Universidad Católica de la Santísima Concepción Facultad de Ingeniería
Trabajo de Optimización:
Modelo de Producción
Café L’angolo
Modelo de producción café L’angolo
15 de Julio del 2010
Tabla de contenidos Objetivos.........................................................................................3 Objetivo General................................................................. General.................................................................................... ............................. ..........3 3 Objetivos Específicos.......................................................................................3
Introducción....................................................................................4 Planteamiento del Problema.............................................................5 Análisis de Datos.............................................................................5 Modelamiento..................................................................................7 Identificación de Variables de Decisión............................................................8 Decisión............................................................8 Identificación de la Función Objetivo...............................................................8 Identificación de Restricciones............. Restricciones........................................ ............................................................8 .................................8
Modelo Matemático PPL...................................................................9 Sensibilidad de la Función Objetivo........................................ Objetivo................................................................12 ........................12
Análisis y resultados......................................................................13 Conclusiones..................................................................................................19
Bibliografía....................................................................................20
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Modelo de producción café L’angolo
OBJETIVOS
OJETIVO GENERAL Dar solución óptima y eficiente a la innovación en el proceso productivo que desea adoptar la cafetería L’angolo, a través de técnicas de resolución de modelos matemáticos linealizables.
OBJETIVOS ESPECIFICOS -
Modelar la utilización eficaz de los recursos limitados.
-
Encontrar la mejor alternativa de producción entre las alternativas factibles.
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INTRODUCCION Actualmente Actualmente el problema problema de de maximizar maximizar utilidades utilidades y reducir reducir costos costos es fundamental a la hora de estar enfrentado al problema constante de mejorar el rend rendim imie ient nto o de las las empr empres esas as.. El prob proble lema ma pued puede e ser ser reduc reducir ir el cost costo o de operación y a la vez mantener un nivel aceptable de servicio, utilidades de las operaciones actuales, proporcionar un mayor nivel de servicio sin aumentar los costos, mantener un funcionamiento rentable, o "mejorar" un aspecto de la calidad del producto sin reducir la calidad de otros aspectos. Para identificar la mejora del funcionamiento del sistema, se debe construir una representación sintética o modelo del sistema físico, que puede utilizarse para describir el efecto de una variedad de soluciones propuestas. Un modelo modelo matemá matemátic tico o es una ecuac ecuación ión,, desigu desiguald aldad ad o sistem sistema a de ecuaci ecuacione ones s o desigu desiguald aldade ades, s, que repres represent enta a determ determina inados dos aspect aspectos os del sistema físico representado en el modelo. Un modelo útil es aquel que captura los elementos adecuados de la realidad con un grado aceptable de precisión. El mode modelo lo mate matemá máti tico co que que desc descri ribe be el comp compor orta tami mien ento to de la medi medida da de efectividad se denomina función objetivo, que debe capturar la relación entre esa medida y aquellas variables que hacen h acen que dicha medida fluctúe. Para descubrir la mejor estrategia de producción se requiere un análisis de sensibilidad. En este análisis de debe tratar de identificar aquellas variables que afectan en mayor grado la medida de efectividad y luego debe intentar definir de manera lógica la relación matemática entre estas variables y la medida de efectividad. Esta relación matemática es la función objetivo que se emplea para evaluar el rendimiento del sistema en estudio. A partir anteriormente descrito se llevará a cabo en el presente informe, en el cual modelaremos un problema enfrentado por la cafetería L’angolo en su proceso productivo, para encontrar alguna solución efectiva a través de la programación lineal.
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PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA El café café “L’angolo” ha observado observado constantes solicitudes por parte de de su selectiva clientela de incluir en su carta distintas variedades de jugos batidos, producto que no trabajan actualmente. Esto ha motivado a expandir su negocio agregando una línea de producción de batidos naturales. Ante Ante esta esta expans expansión ión,, el gerent gerente e de produc producció ción n desea desea conoc conocer, er, con con fundamentos matemáticos, matemáticos, si incluir la producción producción de batidos batidos será realmente rentable para ellos, para lo cual nos ha solicitado estudiar cuál sería la manera óptima de distribuir la cantidad de ingredientes.
