultad; para que puedas objetivizar la forma de aplicar los conocimientos adquiridos en situaciones de la vida real.

•

Cada capitulo inicia con el objetivo general, explicaciones 0 definiciones sobre el tema a tratarse, ejercicios resueltos que es preciso que los examines y ejercicios propuestos, que te recomendamos resolverlas para evaluarte la cornprension hasta ese tema.

•

trabajo autonorno debe presentarse en forma manuscrita a esferoqrafico 0 tinta, pero nunca con lapiz: en papel cuadriculado y en una sola cara de la hoja.

•

La resolucion de ejercicios 0 problemas nurnericos que se incluyan en los trabajos que debes entregar para la evaluacion correspondiente, CONTENDRA TODO EL PROCESO DE CALCULO aSI: enunciado del ejercicio, planteamiento, formulas y simbologla, sustitucion numerics de sirnbolos, tablas y qraficos, resueltos con interpretacion (si se solicita) que corresponda a las inquietudes formuladas en el enunciado del ejercicio.

•

Debes presentar dos trabajos durante el semestre, consulta las fechas en que hay que entregar para la planificacion y preparacion de materiales.

•

Si tienes dudas en el desarrollo de los contenidos acude al Tutor, de preferencia al inicio del semestre, para que sean absueltas paulatinamente y no en fechas proxirnas a la entrega de la evaluacion a distancia 0 en visperas de los exarnenes.

•

Si encuentras alguna dificultad en la cornprension de cierto tema y luego de realizar tus esfuerzos no comprendes, no olvides que tu tutor esta dispuesto a ayudarte.

EI


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Trabajo Autonomo 1 Unidad I y Unidad II •

Para poder mantener un contacto mas directo y solventar cualquier

•

inquietud, por favor cornunlcate con el tutor al correo electronico serialado en la paqina 3 de la quia didactica, detallando en ASUNTO: ALUMNO MODALIDAD A DISTANCIA, esta cornunicacion perrnitira estructurar el directorio de los alumnos, con el proposito de realizar el seguimiento en cuanto al aprendizaje. Los resultados de esta evaluacion debes hacerlas Ilegar a tu profesor en la fecha indicada en una carpeta de carton color celeste. EI TRABAJO AUTONOMO debera ser realizada a mana en hojas cuadriculadas, debes emplear una sola carilla, utilizar esferoqrafico de color azul 0 negro.

•

UNlOAD I Amortizaciones, Depreciaciones y Agotamiento AMORTIZACIONE5: 1. Una deuda de $ 12.000 debe amortizarse mediante 4 pagos bimestrales iguales, el primero a realizarse dentro de 2 meses, con intereses a 4% bimestral sobre saldos insolutos. Calcular: a) EI importe de cada uno de los pagos b) Construir la tabla de arnortizacion correspondiente 2. Una pareja de recien casados adquiere una casa en condominios que cuesta $ 160.000.Pagan un enganche de $ 50.000 Y acuerdan pagar el resto con 24 mensualidades iguales con 24% de interes convertible mensualmente. Haga una tabla de arnortizacion que muestre los dos primeros y los dos ultirnos meses de la operacion. 3. Determine el nurnero de pagos necesarios para amortizar totalmente la compra a credito de un autornovil que cuesta $ 198.000 Y se vende con un enganche de 40% y el resto a pagar en mensualidades vencidas de $ 5.592,33 con interes a 12% anual convertible mensualmente. 4. Una deuda de $ 10.000 se habra de amortizar mediante 5 pagos mensuales vencidos, los dos primeros por $ 1.600 Y el tercero y cuarto por $ 2.300. Calcule el importe del quinto pago para saldar totalmente la deuda si la operacion se pacta a 26% anual convertible mensualmente.


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5. Si Valeria contrae una deuda por $ 25.000 Y conviene en liquidarla con 5 pagos bimestrales de $ 5.180, el primero pagadero dentro de 2 meses, GCual es la tasa nominal capitalizable bimestralmente, que se Ie carga? 6. Un electrodornestico tiene el precio en lista de $ 750 se 1 0 puede adquirir mediante cuotas mensuales a una tasa de interes del 12,5% anual capitalizable mensualmente, financiando el 75% a 24 meses plazo.,. a) Calcular los derechos del acreedor y los derechos del deudor luego de haber pagado la 20 cuota b) Construya la tabla de arnortizacion para los 4 ultirnos perlodos 7. ERMM S.A. desea acumular un fonda para reposicion de una rnaquina por el valor de $ 45.000 durante 10 aries en una institucion financiera que Ie reconoce una tasa de interes del 11,55% anual capitalizable mensualmente. Calcular el valor del deposito mensual y reconstruya la tabla de valor futuro 0 de fondos de arnortizacion para los ultirnos 6 periodos. 8. Se desea acumular un fonda de $ 40.000 durante 4 aries mediante depositos semestrales en una institucion financiera que reconoce un interes del 22% anual convertible semestralmente: Calcular a) EI valor del deposito semestral b) EI valor acumulado luego del deposito nurnero 3 y c) EI saldo insoluto luego del deposito.

DEPRECIACIONE5: METODa

LINEAL

1.- Una cornparila cornpro una rnaquina que es capaz de producir 500.000 unidades antes de ser reemplazada por otra la rnaquina costa $ 145.000 Y tiene un valor de salvamento de 10% de su costo. Calcula la depreciacion total y la depreciacion por unidad producida. Elabora una tabla de depreciacion sabiendo que la produccion durante 5 aries de operacion fue de la siguiente manera: Aiio

Producci6n

1

80.000

2

100.000 150.000 105.000 65.000

3

4 5

2.- Calcula la depreciacion anual de un autornovil que cuesta $ 54.000, considerando una vida util de 3 aries y un valor de salvamento igual a 15% del costa del autornovil. Elabora una tabla de depreciacion y obten en que tiempo el valor en libros es igual a la depreciacion acumulada.


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METODO DE LA SUMA DE DIGITOS

3.- Un edificio de oficinas cuesta $ 800.000 y se Ie estima una vida util de 35 aries sin valor de salvamento. Determinar la depreciacion anual para los primeros 4 aries y para los ultirnos 3 aries.

4.- Un escritor cornpro una rnaquina procesadora de palabras en $ 6.000 se espera que dure 4 anos, despues de ese tiempo se volvera obsoleta y se obtendra por ella $ 600; elabora la tabla de depreciacion. METODO DEL PORCENTAJE

FIJO

5.- Se cornpro una rnaquina cuyo costa fue de $ 280.000 Y se Ie calcula un valor de desecho de $ 30.700 si la rnaquina se deprecia en un 22% anual. GCual es su vida util? 6.- Se ha adquirido un equipo de autoedicion a un precio de $ 45.000, con una vida estimada de 5 aries y un valor estimado en 5% sobre el precio de compras. Calcula la tasa fija de depreciacion anual y elabora la tabla de depreciacion. METODO DEL FONDO DE AMORTIZACICN

7.-Una empresa embotelladora de refrescos cornpro 10 camiones para el reparto de los refrescos a las tiendas de autoservicio, a un costa de $ 850.000 a los camiones se les estima una vida util de 8 aries y un valor de desecho de cero. Calcula la depreciacion acumulada y el valor en libros al cabo de 5 aries. Considera que los depositos anuales se invierten en un fonda al 16,5%.

8.- Una escuela adquiere equipo de compute con valor $ 90.000 su vida util esperada es de 4 aries y su valor de desecho de $ 1.000. Elabora la tabla de depreciacion, considerando una tasa de interes de 9%. AGOTAMIENTO

9.- Un pozo petrolero puede lIegar a producir un rendimiento

anual de $ 200

millones, durante los proxirnos 15 aries, aqotandose al terrnino de dicho periodo. Determina el precio de compra 0 inversion que proporcione un 8% de rendimiento, si el fonda de reembolso gana el 6% efectivo.

10.- Se estima que una mina de cobre producira un rendimiento anual de $ 95.000 durante los proximos 20 aries, quedando sin valor al terrnino de dicho periodo si el fonda de reembolso gana el 6.5% efectivo, encuentra el precio de compra que proporcione un rendimiento de 8%


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UNlOAD II Valor Actual Neto (VAN), tasa interna de retorno (TIR), Periodo de recuperaci6n (PAY BACK) Y Tasa real 1. Indique los conceptos de: Proyectos convencionales, Proyectos mutuamente excluyentes, Costo de oportunidad, Costo de capital, VAN (Valor Neto 6 Valor Presente Neto), TIR (Tasa Interna de Rentabilidad 6 Tasa Interna de Retorno), Payback (Periodo de recuperacion de la inversion) Payback Contable, Payback Descontado, Relacion Beneficio - Costo Tasa Real. 2. JYKAS S.A. esta analizando un proyecto de inversion con un costa de capital del 9,76% a.c.s y el siguiente patron de flujos de efectivo esperados.

Aiio Flujo de efectivo (en miles de $)

0 -100

1 25

2 50

3 50

5 10

4

25

a) Calcule el VAN. Debe aceptar el proyecto? b) Calcule el TIR. Debe aceptar el proyecto? c) Calcule el PAYBACK descontado. Debe aceptar el proyecto? 3. A un inversionista se Ie presenta dos proyectos alternativos los siguientes flujos de efectivo al final de cada ario.

A y B, con

Aiio Proyecto A

1 $80.000

2 $70.000

3 $60.000

$35.000

Proyecto B

$30.000

$40.000

$40.000

$150.000

4

Cad a proyecto requiere una inversion de $ 200.000. Cual proyecto se escogerfa si: a) La tasa es del 6% anual b) La tasa es del 8,75% anual Calcular 1 0 siguiente:


4

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a) Calcule el VAN. Debe aceptar el proyecto? b) Calcule el TIR. Debe aceptar el proyecto? c) Calcule el PAYBACK descontado. Debe aceptar el proyecto? 4. Con el aporte logrado de la investiqacion Autonorno Unidad II, resolver 1 0 siguiente:

del numeral

1 del Trabajo

Mayesa S.A. esta considerando dos proyectos de inversion mutuamente excluyentes con un costa de capital del 14% y los siguientes flujos de fondos esperados:

Flujo miles Flujo miles

Aiio de efectivo de $) de efectivo de $)

(en

0 -100

1 30

2 40

3 50

40

5 30

(en

-150

45

60

75

60

60

GCual proyecto debe emprender, respuesta

4

si es que hay alguno? Justifique

su

5. Un inversionista desea incursionar en un proyecto en el cual debe invertir $ 125.000; adernas presenta el siguiente flujo de fondos para los proxirnos 5 aries.

Aiio Ventas Costo de operacion Depreciacion anual

1 40.000 8.250 20.000

2 42.000 8.500 20.000

3 45.000 8.600 20.000

4

48.000 8.700 20.000

5 50.000 8.800 20.000

a) Determine si les conviene 0 no invertir: aplique los rnetodos del VAN y el TIR en su anal isis. Considere el costa de oportunidad del 12% efectivo. b) Determine el Payback Descontado. 6. Yesennya ha invertido $ 7.200 a una tasa del 13,8% a.c.m. Cual es la tasa real que gana si la inflacion promedio anual es 6,3%. Cuanto gana o pierde? 7. Determine la tasa efectiva que se gana en un pais donde la inflacion es del 15% anual si la tasa real es 2%. Si se invirtio $ 8.000. Cuanto gana o pierde?


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Trabajo Autonomo 2 Unidad III y Unidad VI

UNlOAD III Documentos Financieros y Bonos 1. Desarrollar 1 0 siguiente: a) Estructurar

un mapa conceptual con la informacion relacionada con el Sistema Financiero y Mercado de Valores b) De la clasificacion de los documentos de renta fija, establecer las definiciones de cada una.

2. Elaborar una sfntesis de todo 1 0 relacionado con el anexo 3 3. Un bono de $ 1.000 que paga 12% a.c.m., se redime a la par en 10 aries. Calcule el precio de compra para que rinda el 10,25% anual. 4. Un bono de $5.000 a 108%, que se vence el 1 de octubre del 2006, tiene cupones semestrales a 10,5%. Calcule el precio de compra el 1 de abril del 2005, para producir un 9,5% a.c.s .. 5. Un bono de $ 1000, redimible a la par el 1 de diciembre del 2007, paga cupones semestrales al 9% a.c.s. EI bono fue adquirido el 1 de junio del 2005. EI rendimiento deseado es el 8% a.c.s. Calcule el precio de compra, y elabore la tabla que muestre el valor en libros del bono. 6. Un bono de $ 10.000 al 8% Marzo-Septiembre (M,S), redimible a la par el 20 de septiembre del ana 2007, se puede negociar el 15 de junio del 2000 a las siguientes tasas: a) 6,5% anual capitalizable semestralmente b) 7% anual capitalizable semestralmente c) 7,5% anual capitalizable semestralmente Calcular el precio del bono limpio para cada alternativa y exprese para cada neqociacion si es con premio, a la par, 0 con castigo. 7. Calcular el valor de redencion, el nurnero de cupones y el valor de cada EJ), cupon de un bono de $ 100.000, 12% (20 enero - 20 Julio =


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suscrito el 20 de enero del 2002, redimible a la par el 20 de enero del 2009. 8. Un bono de 1.000 que paga el 5% semestral, redimible a la par en 10 aries. Calcule el precio de compra para que rinda el 8,25% anual. 9. Un bono de $ 1.000, redimible a la par el 1 de diciembre del 2007, paga cupones semestrales al 9% a.c.s. EI bono fue adquirido el 1 de junio del 2005. EI rendimiento deseado es el 8% a.c.s. Calcule el precio de compra, y elabore la tabla que muestre el valor en libros del bono.

