JORGEEDUARDOCALPAOLIVA,M.Sc. INVESTIGACIÓNDEOPERACIONESI
LosMódulosdeclasesonunapublicacióndelaDireccióndeInvestigacionesyDesarrolloTecnológico delaUniversidadAutónomadeOccidente.Estematerialpresentacontenidosparcialesy/omaterialde apoyodecursosdictadosenlainstitución.
JORGEEDUARDOCALPAOLIVA,M.Sc. DocenteProgramaIngenieríaIndustrial InvestigacióndeOperacionesI
[email protected]
GestiónEditorial ProgramaEditorial
[email protected]
Diagramación JuanManuelEscobarVelasco
[email protected]
2008UniversidadAutónomadeOccidente Km.2víaaJamundí,A.A.2790Cali,ValledelCaucaColombia www.uao.edu.co
ElcontenidodeestapublicaciónnocomprometeelpensamientodelaInstitución, esresponsabilidadabsolutadesusautores.
SeccióndePublicacioneseImpresiones
ImpresoenColombia PrintedinColombia
LosMódulosdeclasesonunapublicacióndelaDireccióndeInvestigacionesyDesarrolloTecnológico delaUniversidadAutónomadeOccidente.Estematerialpresentacontenidosparcialesy/omaterialde apoyodecursosdictadosenlainstitución.
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TABLADECONTENIDO Pág. 2.1. 2. 1. GENERALIDADES
5
2 .2 . E JEM PL O PR OTO TIPO
5
2.2.1. Definición del problema 2.2.2. Identificación de las variables 2.2.3. Modelo formulado
2 .3 . E NFOQ UE GR ÁF ICO DE S OL UC IÓ N 2.3.1. Representar una región o área factible 2.3.2. Calcular el valor máximo o mínimo de la función objetivo en la región factible 2.3.2.1 Teorema fundamental de la Programación Lineal 2.3.3. Análisis gráfico 2.3.4. Interpretación de la solución óptima 2.3.5. Método analítico 2.3.6. Ejercicio de aplicación
2.4. MODELO 2.4. MO DELOS S LINE LINEALES ALES CON SO LUCI LUCIONES ONES ESP ESPECIALES ECIALES EN EL ENF O QUE GR ÁF IC O 2.4.1. Solución óptima única 2.4.2.. Modelo 2.4.2 Modelos s lineal lineales es infacti infactibles bles 2.4.3. Modelos lineales ilimitados – región no acotada 2.4.4. Modelos lineales degenerados – restricciones redundantes 2.4.5.. Modelo 2.4.5 Modelos s lineal lineales es con ópti óptimos mos al alternativo ternativos s
2.5 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD PARA EL ENFOQUE GRÁFICO 2 .5 .1 . D efi n ición de an álisis de sen sib ilida d 2.5.2. Análisis de sensibilidad para los coeficientes de la función funci ón objeti objetivo vo 2.5.3. Análisis de sensibilidad para el lado derecho de las restricciones
BI BL IO GR A FÍ A
6 6 6
7 7 10 10 11 13 14 16
16 16 16 18 20 21
22 23 24 27
36
LISTADEGRÁFICAS Pág. Gráfica 1. Representación de recta de restricción
9
Gráfica 2. Región o área factible
10
Gráfica 3. Representación lineal de función objetivo
12
Gráfica 4. Solución óptima análisis gráfico
13
Gráfica 5. Solución óptima método analítico
15
Gráfica 6. Modelos lineales infactibles
18
Gráfica 7. Modelos lineales ilimitados
19
Gráfica 8. Modelos lineales degenerados
20
Gráfica 9. Modelos lineales con óptimos alternativos
22
Gráfica 10. Sensibilidad coeficientes función objetivo
25
Gráfica 11. Sensibilidad coeficientes función objetivo
26
Gráfica 12. Solución óptima sin cambio en el lado derecho
29
restricción 2 Gráfica 13. Solución óptima con cambio en el lado derecho restricción 2 Gráfica 14. Cambio suficientemente mayor en restricción 2
Gráfica 15. Precio sombra restricción 2
30 31 34
2.1
GENERALIDADES
La primera fase para emprender la solución a un problema de Programación Lineal es formular y obtener el modelo. Considerada esta etapa la más importante del proceso de aplicación, en la cual se necesita definir claramente el problema y conceptualizar de una manera correcta el problema que presente el sistema sobre el cual se pretende realizar la aplicación. La etapa siguiente en el proceso es alcanzar la solución delmodelo. Desde el momento en que George Dantzig desarrolla el método simplex para obtener la solución a un modelo de programación lineal, éste método ha sido considerado el único método útil y aplicable a la gran mayoría de problemas de programación lineal. Sin embargo para poder alcanzar una fuerte comprensión del método simplex se hace necesario estudiar inicialmente dos métodos complementarios de solución, el enfoque gráfico ó método de solución gráfica y el método algebraico ó método de enumeración de soluciones básicas. Para presentar el enfoque de solución gráfico para un modelo de programación lineal, se utilizará un ejemplo prototipo que simula la toma de decisiones que manifiesta la administración de una pequeña empresa. Este problema empresarial será utilizado para presentar el proceso completo de programación lineal, formulación, solución con enfoque gráfico, método de enumeración de soluciones básicas, método simplex y teoría de dualidad.
2.2.
EJEMPLO PROTOTIPO
Una empresa de confecciones produce dos tipos de uniformes escolares, cuyas referencias son UNIF1 y UNIF2. La planta donde se fabrican los uniformes opera 40 horas a la semana y emplea a cinco trabajadores de tiempo completo y a dos de tiempo parcial, quienes trabajan 15 horas a la semana. Estas personas operan las siete máquinas, entre máquinas de cocer y fileteadoras las cuales se utilizan para fabricar cada uniforme. Los productos salen del departamento de confección para ser empacados en el departamento de empaque, el cual emplea a seis trabajadores de tiempo completo y a uno de tiempo parcialquientrabaja10horasalasemana. La empresa tiene una provisión casi ilimitada de materia prima que necesita para producir los dos tipos de uniformes. Sin embargo puede vender cualquier cantidad de UNIF1, pero la demanda del producto más solicitado, UNIF2, esta limitada a lo más a 120 unidades por semana. El departamento de contabilidad estima un margen de utilidad de $300 por unidad de UNIF1 y de $500 por unidad de UNIF2.
05
Se consulta al analista de procesos para recoger la información sobre el tiempo utilizado en los departamentos de confección y empaque. El departamento de procesos presenta la información que se detalla en la siguiente tabla: HORAS POR UNIDAD DE
UNIF1
UNIF2
Confección
2
1
Empaque
1
2
Laempresadeseaconocerelplanóptimodeproducciónparalapróximasemana1 Aplicando los criterios para la construcción y formulación de un modelo de programación lineal, la situación de la pequeña empresa se plantearía de la siguiente forma:
2.1.1. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA La empresa desea conocer cual es el número de uniformes escolares a fabricar en la semana, de tal manera que se maximicen las utilidades totales.
2.2.2. IDENTIFICACIÓN DE LAS VARIABLES X1 =unidadesdeuniformestipo1,UNIF1,aproducirenlasemana. X2 =unidadesdeuniformestipo2,UNIF2,aproducirenlasemana.