ANALISIS DE DATOS El gerente nos ha planteado que esperan incluir en un principio cinco tipos de batidos naturales y nos detalla la los materiales en las cantidades específicas que se utilizan para la elaboración de los 5 productos, que se detallan a continuación:
Batido de cerezas con frutillas -
100 gr de frutillas 150 gr de cerezas 70 gr de azúcar 200 ml de leche
Precio de referencia por unidad (vaso) (vaso) $ 1500 Batido de plátano con arándanos -
50 gr de arándanos 150 gr de plátanos 50 gr de azúcar 200 ml de leche
Precio de referencia por unidad (vaso) $ 1700 Batido de plátano con frutillas -
80 gr de frutillas 150 gr de plátanos 80 gr de azúcar
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-
250 ml de leche
Precio de referencia por unidad (vaso) (vaso) $ 1500 Batido múltiple -
100 gr de cerezas 70 gr de frutillas 20 gr de arándanos 100 gr de plátanos 50 gr de azúcar 300 ml de leche
Precio de referencia por unidad (vaso) (vaso) $ 2500 Batido frutillas con arándanos -
100 gr de frutillas 50 gr de arándanos 100 gr de azúcar 250 ml de leche
Precio de referencia por unidad (vaso) (vaso) $ 2000
Como la mayoría de los materiales utilizados son de una corta duración, la dispo isponi nib bilid ilidad ad de mate materi rial ales es dest destin inad ados os a los los bati batido dos s se renu renuev eva a semanalmente semanalmente y esta correspo corresponde nde a un mínimo mínimo de 200.000 ml de leche leche y un máximo de 30.000 gr frutilla, 50.000 gr de plátanos, 30.000 gr de arándanos, 15.000 gr de cerezas y 80.000 gr de azúcar. Todos los datos se trabajaran en Kilogramos exceptuando la leche cuya unidad de medida es litros.
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MODELAMIENTO TABLA DE DATOS RELEVANTES
Leche (litros) Frutillas (Kg) Arándanos (Kg) Plátanos (Kg) Cerezas (Kg) Azúcar (Kg)
Batido de cerezas frutillas
Batido de plátanos con arándanos
Batido frutilla s con aránda nos
Disponibil idad
0,2
0,2
0,25
0,3
0,25
200
0,1
0
0,08
0,07
0,1
30
0
0,05
0
0,02
0,05
30
0
0,15
0,15
0,1
0
50
0,15
0
0
0,1
0
15
0,07
0,05
0,08
0,05
0,1
80
Frutillas (kgr) Costos (Pesos Chilenos)
1500
Azúcar (Kgr)
Batido Batido de múltipl plátan e o con frutilla s
Cerezas Plátanos (Kg) (Kg)
500
2000
Variables
500
Aránda nos (Kg) 5000
Costo por unidad (vaso)
Batido de cerezas con frutillas Batido de plátanos con arándanos Batido de plátanos con frutillas Batido múltiple Batido de frutillas con arándanos
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$650 $490 $410 $690 $625
Leche (Lts) 700
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IDENTIFICACIÓN DE VARIABLES DE DECISIÓN unidades de batidos de cereza con frutillas frutillas X1: Cantidad en unidades unidades de batidos de de plátanos con arándanos arándanos X2: Cantidad en unidades X3: Cantidad en unidades de batidos de plátanos con frutillas. X4: Cantidad en unidades de batidos múltiples. X5: Cantidad en unidades de batido de frutillas con arándanos.
Obs: las unidades corresponden a un vaso de batido IDENTIFICACIÓN DE RESTRICCIONES Cereza: Frutilla: Plátano: Arándanos: Leche:
200
0,15X1+0X2+0X3+0,1X4+0X5 ≤ 15 0,1X1+0X2+0,08X3+0,07X4+0,1X5 ≤ 30 0X1+0,15X2+0,15X3+0,1X4+0X5 ≤ 50 0X1+0,05X2+0X3+0,02X4+0,05X5 ≤ 30 0,2X1+0,2X2+0,25X3+0,3X4+0,25X5 ≥ 0,07X1+0,05X2+0,08X3+0,05X4+0,1X5
Azúcar:
≤ 80
X1, X2, X3, X4, X5 ≥ 0
IDENTIFICACIÓN DE LA FUNCIÓN OBJETIVO MAX UTILIDAD ($) =
(1500-625)X1+ (1700-490)X 2+(1500-410)X3+(2500690)X4+(2000-625)X5 MAX UTILIDAD ($) = 875X1+
1210X2+1090X3+1810X4+1935X5 MODELO MATEMATICO P.P.L
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Max Z = C X s.a. AX = b X≥ 0
MAX UTILIDAD ($) =875X1+
1210X2+1090X3+1810X4+1935X5 s/a:
0,15X1+0X2+0X3+0,1X4+0X5 ≤ 15 0,1X1+0X2+0,08X3+0,07X4+0,1X5 ≤ 30
200
0X1+0,15X2+0,15X3+0,1X4+0X5 ≤ 50 0X1+0,05X2+0X3+0,02X4+0,05X5 ≤ 30 0,2X1+0,2X2+0,25X3+0,3X4+0,25X5 ≥
0,07X1+0,05X2+0,08X3+0,05X4+0,1X5 ≤ 80 X1, X2, X3, X4, X5 ≥ 0
MODELAMIENTO MATEMATICO (PPL) RESUELTO MEDIANTE WIN QSB
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Primera iteración
Segunda iteración
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Tercera iteración
Cuarta iteración
Quinta iteración
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TABLA ÓPTIMA
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Sensibilidad Función Objetiva
Sensibilidad de los recursos
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ANALISIS Y RESULTADOS
•
ANALISIS DE RESULTADOS OBTENIDOS POR METODO SIMPLEX.