10. Calcule la TIR de un bono de $1.000, 7% EJ, redimible a la par el 1 de julio del 2018, y cuya compra se lIeva a cabo el 19 de octubre de 2002 con cotizaci6n de 93.60?

UNlOAD IV Matematica Aplicada Probabilidades

a las

1. De una caja que contiene 5 bolas blancas, 10 bolas rojas y 6 azules, se extrae una bola al azar GCual es la probabilidad de que la bola extrafda, a) sea blanca b) no sea roja c) sea blanca

0

azul

2. GCual es la probabilidad de extraer una baraja a) 4 ases en las primeras 4 extracciones b) 3 ases y un rey c) 2 ases y 2 reyes 3. EI 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. EI 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas tam bien, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. GCual es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero? 4. Considerando

los siguientes datos: EDAD

PROBABILIDAD SOBREVIVIR


30

9/10

40

8/10

DE

10 ANOS

7

16/73

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50

7/10

Determfnese: a) La probabilidad de que una persona de 30 aries viva hasta los 60 b) La probabilidad de que muera entre los 40 y los 50 aries c) La probabilidad de que muera entre los 50 y los 60 aries 5. Una persona organiza un sorteo para sus 25 clientes principales. En una urna depositan 25 papeletas con los siguientes premios: 1 premios de $50.000, 1 premio de $10.000, 2 premios de $5.000 cada uno y 5 premios de $1.000 cada uno. GCual es la esperanza rnaternatica de cada participante? 6. Calcular con tres cifras decimales la probabilidad que una persona que ahora tiene PARA HOMBRES a) 30 aries viva por 1 0 menos un ario b) 65 aries muera dentro de un ario c) 40 aries muera dentro de los pr6ximos 35 aries PARA MUJERES d) 25 aries viva 40 aries y muera dentro del ario siguiente e) 20 aries viva a la edad de 65 f) 30 aries muera a los 66 aries. NOTA: Utilice las Tablas de Mortalidad General, de hombres y mujeres afio 2.000, elaboradas por Logaritmo CIA. LTDA. En mayo, junio y julio del 2.001, publicada en el Registro Oficial No. 650 del 28 de agosto del 2002, Instituto Ecuatoriano de Seguridad Social.


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Forma de Evaluaci6n: EI

estudiante de educaci6n a distancia debera resolver los ejercicios que se

indican como:

./ Trabajo Autonomo I Autonornos Unidad I y Unidad II ./ Trabajo Autonomo II Unidad III y Unidad VI) Estos trabajos aut6nomos deberan ser entregados en la oficina de Coordinaci6n Academics de Educaci6n a Distancia, en la fecha indicada en el calendario de actividades sequn el curso. La calificaci6n sera sobre dos puntos cada trabajo. Adernas debera rendir dos exarnenes presenciales uno a la mitad y otro al final del semestre con los contenidos respectivos, en las fechas establecidas en horarios que se indica en el calendario de actividades sequn el curso, cada examen tiene el puntaje de tres puntos puntaje minirno para aprobaci6n es de 7/10. Y de 6/10 para presentar un examen supletorio acumulativo impostergable en fecha serialada por Coordinaci6n Academics de Educaci6n a Distancia en el cual debera obtener EI

minima 7/10 para aprobaci6n.de cada materia.


9

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Desarrollo de Contenidos: Tabla de Contenidos de los ANEXOS DEPRECIACION Y AGOTAMIENTO (ANEXO METODO LINEAL METODO DE lA SUMA DE DiGITOS METODO DE PORCENTAJE FIJO METODO DEL FONDO DE AMORTIZACION AGOTAMIENTO Glosario de Terrnlnos

1)

Autoevaluaci6n VALOR ACTUAL NETO (VAN), TASA INTERNA DE RETORNO (TIR), PERIODO DE RECUPERACION (PAY BACK) Y TASA REAL (ANEXO 2) VALOR ACTUAL NETO (VAN) TASA INTERNA DE RETORNO (TIR 0 RENTABILIDAD) PAYBACK TASA DE INTERES REAL Glosario de Terrnlnos Autoevaluaci6n

11 11 14 16 19 22 22

24

25 27 29

30 31

32

BONOS (ANEXO 3) DEFINICIONES PRECIO DEL BONO A UNA FECHA DE PAGO DE INTERESES 0 CUPON VALOR EN LlBROS DE UN BONO PRECIO DEL BONO COMPRADO ENTRE FECHA DE PAGO DE INTERESES 0 CUPON INTERES REDITUABlE DE UN BONO IR RENDIMIENTO DE lAS INVERSIONES EN BONOS Glosario de Terrnlnos

43

Autoevaluaci6n

44

MATEMATICA APLICADA A LAS PROBABILIDADES (ANEXO 4) PROBABILIDAD MATEMATICA PROBABILIDAD ESTADisTICA ESPERANZA MATEMATICA VALOR ACTUAL DE UN PAGO CONTINGENTE TABlAS DE MORTALIDAD Glosario de Terrnlnos

45 45 50 52 54 56 60


33 33

35 36 37 40 40

10

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Autoevaluaci6n

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Respuestas Autoevaluaci6n

61

(ANEXO 1) Correspondencia

UNlOAD

ala Unidad y Semana:

I, SEMANA No.3, 4

Titulo del Tema:

DEPRECIACION

Y AGOTAMIENTO

Introducci6n: Desarrollo:

Despues de una breve explicaci6n de cada rnetodo, encontraras ejemplos que te permitiran comprender de mejor manera como se construyen y reconstruyen las tablas de depreciaci6n de los rnetodos de linea recta, de sum a de dfgitos, de tasa fija y de fonda de amortizaci6n, para esto, tendras que leerlos 2 0 3 veces, analizarlos y posteriormente resolverlos tu solo sin mirar la soluci6n dada, esto asequrara que has entendido por ti mismo. No te desanimes si no puedes resolver un problema dado, se requiere esfuerzo y mucha practica para adquirir habilidad para resolver problemas aplicados, por 1 0 que intenta hasta conseguirlo. Entonces podras seguir ejercitandote, proponen al final del presente bloque.

con los ejercicios

que se

METODO LINEAL

Este rnetodo tiene por fundamento poner cada ario, durante toda la vida del activo fijo tangible, una parte igual al valor de uso del mismo. Con este sistema, al final de la vida del activo, el saldo de la depreciaci6n acumulada sera igual al valor de uso. Se llama asl porque la cantidad que se deprecia es la misma en todos y cada uno de los aries de vida util, utilizada.

0

igual en cada unidad producida u hora-maquina

Calculo del Cargo anual Hemos definido al valor de uso activo menos el valor de desecho

0 0

base a depreciar salvamento.

como el costa inicial del

DT = c-s


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Donde:

DT = valor en uso C = costo inicial del activo S = valor de salvamento

Si la vida probable del activo es de n arios, la cantidad que debe separarse cada ario sera: 1In del valor de uso: D=l/n(C-S) D=

c-s

D=DT n

n

o

Donde:

= Cargo peri6dico de depreciaci6n

acumulada.

Existe varios rnetodo para determinar el cargo anual por depreciaci6n. Notaci6bn a utilizarse. C = Costo original del activo S = Valor de Salvamento (S puede ser negativo) n = Vida util del activo calculado en aries B = C - S = Base de depreciaci6n del activo K = Cualquier ario de la Vida util del activo: ( 0:::;K:::; n) Ok = Cargo por depreciaci6n en el ario K Ak = Depreciaci6n acumulada al final del ario K Ao = 0 An = B Vk = Valor en libros al final del ario K Vo = C Vn = S dk = Tasa de depreciaci6n

Dk

c-s

= --

n AK =KD

B

=-

n

en el ario K

= D(independientemente.de.K)

vk = C . KD

Ejemplo: Industrias EMM adquiere una maquinaria textil en un valor de 55.000 d6lares. De acuerdo con datos por del fabricante una vidasuutil de 6 antes que deba ser reemplazado un equipo tendra mas moderno; valor dearies salvamento se calcula en 4.000 d6lares. Calcular. a. b.

La depreciaci6n anual por el rnetodo lineal Elaborar la tabla de depreciaci6n

Soluci6n:


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Dk

=

C- S

=D =

n

55.000 - 4.000 6

= 8.500do/ares

La depreciaci6n anual sera de 8.500 d6lares, cantidad que se incrernentara en el fondo de reserva para depreciar y disrninuira en el valor en libros del activo. Esto se refleja en la siguiente tabla de depreciaci6n.

ANOS n 0 1 2 3 4 5 6

TABLA DE DEPRECIACION DEP. ANUAL DEP. ACUM VALOR EN LlBROS Ok Ak Vk 55.000 8.500 8.500 46.500 8.500 17.000 38.000 8.500 25.500 29.500 8.500 34.000 21.000 8.500 42.500 12.500 8.500

55.000

4.000

Ejemplo:

Una cornpania de transporte compra el 1ro de enero del 2001 diez vehiculos. EI valor de cada uno de ellos es de $ 20.000. Se estima la vida probable de cada uno de estos vehiculos en 5 aries y el valor de rescate el 10% del costo inicial. Se averigua el cargo anual de depreciaci6n, el valor acumulado y el valor de libros liquido para todos los aries que dure la vida del activo. Datos: C S n

= = =

20.000 X (10 vehiculos) ) 200.000 10% del valor total (200.000) 20.000 5 aries

D=C - S n

=

=

D = 200.000 - 20.000

= 36.000

5

Cuadro de valores Tiempo Fecha 01-01-2001 31-12-2001 31-12-2002 31-12-2003 31-12-2004 31-12-2005 Total


Cargo Anual

Depreciaci6n acumulada

36.000 36.000 36.000 36.000 36.000 180.000

36.000 72.000 108.000 144.000 180.000

Valor en libros 200.000 164.000 128.000 92.000 56.000 20.000

13

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Del estudio del cuadro de valores se desprende que el cargo anual para depreciacion constante el valor acumulado va incrernentandose formando una proqresion aritrnetica hasta lIegar al valor residual. La suma de los cargos anuales sera igual al valor de uso.

Ventajas y desventajas

del Metodo de Linea Recta.

Dentro de las ventajas de la aplicacion de este rnetodo podremos citar la simplicidad y facilidad de calculo, 10 que determina que sea el rnetodo mas usado en la practice. En 10 que se refiere a la aplicacion de las unidades de tiempo 0 de trabajo, tenemos como ventaja, que nos permite la aplicacion de un cargo de depreciacion mucho mas exacto por cuanto ya no se trabaja con un valor estimado sino con un valor real. Como desventaja, de esta aplicacion, tenemos que cuando los activos estan sin uso no tendrfan valor de depreciacion, 10 que resulta por cuanto se deprecian por el uso y por el paso del tiempo. Otra desventaja es que no se consideran los intereses no de arnortizacion ni de inversion. Adernas, el cargo anual constante es otra desventaja ya que los gastos por depreciacion y mantenimiento seran elevados en los ultirnos aries cuando el activo fijo tenga un rendimiento menor por efectos de desgaste, reduciendo de esta manera su productividad. METODO DE LA SUMA DE DiGITOS

Este rnetodo tiene la particularidad que para los primeros aries el cargo anual para la depreciacion es mayor que para los ultirnos aries. Para encontrar el cargo anual se multiplica el valor de uso por una fraccion que se la determina de la siguiente manera: se suman los dfgitos del nurnero de aries sucesivos de la vida estimada del activo y esta suma constituye el denominador. Como numerador de la fraccion, al ultimo de los dfgitos es para el primer ario, al penultirno para el segundo y as! por adelante.

Pongamos la vida estimada de un activo fijo tangible en 5 aries. 1+2+3+4+5

=

15 Denominador

Primer ana: 5/15 Cuarto ana: 2/15

0

Fraccion (F)

Segundo ana: 4/15 Quinto ana: 1/15

Tercer ana: 3/15

La suma de todos estos valores sera igual a la unidad que representa el valor de uso del activo tangible:


14

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5/15 + 4/15 + 3/15 + 2/15 + 1/15

=

1

Apliquemos este rnetodo para el caso de la Cornpanla de Transportes, siguientes datos adicionales: C

200.000

=

S

=

20.000

DT

=

con los

n=5

180.000

Los cargos anuales a aplicarse seran: Primer ana: Segundo ana: Tercer ana: Cuarto ana: Quinto ana:

5/15 4/15 3/15 2/15 1/15

Tiempo fecha 01-01-2001 31-12-2001 31-12-2002 31-12-2003 31-12-2004 31-12-2005 Total Otro procedimiento

S

n(n+l)

=

B=C-S =

Dk=

S

n-k+l S

(C-S)

ana Vk C -Ak =

= = = = =

60.000 48.000 36.000 24.000 12.000

60.000 48.000 36.000 24.000 12.000 180.000

5/15 4/15 3/15 2/15 1/15 1

180.000

60.000 108.000 144.000 168.000 180.000

Valor en libros 200.000 140.000 92.000 56.000 32.000 20.000

para resolver el METODO DE SUMA DE DIGITOS.

n

~(C - S)

180.000 180.000 180.000 180.000 180.000

Cuadro de valores Fraccion 0 Depreciacion Depreciacion Coeficiente Anual acumulada

S

2

01

de de de de de

=

=

sum a de diqitos vida util en aries

Depreciacion ana 1 Formula para calcular la depreciacion

de cualquier

Valor en libros en cualquier ana

La depreciacion acumulada Ak se obtiene multiplicando la base de depreciacion B por la suma de las fracciones acumuladas hasta ese ario, Ejemplo:

DEL TEX S.A. com pro maquinaria por un valor de 35.000 dolares, Se estima que su vida util sera de 6 aries y que tendra un valor de desecho de 5.000 dolares, Elaborar la tabla de depreciacion por el rnetodo de suma de diqitos,


15

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Soluci6n:

./ Se determina la base de depreciacion. B=C-S B 35.000 - 5.000 30.000 dolares =

./ S

=

Calculamos el denominador =

de la fraccion (suma de dfgitos)

n(n+1) 2

S

=

6(6 + 1) = 42 2

= 21

2

Determinamos Ano Numerador raccion 1) ./

los numeradores de la fraccion. 1 2 345

6

65432 6/2 1 5 /2 1

1 1/21

4 /2 1

3 /2 1

Hallamos el cargo por depreciacion

2 /2 1

(L:

=

2 1/2 1

=

de cada ana

TABLA DE DEPRECIACION ANOS

FRACCION

BASE DE DEP.