2.2.3. MODELO FORMULADO El modelo a solucionar es: Maximizar UT= 300 X1 + 500 X2 (R1) 2X1 + (R2) X1 + (R3) (R4) X1 (R5)
X2 = 230 2X2 = 250 X2 = 120 D 0 X2 D 0
[Utilidad Total], Sujeto a:
[Horas] Departamento de Confección [Horas] Departamento de Empaque [Unidades] Uniformes escolares UNIF2 Restricción de no negatividad Restricción de no negatividad
1
Adaptado de MATHUR, Kamlesh y SOLOW, D., Investigación de Operaciones: el Arte de la Toma de Decisiones,Prentice-Hall Hispanoamericana S.A.,México, 1996.
06
Observe que el modelo prototipo formulado tiene solamente dos variables de decisión, UNIF1 y UNIF2, las cuales para facilitar la explicación se denotaran como X 1 y X 2 respectivamente. Al poseer el modelo sólo dos variables de decisión, se puede usar un procedimiento gráfico para resolverlo, representando el modelo en un plano cartesiano X y Y.
2.3.
ENFOQUE GRÁFICO DE SOLUCIÓN
Para obtener la solución al modelo utilizando el enfoque gráfico, se emplean los siguientes procedimientos: ? Representar una región o área factible. ? Calcular el valor máximo o mínimo de la función objetivo en la región factible.
2.3.1. REPRESENTAR UNAREGIÓN O ÁREA FACTIBLE Se considera una región factible o área factible, como aquella región o plano en el cual las variables de decisión de un modelo lineal satisfacen simultáneamente todas las restricciones. Región que forma un polígono convexo cerrado en el plano, o un poliedro cerrado convexo en el espacio. Entonces, para obtener la región factible se concentra el análisis sobre las restricciones del modelo, examinando cada una de ellas para graficarlas sobre el plano cartesiano. La grafica de todas las restricciones representadas por rectas forman una intersección, la región factible es aquella área donde todos los pares ordenados (X1, X2) que pertenecen a ella cumplen con todas las restricciones del modelo. Cada restricción permite ciertos valores de (X1, X 2) que satisfacen las desigualdades. Los valores que satisfacen la desigualdad y pertenecen al área factible se conocen como valores factibles o soluciones factibles (valores para las variables de decisión que satisfacen simultáneamente todas las restricciones).Los valores que no satisfacen alguna de las restricciones se consideran valores infactibles. Se puede notar que la intersección de las restricciones al formar la región factible permite un conjunto de infinitas parejas (X1, X2) las cuales satisfacen todas las restricciones. Este conjunto de parejas se reconocen como soluciones factibles y en conjunto forman el área factible. Para hallar la región factible se utilizan los ejes de coordenadas del plano cartesiano, los cuales representarán a las variables de decisión (X1, X 2), ejes donde se representan los valores mínimos y máximos que podrían tomar las variables. La restricción (R4) del modelo, X1 D 0, permite solo valores positivos y la restricción (R5), X2 D 0, igualmente permite solo valores positivos, gráficamente la restricción (R4) permite valores que están por encima del eje X1 y la restricción (R5) solamente permite valores que esténaladerechadelejeX 2,vergráfica1.
07
Para obtener la gráfica de la recta de restricción R1, 2X 1 + X 2 = 230, se procede de la siguiente forma. Esta expresión es una desigualdad lineal cuya grafica corresponde a los puntos ubicados en el lado izquierdo o derecho de la recta 2X1 + X2 = 230, entonces:
a) Se transforma la restricción de desigualdad en igualdad. 2X1 +X2 =230 b) Se obtienen los interceptos con lo ejes de coordenadas para graficar la recta correspondiente a la desigualdad. ? ?
Cuando X1 = 0 Cuando X2 = 0
X2 = 230 X1 = 115
Los valores que se consideran para obtener la región factible corresponden a la desigualdad lineal 2X1 + X2 = 230 y no únicamente los valores de la ecuación 2X 1 + X 2 = 230, se utiliza la igualdad para poder graficar la recta de restricción. Esto permite concluir que todos los puntos que pertenecen a la recta cumplen con la restricción, sin embargo el objetivo de análisis para el enfoque gráfico de programación lineal es determinar un área factible, por lo tanto se necesita conocer que lado de la recta hacia la derecha o izquierda presenta valores que cumplan con la desigualdad lineal. Note, que cuando se grafica la recta de restricción el plano cartesiano se divide en dos semiplanos ubicados a la derecha e izquierda de la recta. Para reconocer cual de los semiplanos cumple con la desigualdad, se pueden utilizar dos formas: ?
Se elige cualquier punto que no se encuentre en la recta, ubicado en cualquiera de los dos semiplanos en que fue dividido el plano cartesiano cuando se trazo la recta de restricción. Por ejemplo, si se toma el punto X1 = 50 y X2 = 50 ubicado en el semiplano delladoizquierdodelarecta(vergráfica1)ysereemplazaenlarestricciónR1 2(50) + (50) = 230 150 = 230
La desigualdad se cumple, por lo tanto el área que satisface la restricción R1 es la ubicada en el semiplano del lado izquierdo de la recta, como se indica en la gráfica 1. Se marca con flechas la dirección del semiplano que cumple con la desigualdad. Si al reemplazar X1 y X 2 la desigualdad NO se cumple, entonces, el área que satisface la restricción estaría ubicada hacia el semiplano del lado derecho de la recta. ?
Se elige como punto de referencia el origen de coordenadas, que puede estar ubicado en uno de los dos semiplanos en que fue dividido el plano cartesiano, se verifica si satisface o no la desigualdad representada por la restricción. Esta forma es similar a la primera, su diferencia radica en ser más ágil cuando se reemplaza directamente los valores de las coordenadas X1 = 0 y X2 = 0 en la desigualdad.
08
Cuando la desigualdad que se analice sea una recta que pase por el origen de coordenadas, se hace obligatorio utilizar un punto ubicado en alguno de los semiplanos en quesedividióelplanocartesiano. 2(0) + (0) = 230 0= 230 Observe que la desigualdad se cumple, entonces el área que satisface la restricción R1 es eláreaubicadaenelsemiplanodelladoizquierdodelarecta. Se grafican todas las restricciones del modelo sobre el plano cartesiano, utilizando una de las formas explicadas para reconocer los semiplanos que cumplen con cada una de las restricciones. Observe que el resultado al graficarlas, es una intersección de rectas de restricción sobre el plano cartesiano, las cuales a su vez forman diferentes segmentos de área, uno de estos segmentos de área es el área factible, región del plano que cumple con las características de ser un polígono convexo y simultáneamente cumplir con todas las restricciones del modelo. Para el ejemplo el área que cumple con todas las restricciones es eláreasombreadadelafigura2. Los infinitos puntos en los límites y aquellos que se encuentran dentro del área factible son soluciones factibles y dan origen a diferentes valores para las variables X1 y X2, puntos que satisfacen con todas las restricciones y por lo tanto son solución del modelo. De todas estas infinitas soluciones, solo una es la solución óptima al modelo, aquella que produzca el mejor valor de la función objetivo, si el objetivo del problema es de maximizar o el menor valor de la función si el objetivo es de minimizar (ver teorema fundamental de la programación lineal). X2
R 5
230
Punto(50,50)
R 4
Punto(0,0)
115
X1
R 1
Gráfica1:Representaciónderectaderestricción
09
X2 R5
230
125 120 R3
Área Factible
R4
115
250
R1
X1 R2
Gráfica2:RegiónoÁreaFactible
2.3.2. CALCULAREL VALORMÁXIMOOMÍNIMODELA FUNCIÓN OBJETIVOENLA REGIÓNFACTIBLE Para calcular el valor máximo o mínimo de la función objetivo definido como una solución óptima, se necesita encontrar un punto factible de la región que proporcione el mayor o menorvalorenlafunciónobjetivo.
