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Modelos de programación lineal Miguel Mejía Puente [email protected]

Contenido • Problema de programación lineal • Requerimientos del problema de programación lineal • Método gráfico para resolver problemas de maximización con dos variables • Método gráfico para resolver problemas de minimización con dos variables • Casos especiales de programación lineal • Solución de problemas de programación lineal usando computadora • Análisis de sensibilidad gráfico y por computadora 10/02/2013

Miguel Mejía Puente

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Problema de programación lineal Programación lineal (PL) • Es una herramienta para resolver problemas de optimización • Está diseñada para ayudar a la toma de decisiones • Está relacionada a la asignación de recursos

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Ejemplos de aplicaciones de PL (1) 1. Desarrollo de la programación de la producción permitirá • Satisfacer demandas futuras para una empresa de producción • Mientras se minimizan los costos totales de producción e inventarios. 2. Selección de una mezcla de productos en una fábrica para • Hacer el mejor uso de las horas de máquina y horas‐ hombre disponibles • Mientras se maximiza la producción de la empresa 10/02/2013


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Ejemplos de aplicaciones de PL (2) 3. Determinación de los grados de productos petroleros para rendir el máximo beneficio. 4. Selección de mezclas de materias primas para abastecer molinos que producen alimentos balanceados al mínimo costo. 5. Determinación de un sistema de distribución que minimiza los costos totales de transporte de los almacenes a los mercados.

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Requerimientos del problema de programación lineal • Un problema de programación lineal (PL) es un problema de optimización para el cual se efectúa lo siguiente:  Se intenta maximizar (o minimizar) una función lineal (llamada función objetivo) de las variables de decisión.  Los valores de las variables de decisión deben satisfacer un conjunto de restricciones. Cada restricción debe ser una ecuación o inecuación lineal.  Una restricción de signo es asociada con cada variable.

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Cinco suposiciones básicas de PL (1) 1. Certeza • Los números en el objetivo y las restricciones son conocidos con certeza y no pueden cambiar durante el periodo en que se está haciendo el estudio.

2. Proporcionalidad • Existe en el objetivo y las restricciones.

3. Aditividad • El total de todas las actividades es igual a la suma de las actividades individuales. 10/02/2013


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Cinco suposiciones básicas de PL (2) 4. Divisibilidad • Las soluciones no necesitan ser números enteros. • Las soluciones son divisibles y pueden tomar cualquier valor fraccionario.

5. No negatividad • Todas las respuestas o variables son no negativas (≥ 0). • Los valores negativos de cantidades físicas son imposibles. 10/02/2013


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Formulación de un problema de PL (1) Variables de Decisión Xj , j = 1, 2, …, n Función objetivo Max (ó Min) Z = C1X1 + C2X2 + . . . . . . + CnXn Restricciones a11X1 + a12X2 + ... + a1nXn {, , } b1 a21X1 + a22X2 + ... + a2nXn {, , } b2 ... am1X1 + am2X2 + ...+ amnXn {, , } bm Rango de existencia Xj  0, j = 1, 2, …, n 10/02/2013


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Formulación de un problema de PL (2) Pasos a seguir en la formulación de un problema de PL 1. Entender por completo el problema administrativo que se enfrenta. 2. Identificar el objetivo y las restricciones. 3. Definir las variables de decisión. 4. Utilizar las variables de decisión para escribir las expresiones matemáticas de la función objetivo y de las restricciones.

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Empresa maderera (1) Problema de la mezcla de productos • Dos o más productos son fabricados usados recursos limitados tales como personal, máquinas, materias primas, etc. • La utilidad que la empresa busca para maximizar está basada en la contribución a la utilidad por unidad de cada producto. • A la compañía le gustaría determinar cuántas unidades de cada producto deberá fabricar para maximizar la utilidad total dados sus recursos limitados. 10/02/2013


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Empresa maderera (2) Horas requeridas para producir 1 unidad Departamento Carpintería Pintura y barnizado Utilidad (UM por unidad)

Mesas

Sillas

4 2

3 1

Disponibilidad (horas/semana) 240 100

7.00 5.00

Identificar el objetivo y las restricciones Maximizar la utilidad Sujeta a 1. Horas de carpintería utilizadas  240 horas por semana 2. Horas de pintura y barnizado utilizadas  100 horas por semana 10/02/2013