DEP. ANUAL

DEP. ACUMULAD

VI LlBROS

0 1 2

6/21 5/21

30.000 30.000

8.571,43 7.142,86

8.571,43 15.714,29

35.000,00 26.428,57 19.285,71

3 4 5 6

4/21 3/21 2/21 1/21

30.000 30.000 30.000 30.000

5.714,29 4.285,71 2.857,14 1.428,57

21.428,58 25.714,29 29.571,43 30.000,00

13.571,42 9.285,71 6.428,57 5.000,00

METODO DE PORCENTAJE

FIJO

Este rnetodo tiene como fundamento la busqueda de un tanto por ciento que se aplica al valor en libros liquido para determinar el cargo anual de depreciacion para el proximo periodo. Con este sistema tendremos que el cargo anual para la depreciacion sera cada vez menor por cuanto el valor liquido en libros es decreciente. La forma de obtencion del coeficiente de depreciacion es semejante al aplicado para el calculo del interes compuesto con la sola diferencia que el proceso se invierte ya que, mientras en el interes compuesto, la capitalizacion es creciente en la depreciacion es decreciente.

La formula para determinar el coeficiente de depreciacion


(d) es:

16

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d=I-~

EI coeficiente depreciacion es igual a 1 menos la raiz enesirna del valor de salvamento sobre el costo inicial del activo. Podemos calcular, por el rnetodo de porcentaje fijo, el ejemplo anterior: Datos: C

=

200.000

S

=

20.000

n

=

5 aries

Js

d=I-

VC

d

= 1-

d -

-1

Tiempo fecha 01-01-2001 31-12-2001 31-12-2002 31-12-2003 31-12-2004 31-12-2005 Total

0,63096

= 0,36904

_5/20.000 1/"""

rvrvrv

= 36,904%

-?J()j

-1

0.1

Carg\6"'A'nual 36,904%

200.000,00 126.192,00 79.622,10 50.238,36 31.698,40 180.000,00

(0,36904) (0,36904) (0,36904) (0,36904) (0,36904)

Depreciacion acumulada = = = = =

73.808,00 46.569,90 29.383,74 18.539,96 11.698,40

Aplicando este coeficiente a los diversos cargo anual para el proximo periodo.

valores

73.808,00 120.377,90 149.761,64 168.301,60 180.000,00

Valor en Libros 200.000,00 126.192,00 79.622,10 50.238,36 31.698,40 20.000,00

en libros, obtendremos

el

Cuadro de valores

EI valor rnaternatico para el ultimo ario es en realidad US.$11.697,98 1 0 que determina una diferencia de US.$0,42 con el valor que se carga como gasto de depreciacion para ese ario. Este error obedece a que trabajamos con el 36,904% y no con el de 36,9043% CONCLUSIONES

Si analizamos el cuadro de valores en el problema anterior, veremos como la depreciacion es decreciente, 1 0 que facilita en las empresas el establecimiento de un equilibrio entre los gastos de mantenimiento que, como sabemos, son crecientes. La aplicacion de este rnetodo dara como resultado una y cornpensacion entre uno otro.


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Otro factor preponderante a considerar en este rnetodo es que permite una rapida recuperacion del capital de inversion, 1 0 que a su vez puede determinar una fuente de fondos para el planeamiento de actividades de expansion. Por otra parte, el alto porcentaje podrla considerarse como desventajoso ya que acarrea la disrninucion de ganancias para los accionistas en los primeros aries. Desde el punta de vista legal, puede aplicarse este rnetodo siempre y cuando se demuestre su necesidad. Existe otro procedimiento

para el METODO DE PORCENTAJE

Ok Vk -1d Vk C ( 1 - d) S=C(1-dt=Vn

Depreciacion en cualquier ana K Valor en libros al final del ana K Valor de salvamento

=

=

FIJO

Cuando S es igual a cero, para el calculo tomar S = 1 Ejemplo: La empresa XY adquirio una maquinaria para optimizar su produccion en un valor de 130.000 dolares, Se calcula que su vida util sera de 6 aries y que su final tendra un valor de salvamento de 15.000 dolares, a. b.

Calcular la tasa de depreciacion d que debe aplicarse Elaborar la tabla de depreciacion.

Solucion:

Datos:

a.

Calculo de la tasa de depreciaclon (d)

C = 130.000 dolares

S=C(I-dt

n

15.000 = 130.000(1- d)6

=

6 aries

S = 15.000 dolares

(l-d)6=

15.000 130.000 1

(l-d)=(

d =?

15.000)6 130.000 1

= (0,11538461~6 -1 d = 0,3022637 *100 -d

d

=

30,2264%

EI porcentaje de 30,2264% se aplicara para calcular la depreciacion. b.

Elaboramos la tabla de depreciacion


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TABLA DE DEPRECIACION DEP. DEP. VALOR EN % de Dep. ANUAL ACUM LlBROS 130.000,00 0,302264

ANOS 0 21 3 4 5 6

39.294,32 27.417,06 19.129,87 13.347,60 9.313,10 6.498,09

39.294,32 66.711,38 85.841,25 99.188,85 108.501,95 115.000,00

90.705,68 63.288,62 44.158,75 30.811,15 21.498,05 15.000,00

0,302264 0,302264 0,302264 0,302264 0,302264

La diferencia de 0,04 se debe al redondeo. Cuando esto sucede como en el presente caso, ajustamos en el ultimo cargo por depreciacion: 10 Depreciacion anual del 6 ana = 6.498,05 dol ares

METODO DEL FONDO DE AMORTIZACION

En este rnetodo consideramos que la depreciacion acumulada gana un interes determinado, convirtiendose en un fonda de arnortizacion. Este interes disminuye el valor anual, por 1 0 que el gasto de depreciacion total sera menor y se cornpletara con los respectivos intereses. Para calcular el cargo anual aplicamos el mismo criterio de las anualidades vencidas de irnposicion cuyo capital constituye el valor de uso del activo fijo tangible. Ejemplo:

Calcular por el rnetodo del fonda de arnortizacion la depreciacion para la Empresa de transportes, tomando en consideracion que el cargo anual para la depreciacion produce el 12% anual efectivo Datos: C = 200.000

i=12%

S = 20.000

n=5

Calculamos la anualidad, que para la depreciacion constituye para un capital de 180.000 (valor de uso 0 depreciacion total) A

DT

= C-S

DT

= 200.000

A


DT*i

=

( 1 + i) n

Formula de la anualidad

a cargo anual;

=

-1

- 20.000

180.000 * 0,12 (1+0,12)5 -1

= 180.000

=

21.600 0,762341683

= 28.333,75

19

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Por 1 0 tanto, $28.333,75 es la cantidad necesaria que debe aplicarse como cargo de depreciacion para de esta manera en los 5 aries completar la suma de $180.000 dolares, Tiempo fecha 01-012001 31-122001 31-122002 31-122003 31-122004 31-122005 Total

Cargo Anual

lnteres acumulado

Depreciacion anual

Depreciacion acumulada

(deposito)

Valor en libros 200.000,00

28.333,75

28.333,75

28.333,75

171.666,25

28.333,75

3.400,05

31.733,80

60.067,55

139.932,45

28.333,75

7.208,11

35.541,86

95.609,41

104.390,59

28.333,75

11.473,13

39.806,79

135.416,29

64.583,80

28.333,75

16.249,95

44.583,80

180.000,00

20.000,00

141.668,75

38.331,24 180.000,00 Cuadro de valores

La utilizacion de este rnetodo permite la aplicacion de un cargo de depreciacion mucho mas bajo con relacion a todos los otros rnetodos estudiados. Desde luego, la diferencia que corresponde a los intereses son aplicados como gasto de intereses que es un gasto no operacional. La cuantia de los intereses es digna de tomarse en cuenta, ya que representan sumas considerables vehfculos.

asl, en el ejercicio, es el 21,295% del valor de uso de los

Ya anotamos anteriormente que no siempre menores cargos anuales de depreciacion son aconsejables en una empresa, por cuanto debemos recordar que la depreciacion es una fuente de financiamiento interne por cuanto el valor que corresponde al gasto de depreciacion no representa salida de dinero de caja. OTRO PROCEDIMIENTO AMORTIZACION.

DE CALCULO PARA EL METODO DEL FONDO DE

Este rnetodo considea los intereses que gana el fonda de reserva que se va constituyendo, por consiguiente, el incremento anual estara dado por la suma del cargo anual por depreciacion mas los interese ganados en ese periodo. La aportacion anual al fonda de arnortizacion se deriva de la formula del monto

. e una anualidad:


M

=R

[( I+ i) "

i

- I]

20

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Para determinar el pago periodico se despeja

R

=(

~.i

1+in-1

En este caso M B, puesto que el Monto que debe acumular al cabo de n aries a una tasa de interes i R 0, el cargo anual que debe efectuarse al fonda =

=

Entonces:

Y si n =k

Dk

Dk

=

=

(B)i l+ i n_1

formula del cargo anual

B.i (l+iY -1

Para determinar la depreciacion acumulada Ak se calcula el monto de un pago periodico 0 a un plazo K y a una tasa de interes i por periodo.

Ak~D{(I+ir

I

Vk=C-Ak

EI monto acumulado al cabo depreciacion del activo.

de n aries

debe

ser igual

a la base

de

Ejemplo:

KOSSY Ingenieros Asociados adquiere muebles de oficina para un edificio de departamentos y oficinas que esta construyendo. EI costa de compra de los muebles es de 150.000 dolares y se calcula que tendra una vida util de 5 aries. La tasa de interes es del 12% anual y se estima que a su final tendra un valor de desecho de CERO. a. b.

Determinar el cargo anual por depreciacion de fonda de arnortizacion. Elaborar la tabla de depreciacion.

utilizando el rnetodo

Soluci6n: a.

Calculo de cargo anual

B=C-S Dk

=

Dk

=

Dk

=__

B

=

150.000 - 0

=

150.000

B.i (l+iY -1

150.000 * 0,12 (1 + 0,1 2)5 -1 1_8_.0_00 _ 1 ,7 62 34 16 83 -1


21

30/73

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Dk = 23.611,46d6Iares

La depreciacionque 23.611,43 dolares, b.

se debe hacer anualmente

al fonda de arnortizacion

es de

Tabla de amotizaci6n

0 1 2 3 4

DEP. ANUAL 23.611,46 23.611,46 23.611,46 23.611,46

TABLA DE INT. GANADO 0 2.833,38 6.006,76 9.560,94

5

23.611,46 118.057,30

13.541,63 31.942,71

ANOS

L

DEPRECIACION DEP. DEP. ANUAL ACUMUL 23.611,46 23.611,46 26.444,84 50.056,30 29.618,22 79.674,52 33.172,40 112.846,92 37.153,10 150.000,00

150.000,02

VALOR/ LlBROS 150.000,00 126.388,54 99.943,70 70.325,48 37.153,08 0,02

CONCLUSIONES

Luego de haber analizado los conceptos generales de la depreciacion y estudiado los diferentes rnetodos de calculo para establecer el cargo de depreciacion para un activo fijo tangible, podemos sacar varias conclusiones: 1. La adopcion del rnetodo de depreciacion esta en funcion de varios elementos dentro de un negocio tales como el uso y abuso que se dara al activo que se deprecia, peligro de la caida en desuso por efectos de nuevas tecnologias, leyes fiscales que regulan el rnetodo de utilizacion, efectos financieros en el pago del impuesto a la renta y reparto de utilidades a los trabajadores, entre otros. 2. Los val ores que por concepto de cargo de depreciacion van acurnulandose deben ser correctamente invertidos con la finalidad de crear un fonda de reposicion de los activos en uso y que, antes de su uso, sirvan como valores para propiciar el crecimiento del negocio. AGOTAMIENTO

Tarnbien podemos definir como agotamiento la perdida de valor de actives, que son producto de la madre tierra 0 suelo de un pais, como una mina 0 un pozo petrolero por la extraccion gradual del metal 0 petroleo, de los cuales depende su valor. EI comprador de uno de estos actives, loqicamente no son los duerios del activo, sino el estado, por 1 0 que esperan recibir interes a una cierta tasa por su inversion (utilidades), y el reembolso eventual de su inversion original.