2.3.2.1. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL Si un problema de Programación Lineal tiene región factible no vacía, entonces, si realmente existe el óptimo (máximo o mínimo) de la función objetivo, este valor se encuentra en un punto extremo (vértice) de la región factible. Si una función alcanza el valor óptimo en dos vértices consecutivos de la región factible, entonces alcanza también dicho valor óptimo en todos los puntos del segmento de recta que determinan los dos vértices. Se presentan dos métodos para alcanzar la solución óptima para un modelo de programación lineal, un análisis gráfico y un método analítico. Estos métodos aplicados en el ejemplo prototipo permiten comprobar intuitivamente la validez del teorema fundamental de la programación lineal. Cuando la función alcanza el valor óptimo en dos vértices consecutivos se reconoce como una solución con óptimos alternativos, se explica
10
en detalle en el ítem modelos lineales con soluciones especiales. Sin embargo, si sólo existe un vértice del área que proporcione el máximo (mínimo) de la función objetivo, se considera como solución óptima y se constituye como solución única del problema.
2.3.3. ANÁLISIS GRÁFICO El análisis gráfico permite obtener la solución óptima directamente en la gráfica cuando ya se ha determinado el área factible. Se elige un punto cualquiera de la región factible, este punto es una solución factible por que cumple con todas las restricciones. Sin embargo se necesita confirmar si es el mejor, el óptimo. Por ejemplo, el punto de coordenadas X1 = 40 y X2 = 30, es una solución factible con el cual la empresa obtendría un valor en la función objetivo de $ 27.000. La línea que atraviesa por el punto se indica en la gráfica 3, ésta línea se le conoce con el nombre de línea de función objetivo, por que representa a la recta que forma la función objetivo cuando se reemplaza en ella los valores de las variables. También se le llama de isoutilidades (si se maximiza) o de isocosto (si se minimiza). Todos los puntos de la recta que se encuentren dentro del área factible, son soluciones factibles que alcanzarían el mismo valor de $27.000 en la función objetivo. Observe igualmente en la gráfica que si se toma un punto por encima de esta recta, el valor de la función objetivo se incrementa, el valor de las utilidades sería mayor. Por ejemplo, el punto X 1 = 50 y X 2 = 60, el cual representa también una solución factible, alcanzaría un nuevo valor en la funciónobjetivode$45.000,enlagráficalalíneadefunciónobjetivo2.(Vergráfica3). En este momento surge una pregunta. ¿Cuál es el punto del área factible que genera la mejor solución al modelo? Para hallar la solución óptima utilizando el análisis gráfico, se dibuja la línea de función objetivo para un punto cualquiera que se encuentre dentro del área factible como se explico. Este punto genera un valor de función objetivo, la solución óptima se encuentra, si al reconocer la dirección hacia donde se presenta un mejor valor de la función objetivo (dirección definida por el criterio de maximización o minimización formulado para la función objetivo), se trazan líneas paralelas en ese sentido, tomando como referencia la línea de función objetivo trazada inicialmente, de tal manera que el último punto que “toque” el área o región factible una paralela al abandonar esta región, este será el punto óptimo, quien representara la SOLUCIÓN ÓPTIMA. Las rectas paralelas a la línea de función objetivo del ejemplo tienen la misma pendiente (-3/5). Observe en la gráfica 4, este último punto siempre corresponde a un punto ubicado en los vértices que forman la región factible, como lo define el teorema fundamental de programación lineal.
11
X2 R5
230
V2
125
V3
120 90
R3
V4
54
R4
Punto(50,60) V5
Punto(40,30) V1
90
115 150 R1
250
X1 R2
Línea de función objetivo 2
Línea de función objetivo 1
Gráfica3:Representaciónlíneadefunciónobjetivo Paraelejemploprototipolosvérticesquepresentaeláreaoregiónfactibleson: V1 = (0,0) V4 = (70,90)
V2 = (0,120) V5 = (115,0)
V3 = (10,120)
Si se consideran nuevos puntos factibles que se ubiquen por encima de la línea de función objetivo 2, el valor de la función objetivo se incrementara para cada uno de ellos por que el objetivo del modelo es de maximización. El último punto de la región factible que toca una de las paralelas al abandonar el área es el punto ubicado en el vértice V4 (70,90) cuando se traza la línea de función objetivo 3 (ver gráfica 4). Este será el punto óptimo que represente a la SOLUCIÓN ÓPTIMA para el problema de la empresa de confecciones, el cual produce un valor en la función objetivo de $66.000. Si se deseara aumentar sólo un poco más el valor de la función objetivo a partir de $66000, la nueva línea de función objetivo estaría completamente por fuera del área factible. Se concluye entonces que el máximo valor que puede alcanzar la función objetivo del modelo es de $66.000, para X1 = 70 y X2 = 90.
12
2.3.4. INTERPRETACIÓN DE LA SOLUCIÓN ÓPTIMA X1* = 70
X2* = 90
UT* = 66.000
La solución sugiere que el plan óptimo de producción para la empresa de confecciones es producir 70 unidades de uniformes escolares de referencia UNIF1 y 90 unidades de uniformes con referencia UNIF2, con lo cual alcanzara una utilidad máxima de $66.000 durante la semana. El método de análisis gráfico genera un concepto teórico fundamental para la programación lineal, si el problema tiene solución y esta solución es única, la SOLUCIÓN ÓPTIMA se ubicara en uno de los vértices que forme la región factible y es única por que no existirá otro vértice que presente un valor igual o mejor en la función objetivo como lo sugiere el teorema fundamental de la programación lineal. Algunos autores los denominan también PUNTOS ESQUINA o PUNTOSFRONTERA a los vértices del área factible. X2 R5
2 30
SOLUCIÓN ÓPTIMA ÚNICA 125 120
V4 (70,90)
R3
90
Línea de función objetivo 3
54
90
115
150
R5
250
R1
X1 R2
Línea de función objetivo 1
Línea de función objetivo 2
Gráfica4:SoluciónÓptima AnálisisGráfico Recuerde que el recurso limitado que tiene la empresa es el tiempo (Horas) en los departamentos, con la solución óptima obtenida la forma de utilizar este recurso es la siguiente: 2X1 + X2 2(70) + 90 230
= 230 [Horas] = 230 = 230
Depto de Confección
13
X1 70
+ 2X2 + 2+ (90) 250
= 250 [Horas] = 250 = 250
Depto de Empaque
Se puede observar que con la solución óptima obtenida, se utiliza completamente el recurso horas disponible en los dos departamentos. El análisis del uso de los recursos se realiza más adelante cuando se exponga el tema deAnálisis de Sensibilidad.