Los resultados arrojados por el método simplex fueron:
X1=0,94≈1 X2=0 X3= 2,17≈2 X4= 0,87≈1 X5= 5,65≈6 H1=0 H2=0 H3=16,62 H4=0 H5=0 H6=46,08 Z=15639,58 Por lo tanto la máxima utilidad u tilidad será con la siguiente cantidad de producción semanal de batidos:
-
1 batido de cereza con frutillas 0 batidos de plátanos con arándanos 2 batidos de plátanos con frutillas. 1 batido múltiple. 6 batidos de frutillas con arándanos.
Obteniendo una utilidad máxima correspondiente al valor Z de $15.639,58 a la semana.
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•
ANALISIS DE COSTOS REDUCIDOS
H1=0 Este resultado refleja que de los 15 kilos semanales no sobran cerezas, es decir este recurso es utilizado totalmente.
H2=0 Este resultado refleja que de los 30 30 kilos semanales no sobran frutillas, es decir este recurso es utilizado totalmente.
H3=16,62 Este resultado refleja que que de los 50 kilos semanales semanales sobran 16,62 16,62 kg de plátanos.
H4=0 Este resultado refleja que de los 30 30 kilos semanales no sobran arandanos, es decir este recurso es utilizado totalmente.
H5=0 Este resultado refleja que de los 200 litros semanales no sobra leche, es decir este recurso es utilizado totalmente.
H6=46,08 Este resultado refleja que de los 80 80 kilos semanales sobran 46,08 kilos de azúcar. ANALISIS DE PRECIOS SOMBRA
•
X1 0
X2 651,8 7
X3 0
X4 0
X5 0
H1 0
H2 0
H3 16,6 2
H4 0
H5 0
H6 46,0 8
El análisis de precio sombra es cuánto es lo más que estoy dispuesto a pagar por una unidad de recurso extra, este es el máximo incremento en el precio sin que nuestras ganancias disminuyan. Debido a que el precio sombra es la variación unitaria en el valor objetivo ópti óptimo mo por por cada cada vari variac ació ión n por por unid unidad ad en el lado lado dere derech cho, o, vale decir, decir, en ecuaciones de demanda mínima los precios sombras me dicen cuanto gano si la demanda mínima se reduce en una unidad del producto x i, pero en este caso como nuestra ecuación es máxima los precios sombra me indicarían cuanto gano si la demanda máxima aumenta en una unidad del producto x i . Entonces podemos decir que: -
Como H1, H2,H4 ,H5=0 Implica que el aumento de una unidad en la disponibilidad disponibilidad tanto de cerezas, frutillas, arándanos arándanos y/o leche no influye en nada en la función fun ción Objetivo.
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-
Como H3=16,2 Por tanto el aumento de un kilogramo en la disponibilidad disponibilidad de plátanos la Función Objetiva aumenta en 16,62.
-
Como H6=48,08 Por tanto el aumento de un kilogramo en la disponibilidad disponibilidad de azúcar la Función Objetiva aumenta en 46,08.