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En consecuencia, el producto anual del activo debe alcanzar tanto para el interes requerido como para el fonda de arnortizacion, en este caso, Ilamado fonda de reembolso, el cual alcanzara el valor de la inversion original menos cualquier valor de salvamento del activo en la fecha que este agotado. Ejemplo:

Se estima que una mina producira un rendimiento anual de $ 25.000 durante los proximos 20 aries, quedando sin valor al termino de dicho periodo. Si el fonda de reembolso gana el 3.5% efectivo, encuentra el precio de compra que proporcione un rendimiento de 5%. Datos: C Precio de compra Rendimiento anual por intereses 0,05 C Deposito anual en el fonda de reembolso =

=

A

=

(DT)(i) (1+ i) " -1

A

Rendimiento anual 25.000

=

=

=

=

A (similar al fonda de arnortizacion)

(c)(i) (1+ i) " -1

lnteres anual + Deposito anual (fondo de reembolso)

0,05C + A

(c)(i) 25.000

=

0,05C + (1 + i)" - 1 (C)(0,035)

25.000

=

0,05C + (1 + 0,035)20 -1


(C)(0,035)

25.000

=

0,05C + 1,989789-1

23

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.Autoevaluaci6n:

VERDADERO

0 FALSO

Marque con una X si las siguientes afirmaciones

0

son verdaderas

AFIRMACIONES La depreciacion es la perdida de valor que sufren los activos fijos (tangibles) La depreciacion real es igual a la calculada por el rnetodo de linea recta En el rnetodo de suma de dfgitos, la depreciacion es menor en los primeros aries, aumentando en los ultirnos, E I porcentaje de depreciacion constante es la tasa de depreciacion.

falsas.

V

F

E I rnetodo de fonda de arnortizacion considera intereses y estos se evaluan con base en la depreciacion acumulada y no en el valor en libros. Un fonda de arnortizacion se consigue al realizar pagos periodicos, los cuales ganan intereses hasta alcanzar una cantidad dada en un determinado tiempo. En el agotamiento, el deposito en el fonda de reembolso se calcula de manera similar al del fonda de arnortizacion.

CASAMIENTOS

Una con lineas las siguientes definiciones con los conceptos correspondientes. DEFINICIONES

Metodo del porcentaje 0 tasa fija Valor de salvamento Metodo del fonda de arnortizacion


CONCEPTOS

Valor de desecho 0 residual Depreciacion decreciente Depreciacion creciente

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UNlOAD


II, SEMANA No.5, 6, 7

Titulo del Tema:

VALOR ACTUAL NETO (VAN), TASA INTERNA DE RETORNO PERIODO DE RECUPERACION (PAY BACK) Y TASA REAL

(TIR),

Introducci6n: Desarrollo: VALOR ACTUAL NETO (VAN)

Tarnbien

es conocida

como valor

presente

neto (VPN) de un proyecto

de

inversion y no es otra cosa que su valor medido en dinero de hoy, 0 en otras palabras, el equivalente en unidades monetarias actuales de todos los ingresos y egresos presentes y futuros que constituyen el proyecto. EI VAN consiste en descontar

trasladar al presente todos los flujos futuros del proyecto a una tasa de descuento igual al costa de oportunidad, sumarlas todas y restarlas a la inversion inicial en tiempo cero. 0

Ahora sera explicada mas claramente esta definicion, si se quiere representar los flujos netos de efectivo por medio de un diagrama, este podria quedar de la siguiente manera: Tornese para el estudio un horizonte de tiempo de por ejemplo cinco aries. Tracese una linea horizontal y divfdase esta en cinco partes iguales, que representan cada uno de los afios, A la extrema izquierda coloquese el momenta en que se origina el proyecto 0 tiempo cero. Representense los flujos positivos 0 ganancias actuales del proyecto (empresa) con una flecha hacia arriba, y los desembolsos 0flujos negativos con una flecha hacia bajo de la recta del proyecto. En este caso el unico desembolso es la inversion inicial en el tiempo cero, aunque podria darse el caso en que determinado aiio hubiera una perdida (en vez de ganancia), y entonces apareceria en el diagrama de flujo una flecha hacia abajo.

i o -II

1 FNE1


i 2 FNE2

i 3 FNE3

i i 4 FNE4

Proyecto

5 Tiempo FNE5 Valores $.

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Cuando se hacen calculos de pasar, en forma equivalente, dinero del presente al futuro, se utiliza una "i" de interes 0 de crecimiento del dinero; pero cuando se quiere pasar cantidades futuras al presente, como en este caso, se usa una "tasa de descuento", Ilamada as! porque descuenta el valor del dinero en el futuro a su equivalente en el presente, y a los flujos traidos al tiempo cero se les llama flujos descontados. La definicion ya tiene sentido. Sumar los flujos descontados en el presente y restar la inversion inicial equivale a comparar todas las ganancias esperadas contra todos los desembolsos necesarios para producir esas ganancias, en terminos de su valor equivalente en este momenta 0 tiempo cero. Es claro que para aceptar un proyecto las ganancias deberan ser mayores que los desembolsos, 10 cual dara por resultado que el VAN sea mayor que cero. Para calcular el VAN se utiliza el costa del capital; si esta tasa de descuento aplicada en el calculo del VAN fuese la tasa inflacionaria promedio pronosticada para los proximos cinco aries, las ganancias de la empresa solo servirfan para mantener el valor adquisitivo real que la empresa tenia en el ana cero, siempre y cuando de reinviertan todas las ganancias. EI calculo del VAN para el periodo de cinco aries es: VAN

=

-

I 1+ FNE1

+

FNE2 (1+i)

+ 2

FNE3 + FNE4 +

FNE5

(1+i)3

(1+i) 5

(1 +i)4

Para tomar la decision de emprender el proyecto con base en los resultados del VAN, es procedente acoger los lineamientos siguientes. Si i es la tasa de interes utilizada en el calculo del VAN (cuando el proyecto se financia con participacion relevante de creditos bancarios)

Interpretacion Valor Significado

VAN >0 VAN <0 VAN =0

La inversion producirfa ganancias La inversion producirfa perdidas La inversion no producirfa ni ganancias ni perdidas


Decision a tomar

EI proyecto puede aceptarse

EI proyecto deberia rechazarse Dado que el proyecto no agrega valor monetario, la decision deberfa basarse en otros criterios, como la obtencion de un mejor posicionamiento en el mercado u otros facto res.

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Si la tasa de interes (costo de oportunidad 0 costa del capital) empleada en el calculo del VAN (cuando el proyecto tiene una participacion mayoritaria de recursos propios y por tanto i interpreta el promedio de rendimiento que arroja el tipo de negocios en el que el inversionista espera participar. Para una empresa en marcha, que quiere ampliar operaciones, i debe consultar como minima el rendimiento actual sobre la inversion): TASA INTERNA DE RETORNO (TIR)

La TIR corresponde a la tasa de interes generada por los capitales que permanecen invertidos en el proyecto y puede considerarse como la tasa que origina un valor presente neto igual a cero, en cuyo caso representa la tasa que iguala los valores presentes de los flujos netos de ingresos y egresos. La TIR es una caracterfstica propia del proyecto, total mente independiente de la situacion del inversionista, es decir, de su tasa de interes de oportunidad. EI criterio para aceptacion utilizando la TIR es, si esta es mayor que el costa del capital 0 de oportunidad, aceptase la inversion; es decir, si el rendimiento de la inversion es mayor al minima utilizado como aceptable la inversion es econornicarnente rentable. Para el calculo de la TIR se utiliza la interpolacion tomando como punta de referencia inicial el costa del capital para posteriormente ir analizando como se comporta el VAN al subir puntos a esta tasa 0 bajar a la misma. Con esto 10 que se quiere es tener dos tasas que generen VANs 10 mas cercanos acero, siendo el uno positive y el otro VAN negativo.

TIR=r1+

(r2-r1)

VAN1 VAN1 - VAN2

Criterio de aceptacion TIR:

Si la TIR es mayor que el costa del capital 0 de oportunidad, aceptase la inversion; es decir, si el rendimiento de la inversion es mayor al minima utilizado como aceptable la inversion es econornicarnente rentable.

Ejemplo:

Una empresa estima los siguientes flujos de caja durante 6 aries de un proyecto X. Si se considera el costa del capital r = 10% Y una inversion inicial de $ 600.000, en el ana cero, calcular el VAN al 10% Y la tasa interna de retorno.


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ANO Inversion nicial Ventas - CostadeOp. - Depraciacion

Utilidadsin Impuestos)

=

FLUJO NETODE CAJAUTILIDAD

1

2

4

0 600

3

5

6

-

-

-

-

-

-

-

500

500

500

500

500

500

-

350

350

350

350

350

350

-

100

100

100

100

100

100

-

50

50

50

50

50

50

600

150

150

150

150

150

150

+

DEPRECIACION) Se calcula el valor actual neto para cada tasa, inicialmente utilizo el costa de oportunidad, y considero como referencia para incrementar la tasa 0 bajarla de manera de conseguir dos valores de i que generen un VAN positive y otro negativo 1 0 mas cercano 0, que es la caracterfstica de la TIR; entonces estoy en capacidad de aplicar la formula de la TIR. Costo de oportunidad

Conr=12%

Conr=14%

Conr=10%

VANr

VAN1

VAN2

VAN10%

- II =

-600

-600

-600

-600

+ FNE1 =

150 = 133,93 1 (1+r)

131,58

136,36

+ FNE2 =

150 = 119,58 (1+r)2

115,42

123,97

+ FNE3 =

150 = 106,78 (1+r)3

101,25

112,70

+ FNE4 =

150 = 95,33 (1+r)4

88,80

102,45

+ FNE5 =

150 = 85,11 (1+r)5

77,90

93,14

+ FNE6 =

150 = 75,99 (1+r)6

68,34

84,67

-16,71

53,29

= VANr

=

+ 16,72

Como se hallo un valor positivo y otro n ega t ivo, esto significa que la tasa interna de retorno se encuentra entre los limites:


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r1 = 12%

Y r2 = 14%

Entonces, la tasa interna de retorno puede calcularse por interpolacion de las dos tasas: (Revisar el tema de lnterpolacion lineal del semestre anterior) r1 = 12% Y r2 = 14% TIR = r1 + (r2 - r1)

VAN1 VAN 1-VAN

2

TIR=0,12+(0,14-0,12)

16,72 16,72 - (-16,71)

TIR = 0,12 + 0,01 = 0,13 TIR = 13% Que, de acuerdo con las condiciones del problema, indica que la inversion podra ser ventajosa ya que el costa del capital es 10%. Para el calculo del PAYBACK en sus dos modalidades

Ano Inversion Inicial Flujos Netos Flujos Descontados

0 600

tenemos:

1

2

3

4

5

6

150 136,36

150 123,97

150 112,70

150 102,45

150 93,14

1150 84,67

En el caso del PAYBACK CONTABLE esto es

alcanzo el valor invertido a los 4 aries

(150 x 4 = 600). Para PAYBACK DESCONTADO, debe sumar los flujos descontados y el ultimo, por regia de tres simple determinar el tiempo que toma para alcanzar la suma invertida. Calculando se tendria: 136,36 + 123,97 + 112,70 + 102,45 + 93,14 = 568,62 Saco la diferencia para Ilegar a los 600 - 568,62 = 31,38 y establezco la regia de tres 84,67 en 12 meses x 31,38 = 4,45 meses Por 1 0 tanto el Periodo de Recuperacion Descontado es de 5 aries 4,45 meses.


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TASA DE INTERES REAL

De las tasas de interes estudiadas tomaremos la tasa efectiva 0 anual que al relacionarla con la tasa de inflaci6n 0 la variaci6n porcentual del lndice de precios al consumidor, da 1 0 que se denomina tasa de interes real. Las tasas de interes real influyen significativamente en las econornias de mercado, tanto en el ahorro cono en los endeudamientos, y en las decisiones de inversi6n para poder calcular su rentabilidad. La tasa de interes real puede calcularse mediante la siguiente formula. Tasa de interes real (r)

r = TasaEfectiva - Tasa.de.Inflaci6n

xlOO

+ Tasa.de.Inflaci6n I r

i -d =--xIOO +d I

Criterio de aceptacion de la tasa de lnteres real:

Si r: > 0 es positiva entonces se gana 0 se mantiene el poder adquisitivo < 0 es negativa entonces pierde =

Ejemplo:

Calcular la tasa de interes efectiva es 15% y la tasa precios al consumidor es invierte $ 100.000.000 en 1

real que se cobra en un pais cuya tasa de interes de inflaci6n 0 variaci6n porcentual del lndice de 20% G Cuanto gana 0 pierde una empresa que ario?