2.3.5. MÉTODOANALÍTICO El método analítico es una consecuencia directa del análisis gráfico. Por lo tanto, después de identificar la región factible al problema, se analizan los vértices que forman la intersección de las rectas de restricción. Cada vértice se forma por una pareja de pares ordenados X1 y X2, que al reemplazarse en la función objetivo se obtiene el valor máximo o mínimo de la función dependiendo del criterio utilizado para el problema maximización o minimización. Apoyándose en el álgebra lineal se construyen sistemas de ecuaciones para aquellas rectas de restricción que forman cada uno de los vértices de la región factible, la solución a cada sistema permite encontrar los valores X 1 y X 2 de cada punto esquina. Se puede utilizar el método de eliminación de una incógnita el cual utiliza tres procedimientos: eliminación de una incógnita, eliminación por adición y sustracción o el procedimiento de eliminación por sustitución. Cualquiera de ellos permite reconocer las coordenadas de cadaunodelosvérticesqueformaneláreafactible. Por ejemplo el vértice 3 se forma por el cruce de las restricciones R2 y R3 (Ver gráfica 5), representado por el siguiente sistema de ecuaciones: X1 + 2X2 = 250 X2 = 120
14
X2 R5
230
V3 (10,120)
SOLUCIÓN ÓPTIMA ÚNICA 125 120
V4 (70,90)
R3
REGIÓN O ÁREA FACTIBLE
V2 (0,120)
R5
115
250
X1
V1 (0,0) V5 (115,0)
R1
R2
Gráfica5:SoluciónÓptimaMétodo Analítico La solución al sistema permite obtener las coordenadas del vértice V3, X1 = 10 y X2 = 120 Después de encontrar las coordenadas de cada uno de los vértices del área factible, se evalúan en la función objetivo. VÉRTICE – PUNTO ESQUINA V1 V2 V3 V4 V5
X1
X2
0 0 0 120 10 120 70 90 115 0
VALOR FUNCIÓN OBJETIVO $0 $ 60.000 $ 63.000 $ 66.000 $ 34.500
Como se puede observar el vértice V4 es el que genera el mayor valor en la función objetivo por que el objetivo del problema es maximizar las utilidades totales, por lo tanto se considera como la solución óptima. La interpretación es igual a la planteada con el análisis gráfico.
15
2.3.6. EJERCICIO DE APLICACIÓN “Harinera del Sur”, posee para la producción de harina dos molinos. El molino 1 puede operar un máximo de 40 horas, mientras que el molino 2 puede operar como mucho 60 horas por semana. Cada hora de operación del primer molino produce 3 toneladas de harina, cada hora del segundo molino produce 4 toneladas de harina. La empresa ha adquirido compromisos con clientes para producir por lo menos 180 toneladas de producto terminado. Una hora de producción del molino 1 le cuesta a la organización $40.000 y una hora de producción del molino 2 le vale $80.000. La empresa desea mantener los costos tan bajos como sea posible. Por razones de política interna de la empresa, la operación en horas del molino1 no debe ser mayor a 2 veces la operación en horas del molino 2. Formule éste problema como un modelo de programación lineal y halle su solución utilizando el método gráfico.
2.4.
MODELOSLINEALESCONSOLUCIONESESPECIALESENEL ENFOQUEGRÁFICO
Cuando se soluciona un problema de programación lineal se presentan diferentes tipos de solución. A continuación se detalla como se identifican los tipos de solución y sus efectos cuando se soluciona el modelo. Tipos de solución que tienen su explicación también con el método simplex y que se realiza posteriormente. Entre las causas más comunes para que se presenten soluciones especiales en los modelos de programación lineal se pueden considerar: error en la formulación del problema, equivocación al definir una restricción como = siendo realmente =, omisión al transcribir información del modelo formulado al software.
2.4.1. SOLUCIÓN ÓPTIMAÚNICA Después de resolver el ejemplo prototipo utilizando el enfoque gráfico, se nota que la solución óptima ocurrió en un punto extremo o de esquina de la región factible. Se halló una región factible y en ella se encontró la solución óptima para el problema, existe solo un punto X1 y X2 que son solución al modelo. Esta situación se puede considerar como una solución única.
2.4.2. MODELOS LINEALES INFACTIBLES Para explicar este tipo de solución se realiza una variación en el ejemplo prototipo. Suponga que el gerente de ventas de la empresa de confecciones informa que necesita
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firmar un contrato a largo plazo con un cliente para vender como mínimo 200 unidades de uniformes escolares de referencia UNIF1 para cada semana. Para obtener el nuevo plan de producción, se necesita reformular el modelo para vincular en él la información del gerente de ventas, se hace necesario vincular una nueva restricción que represente la nueva situación. La situación se traduce en el modelo vinculando una nueva restricción, restricción 4 (R4) de la siguiente forma: X1 = 200. El nuevo modelo quedaría formulado de la siguiente manera: Maximizar UT= 300 X1 + 500 X2 Sujeto a: (R1) (R2) (R3) (R4) (R5) (R6)
2X1 X1
+ +
X2 2X2 X2
X1 X1 X2
= 230 = 250 = 120 D 200 D 0 D 0
Cuyagráfica,sepresentaenlagráfica6. Observe que el sistema de ecuaciones NO presenta intersección para alcanzar a formar una región factible. No es posible encontrar un área factible, no existen vértices, no es posible aplicar el teorema fundamental de programación lineal. Se explica otro método que se puede utilizar en el método gráfico para identificar la región factible: Observe que al trazar las rectas de restricción en el plano cartesiano, se forman diferentes áreas, como se comento. El método consiste en identificar TODAS las áreas y analizar cada una de ellas aplicando el concepto del método gráfico: para ser área factible un punto X1 y X 2 que se encuentre dentro del área obligatoriamente debe cumplir con TODAS las restricciones. Si un punto X1 y X2 no cumple con alguna de las restricciones, el áreaalcualperteneceelpuntonosepuedeconsiderarcomoáreaoregiónfactible. En la gráfica 6, se visualizan las 8 áreas posibles generadas al dibujar las rectas de restricción del modelo. Si se analiza cualquier área, se puede observar que ninguna de ellas cumple simultáneamente con todas las restricciones cuando se considere un punto X1 y X 2 que pertenezca al área. Por ejemplo si se analiza la región A6, se toma un punto que pertenezca al área y se analizan las direcciones de todas las restricciones, el punto seleccionado no cumpliría con las restricciones R1 ni R4 (verifique todas las áreas). Cuando existe un área que no cumpla con todas las restricciones, no es posible definir un área factible, la intersección de las restricciones es un conjunto vacío, por lo tanto la región factible NO existe, es imposible alcanzar una solución para el modelo. Esta situación se considera como una Solución Infactible o Modelo Lineal Infactible, el modelo no tiene solución. Una interpretación para la empresa de confecciones si se encontrara esta
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situación al solucionar el modelo, sería que con los actuales recursos no podría cumplir con el contrato del cliente para vender 200 unidades de uniformes escolares de referencia UNIF1. Si a la empresa le interesa el contrato, necesitará adquirir recursos adicionales para alcanzar a cumplir con la demanda de 200 unidades.
X2 R6
R4
230
A1 A2 125 120
A3 A8 R3
A4 A7
A5 A6 115
200
R1
250
R5
X1 R2
Gráfica6:Modeloslinealesinfactibles 2.4.3. MODELOS LINEALES ILIMITADOS - REGIÓN NOACOTADA Este tipo de modelos se conoce también como modelos con “solución no acotada” y se presentan cuando la función objetivo puede mejorarse indefinidamente, o sea, existen valores factibles de las variables que pueden hacer del valor de la función objetivo tan grande como se desee cuando se está maximizando y tan pequeño cuando se está minimizado. Una o varias variables crecen o decrecen sin ninguna restricción, esto produce valores mayores y menores en la función objetivo sin ningún limite. Suponga que por omisión, en el modelo prototipo se invierte el signo de las desigualdades R1 y R2, el modelo formulado y su gráfica correspondiente se presentan a continuación: Maximizar UT = 300 X1 + 500 X2
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Sujeto a: (R1) 2X1 + X2 D 230 (R2) X1 + 2X2 D 250 (R3) X2 = 120 (R4) X1 0 D (R5) X2 D 0
X2 R5
230
125 120
R3 R4
115
250
R2
X1
R1 Gráfica7:Modeloslinealesilimitados
Si se mueve la línea de función objetivo paralelamente a si mismo en la dirección de mejora (maximizando o minimizando), la línea de función objetivo nunca va a tocar un punto esquina (por que no existe) y por lo tanto jamás va a abandonar el área factible, la región factible no tiene límite, es abierta, como lo indica la gráfica 7. Una explicación para la empresa sería que puede alcanzar una utilidad infinita, lo cual en la práctica es imposible. Gráficamente se puede observar que la variable X1 no viola las restricciones, crece indefinidamente y es la variable que aportaría un mayor valor a la función objetivo. Nótese que no existe una solución acotada. Una causa para que se presente este tipo de solución es haber ignorado vincular una restricción, que al ubicarla posteriormente es posible alcanzar una solución óptica única. Por ejemplo limitar la demanda de los uniformes tipo 1 en 600, esto permitirá acotar la región y poder encontrar un área factible. Verifique esta situación y encuentre la solución óptima.