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Empresa maderera (3) Variables de decisión X1 : número de mesas producidas y vendidas por semana X2 : número de sillas producidas y vendidas por semana Función objetivo Maximizar utilidades Max Z = 7 X1 + 5 X2 Restricciones Tiempo disponible de Carpintería 4 X1 + 3 X2 ≤ 240 Tiempo disponible en Pintura y Barnizado 2 X1 + 1 X2 ≤ 100 Rango de existencia X1, X2 ≥ 0 10/02/2013


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Método gráfico para resolver problemas de maximización • La forma más fácil de resolver un pequeño problema de PL tal como el presentado es con el método gráfico. • El método gráfico funciona sólo cuando existen dos variables de decisión, pero es invaluable ya que da una idea de cómo funcionan otros métodos.

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Representación gráfica de las restricciones (1) Las condiciones de no negatividad X1 ≥ 0 y X2 ≥ 0 significan que siempre se trabaja en el primer cuadrante.

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Representación gráfica de las restricciones (2) • La restricción de Carpintería es 4X1 + 3X2 ≤ 240 • Se grafica la restricción en forma de igualdad 4X1 + 3X2 = 240  Sea X1 = 0 y resuelva para el punto donde la línea cruza el eje X2. 4(0) + 3(X2) = 240, X2 = 80 sillas  Sea X2 = 0 y resuelva para el punto donde la línea cruza el eje X1. 4(X1) + 3(0) = 240, X1 = 60 mesas

• La restricción de Carpintería está limitada por la línea que va del punto (X1 = 0, X2 = 80) al punto (X1 = 60, X2 = 0).

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Representación gráfica de las restricciones (3) X2 (número de sillas)

(0,80)

4 X1 + 3 X2 ≤ 240 (Carpintería)

(0,0)

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(60,0)


X1 (número de mesas)

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Representación gráfica de las restricciones (4) • La restricción de Pintura y Barnizado es 2X1 + 1X2 ≤ 100 • Se grafica la restricción en forma de igualdad 2X1 + 1X2 = 100  Sea X1 = 0 y resuelva para el punto donde la línea cruza el eje X2. 2(0) + 1(X2) = 100, X2 = 100 sillas  Sea X2 = 0 y resuelva para el punto donde la línea cruza el eje X1. 2(X1) + 1(0) = 100, X1 = 50 mesas

• La restricción de Pintura y Barnizado está limitada por la línea que va del (X1 = 0, X2 = 100) al punto (X1 = 50, X2 = 0).

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Representación gráfica de las restricciones (5) X2 (número de sillas) (0,100)

(0,80)

2 X1 + 1 X2 ≤ 100 (Pintura y Barnizado)

4 X1 + 3 X2 ≤ 240 (Carpintería)

(0,0)

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(50,0) (60,0)



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Representación gráfica de las restricciones (6) X2 (número de sillas) (0,100)

(0,80)

2 X1 + 1 X2 ≤ 100 (Pintura y Barnizado)

Región Factible 4 X1 + 3 X2 ≤ 240 (Carpintería)

(0,0)

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(50,0) (60,0)



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Método de solución de línea de isoutilidad 1. Graficar todas las restricciones y encontrar la región factible. 2. Seleccionar una línea de utilidad y graficar esta para encontrar la pendiente. 3. Mover la línea de la función objetivo en dirección para incrementar la utilidad mientras se mantiene la pendiente. El último punto en tocar la región factible es la solución óptima. 4. Encontrar los valores de las variables de decisión en este último punto y calcular la utilidad. 10/02/2013


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Línea de isoutilidad (1) • Comenzar asignando utilidades iguales a cantidades arbitrarias pero pequeñas en UM. • Elegimos una utilidad de 210.  Éste es un nivel de utilidad que puede ser alcanzado con facilidad sin violar ninguna de las dos restricciones.

• La función objetivo se escribe como 210 = 7X1 + 5X2.

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Línea de isoutilidad (2) • La función objetivo es justo la ecuación de una línea llamada línea de isoutilidad.  Esta representa todas las combinaciones de (X1, X2) que producirían una utilidad total de 210.