SOLUCION:

r

=

100

i- d

=

0,15 - 0,20

100

1+ d

1 + 0,20

r

=

100 (- 0,041667)

I

=

100.000.000

=

-

4,1667%

-4,1667 100

=

-

$ 4,166.666,67

Respuesta. Perdida $ 4.166.666,67 en terrninos financieros


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Ejemplo:

Calcular la tasa de interes real que se cobra en un pais cuya tasa de interes efectiva es 15% y la tasa de inflaci6n 0 variaci6n porcentual del lndice de precios al consumidor es 20% GCuanto gana 0 pierde una empresa que invierte $ 100.000 en 1 ario? SOLUCION:

r

=

100 _ _ l . . = . Q 1+ d

r

=

100 (- 0,041667)

I = 100.000

=

100 0,15 - 0,20 1 + 0,20 =

-

4,1667% da una tasa negativa (perdida)

-4,1667

= - $ 4.166,67

100 RESPUESTA.

Perdida de $ 4.166,67, en terminos financieros

Autoevaluaci6n: VERDADERO

0 FALSO


son verdaderas

0

AFIRMACION

falsas. V

F

EI VAN es igual al valor presente neto. Un VAN negativo indica que la inversi6n es ventajosa realizarla. Si el VAN 0 cuando se toma como ria tasa de inflaci6n quiere decir que se mantiene el poder adquisitivo al invertir en el negocio. La TIR es igual para todos los proyectos. La TIR se considera como la tasa maxima a la que se debe aceptar un prestarno. La f6rmula de Fisher es usada para el calculo de la tasa real =

CASAMIENTOS


CONCEPTOS

VAN>

Conviene el proyecto

0

Tasa real ( - ) TIR < Costo de oportunidad


No conviene el proyecto Se pierde

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(ANEXO 3) Correspondencia a la Unidad y Semana: UNlOAD III. SEMANA No. 10, 11, 12 Y 13

Titulo del Tema:

BONOS


En el campo de los grandes capitales requeridos para financiar las instalaciones industriales modernas 0 las grandes obras productivas que emprenden corporaciones 0 los gobiernos, no es posible obtener el dinero necesario en prestarno proveniente de una sola comparila: por 1 0 que es necesario recurrir a las inversiones de varias personas. Para agilizar estas inversiones se ha creado una forma de obliqacion que constituye un instrumento de credito lIamado bono. En los ultirnos aries, la banca privada, la banca nacional y las corporaciones financieras han creado y puesto en circulacion varias clases de obligaciones comerciales, como cedulas y certificados a termino fijo. Estos documentos hacen mas atractivas las inversiones, puesto que ofrecen mejor rentabilidad que las tradicionales cuentas de ahorro. Por otra parte, con el objeto de incentivar las exportaciones no tradicionales, algunos gobiernos en vias de desarrollo han creado diversos tipos de certificados y bonos exportadores.

que tienden

a aumentar

la utilidad

percibida

por los

DEFINICIONES: BONO:

1. Un bono es un documento a largo plazo emitido por una corporacion 0 entidad gubernamental con el fin de financiar proyectos importantes. En esencia, el prestatario recibe dinero ahora a cambio de una promesa de pagar despues, con interes pagado entre el momenta en que el dinero se presto y el momenta en que es reembolsado. Con frecuencias, la tasa de interes de los bonos recibe el nombre de cupon. 2. Es una obliqacion 0 documento de credito, emitido por un gobierno 0 entidad particular, a un plazo perfectamente determinado, que devenga intereses pagaderos en perlodos regulares. Las leyes de cada pais regulan las relaciones entre entidades emisoras y las personas propietarias 0 tenedoras de los bonos. Los bonos que pueden transferirse libremente y cambiar de duerio por la simple venta se denominan bonos no registrados y se emiten al portador. En caso


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que los bonos sean registrados, solo pueden endoso y con consentimiento del emisor.

transferirse

mediante

Bono cup6n cero no paga intereses peri6dicos, de manera que la tasa del cup6n es cero. Debido a ello, estes se venden con frecuencia con descuentos mayores del 75% de su valor nominal, de modo que su producto hasta el vencimiento sea suficiente para traer a los inversionistas. PAGO DE INTERESES:

En la mayorfa de bonos, los pagos de interes se los hace contra la presentaci6n de cupones; estes cupones estan impresos en serie y ligados a la misma obligaci6n y cada uno tiene impresa su fecha de pago. Tanto los cupones como el bono mismo son paqares negociables; en el caso de bonos registrados, tanto en el principal como en los intereses, los cupones no son necesarios ya que los intereses se pagan directamente, a la persona registrada como tenedor del bono. VALOR NOMINAL:

Es el que se hace referencia a su denominaci6n el principal 0 capital que se seriala en el bono es el valor nominal, en general una denominaci6n par que empieza en $100 y mas utilizados son de $100, 500, 1.000, 10.000 Y 50.000. EI valor nominal representa la suma global que sera pagada al tenedor del bono a la fecha de vencimiento. Con frecuencia, un bono se compra con descuento ( menor que el valor nominal ) 0 con una prima ( mayor que el valor nominal ), pero solamente el valor nominal, no el precio de compra, se utiliza para calcular el monto del interes del bono. EI monto del interes I pagado por perlodo con anterioridad a la fecha de vencimiento del bono se determina multiplicando el valor nominal del bono por su tasa de interes por periodo, de la siguiente manera: I

=

F (valor nominal ). r ( tasa de interes del bono) m (Nurnero de perlodos de pago por ano.)

Ejemplo:

Determine cual sera el monto de interes que recibira por perfodo si compra un bono de $5.000 al 6 %, el cual vence dentro de 10 aries con intereses pagaderos cada trimestre. Soluci6n: =


5.000 ( 0,06) 4

=

$ 75

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En consecuencia, usted recibira intereses de $ 75 cada trimestre adicionales a la suma global de $ 5.000 al terrnino de 10 aries.

VALOR DE REDENCION: Es el valor que recibe el tenedor del bono, por 1 0 general el valor de redenci6n es igual al valor nominal, en este caso se dice que el bono es redimible a la par. De otra forma, el valor de redenci6n se expresa como un porcentaje del valor nominal ornitiendose la palabra por ciento. Por ejemplo, Un bono de $ 1.000 redimible en $ 1.050 se expresa como "un bono de $1.000 redimible a 105". EI reintegro del principal se efectua en una fecha de vencimiento estipulada pero, en algunos casos, se deja al prestatario la opci6n de reintegrar el valor, antes del vencimiento. Normalmente se redime un bono en una fecha de pago de intereses.

PRECIO DE LOS BONOS: EI precio de los bonos en el mercado de valores se fija por acuerdo entre el comprador y el vendedor; este valor depende basicarnente de los siguientes factores: (1) tasa de interes e intervalo de los cupones; (2) tasa de interes local para las inversiones; (3) tiempo que debe transcurrir hasta el vencimiento; (4) precio de redenci6n; (5) las condiciones econ6micas imperantes; (6) confiabilidad en las garantlas del emisor. Los bonos pueden venderse a la par, con premio, 0 con descuento (castig ),segun el precio de venta sea igual, mayor 0 menor al valor nominal.

TASA INTERNA DE RETORNO (TIR 0 RENTABILlDAD): Para el calculo de la tasa interna de retorno del dinero invertido en bonos, el inversionista debe tener en cuenta tanto el valor de los cupones como el valor de redenci6n del bono. Un bono com prado con descuento ira aumentando gradual mente su valor, hasta igualar el valor de redenci6n en la fecha de vencimiento y esto agrega un beneficio al valor de los cupones. En caso de que los bonos se compre con premio se produce una disminuci6n paulatina del precio de compra que debe restarse del valor de los cupones, a fin de calcular el rendimiento.

PRECIO DEL BONO A UNA FECHA DE PAGO DE INTERESES 0 CUPON: Si un inversionista bono en de unalosfecha de en pago deperiodo intereses adquiere el derecho acompra recibir elunpago futuro intereses cada de pago y el valor de redenci6n del bono, en la fecha de vencimiento. No recibira el pago de interes vencido en la fecha de compra. EI valor actual del bono debe ser equivalente a la suma de los valores actuales de los derechos 0 flujos que compra, 0 sea:

Valor presente de los bonos principal


valor presente de los intereses + valor actual del

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Nomenclatura: C P F r

precio de redencion del bono precio de compra para obtener un rendimiento i. valor nominal (0 la par del bono) tasa de interes por periodo de pago del cupon n nurnero de periodos de intereses (0 nurnero de cupones), hasta la fecha de vencimiento i tasa de interes sobre la inversion por periodo de cupon (rentabilidad 0 tasa interna retorno TIR). =

=

= =

=

=

Se designa A al valor de los intereses que paga el bono en cada fecha de pago (cupon) A Fr. Los pagos A forman una anualidad vencida y su valor presente P al sumar al valor anterior el valor presente de C a la tasa i%, se tiene: =

Finalmente luego de algunos reemplazos y transformaciones

la formula queda:

n

p

=C

+ (F.r _ C.i).l- (1 ~ it l

Ejemplo: Un bono de $1.000, 3.5 %, FA (febrero-agosto), es redimible a 105 el primero de febrero del 2005. Hallar el precio de compra el 1 de febrero de 1985, que reditus 5% anual convertible semestralmente. F

=

1000, C

=

1050, r

=

0 ,0 3 5 / 2 , i

0 ,0 5 1 2 , n

=

=

40.

Reemplazo en la formula

P

=

1050 + (1000 x 0,0175 -1050

P

=

830,35

x 0,025) 1 - (1+0,025)-40 0,025

VALOR EN LIBRaS DE UN BONO Los bonos comprados con premio 0 con descuento, con el transcurso del tiempo varian su valor hasta igualar al de redencion, en la fecha de vencimiento. EI cambio de valor durante la vida del bono se observa con claridad construyendo una tabla de inversion


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Ejemplo: Un bono de $1.000 al 8% convertible semestralmente, redimible a la par dentro de tres aries, es adquirido por un inversionista, para obtener una TIR del 6%. Elabore la tabla de inversion del bono. C

=

P

=

P

=

1.000, F

=

1.000, r

=

0,08/2, i

=

0,06/2, n

=

3 (2)

=

6

1.000 + (1.000 x 0,04 - 1.000 x 0,03) 1 - (1 +0,03r6 0,03 $1.054,17

Periodo

1 2 3 4 5 6

Valor en libros al inicio del periodo 1.054,17 1.045,80 1.037,17 1.028,29 1.019,14 1.009,71 Totales

Intereses sobre la inversion 31,63 31,37 31,12 30,85 30,57 30,29 185,83

Intereses del bono

Variaciones del valor en libros

40,0 40,0 40,0 40,0 40,0 40,0 240,0

8,37 8,63 8,88 9,15 9,43 9,71 54,17

Valor en libros al final del periodo 1.045,80 1.037,17 1.028,29 1.019,14 1.009,71 1.000,00

En este caso, el bono fue comprado con premio y, puesto que su valor de redencion es menor que el de compra, es necesario amortizar la diferencia. En caso de que el bono se adquiera con descuento, el inversionista registra una utilidad mayor que los intereses pagados por el bono, cantidad igual al aumento de valor que en cada periodo registra el bono.

PRECIO DEL BONO INTERESES 0 CUPON

COMPRADO

ENTRE

FECHA

DE

PAGO

DE

Cuando se compra un bono entre dos fechas de cupones, el precio comprende el valor principal del bono, cantidad que corresponde al valor presente de su precio de redencion, mas el valor de los cupones no vencidos, adernas del ajuste acordado entre el comprador y el vendedor, en cuanto al cupon del periodo en que se haga la transaccion, ya que este pertenece en parte al comprador y en parte al vendedor. Para designar el precio de un bono, sin el valor acumulado del cupon, se utiliza al expresion "precio con interes", en tanto que para expresar el precio incluido el valor acumulado del cupon , se dice precio efectivo 0 precio flat. Los corredores de bolsa, en cada pais usan valores distintos para referirse al precio con interes y al precio efectivo. Calculo del precio con interes: Fije en un diagrama los valores Po y P1 en dos fechas sucesivas de pago de intereses, y sea P el precio del bono, despues de transcurrida la fraccion de tiempo k, con relacion al periodo de pago de cupones.


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La diferencia transcurrido.

P -

Po es una

variacion

que

es

proporcional

al tiempo

o sea P - Po = P1 - Po k 1 de donde, P = Po + k (P1

-

Po)

Ejemplo:

Un bono de $100, con fechas de cupon 1 de mayo y 1 de noviembre (MN), se negocia el 2 de agosto. Calcular el precio con interes, si en el mismo ana se tiene: Precio en 1 de mayo = $96,30 Po Precio en 1 de noviembre = $96,66 P1 k = dias transcurridos entre el 1 de mayo y el 2 de agosto son 91 dias (si considera meses de 30 d las) de donde k = 81/180, al sustituir los valores, se tiene: P = 96,30 + __jli_(96,66 - 96,30) = $96,46 180

o

k

Po

P

1

Calculo del precio efectivo por el rnetodo exacto

0

de lnteres compuesto:

En el diagrama anterior, Po es el precio del bono en la fecha de cupon, inmediatamente anterior la fecha de transaccion, P el precio en la fecha y P1 el precio del bono, en la fecha siguiente; sean i la tasa de interes sobre la inversion y k la fraccion de periodo medida a partir de la fecha O. AI plantear una ecuacion de equivalencia para la fecha de transaccion, se tiene que P es el valor futuro acumulado de Po . Pe = Po (1 +i)k Para el valor de la fraccion de k, se acostumbra

usar el ana de 360 dlas,

con meses de 30 dias c/u. Ejemplo:

Hallar el precio el 15 de mayo de 1996 de un bono de $1.000 MS, a un interes del 6% convertible semestralmente, redimible a la par el 1 de septiembre del 2021, si se desea una TIR del 8%, convertible semestralmente.