19
2.4.4. MODELOS LINEALES DEGENERADOS - RESTRICCIONES REDUNDANTES Este tipo de solución se presenta cuando existe una restricción en el modelo que no participa en la intersección de las rectas de restricción para formar el área factible. A la restricción que no hace parte del área factible se le conoce como restricción redundante, es una restricción que no hace parte de la región factible sin embargo cumple con todos los puntos que pertenecen al área factible. Para identificar en la aplicación del método gráfico una solución degenerada suponga en el ejemplo prototipo que el departamento de mercadeo de la empresa determina por un estudio de investigación de mercados que la demanda de uniformes escolares de referencia UNIF1 para cada semana no puede ser mayor de 150 unidades. Esta situación obliga a vincular una nueva restricción al modelo original: X1 = 150. Observe la nueva formulación y su respectiva grafica del nuevo modelo. Maximizar UT = 300 X1 + 500 X2 Sujeto a: (R1) 2X1 + (R2) X1 + (R3) (R4) X1 (R5) X1 (R6)
X2
X2 = 230 2X2 = 250 X2 = 120 = 150 D 0 X2 D 0
R4 R6
230
125 120
R3 R5
115 150 250 X1 Gráfica8:Modeloslinealesdegenerados El área sombreada representa a la región factible, noteR2en la gráfica 8 que la restricción 4 R1 (R4) no participa en la intersección para obtener esta área, sin embargo cualquier punto
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que se encuentre dentro del área factible cumple con la desigualdad representada por la restricción 4. Esta restricción se considera redundante, se puede suponer que la restricción “sobra” por que no afecta a la región factible. Con la restricción o sin ella, la solución del modelo seguiría siendo la misma. El efecto de esta situación en los modelos de programación lineal es que aumenta trabajo en la solución bien sea manual o con software. La recomendación cuando se está formulando el modelo es no preocuparse si se incluyen las restricciones redundantes. Si se piensa que se necesita una restricción que sea redundante es mejor incluirla en el modelo.
2.4.5. MODELOS LINEALES CON SOLUCIONES ÓPTIMAS ALTERNATIVAS Este tipo de solución se conoce también como modelos con infinitas soluciones óptimas. Se presenta cuando algunos modelos tienen más de una solución óptima, existen dos vértices de la región factible que alcanzan el mismo valor óptimo en la función objetivo. A cada una de las soluciones se les conoce como solución óptima alternativa. Significa que existen diferentes valores factibles X 1 y X 2 que producen el mismo valor óptimo en la función objetivo. Ocurre cuando la recta de función objetivo es paralela a uno de los lados del área factible. Para realizar la aplicación al ejemplo prototipo, se modifica los datos en la función objetivo, suponga que el margen de ganancia del producto uniformes tipo 1 UNIF1, no es de $300 por unidad si no de $ 200 por unidad. De la misma forma para el producto, uniformes tipo 2 UNIF2, cuyo margen de ganancia era de $500 por unidad ahora sea de $400 por unidad. Esto obliga a una nueva formulación del modelo, el cual se representaría de la siguiente forma: Maximizar UT = 200 X1 + 400 X2 Sujeto a: (R1) 2X1 + X 2 (R2) X1 + 2X2 (R3) X2 (R4) X1 (R5) X2
= 230 = 250 = 120 D 0 0 D
Una de las soluciones óptimas (verifíquela) para éste modelo sería: X1 *= 10 X2* = 120 UT*=50.000 Al graficar este modelo en el plano cartesiano se observa cómo la recta de función objetivo es paralela a uno de los lados de la región factible, grafica 9. Para el caso, el segmento de
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recta CD del área factible es paralelo a la línea de función objetivo, segmento de recta que une dos vértices del área. En este segmento de recta la línea de función objetivo toca infinitos puntos cuando tenga la misma pendiente que la restricción 2 R2. Cada uno de estos puntos X1 y X2 que pertenecen al segmento de recta, es solución óptima y producen el mismo valor en la función objetivo cuando se remplacen en ella (confírmelo utilizando el método analítico). Las soluciones con óptimos alternativos tienen un nivel de importancia cuando se presentan en la solución de los modelos de programación lineal. Para el analista de investigación de operaciones y para la empresa, este tipo de solución aumenta el espectro para la toma de decisiones, ya no se limita a una sola opción para tomar la decisión, la solución puede presentar varias alternativas de decisión. La decisión a elegir depende de situaciones externas al modelo e inherentes al sistema que se este modelando.
X2 R6
230
125
C
120 D
R3
75
R5
115
150
250
R1
X1 R2
Gráfica9:Modeloslinealesconóptimosalternativos Línea de función objetivo
2.5. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD EN EL ENFOQUE GRÁFICO Después de obtener la solución a un problema de programación lineal con 2 variables utilizando el método gráfico, se emplea la solución para efectuar lo que teóricamente se conoce como Análisis de Sensibilidad.
2.5.1. DEFINICIÓN DE ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD 22
En general el análisis de sensibilidad permite dar respuesta a la pregunta “qué pasa si…” después de formular y resolver un problema de programación lineal se efectúan cambios en los datos o parámetros del modelo original. En el ejemplo prototipo del sistema empresarial que se ha planteado, los datos o parámetros del modelo de programación lineal pueden cambiar en el tiempo, debido a la propia naturaleza del sistema que se esta analizando y a la variabilidad en la que se desenvuelven los sistemas sobre todo los sistemas empresariales. Situaciones como la caída de los precios, la variabilidad de los mercados, el alza o incremento de los costos de mano de obra o de la materia prima, son situaciones que van a afectar la solución óptima del modelo. Como analista de investigación de operaciones y responsable de la formulación del modelo, necesita conocer que tan sensible es la solución del modelo a variaciones en alguno de los datos o parámetros del modelo original. El análisis de sensibilidad utilizando el método gráfico, únicamente permite dos tipos de análisis y admite dar respuesta solamente cuando se realizan cambios en los coeficientes de la función objetivo y cuando se realizan cambios en el lado derecho de las restricciones. Igualmente este análisis que se va a aplicar considera el cambio en solo uno de los parámetros, coeficientes de la función objetivo o lado derecho de las restricciones, manteniendo todos los demás datos del modelo inalterables. Las respuestas que se obtengan a la pregunta “qué pasa si…” se pueden usar de diferentes maneras, por ejemplo si la solución óptima de un modelo es muy sensible a algunos cambios en los coeficientes de la función objetivo, el analista de investigación de operaciones puede sugerir usar el modelo para una planeación a corto plazo. Si por el contrario, los rangos o intervalos de sensibilidad en los parámetros que se modifiquen son amplios y los valores van a fluctuar en el tiempo, el analista puede sugerir cambiar los datoscadavezquesedeseeusarelmodelo. La importancia del análisis de sensibilidad radica en el resultado que pueden presentar los datos en el momento de formular el problema. Normalmente, para formular un modelo los parámetros a considerar tienen que estimarse y por tanto estos datos pueden tener inexactitudes. Antes de implementar la solución de un modelo de programación lineal en un sistema es importante conocer que tanto se afecta la solución si la estimación de los datos cuando se esta formulando el modelo son ligeramente inexactos. Por ejemplo si las restricciones de un modelo de programación lineal tienen que ver con la asignación de recursos escasos como capital, mano de obra y materias primas. El análisis de sensibilidad ayuda a determinar si es rentable o no utilizar, adquirir o disminuir las cantidades de estos recursos. Específicamente para el ejemplo que se estudia, el análisis de sensibilidad permite determinar que tan sensibles son la solución óptima (X1* = 70; X 2* = 90) y el valor de la función objetivo (UT = 66.000) con respecto a cambios en los datos o parámetros de la función objetivo y dellado derecho de las restricciones delmodelo.