Análisis de sensibilidad 1) Incluir Incluir una una nueva nueva activida actividad d X6: Batido de cerezas con arándanos -
50 gr de arándanos 150 gr de cerezas 70 gr de azúcar 200 ml de leche
Precio de referencia por unidad (vaso) (vaso) $ 1600
Arándanos(Kg) Cerezas (Kg) Azúcar (Kg) Leche(Lt) Precio Venta (pesos) Variable Batido de cerezas con arándanos
Batido de cerezas con arándanos 0,05 0,15 0,07 0,2 1600
Costo
Utilidad
$725
$875
El nuevo modelo matemático será:
MAX UTILIDAD ($) = 875X1+
1210X2+1090X3+1810X4+1935X5 +875X6 s/a:
15
0,15X1+0X2+0X3+0,1X4+0X5 +0,05X6≤
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0,1X1+0X2+0,08X3+0,07X4+0,1X5+0X6 ≤ 30 0X1+0,15X2+0,15X3+0,1X4+0X5+0X6 ≤ 50 0X1+0,05X2+0X3+0,02X4+0,05X5+0,05 X6 ≤ 30 0,2X1+0,2X2+0,25X3+0,3X4+0,25X5 +0,2X6 ≥ 200 0,07X1+0,05X2+0,08X3+0,05X4+0,1X5 +0,07X6≤ 80 X1, X2, X3, X4, X5, X6≥ 0
=
0,07 0 0,09 =0 -0,01 -0,41
0,05 0 0 0,05 0,2 0,07
-0,01 0 0,11 -0,6 1 -0,05 0,03 0 -0,73 0
C6=875
-0,01 0 2,16 0 -0,15 0,38
0 0 0,16 0,04 0,41 0 0,14 -0,01 -0,03 0 0,09 1
0 0
ā6 = B-1 a6 0,003 0,016 0,1945 0,005 -0,014 0,0865
CR= C6-Z6 = C6- CB B-1 a6 0,003 0,016 0,1945 0,005 Página -0,014 17 0,0865
ā6 =
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CR= 875 - (0 , 0 , 0 , 1935 , 1090 , 0) *
CR= 875 – (9,075) CR=865,925
Luego, el CR=386,78 y la variable seis es atractiva y se debemos iterar. Nuestra nueva tabla optima al iterar, nos queda:
Luego, al agregar una nueva actividad “alfajores de chocolate” nuestro Z nos queda igual a $15.694,58 a la semana. El Z sin la actividad nos da $15.694,58 a la semana, lo que nos permite concluir que le recomendamos agregar esta nueva actividad a la pastelería, por que conseguirán mayor utilidad u tilidad a la semana.
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2) Incluir Incluir una una nueva nueva restricci restricción ón Batido Batido Batido Batido de de de múltipl cerezas plátano plátano e frutillas s con con arándan frutillas os crema
0,1
0 ,1
0 ,1
Batido Disponibil frutillas idad con aránda nos
0
0,2
100
0,1X1 +0,1X2+ 0,1X3 +0X4 + 0,2X5 ≤ 100 X1=0,94 X2=0 X3= 2,17 X4= 0,87 X5= 5,65 (0,94)*0,1+0,1*(0)+0,1*(2,17)+0 (0,94)*0,1+0,1*(0)+0,1*(2,17)+0*(0,87)+0,2*(5,65 *(0,87)+0,2*(5,65)=1,441 )=1,441 Luego, se satisface la condición 1,441≤100 Como es redundante no nos conviene agregar esta nueva restricción, es decir no conviene agregar crema a los batidos. 3) Cambios en el Vector de Costos Como Como el “Bat “Batid ido o frut frutil illa las s con con arán aránda dano nos” s” (X5) obtu obtuvo vo un mayo mayorr numer numero o demanda para producir, producir, veremos que sucede si aumentamos el el valor de C5 a
3000
Como X5 es una variable básica entonces: C5-C5’= 1935-3000= -1065 Luego sumándoles este incremento a los costos reducidos asociados a las Variables NO Básicas entonces tenemos:
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Z
X 1
X2
0
1716,8 7
X3 X4 X5 0
0
0
H1
H2
1114,0 1
0
H3
H4
1438,6 5
1068,1 8
H5 0
H6 -747
H7 -1716,87
De esta forma podemos podemos concluir que la FO no generara generara cambios, cambios, pues ningún cost costo o redu reduci cido do pasa pasa a ser ser mayo mayorr que que cero cero,, lueg luego o para para que que esto esto ocurr ocurra a entonces debemos bajar el valor del costo reducido de alguna variable básica y no aumentarlo.