C=1.000; F= 1.000; r =3%; i = 4%


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Para el calculo del nurnero de cupones Bono MS (Marzo -Septiembre) entonces se paga cada semestre Redime el 1 de Septiembre Entonces: MS de marzo a septiembre pasa un semestre S Por 1 0 tanto hay que sumar un semestre al nurnero de aries por el numero de cupones al ario, si se redime en marzo no se debe sumar el semestre adicional. 2021-1996 25 x 2 + 1 51 n 51 =

=

=

La fecha de pago inmediatamente anterior a la venta 1 de marzo de 1996 1 0 que da 75 dias hasta la fecha de neqociacion y los intereses que puede cobrar el comprador son por 180 - 75 105 dias. =

Po

=

Po

=

1.000 + (1.000(0,03) - 1.000(0.04) 1 - (1 +0,04 0,04 783,83

r51

Para Pe Pe

= =

Po (1 +i)k; se tiene i 0,04; k 783,83 (1 + 0,04)7/12 801,97 =

105/180

=

=

7112 ;

=

Calculo aproximado del precio efectivo a de lnteres simple: En la practica y que es de uso mas frecuente este rnetodo. Para calcular el valor del bono en esas fechas, se realiza el siguiente procedimiento: a) Se halla el valor del bono en la ultima fecha de pago de intereses, inmediatamente antes de la fecha de compra venta. b) Se calcula el monto a interes simple del valor encontrado en a) considerando el tiempo exacto transcurrido entre la ultima fecha de pago de intereses y la de neqociacion 75 dias en el caso del ejemplo anterior. como procedimiento alternativo, se considera el nurnero de dias comprendido entre la fecha de neqociacion y la futura fecha de pago de intereses, y si aplicamos al ejercicio anterior tendrfamos: NOTA:

7112 ; P Po (1 +i)k; se tiene i 0,04; k 105 /180 P 783,83 (1 + 0,04)7/12 801,97 Pe Po (1+ k.i) Pe 783,83 (1 +0,04(7/12)) 802,12 "AI aplicar interes simple a las fracciones de period os se obtiene valores mas altos" = =

=

=

=

=

= =


=

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Pe Po(1+ k.i); se tiene i 0,04; k 75/180 5/12; Pe 783,83 (1 + (5/12)0,04) 796,89 EI precio del bono es $796,89, que se 1 0 denomina "bono sucio" =

=

=

=

=

=

INTERES REDITUABLE

DE UN BONO IR

Es la parte fraccionaria del pago de intereses en una fecha diferente a la de pago del cup6n. Se obtiene dividiendo el nurnero de dias contados desde la ultima fecha de pago de un cup6n hasta la fecha de compra, entre el nurnero de dias del periodo de capitalizaci6n de intereses y multiplicando por los intereses del periodo completo. EI interes redituable se utiliza para obtener el denominado "bono limpio". En el ejemplo anterior: Con Interes Simple. Po 783,83; Pe 796,89 k 75/180 Intereses 0 cup6n 1.000 (0.06/2) 30 IR Cup6n x k 30 (75/180) 12,5 Precio del bono limpio 796,89 - 12,5 784,39 yes el valor en libros al 15 de mayo. =

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Con Interes Compuesto. Po 783,83; Pe 801.97 k 105/180 Intereses 0 cup6n 1.000 (0.06/2) 30 IR Cup6n x k 30 (105/180) 17,5 =

=

=

=

=

=

=

=

=

Precio del bono limpio 801,97 - 17,5 yes el valor en libros al 15 de mayo.

=

784,47

Practicarnente por los dos rnetodos el valor del bono limpio es el mismo, es muy poca la diferencia existente. RENDIMIENTO

DE LAS INVERSIONES

EN BONOS

Calcular el rendimiento TIR que obtendran al comprar bonos en el mercado de valores, es un problema cornun que se presenta a los inversionistas par determinar su capital. Este problema no puede resolverse por rnetodos 1 0 que hay varios rnetodos que dan soluciones bastante directos por en aproximadas, nuestro caso veremos unicarnente:

Calculo de la TIR por el rnetodo de lnterpolacion: Este rnetodo requiere hallar dos tasas de interes, que correspondan a un precio menor y uno mayor que el precio de compra. Despues de calcular primero una tasa aproximada, se procede a determinar los precios de compra para una tasa inferior y otra superior, para posteriormente interpolar entre estos dos precios. (Revise la informacion


de lnterpolacion lineal)

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Ejemplo:

Hallar la TIR de un bono de $1.000 al 18%, con cupones trimestrales, redimibles a la par dentro de 5 aries si se cotizan a 92. Se supone en fecha de cupon .. "Los precios de los bonos en el mercado de valores se cotizan tomando como base 100, suponiendo que 100 es el valor a la par. Asi, un bono redimible a la par y cotizado a 94 significa que se ofrece por $940"

P

=

920; F

p

=

C + (Fr-Ci).

920

=

=

C

=

1.000; Fr

=

1.000(0.18/4)

1 - (1+irn i 1000 + (45 - 1000 . i) 1 - (1 +

=

45; n

5(4)

=

=

20 trimestres

j)-20

La tasa i debe ser mayor que 4,5% para que la cantidad parentesis resulte negativa. Si hubiese side a la par 4.5%.

CLAVE:

entre

Mediante la aplicacion de las tasas 5,5% y 5,1 % trimestral tenemos:

P 880,50 si i 5,5% P 925,86 si i 5,1% Se interpola entre estos dos valores: =

=

=

=

925,86

0,051

925,86

0,051

880,50

0,055

920,00

X

45,36

es a

- 0,004

5,86 45,36 - 0,004

0,051 - X

X

=

=

=

-

0,0515168

0,0515168 (Tasa nominal trimestral)

(1,051568)

=

4 -

(1 +j/rn)" 1

=

Tasa efectiva anual


0,051 - X

5,86 0,051-X

=

0,004(5,86) 45,36

(1+i)

Cuanto mas cercanas sera la aproxirnacion.

es a

1,2228-1 =

22,28 %

sean las tasas entre las cuales se interpola, mas fina

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A continuacion te presento unos ejemplos que te permitiran comprender de mejor manera los temas tratados en este bloque, para 1 0 que, tendras que analizarlos y posteriormente resolverlos sin mirar la solucion dada; esto asegurara que haz aprendido. Entonces podras seguir ejercitandote, con los ejercicios que se proponen al final del presente bloque.

Ejemplo:

Determine cual sera el monto de interes que recibira por perfodo si compra un bono de $5.000 al 6 %, el cual vence dentro de 10 aries con intereses pagaderos cada trimestre. SOLUCION

A = 5.000 ( 0,06) 4

= $ 75

En consecuencia, usted recibira intereses de $ 75 cada trimestre adicionales a la suma global de $ 5.000 al terrnino de 10 aries. Ejemplo:

Un bono de $1.000, 3.5 %, FA (febrero-agosto), es redimible a 105 el primero de febrero del 2005. Hallar el precio de compra el 1 de febrero de 1985, que reditus 5% anual convertible semestralmente. SOLUCION

F = 1000, C = 1050, r = 0,035/2, i = 0 , 0 5 1 2 , n = 40. Reemplazo en la formula

P = 1050 + (1000 . 0,0175 - 1050 . 0,025) 1 - (1 +0,025r40 0,025

P = 830,35 Ejemplo:

Un bono de $1.000 al 8% convertible semestralmente, redimible a la par dentro de tres aries, es adquirido por un inversionista, para obtener una TIR del 6%. Elabore la tabla de inversion del bono. SOLUCION

C = 1.000, F = 1.000, r = 0,08/2, i = 0,06/2, n = 3 (2) = 6

P = 1.000 + (1.000 . 0,04 - 1.000 . 0,03) 1 - (1 +0,03r6 0,03


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P

=

$1.054,17

En este caso, el bono fue comprado con premio y, puesto que su valor de redenci6n es menor que el de compra, es necesario amortizar la diferencia caso de que el bono se adquiera con descuento el inversionista registra una utilidad menor que los intereses pagados por el bono, de valor que en cada periodo registra el bono cantidad igual al aumento.


0 FALSO


son verdaderas

AFIRMACIONES EI bono es una obligaci6n que tiene una entidad para el poseedor de este Se dice que un bono es a la par cuando F C Un bono negociado a la 105 quiere decir que fue negociado con premio EI valor del cup6n es igual al valor de los intereses que se pagan peri6dicamente.

0

falsas.

V

F

=

CASAMIENTOS

Una con lineas las siguientes definiciones con los conceptos correspondientes.

DEFINICIONES

lnteres Redituable

Negociaci6n con Castigo Bono Sucio Negociaci6n con Premio


CONCEPTOS

Precio del bono entre la fecha pago cup6n sin de de considerar el interes redituable Cuando P>F Cuando P
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UNlOAD IV. SEMANA No. 14, 15, 16 Y 17

Titulo del Tema:

MATEMATICA APLICADA A LAS PROBABILIDADES


En la vida cotidiana aparecen muchas situaciones en las que los resultados observados son diferentes aunque las condiciones iniciales en las que se produce la experiencia sean las mismas. Debido al importante papel desernpenado por la probabilidad dentro de la estadlstica, es necesario familiarizarse con sus elementos basicos, 1 0 que constituye el objetivo de la presente quia, Posteriormente, se introduce el sentido de la probabilidad en terminos de experimentos aleatorios, espacio muestral, sucesos, etc. PROBABILIDAD

1

MATEMATICA

Si un evento tiene que resultar en algunas de n diferentes pero igualmente maneras y si ciertas s de esas maneras son consideradas aciertos, mientras que las otras f = n - s maneras son consideradas fallas, entonces, la

posibles

probabilidad de acierto en un experimento dado esta definida como p =!_ y la n

probabilidad de fallar esta definida como q = f

n

s f s+ f n Dado que p+q=-+-=--=-=l,tenemosque

n

n

n

n

p=l-q

y q=l-p

Se dice entonces que p y q son subconjuntos complementarios de un espacio muestral. Si un evento ocurre siempre de manera inevitable se dice que p ( E ) = 1; si el evento nunca ocurre, se dice que p ( E ) = 0 "Se dice que los eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno de ellos excluye totalmente la ocurrencia de cualquier otro. Por ejemplo, al lanzar un dado, el que salga 1 excluye autornaticarnente la ocurrencia de cualquier otro nurnero. ASI, dada una cantidad n de eventos mutuamente excluyentes El ,E2 , ••••••• E la probabilidad de ocurrencia de cualquiera de los n ,

1 FRANK AYRES, Jr .MATEMATICAS FINANCIERAS, Editorial McGraw-Hili, Primera Edici6n Mexico 1991.paq 139 a la 141


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eventos

(E l a E2

probabilidades

0

En } es

igual

a

la

suma

de

sus

respectivas

individuales.

Se dice que los eventos son independientes si la ocurrencia de uno de los eventos no tiene ninqun efecto en la ocurrencia de los otros eventos. EI resultado de sucesivos lanzamientos de un dado es un ejemplo de estos: el resultado de un lanzamiento no tiene ninqun efecto en el resultado siguiente. E n es el La probabilidad de ocurrencia de n eventos independientes Ep E 2 , producto de las probabilidades

de los eventos individuales:

Ejemplo:

Se lanza una moneda al aire, GCual es la probabilidad de obtener "sello" al caer la moneda? SOLUCION:

Como habfamos definido, para obtener la probabilidad exacta de obtener "sello" en este ejercicio, primero tomamos los datos: Nurnero de cas os favorables 1 (Ya que solo hay un simbolo "sello" en la moneda. Nurnero de cas os totales 2 (Ya que en la moneda existen dos sirnbolos, uno es "sello" y el otro es "cara". =

=

La formula para obtener la probabilidad es la siguiente: s (casas favarable~ p=

n (casas tatales)

Resolviendo el ejercicio se obtiene: 1 p=-

2

p

=0,5

Para una mejor cornprension el resultado es: p

2

=

50% de probabilidad de obtener "sello" al lanzar una moneda.

DiAZ MATA, Alfredo, Matamaticas Financieras, Editorial McGraw-Hili, Tercera edici6n Mexico 1999, pag.331


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Ejemplo:

A)

Determfnese 52 cartas

la probabilidad

a) Un as b) En dos extracciones

de obtener en la extraccion de una baraja de

consecutivas,

dos ases.