• Para trazar la línea de utilidad, se procede de manera similar a la que se empleó para trazar la línea de restricción:  Primero, sea X1 = 0 y resuelva para el punto donde la línea cruza el eje X2. 210 = 7(0) + 5(X2), X2 = 42 sillas  Entonces, sea X2 = 0 y resuelva para el punto donde la línea cruza el eje X1. 210 = 7(X1) + 5(0), X1 = 30 mesas

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Línea de isoutilidad (3) • A continuación se conectan estos dos puntos con una línea recta. • Todos los puntos en la línea representan soluciones factibles que producen una utilidad de 210. • Obviamente, la línea de isoutilidad de 210 no produce la más alta utilidad posible para la empresa. • Se trazan dos líneas más, cada una de las cuales produce una utilidad más alta. • Otra ecuación, 420 = 7X1 + 5X2, es trazada de la misma manera que la última línea. 10/02/2013


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Línea de isoutilidad (4) • Cuando X1 = 0, 420 = 7(0) + 5(X2), X2 = 84 sillas • Cuando X2 = 0, 420 = 7(X1) + 5(0), X1 = 60 mesas • Esta línea es demasiado alta para ser considerada porqué no llega a tocar la región factible. • La más alta línea de isoutilidad posible toca la punta de la región factible en el punto de esquina (X1 = 30, X2 = 40) y da una utilidad de 410.

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Línea de isoutilidad (5)

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Solución óptima

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Método de solución del punto de esquina 1. Graficar todas las restricciones y encontrar la región factible. 2. Encontrar los puntos esquina de la región factible. 3. Calcular la utilidad en cada punto esquina de la región factible. 4. Seleccionar el punto esquina con el mayor valor de la función objetivo. Éste es la solución óptima.

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Punto de esquina (1) • La región factible para el problema de Flair Furniture Company es un polígono de cuatro lados con cuatro puntos de esquina o puntos extremos. • Estos puntos son los designados como 1, 2, 3, y 4. • Para encontrar los valores (X1, X2) que producen la utilidad máxima, se localizan las coordenadas de cada punto en esquina y se comprueban sus niveles de utilidad. Punto 1: (X1 = 0, X2 = 0), Utilidad = 7(0) + 5(0) = 0 Punto 2: (X1 = 0, X2 = 80), Utilidad = 7(0) + 5(80) = 400 Punto 3: (X1 = 30, X2 = 40), Utilidad = 7(30) + 5(40) = 410 Punto 4: (X1 = 50, X2 = 0), Utilidad = 7(50) + 5(0) = 350 10/02/2013


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Punto de esquina (2)

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Método gráfico para resolver problemas de minimización • Los problemas de minimización pueden ser resueltos gráficamente. • Existen dos métodos para encontrar la solución óptima: línea de isocosto y punto de esquina.

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Método de solución de línea de isocosto 1. Graficar todas las restricciones y encontrar la región factible. 2. Seleccionar una línea de isocosto y graficar esta para encontrar la pendiente. 3. Mover la línea de la función objetivo en dirección para decrementar el costo mientras se mantiene la pendiente. El último punto en tocar la región factible es la solución óptima. 4. Encontrar los valores de las variables de decisión en este último punto y calcular el costo.

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Método de solución del punto de esquina 1. Graficar todas las restricciones y encontrar la región factible. 2. Encontrar los puntos esquina de la región factible. 3. Calcular la utilidad en cada punto esquina de la región factible. 4. Seleccionar el punto esquina con el menor valor de la función objetivo. Éste es la solución óptima.

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Granja de pavos

Ingrediente

Marca 1 (oz./lb.)

Marca 2 (oz./lb.)

A B C

5 4 0.5

10 3 0

Costo (UM/lb.)

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Requerimiento mínimo mensual por pavo (oz.) 90 48 1.5

0.02 0.03


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Problema de minimización Variables de decisión X1 : número de libras adquiridas del alimento marca 1 X2 : número de libras adquiridas del alimento marca 2 Función objetivo Minimizar costos Min Z = 2 X1 + 3 X2 Restricciones 5 X1 + 10 X2 ≥ 90 (requerimiento mínimo del ingrediente A) 4 X1 + 3 X2 ≥ 48 (requerimiento mínimo del ingrediente B) 0.5 X1 ≥ 1.5 (requerimiento mínimo del ingrediente C) Rango de existencia X1, X2 ≥ 0 10/02/2013


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Método de solución del punto de esquina (1) 1. Construir la región de solución factible. Esto es hecho graficando cada una de las tres ecuaciones de restricción.