2.5.2. ANÁLISISDESENSIBILIDADPARA LOSCOEFICIENTESDE LA FUNCIÓNOBJETIVO 23
Suponga que el analista de investigación de operaciones con base en los pronósticos de demanda desea conocer que sucede con la solución óptima alcanzada y el valor de la función objetivo en el ejemplo prototipo, si se aumentan las utilidades de los uniformes escolares UNIF1 en $150 por unidad, en otras palabras desea conocer, que sucede con la solución óptima y el valor de la función objetivo si el coeficiente de la variable X 1 cambia de $300a$450porunidad. Una manera de responder esta inquietud del analista es cambiar el coeficiente de la variable X1 de $300 por $450 en la función objetivo y resolver nuevamente el modelo con este nuevo valor. Sin embargo el análisis de sensibilidad permite dar respuesta a esta y otras inquietudes del analista de investigación de operaciones o del responsable del modelo, sin necesidad de resolverlo nuevamente. El análisis de sensibilidad permite obtener un intervalo [LI, LS] para cada uno de los coeficientes o parámetros a analizar, intervalo que se conoce como intervalo de sensibilidad , en el cual se reconoce un límite inferior y un límite superior para los cuales es posible realizar cambios en los coeficientes o parámetros sin que se afecte la solución óptima. Esto permite al analista de investigación de operaciones disminuir el impacto sobreelmodeloquetienelavariabilidadquepresentanlossistemaseneltiempo. Un intervalo de sensibilidad [LI, LS] se interpreta como los valores máximo y mínimo que permite un parámetro o dato del modelo de programación lineal para que la solución óptima (para el ejemplo: X1* = 70; X2* = 90) no cambie, se mantenga. Un cambio por fuera del intervalo, la solución óptima va a cambiar y por supuesto el valor de la función objetivo. ?
Procedimiento gráfico. Se conoce ya que la solución con el método gráfico corresponde a una solución en un punto esquina o punto frontera, para el ejemplo X1* = 70; X2* = 90, y además que la línea de función objetivo es una línea que se grafica a partir de cualquier punto de la región factible, la cual se desplaza hacia la derecha si se está maximizando o hacia abajo si se esta minimizando hasta tocar el último punto del áreafactible,elcualsiempreseráunpuntoesquina.
En primera instancia se analiza gráficamente que le sucede a la línea de función objetivo si se realiza el cambio de la ganancia para los uniformes escolares UNIF1. Se efectúa entonces el análisis para el coeficiente en X 1 de la función objetivo, variable X 1 que representa al producto uniformes escolares UNIF1, como se comento anteriormente. Utilizando la solución óptima encontrada para X 1 y X 2 obtenemos un nuevo valor de la función objetivo utilizando el cambio en el valor de las ganancias para UNIF1 de $300 por $450, la nueva función objetivo sería: MaximizarUT =450X1 +500X 2 Con el cambio el valor de la nueva función objetivo sería de $76.500. Esta nueva función objetivo se grafica (ver gráfica 10). Gráficamente se puede observar que al realizar
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cualquier cambio en los coeficientes de las variables, se presenta un desplazamiento de la línea de función objetivo, esta línea “se mueve”. Dependiendo del cambio en la variable, este desplazamiento se presenta hacia una de las restricciones que cruzan al punto óptimo. Para el ejemplo observe que al variar el valor del coeficiente de la variable X 1 de 300 a 450 y graficarla nuevamente se presenta un desplazamiento hacia la recta de restricción R1, teniendo en cuenta que el valor del cambio es mayor al valor original. El análisis gráfico permite reconocer hacia cual de las restricciones que cruza el óptimo se desplaza la línea de función objetivo cuando se realiza un cambio en los coeficientes. Si el cambio que se realice al coeficiente es excesivamente grande, la nueva línea de función objetivo que represente al cambio sobrepasara, “saltara” a la restricción hacia la dirección donde se desplace. Por ejemplo si se aumentara las ganancias de los uniformes escolares UNIF1 en $900 por unidad, incrementándose de $300 a $1200 por unidad, el desplazamiento de la línea de función objetivo sería tan grande que sobrepasaría a la restricción R1, observe la gráfica 11.
X2 R5
230
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Nueva línea de función objetivo 450X1 + 500X2 = 76.500
X 1 = 70 X 2 = 90
153 132
R5
115
170
220
X1
Línea de función objetivo original 300X1 + 500X2 = 66.000
R1
Desplazamiento de línea de función objetivo
Gráfica10:Sensibilidadcoeficientesfunciónobjetivo
25
X2 R5
258 230
SOLUCIÓN ÓPTIMA X 1 = 70 X 2 = 90
132
R5
107.5
115
220
X1
Línea de función objetivo original 300X1 + 500X2 = 66.000
Nueva línea de función objetivo 1200X1 + 500X2 = 129.000
Desplazamiento de línea de función objetivo
R1
Gráfica11:Sensibilidadcoeficientesfunciónobjetivo Se puede concluir entonces que los cambios en los coeficientes de la función objetivo son válidos únicamente cuando la nueva línea de función objetivo no sobrepase la recta de restricción hacia la cualse desplace. Matemáticamente se puede interpretar esta situación de la siguiente manera: los cambios serán válidos cuando la nueva línea de función objetivo alcance la misma pendiente que la recta de restricción. Esta conclusión nos permite obtener el valor límite del intervalo de sensibilidad del coeficiente a quien se le este realizando el análisis. Procediendo con el análisis para el coeficiente en X 1 del ejemplo prototipo después de realizar un cambio, se noto que al graficar la línea de función objetivo con el nuevo valor de la ganancia, la línea se desplazo hacia la R1, por lo tanto para reconocer cuál es el valor límite para el cual se puede variar la ganancia para el coeficiente se deben igualar las pendientes de las ecuaciones de recta de la función objetivo y de la recta de restricción hacia la cual se desplazo,el procedimiento se explica a continuación. Como se necesita reconocer el valor límite del coeficiente que acompaña a la variable X 1 utilice un nombre ficticio a este coeficiente en la función objetivo original, como por ejemplo una letra cualquiera o en su defecto LI o LS, de la siguiente forma: LSX 1 + 500 X2 = 66.000, pendiente
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m1
LS 500
LarectaderestricciónhaciadondesedesplazoesR1 (R1)
2X1 +
X2
= 230, pendiente m 2
2 1
Al igualar laspendientesm1 ym2 , seobtiene elvalor LS= 1.000 De esta manera se ha obtenido el valor del límite superior del intervalo de sensibilidad para el coeficiente en X 1, [LI, 1000]. La interpretación del valor del límite superior 1.000 es el siguiente: Solamente se permiten cambios para el coeficiente en X1 que no sobrepasen el valor de 1.000, para el contexto del problema significa que el valor de las utilidades para los uniformes escolares tipo 1 UNIF1, no pueden ser superiores a $1.000, si se desea conservar el nivel de producción de 70 uniformes para UNIF1 y de 90 uniformes para UNIF2 generado por la solución del modelo. ?