SOLUCION:

a)

EI

s

p

nurnero de resultados favorables es de 4, pues hay 4 ases, asl: 4

1

= -;; = 52 = 1 3

b) En este segundo caso se trata de 2 eventos independientes. En la primera extraccion, la probabilidad de obtener un as es, como se via arriba,

Para la segunda extraccion, sin embargo, el nurnero de eventos favorables es de 3, en el supuesto caso de que en la primera se hubiese extrafdo un as, y el nurnero total de eventos posibles es de 51. Por tanto,

La probabilidad de que se den ambos determina por la formula: p(Ej Y E 2 ) = p(Ej)

eventos

sucesivamente

se

x P(E2)

Ejemplo:

B)

GCual es la probabilidad de que las 2 primeras extracciones no sean ases?

de una baraja

SOLUCION:

En este caso se esta preguntando desfavorables, por 1 0 que tiene:

por el suceso

de dos eventos

q=l-p

En el primer evento:


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q

(E

1

)=1-_i_= 48 = 12 52 52 13

En el segundo evento:

La probabilidad de falla en el primero y falla en el segundo es, por tanto,

q(El

y

E J =q ( E l )

x q(EJ:

Ejemplo:

C)

GCual es la posibilidad de que de las 2 primeras baraja, una sea As y la otra sea una carta diferente?

extracciones

de una

SOLUCION:

Estos eventos pueden presentarse de dos formas: a) As y otra carta b) Otra carta y As a) En el primer caso la probabilidad

es:

4 1 p(As)=-=52 13 48 p(Otra)=51 Dado que la primera carta fue As, el nurnero de cartas distintas al As permanece sin cambios (48) para la segunda extracci6n. La probabilidad de ambos eventos:

p(As

y

1 48 48 Otra)=-x-=-=13 51 663

16 221

b) En el segundo caso, la probabilidad


es:

46

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48

p(Otra) = -

52

p(As)=-

12

= -

13

4

51

Dado que la primera carta fue distinta al As, los 4 ases permanecen en la baraja. La probabilidad de ambos eventos. 12

4

48

16

13

51

663

221

p(Otra y As)=-x-=-=-

Ya que ambos casos son igualmente validos (un As y Otra sus respectivas probabilidades se suman:

P(A

0

B)=_!i_+_!i_= 221

221

0

bien Otra y un As)

32 221

En los ejemplos A) , B), C) hemos visto todas las posibles maneras en que pueden ser extrafdas las dos primeras cartas de una baraja: 3

A) Dos ases:

1

p

= 663 = 221 B) Dos cartas distintas de ases:

C) Un As y una carta distinta:

p

564 188 = 663 = 221

p

96 32 = 663 = 221

Todos estos eventos forman 1 0 que se denomina el universo del experimento y la suma e sus probabilidades es igual a 1,pues ineludiblemente debera ocurrir alguno de ellos:

P(A

0

B

0

C)=_I_+ 188 + 32 = 221 =1 221


221

221

221

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PROBABILIDAD

ESTADisTICA

Si se ha observado que cierto evento E sucede a veces en n pruebas, la razon !_ es definida como la probabilidad

estadfstica 0 empfrica de que el mismo n resultado ocurra en una prueba futura. La confiabilidad que pueda otorgarse a los resultados as! obtenidos dependera en gran medida del nurnero de observaciones que se hayan hecho; a mayor nurnero, mayor sera la confianza que se les pueda dar. Por ejemplo, si en una escuela se ha observado que el fndice de desercion escolar durante los ultirnos 15 aries ha side de 10%, es razonable esperar que de la nueva qeneracion 1 de cada 10 estudiantes no concluya sus estudios. La razon !_ es Tarnbien conocida como la frecuencia relativa de un evento. n Ejemplo:

Los registros Ilevados por un hospital especializado en el tratamiento del cancer muestran que de un grupo de 800 personas a quienes se les detecto la enfermedad en un estado temprano, 720 sobrevivieron al menos 10 afios, Si el hospital alberga actual mente 120 enfermos en esas condiciones, a) Gcuantos de ellos se espera sobrevivan al menos 10 anos", y b) Gcual es la probabilidad de que mueran antes de 10 anos? SOLUCION:

De sus registros se tiene que: p =!_ = 720 = 0,90

n Es razonable, aries: 120(0,90)

800

Totalde sobrevivimtes Total de personas

al menos1 0 alios

con la enfermedacen

estadotemprano

por tanto, esperar que 90% de los enfermos vivan al menos 10

= 108

enfermos

La probabilidad de que mueran se determina por la formula q=l-p

q = 1- 0,90 = 0,10 q=10% Ejemplo:

Las estadfsticas de un pais en cuanto a accidentes de transite arrojan que un total de 10.000 automotores sufren por 1 0 menos un accidente al ario. Se


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tienen los datos del nurnero total de vehfculos por cada provincia de dicho pals, en este ana: Vehiculos adquiridos pais

PROVINCIA

TOTAL DE VEHicULOS ADQUIRIDOS POR PROVo ANO 2009

Provincia 1 Provincia 2 Provincia 3

5.000 6.500 10.500

SOLUCION:

Se desea obtener la probabilidad de que uno de los vehfculos adquiridos en la Provincia 3 resulte accidentado, en este ana: Se obtiene: 10.000 (Total de vehiculosaccidentacbs por ano) p=

10.5OO(Totalde vehiculosexistentesen

la Provincia3)

P=0,9523 P = 95,23% de probabilidid de que un vehicub de la Provincia3 se accidente

EI resultado es claro, ya que la provincia 3 tiene mayor nurnero de vehfculos circulando, por tanto es mayor la probabilidad de que un vehfculo de esa provincia se accidente. Ejemplo:

Supongamos que quieres entrar al negocio de los seguros de vida para tortugas (ya que sabes 0 has escuchado que las tortugas pueden vivir mucho tiempo, por 1 0 que no correrlas mucho riesgo de perdidas) y propones a tus clientes asegurar la longevidad de sus mascotas. Dada la siguiente tabla estadfstica sobre tortugas: Edad de la tortuga

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200


Tortugas sobrevivientes

10.000 9.200 9.000 8.900 8.700 8.300 7.800 7.000 6.100 5.100 3.900

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GQue probabilidad hay de que una tortuga que tenga 60 aries, dure otros 60? SOLUCION:

Observa que en el grupo de 60 aries de la tabla de arriba hay 8.900 tortugas y en el de 120 hay s610 7.800. Se dice que hay 7.800 oportunidades en 8.900 de que una tortuga de 60 aries sobreviva hasta los 120 aries. Es decir: p= _7_.

8_0_O--,(:..._T_o_ta_ld_e_t_o_rt_u.::::.ga_s_s_ob_r_e_v_iv_im_t_e_s_de_I_2_0_a_fi_

8.900 (Totalde tortugassobrevivieites de 60 afios) P=0,88 P

= 88% de probabilichd

Observaci6n:

Como podras ver en este ejemplo, para saber la probabilidad de un evento (en este caso las tortugas), es necesario basarse en datos estadisticos tomados de la observaci6n y conteo (en este caso sobre la longevidad de las tortugas). ESPERANZA

Si

p

MATEMATICA

es la probabilidad

entonces el producto pM E(M)=

de que una persona

reciba

cierta

cantidad

M,

sera una esperanza rnaternatica.

pM

Ejemplo:

En la fiesta anual de una empresa se sortean $ 100.000, entre los asistentes. GCual es la esperanza rnatematica de cada uno de ellos si se depositaron 80 boletos en la urna? SOLUCION:

La probabilidad p

p

de cada empleado es

s 1 = -;; = 80;

La esperanza rnaternatica es, por tanto


50

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E(M) = pM E(M)=_1 (100.000)=$1..250 80

Ejemplo:

En una ruleta con 50 nurneros se han colocado 11 premios: 1 de $ 100, 2 de $50, 3 de $ 20 Y 5 de $10. GCual es la esperanza rnatematica de cada jugador? SOLUCION:

La probabilidad de ocurrencia de cada uno de los premios es distinta:

1

235

E(M) = 100- +50- +2050

50

50

+1050

E(M) = 2+2+1,2+1 E(M) = 6,2 Ejemplo:

Si el costo de los boletos para la ruleta del ejercicio anterior es de $10. GCual es el valor de la esperanza rnaternatica? SOLUCION:

Se ha determinado ya el valor de la esperanza rnatematica de los ingresos ($6,20), y ahora resta por determinar el valor de la esperanza rnaternatica del pago; la probabilidad de perder q es decir si 50 nurneros se han colocado, y solo 11 tienen premios es decir la diferencia 50-11 = 39 constituyen los nurneros que no ganaran, entonces q es de 39 50

39

E(M)=-10-=-780 50

'

Este valor se resta de la esperanza rnatematica de los ingresos y se tiene el valor de la esperanza rnaternatica del experimento:

E(M)

=

6,20 -7,80


=

-1,60

51

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La esperanza rnatematica de una persona que entre al juego pagando $10 es una perdida de $1,60 Ejemplo:

Se organiza una rifa entre 25 personas, Los premios ofrecidos son: 1 de $50, 2 de $20, y 3 de $10. Los perdedores cubrirfan fntegramente los premios de los ganadores. GCual es la cantidad que debe aportar cada perdedor? SOLUCION:

La esperanza rnaternatica del experimento

1

2

es:

3

E(M)=50-+20-+1025 25

25

E(M) = 2+ 1,60+ 1,2

E(M) = 4,80

Adernas , 4,80 (25 ) = 120

=

total de premios, Y

120 __$6,32 19 perdedores

3

VALOR ACTUAL DE UN PAGO CONTINGENTE

Si pM

es la esperanza rnaternatica de que una persona reciba una cantidad

de dinero en el futuro, el valor actual de dicha esperanza suponiendo una tasa de interes i es:

Generalizando, si distintas cantidades de dinero M, ,M2 M; seran recibidas en tiempos t1 ,t2" .... 1neon probabilidades PI' P2····· .p., el valor actual de la esperanza rnaternatica es:

3

DiAZ MATA, Alfredo, Matamaticas Financieras, Editorial McGraw-Hili, Tercera edici6n Mexico 1999, pag.341


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Ejemplo:

Un banco ofrece a los empleados que cum plan 5 aries de trabajo un bono por $ 10.000 GCual es el valor actual de la esperanza rnatematica de un nuevo empleado sf, de acuerdo con las estadfsticas del propio banco, 40% del personal de nuevo ingreso cambia de empleo antes de cumplir 5 anos? Considerese una tasa de interes de 10% anual efectiva. SOLUCION:

La probabilidad

p

de que el nuevo empleado permanezca en el banco

hasta cumplir 5 aries es:

p=l-q p = 1-0,40

= 0,60

Y la probabilidad de que se retire antes de cumplir los 5 es de 0,40

0

40%. Su esperanza rnatematica es, por tanto, E(M)

= 0,60(10.000)

= pM

= 6.000

EI valor actual de la esperanza rnaternatica es:

pM(l + i pM(l pM(l

t

n

+it +it

= 6.000(1 + 0,10 t

n

= 6.000(0,620921)

n

= $3.725,53

Ejemplo:

Una empresa solicita al banco un prestarno y ofrece pagar $150.000 al cabo de 6 meses. Si la experiencia del banco muestra que 2% de los prestamos resulta incobrable, GCuanto dinero debe prestar a la empresa considerando que la tasa de interes del mercado es de 10% semestral? GCual es la tasa de interes real ganada por el banco? SOLUCION:

a) La esperanza rnaternatica de recuperaci6n del prestarno es:

E(M) = E(M) =

(0,98 X150.000) 147.000

Su valor presente descontado a la tasa de interes del mercado es:


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t + it

pM(l + i

n

pM(l

n

= 147.00«1 + 0,10t = 133.636,36

b) Si la empresa reintegra el prestarno en su totalidad, el banco habra ganado un interes de:

133.636,36 = 150.000(1+it (l+i)=

150.000

133.636,36 i

= 1,122449-1

i

= 0,122449

i

= 12,24%

De esta tasa 10% corresponde los riesgos de incobrabilidad.

al interes del mercado y 2,24% cubre

Ejemplo:

Un padre ofrece entregarle $10.000 a su hijo por cada ana que apruebe todos sus cursos universitarios. Si la carrera dura 5 aries y las estadfsticas muestran que s610 80% de los alumnos inscritos aprueban todas sus materias, GCual es la esperanza rnatematica del estudiante si la tasa de interes es de 15% SOLUCION:

En este caso se esta en presencia de una serie de pagos iguales. Puede realizarse su sumatoria 0 calcularlo como el valor actual de una anualidad simple, cierta, vencida e inmediata.

E(M) = 0,80(10.000X1+0,15t

2

+0,80(1O.000XlO,15t +

.

5

E(M) = 8.000 1-(1 +0,15t

0,15 E(M) = 26.817,24 4

TABLAS DE MORTALlDAD

Una tabla de mortalidad es simplemente un resumen de los registros de vida de un grupo representativo de individuos suficientemente grande.

FRANK AYRES, Jr .MATEMATICAS FINANCIERAS, Editorial McGraw-Hili, Primera Edici6n Mexico 1991,pag140 a la 143

4


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Para su calculo utilizamos la tabla GSa, 0 sea, la Tabla de Mortalidad estandar Ordinaria de los Gomisionados de 1941. La tabla GSa, que consiste en las tres primeras columnas de la tabla anexa, es en esencia la historia de la vida de un grupo original de 1 0 = 1.023.102individuos, de los cuales I ) = 1.000.000estaban vivos a la edad de 1 ario. Distinguiremos a la edad de un individuo con la letra x, mientras que el nurnero que del grupo original alcanza la edad de x 1 0 designaremos con lx (sobrevivientes a la edad x). La tabla supone que ninguna persona alcanzara 100 aries de edad. Esto simplemente indica que en nuestra epoca el porcentaje de individuos que alcanzan 0 viven mas alia de los 100 aries es tan pequerio que no tiene un efecto apreciable sobre las primas de seguro. La tercera columna encabezada por dx (muertes a la edad de x) , nos da el nurnero de muertes en el ario comprendido entre las edades x y x + 1. Por tanto dx= l, =l,« Posteriormente se explicaran las otras columnas. Ejemplo: Para uso de la tabla Del grupo original 130

a)

= 924.609estan vivos a los 30 aries de edad.

b) d35 =4.161 mueren entre los 35 y 36 aries, esto es, mueren durante el ario que tienen 35 aries de edad.

c)

= 924.609-883.342= 41.267 mueren entre los 30 y 40 aries, esto es, alcanzan los 30 aries de edad pero no alcanzan los 40. 1 3 0 - /4 0

De aqui en adelante designaremos por:

P x,

la probabilidad que una persona de edad x viva por 1 0 menos un ario, esto es, que alcance la edad de x + 1 la probabilidad que una persona de edad esto es, que alcance la edad de x + n nPx

,


x

viva por 1 0 menos

n

ario,

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qx, la probabilidad

que una persona de edad x, no viva un ario completo, esto

es, que no alcance la edad de x + 1

qx

la probabilidad que una persona de edad x, no viva por n ario, esto es, que no alcance la edad de x + n n

,

Ejemplo:

Hallar la probabilidad un ario

que una persona de 50 aries de edad viva por 1 0 menos

SOLUCION:

De la tabla

cso

Redondeando

Is o = 810.900 Y

lSI

= 800.910

. -~ - 800.910 _ 0 98768 a 5 decimales, tenemos, Pso - 150 - 810.900 - ,

Ejemplo:

Hallar la probabilidad 40 aries

que una persona de 30 aries de edad viva por 1 0 menos

SOLUCION:

Se requiere hallar la probabilidad aries,

como

130

=924609

Y

que una persona de 30 aries alcance los 70 170

= 454548,

redondeando

a 5 decimales

tenemos que: =~ 40PSO

130

= 454.548 = 049161 924.609 '

Ejemplo:

Hallar la probabilidad que una persona de 45 aries muera antes de alcanzar los 65 aries SOLUCION:

Se requiere hallar la probabilidad que una persona de 45 aries no sobreviva los pr6ximos 65-45=20anos.