CONCLUSIONES Finalmente se demostró que a la hora de realizar un proyecto siempre es útil usar la programac programación ión lineal para para utilizar utilizar los recursos recursos de la manera más optima posible y a la vez conocer si el proyecto es rentable o no, en este caso concluimos concluimos que es conveniente conveniente incluir incluir dentro de la producción producción de L’angolo, L’angolo, una línea de producción de batidos de fru ta.
Los análisis de costos reducidos y precios sombras arrojaron que “mientras que algunos elementos serán significativos dentro del valor de la función objetivo aumentándola o reduciéndola, siempre y cuando se aumenten unidades de estos, puntualmente es el caso del plátano y el azúcar, cuyas cantidades aproximadas fueron totalmente ocupadas y que según el estudio de precio precios s sombra sombra son factor factores es que podrán podrán aument aumentar ar el valor valor de la Funció Función n Objetivo (F.O.) si es que aumentamos unidades de ellos en la disponibilidad de rec recurs ursos, os, excep xcepto to con la marg margar arin ina, a, quien uien a pesar esar de ser ser uti utiliza lizada da completam completamente, ente, influye negativame negativamente nte en la F.O. disminuyéndola. disminuyéndola. Por otro lado lado,, hubie hubiero ron n otro otros s ingr ingred edie ient ntes es cuya cuyas s cant cantid idad ades es apro aproxi xima mada das s fuer fueron on sobrantes, es el caso de los huevos, azúcar, manjar y leche, pues el análisis de costos reducidos nos revelo que no eran esas las cantidades optimas para obte obtene nerr la máxi máxima ma util utilid idad ad calc calcul ulad ada a debi debido do a que que no se util utiliz izo o toda toda la disponibilidad de recursos supuesta y siendo esta también razón para que el aumento en las unidades de estos ingredientes no altere en lo absoluto el valor de la F.O. F.O. ni negat negativ iva a como como posi positi tiva vame ment nte, e, es deci decir, r, ni aume aument ntán ándo dola la ni reduciéndola”. Por otro lado, para realizar el Análisis de sensibilidad, los dueños del L’angolo nos han preguntado si les recomendamos incluir un nuevo producto a su menú en la cafetería, como también agregar un nuevo ingrediente a sus batidos como es el caso de la crema, o modificar la utilidad que genera el Batido de frutillas con arándanos.
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H8 0
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Por lo tanto tanto se analiz analizaro aron, n, para para el estudi estudio o realiz realizado ado,, los siguie siguiente ntes s productos: incluir uir el Batido de cerezas con arándanos: Al incl
Batido Batido de de cereza cerezas s con arándanos en la cafetería, para analizar la conveniencia de agregar un nuevo producto, nos arrojo los siguientes resultados: resu ltados: La utilidad seria de $15.694,58 a la semana y la utilidad sin la actividad nos quedan $15.694,58 a la semana, lo que nos permite concluir que le es indi indife fere rent nte e agreg agregar ar el prod produc ucto to ante antes s menc mencio iona nado do a los los ofre ofreci cido dos s por por la cafetería, cafetería, porque porque claro está que la utilidad utilidad seguirá seguirá siendo la misma misma en una semana.
Crema: Al incluir crema en los batidos con una disponibilidad de 100 unidades a la sema emana nos nos arrojo que era era redunda ndante incluirlas, por esto le recomendamos a los d dueños ueños de “café L’angolo” que no incl incluyan uyan el servicio de crema como un nuevo ingrediente a sus batidos. Como los los Bati Batido dos s de frut frutil illa las s con con Batido Batido de frutil frutillas las con aránda arándanos: nos: Como aránda arándanos nos es aquel aquel produc producto to que más se demand demanda a dentro dentro de la cafete cafetería ría,, ento entonc nces es los los dueñ dueños os pens pensar aron on en aume aument ntar arle le un poco poco más más el valo valorr que que generarían sus utilidades de manera de poder aumentar un poco mas sus ganancias y así poder solventar la perdida que generaría hacer alguno de los otros productos, pero el análisis de sensibilidad que nosotros generamos arrojo que esto no influirá en nada sobre el valor de la F.O. por lo tanto el aumentar el valor de la Utilidad que se genera por los Batidos de frutillas con arándanos de $1935 a $3000 determina que la cafetería no será capaz de aumentar sus ganancias.
BIBLIOGRAFIA -Apuntes y materia entregada por el curso de investigación de operaciones 1, impartido por el profesor Jorge Jorge Beyer. -Investigación de Operaciones, Hamdy A. Taha. Editorial Pearson 2004, 7ª edición
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