Ejercicio de aplicación. Realice el mismo procedimiento para obtener el valor del límite inferior para el coeficiente en X 1 del ejemplo prototipo. Igualmente halle el intervalo de sensibilidad para el coeficiente en X2. Interprete los resultados.
2.5.3.ANÁLISISDESENSIBILIDADPARA EL VALORDEL LADO DERECHODELASRESTRICCIONES Igual que con los coeficientes de la función objetivo, el procedimiento para obtener un análisis de sensibilidad para los datos o parámetros del lado derecho de las restricciones se realiza en forma gráfica y simultáneamente en forma matemática. El análisis de sensibilidad para el lado derecho en un modelo con dos variables se reduce a analizar los cambios, el intervalo de aquellas restricciones que crucen el punto óptimo y hallar e interpretar el valor del precio sombra, considerado este último valor como la interpretación económica del modelo de programación lineal. Desde esta perspectiva el análisis de sensibilidad con el método gráfico para el lado derecho de las restricciones es limitado, por que se focaliza únicamente a la interpretación de los cambios en el lado derecho de las restricciones que crucen el punto óptimo, lo cual no ocurre con el método simplex, para el cual se permite el análisis para todas las restricciones del modelo. Sin embargo el desarrollo admite comprender el proceso algebraico y su interpretación de una manera más accesible. El análisis gráfico en el lado derecho de las restricciones, reconoce de forma gráfica como es el desplazamiento del punto óptimo sobre las rectas de restricción que cruzan el óptimo cada vez que se realicen cambios en el lado derecho de una de ellas. Siempre que se realice el análisis de sensibilidad a una de las restricciones que cruzan el óptimo, el desplazamiento del punto óptimo se presenta sobre la o las restricciones a las cuales no se esta realizando el análisis y que por supuesto hacen parte del cruce del punto óptimo.
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Cuando los cambios que se realicen en el lado derecho de las restricciones sean lo bastante grandes, el punto óptimo ya no sería la intersección entre aquellas rectas de restricción cuando se alcanzo la solución óptima. Para cambios superiores, el punto óptimo deja de ser la intersección entre las restricciones de la solución óptima encontrada. Para el caso del ejemplo prototipo, cuando se realicen cambios en el lado derecho de las restricciones que se encuentren dentro de su intervalo de sensibilidad, la solución óptima seguirá siendo la intersección de las restricciones R1 y R2. Se puede concluir entonces que cuando los cambios en el valor del lado derecho de la restricción permanezcan en el intervalo de sensibilidad la solución óptima estará determinada por la intersección de las rectas de restricción R1 y R2. El intervalo de sensibilidad en el lado derecho reconoce los valores mínimos y máximos sobre los cuales se pueden realizar los cambios para el lado derecho de las restricciones igual que para el caso de los coeficientes de la función objetivo. Después de identificar el intervalo de sensibilidad para la restricción que se este analizando, se encuentra el valor del precio sombra , también llamado precio dual o costo de oportunidad cuya información para el analista de investigación de operaciones es de suma importancia pues representa el precio unitario adicional máximo que podría pagarse por cada unidad adicional o de cambio en el nivel de los recursos representados en el lado derecho de las restricciones. El precio sombra se obtiene graficando en la abcisa del plano cartesiano los valores de cambio del lado derecho de la restricción a quien se le hace el estudio y en la ordenada los valores que alcanza la función objetivo cuando se realizan los cambios. La grafica que se obtiene es una recta, la pendiente de esta recta se define como el precio sombra. Para iniciar el estudio en el lado derecho de las restricciones se debe obtener el intervalo de sensibilidad, para lograrlo se realizan cambios individuales a cada una de los lados derechos de las restricciones que cruzan el punto óptimo, esto con el fin de cumplir el supuesto del análisis de sensibilidad de realizar cambios individuales en los parámetros y no afectar simultáneamente varios parámetros del modelo. Suponga que después de obtener la solución del modelo a la empresa de confecciones,se presenta un incremento en la demanda de los uniformes en el mercado, frente a esta situación la gerencia debe ampliar las unidades de producción de cada uno de los productos. Se consulta al analista de operaciones encargado del modelo sobre las consecuencias que tendría en el modelo si se amplia el número de horas en el departamento de empaque de la planta. Esta situación se puede responder utilizando un análisis de sensibilidad para el lado derecho de la restricción 2 R2. El procedimiento a seguir es encontrar en primera instancia el intervalo de sensibilidad para la restricción R2, el cual se obtiene realizando diferentes cambios al lado derecho de esta restricción. Va a notar que al realizar un cambio mayor o menor que el valor actual que presenta la restricción el punto óptimo se desplaza (observe secuencia gráfica en gráficas 12 y 13), esto permite reconocer cual será el punto de intersección límite hasta donde se puede realizar los cambios.
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La grafica 12 presenta la situación del modelo cuando se encontró la solución óptima sin realizar cambios en el lado derecho, el punto óptimo se encuentra en la intersección de las restricciones 1 y 2 para el cual se alcanza el mayor valor de la función objetivo $ 66.000.
X2 R5
230
Solución Óptima sin cambio en el LD 125 120
V4 (70,90)
R3
R5
115
250
R1
X1 R2
Gráfica12:SoluciónóptimasincambioenelLDdeR2 Como el cambio se realiza a la restricción 2, R2, la gráfica 13 presenta la situación si se aumenta el valor de las horas del departamento de empaque en 30, pasar de 250 a 280 horas, este cambio permite incrementar el nivel de producción. Se grafica la restricción X1 + 2X2 = 280, verifíquelo. Observe como se desplaza el punto óptimo. El desplazamiento se realizasobrelaotrarestricciónquecruzaelóptimo.
29
X2 R5
230
Nuevo punto óptimo 140 125 120
Nueva posición de la restricción 2 R2'
Nueva área factible
R3
R5
115
250
R1
280
X1
R2 R2'
Gráfica13:SoluciónóptimaconcambioenelLDdeR2 Cuando se realiza un cambio lo bastante alto en el lado derecho de la restricción, igualmente se desplaza el punto óptimo, sin embargo este nuevo punto óptimo a pesar que sigue siendo la intersección de las restricciones R1 y R2, ya no puede ser óptimo, por que viola el concepto de región factible. Por ejemplo observe que sucede si se aumenta el valor de las horas del departamento de empaque en 70, pasar de 250 a 320 horas para incrementar el nivel de producción. La gráfica 14 indica lo que sucede si se grafica la restricción con este cambio en el lado derecho, el nuevo punto óptimo y una parte de la nueva área factible NO cumplen con la restricción 3, R3, por lo tanto el nuevo punto NO puede ser punto óptimo. Se concluye que la solución al modelo seguirá siendo óptima cuando el cambio que se realice en el lado derecho de la restricción no sobrepase el vértice de intersección entre las restricciones R1 y R3, punto W en la gráfica, este punto de intersección será el punto límite para los cambios en el lado de la restricción. Se reconoce cuales son las coordenadas X1 y X2 del punto límite hasta donde se pueden realizar los cambiosyseremplazanenlarestricción. Si el cambio realizado al lado derecho de la restricción es mayor al valor original formulado, el desplazamiento de la restricción se realiza hacia la derecha de la gráfica, pero si el cambio realizado es menor al valor original de la restricción, el desplazamiento de la recta de restricción al que se hace el análisis se desplazaría al lado contrario. Es importante visualizar en la gráfica el desplazamiento que presenta el punto óptimo cuando se grafica larectaderestricciónalacualseleestánrealizandoloscambios.