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EI nurnero de personas que mueren entre los 45 y 65 aries es

l45 -l65;

por 1 0

cual

= 145 20Q45

= 852.554-

-165 145

577.882 = 032218

852.554

'

Ejemplo:

csa, hallar

Utilizando la tabla a) b) c) d)

la probabilidad que M, que ahora tiene 36 aries,

Alcance los 45 No alcance los Alcance los 45 Muera a los 75

aries 65 aries pero no los 65 aries.

SOLUCION:

Tenemos que

a) Como

l45

= 902393

l36

=852554,

P 9

b) EI nurnero

136 -165

29 Q36

136

c) De

muere

=~=852.554=094478 902.393 ' 136

entre

los 36

= 902393-577.882=

l36 -l65

=

que

36

las

l45 -l65

65 aries

y

de

edad

es

324511. En consecuencia

= 902.393 - 577.882 = 0 35961 902.393 '

902.393

personas

= 852554-577.882=

vivas,

de

36

aries,

274672 mueren en el ario que

tienen 75 aries. Por tanto la probabilidad requerida es

145 -/65

136

d) De

las

= 274.672 = 0 30438 ,

902.393 902.393

d75 = 28.009mueren

personas

vivas

a

la

edad

de

36

aries,

en el ario en que tienen 75 aries. Por tanto la

probabilidad requerida es:


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d75 = 28.009 = 0,03104 136 902.393


0 FALSO


son verdaderas

0

falsas.

AFIRMACION

V

F

La probabilidad mide la frecuencia con que se obtiene un resultado, al Ilevar a cabo un experimento La tabla de mortalidad constituye una herramienta estadfstica relativamente compleja que resume la experiencia de mortalidad de una poblacion La probabilidad de fallar esta definida como q =!!_

f

CASAMIENTOS


CONCEPTOS

x

Las muertes a la edad de x

dx

La probabilidad de sobrevivencia de un ario, que tiene una persona que acaba de cumplir la edad de x, de lIegar a vivir un ana mas, es decir, de cumplir la edad x+1 La edad de un individuo

px


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Glosario de Terminos:

Es todo bien que esta sujeto al desgaste, a las alteraciones y a los cambios en la tecnologia como son: edificios maquinarias, equipos de computo, mobiliario de oficina entre otros.

•

ACTIVO FIJO.-

•

AGOTAMIENTO.-

•

BASE DE DEPRECIACION.-

En la depreciacion progresiva de un activo, el mismo que va reduciendose conforme su aprovechamiento. Como ejemplo podemos citar la explotacion de las minas, petroleo Es la diferencia entre el costa original yel

valor de salvamento. •

•

Es una obliqacion 0 documento de credito, emitido por un gobierno 0 entidad particular, a un plazo PERFECTAMENTE determinado, que devenga intereses pagaderos en perlodos regulares. BONO.-

CARGO DE DEPRECIACION.-

Son los cargos periodicos, generalmente

son depositos anuales. •

COSTO INICIAL.- Valor del bien

•

CUPON.- En la mayorfa de bonos, los pagos de interes se los hace contra la presentacion de cupones; estes cupones estan impresos en serie y ligados a la misma obliqacion y cada uno tiene impresa su fecha de pago. Tanto los cupones como el bono mismo son paqares negociables; en el caso de bonos registrados, tanto en el principal como

0

activo en la fecha de compra.

en los intereses, los cupones no son necesarios que losdel intereses pagan directamente, a la persona registrada comoya tenedor bono. se •

Es la baja de valor debido al desgaste 0 a la calda en desuso que sufren los activos fijos haciendo que su vida util sea limitada. La depreciacion se calcula sobre el costa original del activo y no sobre el costa de reemplazo. DEPRECIACION.-

La depreciacion se la emplea unicarnente para los activos fijos tangibles y, por consiguiente, no incluye la disrninucion de valor en acciones y obligaciones que deben sus variaciones a situaciones de mercado Por elevados que sean los costos de mantenimiento y reparaciones, el activo fijo tangible lIega un momenta en que no puede seguir usandose, razon por la que va disminuyendo de valor, es decir, va depreciandose. AI terminar la vida util del activo fijo tangible tiene que ser reemplazado, para 1 0 cual se hace necesario un Fondo para depreciacion, la cantidad de dinero que se invierte en reemplazarlo se denomina Costo de reemplazo.


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En cambio, el aporte de cada periodo (general mente anual) para cubrir el gasto que representa la depreciacion, constituye la Depreciacion acumulada

•

DEPRECIACION ACUMULADA.- Es el fonda de reserva que se va acumulando ana tras ario.

•

LA CAiDA EN DESUSO.- Ocurre cuando no puede seguir usandose el activo tangible en las mismas condiciones de ventaja para efectos de competencia. Podrfa decirse que es una perdida de modele ante la aparicion de activos fijos tangibles que permitan una mayor produccion con costos menores.

•

MADURACION.- La rnaduracion de un bono se refiere a la fecha en la cual el capital 0 principal sera pagado. La rnaduracion de los bonos maneja un range entre un dia a treinta aries. Los rangos de rnaduracion a menudo son descritos de la siguiente manera: 1. Corto plazo: rnaduracion hasta los cinco aries. 2. Plazo intermedio: rnaduracion desde los cinco aries hasta los doce aries. 3. Largo plazo: rnaduracion de doce aries en adelante.

•

PERioDO DE RECUPERACION 0 PAYBACK.- Es el tiempo necesario para recuperar la inversion inicial. Sequn este criterio, el proyecto es conveniente cuando el periodo de recupero es menor que el horizonte econornico de la inversion, dado que se recupera la inversion inicial antes de finalizado el plazo total. Existen dos rnetodos: 1.- Payback Contable: Donde se consideran unicarnente los flujos netos de cada periodo, para determinar el tiempo que se tornara para recuperar el dinero invertido. EI inconveniente de este rnetodo es el que no toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo, por 1 0 que es preferible optar por el siguiente rnetodo. 2.- Payback Discount 6 Periodo de Recuperaci6n Descontado: Este rnetodo, para el calculo del tiempo que se requiere para recuperar el dinero invertido utiliza los flujos descontados; por esta razon su uso mas generalizado.

•

PRECIO DE LOS BONOS.- EI precio de los bonos en el mercado de valores se fija por acuerdo entre el comprador y el vendedor; este valor depende basicarnente de los siguientes factores: (1) tasa de interes e intervalo de los cupones; (2) tasa de interes local para las inversiones; (3) tiempo que debe transcurrir hasta el vencimiento; (4) precio de redencion: (5) las condiciones econornicas imperantes; (6) confiabilidad en las garantlas del emisor. Los bonos pueden venderse a la par, con


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premio, 0 con descuento (castigo), sequn el precio de venta sea igual, mayor 0 menor al valor nominal.

•

PROBABILlDAD.- Es el estudio formal de eventos aleatorios, de aquellos que tenemos incertidumbre de que ocurra 0 no.

•

Para el el TASA RETORNO (TIR RENTABILlDAD).calculo INTERNA de la tasa DE interna de retorno del0 dinero invertido en bonos, inversionista debe tener en cuenta tanto el valor de los cupones como el valor de redencion del bono. Un bono comprado con descuento ira aumentando gradualmente su valor, hasta igualar el valor de redencion en la fecha de vencimiento y esto agrega un beneficia al valor de los cupones. En caso de que los bonos se compren con premio se produce una disrninucion paulatina del precio de compra que debe restarse del valor de los cupones, a fin de calcular el rendimiento.

•

TASA INTERNA DE RETORNO.- Es la tasa de descuento que hace que la suma de los valores presentes de los flujos netos efectivo de un proyecto sea igual a la inversion inicial 0 la tasa que origina un van igual a cero. La TIR es una caracterfstica propia del proyecto, total mente independiente de la situacion del inversionista, es decir, de su tasa de interes de oportunidad.

•

TASA DE INTERES REAL.- Es la relacion que existe entre el costa de los recursos usados (comisiones, intereses, etc.) y la cantidad de dinero realmente disponible. tasa pagada 0 ganada despues de restarle la tasa de inflacion. Se da al relacionar mediante la formula de Fisher, la tasa efectiva anual con la tasa de inflacion.

es decir,

Las tasas de interes real influyen significativamente en las econom las de mercado, en el ahorro, en los endeudamientos, y en las decisiones de inversion para poder calcular su verdadera rentabilidad una vez que se ha quitado el efecto de la inflacion.

•

TABLAS DE MORTALlDAD.La tabla de mortalidad constituye una herramienta estadistica relativamente compleja que resume la experiencia de mortalidad de una poblacion. Aunque tiene un campo de aplicaciones relativamente variado, sirve fundamental mente para analizar la mortalidad y, mas concretamente, para calcular el tiempo promedio de vida restante 0 esperanza de vida.

•

VALOR EN LlBROS.- De un activo, en cualquier momento, es el costa original del activo menos el valor acumulado para cubrir la depreciacion del mismo.


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•

VALOR DE SALVAMENTO.- Constituye 1 0 que puede utilizarse del activo despues del tiempo estimado, pudiendo venderse como activo 0 como material.

•

VALOR DE USO.- Es la diferencia entre costo inicial y el valor de salvamento, se conoce tambien con los nombres de Costo Total de 0

Depreclacion

Base a depreciar.

•

VALOR ACTUAL NETO (VAN).- Tarnbien es conocido como valor presente neto (VPN). el van consiste en descontar 0 trasladar al presente todos los flujos futuros del proyecto a una tasa de descuento igual al costo de oportunidad, sumarlas todas y restar la inversi6n inicial en tiempo cero.

•

VALOR NOMINAL.- Es el que se hace referencia a su denominaci6n el principal 0 capital que se seriala en el bono es el valor nominal.

•

VALOR DE REDENCION.Es el valor el tenedor por 1 0 general el valor de redenci6n esque igualrecibe al valor nominal,delenbono, este caso se dice que el bono es redimible a la par. De otra forma, el valor de redenci6n se expresa como un porcentaje del valor nominal ornitiendose la palabra por ciento.

•

VIDA UTIL.- Es la duraci6n probable de un bien

•

YIELD.- La tasa yield es la tasa de retorno que se obtiene del bono basado en el precio que se pago y el pago de intereses que se reciben. Hay basicarnente dos tipos de yield para los bonos: yield ordinario y

0

activo.

yield de maduraci6n.


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RESPUESTAS ANEXO

2

a) VERDADERO

0 FALSO AFIRMACION

EI VAN es igual al valor presente neto. Un VAN negativo indica que la inversion es ventajosa realizarla. Si el VAN - 0 cuando se toma como ria tasa de inflacion quiere decir que se mantiene el poder adquisitivo al invertir en el negocio. La TIR es igual para todos los proyectos. La TIR se considera como la tasa maxima a la que se debe aceptar un prestarno. La formula

F

V

X X X

X X

de Fisher es usada para el calculo de la tasa real

X

b) CASAMIENTOS Una con lineas las siguientes definiciones con los conceptos correspondientes DEFINICIONES

CONCEPTOS

VAN >0

Conviene el proyecto

Tasa real ( - ) TIR < Costo de oportunidad

~o < :: , , _ ..........

conviene el proyecto

~e pierde RESPUESTAS ANEXO

3

a) VERDADERO

0 FALSO


son verdaderas

AFIRMACIONES EI bono es una obliqacion que tiene una entidad para el poseedor de este Se dice que un bono es a la par cuando F C Un bono negociado a la 105 quiere decir que fue negociado con premio EI valor del cupon es igual al valor de los intereses que se pagan periodicarnente. =

0

V

falsas. F X

X X X

b) CASAMIENTOS Una con lineas las siguientes definiciones con los conceptos correspondientes.


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DEFINICIONES

CONCEPTOS

lnteres Redituable

Neqociacion con Castigo Bono Sucio Neqociacion con Premio

Precio del bono entre la fecha de pago de cupon sin considerar el interes redituable Cuando P>F

/~ - , / '

''\

['tjuando P
RESPUESTAS BLOQUE

4

a) VERDADERO

0 FALSO


son verdaderas

0

falsas.

AFIRMACION

V

La probabilidad mide la frecuencia con que se obtiene un resultado, al Ilevar a cabo un experimento La tabla de mortalidad constituye una herramienta estadfstica relativamente compleja que resume la experiencia de mortalidad de una poblacion

X X

La probabilidad de fallar esta definida como q = !!...

F

X

f

b) CASAMIENTOS Una con lineas las siguientes definiciones con los conceptos correspondientes. DEFINICIONES

CONCEPTOS

x

Las muertes a la edad de x

dx

La probabilidad de sobrevivencia de un ario, que

px


tiene una persona que acaba de cumplir la edad de x, de lIegar a vivir un ana mas, es decir, de cum lir la edad x+1 La edad de un individuo

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MATEMATICA FINANCIERA II

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