30
X2 R5
Parte de nueva áreanofactible
Nuevo punto óptimo
230
Punto W, intersección restricciones R1 y R3
160 125 120
W
Nueva posición de la restricción 2 R2'
R3
Nueva área factible
R5
S
115
250
R1
320
X1
R2
R2'
Gráfica14:CambiosuficientementemayorenR2 Luego de reconocer gráficamente como es el desplazamiento de la recta de restricción cuando se realiza un cambio y reconocer el punto límite permisible para la variación del lado derecho, se encuentran las coordenadas de ese punto de la siguiente forma: Se construye un sistema de ecuaciones lineales con las restricciones que cruzan ese punto límite. 2X1 +
X2 X2
= 230 = 120
Al resolver el sistema de ecuaciones, se obtienen las coordenadas para el punto límite W. Verifíquelo X1 = 55 X2 =120 Estas coordenadas permiten encontrar el valor del límite superior del intervalo de sensibilidad, reemplazando las coordenadas X1 y X2 en la restricción R2, se representa el valor del lado derecho como una variable o una letra, por ejemplo LS (límite superior) como se indica a continuación:
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X1 + 2X2 = LS X1 + 2X2 = LS 55 + 2(120) = LS LS=295 ElvalorLS,léaselímitesuperioresiguala295horas Se puede concluir: Si el punto óptimo se desplaza hacia el punto W cuando se realizan cambios superiores o mayores al valor original, entonces la recta de restricción se desplazaría hacia el lado contrario cuando se realicen cambios por debajo del valor original del lado derecho de la restricción. De esta manera se puede reconocer que el punto límite para cambios por debajo del valor original de la restricción necesariamente debe ser el punto de intersección S entre las rectas R1 y R5 (eje de coordenada X 1). Verifique esta afirmación realizando cambios menores en el lado derecho de la restricción 2, grafique cada recta cuando realiza el cambio y observe el desplazamiento del punto óptimo. En algún momento de los cambios el punto óptimo deja de ser óptimo por que va a violarlarestricción5,R5,confirmandoasíqueelpuntolímiteeselpuntoS. LascoordenadasdelpuntolímiteSson: X1 =115 X2 = 0 Se reemplaza estas coordenadas en la desigualdad de la restricción 2, R2 y se define LI (límite inferior) en el lado derecho. X1 + X1 + 115 +
2X2 2X2 2(0)
= LI = LI = LI
El valor del límite inferior es iguala 115 Entonces el intervalo de sensibilidad para la restricción 2, R2, quien representa al departamento de empaque en el modelo es [115, 295] cuyas unidades representan la disponibilidad de horas en el departamento de empaque. Podemos concluir: Siempre que el valor del lado derecho permanezca en el intervalo [115, 295] la solución óptima estará determinada por la intersección de las restricciones R1 y R2. Para complementar la interpretación del análisis de sensibilidad en el lado derecho de una restricción se halla el valor del precio sombra, valor que representa la interpretación económica del modelo, como se comento anteriormente. El procedimiento para obtener el precio sombra es el siguiente: Se grafican los diferentes cambios mayores y menores al valor original de la restricción. Con el procedimiento
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explicado, cada cambio permite obtener valores en X1 y X 2 así como el valor de la función objetivo cuando se reemplazan estos valores en las variables de la función objetivo como seobservaenlasiguientetabla: VALOR DEL LADO DERECHO 115 250 295
SOLUCIÓN ÓPTIMA X1 = 115 X2 = 0 X1 = 70 X2 = 90 X1 = 55 X2 = 120
VALOR DE LA FUNCIÓN OBJETIVO 34500 66000 76500
Si se grafica en un plano cartesiano los valores de la tabla, donde la abscisa represente al valor del lado derecho y la ordenada el valor de la función objetivo, la gráfica resultante es unarecta,comoseobservaenlagráfica15. Cuando se incrementa el valor del lado derecho de la restricción 2 entre 115 y 295, el valor de la función objetivo crece de una forma lineal. Como la relación entre el lado derecho y el valor de la función objetivo tiene un comportamiento lineal, se puede determinar la pendiente de la recta, pendiente que representa el valor de cambio por unidad en el valor de la función objetivo cuando se realicen modificaciones en el lado derecho de la restricción. El valor de cambio es el que representa la interpretación económica de un modelo de programación lineal definido como Precio Sombra. Sipendiente =
y x
PrecioSombra=
=
y 2
y1
x 2
x1
(utilidad cuandoLD (valor LD
250) (utilidad cuandoLD 115) 250) ( valor LD 115)
Precio Sombra para restricción 2 R2 = 233.333
33
66.000 34.500 250 115
Valor Función Objetivo
76.500 66.000
34.500
250
115
295
Lado derecho restricción 2
Gráfica15:Preciosombrarestricción2 La interpretación del precio sombra de la restricción 2 para la empresa de confecciones se expresa de la siguiente forma: Por cada hora adicional de mano de obra que se utilice en el departamento de empaque por debajo de 295 horas y por encima de 195, el valor de la función objetivo decrece o aumenta en $233.33. El valor del precio sombra se valida siempre y cuando los cambios que se realicen en el lado derecho de la restricción se encuentren entre el valor mínimo y máximo del intervalo de sensibilidad. Sin embargo, un cambio en el lado derecho que se encuentre dentro del intervalo [195, 295] automáticamente cambia el valor de la solución óptima en X 1 y X 2 Este análisis permite responder a la empresa una posible toma de decisión cuando se presente un incremento en la demanda de los uniformes si se necesitara aumentar las horas en el departamento de empaque. Como se conoce el intervalo de sensibilidad para la restricción que representa al departamento de empaque, [115, 295], solamente se puede obtener respuestas para cambios ubicados dentro del intervalo, utilizando el valor del precio sombra. Para un cambio por fuera del intervalo no es posible dar una respuesta utilizando el precio sombra del recurso cuando se utiliza el método gráfico, el método simplex si permite dar una respuesta para variaciones ubicadas en el intervalo o por fuera de él. Obligatoriamente con el método gráfico se debe resolver nuevamente el modelo, utilizando el nuevo valor del lado derecho. Por ejemplo se puede responder la siguiente inquietud de la administración de la empresa: ¿Qué sucede si se aumenta el valor de las horas en el departamento de empaque en 20?
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Observe que el lado derecho de la restricción 2 pasaría de 250 a 270, valor que se encuentra dentro del intervalo, por lo tanto los valores de la solución óptima variarían, sin embargo se puede utilizar el precio sombra para reconocer en cuanto varía el valor de la función objetivo si se decide realizar este cambio. Este procedimiento se reconocede la siguiente forma: Nuevo valor de la F.O = Incremento o decremento del LD * precio sombra + valor actual de la función objetivo. Nuevo valor dela F.O = 20* 233,33+ 66.000 Nuevo valor de la F.O = 70.666,66 El analista de investigación de operaciones puede responder a la administración de la siguiente forma: Si se aumenta el valor del tiempo disponible en el departamento de empaque en 20 horas el valor de las utilidades se incrementa en $ 4.666,66 extendiéndose aunvalortotalde$70.666,66enlasemana. ?
Ejercicio de aplicación. Utilizando la misma estructura de análisis, halle el intervalo de sensibilidad y el valor del precio sombra para la restricción 1, R1. Interprete los resultados.
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