2. Encontrar los puntos de esquina. Este problema tiene 3 puntos de esquina rotulados como a, b y c. • Con frecuencia, los problemas de minimización están ilimitados hacia fuera (es decir, hacia la derecha y en la parte superior), pero esto no causa dificultades al resolverlo. • En tanto estén limitadas hacia adentro (del lado izquierdo y la parte inferior), se pueden establecer puntos de esquina. • La solución óptima se obtendrá en una de las esquinas como un problema de maximización. 10/02/2013


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Método de solución del punto de esquina (2)

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Método de solución de la línea de isocosto (1) 1. Se inicia, por ejemplo, con el trazo de una línea de costo de 0.54 UM o sea 54 = 2X1 + 3X2 Obviamente, existen muchos puntos en la región factible que darían un costo total más bajo. 2. Procedemos a mover la línea de isocosto hacia la izquierda, en un plano paralelo a la línea de solución de 0.54 UM

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Método de solución de la línea de isocosto (2) 3. El último punto que toca mientras aún está en contacto con la región factible es el mismo que el punto de esquina b. Este tiene las coordenadas (X1 = 8.4, X2 = 4.8) y tiene un costo asociado de 0.312 UM. Las coordenadas fueron halladas resolviendo un sistema de dos ecuaciones para X1 y X2.

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Método de solución de la línea de isocosto (3)

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Casos especiales de programación lineal (1) Tres casos especiales se plantean cuando se utiliza el método gráfico para resolver problemas de PL. • • • •

Infactibilidad. No acotamiento. Degeneración. Múltiples soluciones óptimas.

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Casos especiales de programación lineal (2) • Infactibilidad.‐ La falta de una región factible puede ocurrir si existen conflictos entre las restricciones. • No acotamiento.‐ La falta de una o más restricciones puede hacer que la región factible sea infinitamente grande, y el problema será ilimitado. • Degeneración.‐ Cuando más de dos restricciones pasan por la solución óptima, se afirma que la solución es degenerada. • Múltiples soluciones óptimas.‐ Cuando existe paralelismo entre la función objetivo y una de las restricciones que conforman la región factible, se pueden tener múltiples soluciones óptimas. 10/02/2013


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Un problema con solución no factible X2

8 6

Región que satisface la tercera restricción

4 2 0 0 2 4 6 8

X1

Región que satisface las dos primeras restricciones 10/02/2013


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Una región factible no acotada a la derecha X2 15

10

5

0

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X1 ≥ 5

X2 ≤ 10

Región factible X1 + 2X2 ≥ 10

0 5 10 15 Miguel Mejía Puente

X1 44

Un problema con múltiples soluciones óptimas Max Z = 3 X1 + 2 X2 Sujeta a 6 X1 + 4 X2 ≤ 24 X1 ≤ 3 Con X1, X2 ≥ 0

X2

A

6

La solución óptima se compone de todas las combinaciones de X1 y X2 a lo largo del segmento AB Línea de isoutilidad para 8.00 UM AB Línea de isoutilidad para 12.00 UM B

0 10/02/2013

3

sobre el segmento AB 4


X1 45

Solución de problemas de programación lineal usando computadora

Lindo PC

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Uso de LINDO (1) Pantalla de ingreso de datos

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Uso de LINDO (2) Reporte de formulación

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Uso de LINDO (3) Reporte de solución

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Análisis de sensibilidad gráfico y por computadora (1) • Las soluciones óptimas han sido encontradas bajo suposiciones deterministas.  Esto significa que se supone una certeza completa en los datos y relaciones de un problema.  Por ejemplo los precios son fijos, los recursos conocidos, el tiempo necesario para producir una unidad exactamente establecido.

• Pero en el mundo real, las condiciones son dinámicas y cambiantes. • Preguntas a ser hechas son: ¿qué tan sensible es la solución óptima a cambios en las utilidades, recursos u otros parámetros de entrada? 10/02/2013


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Análisis de sensibilidad gráfico y por computadora (2) • Una manera de reconciliar esta discrepancia entre los supuestos deterministas y las condiciones dinámicas y cambiantes del mundo real es: cuán sensible es la solución óptima a los supuestos del modelo y los datos. • Una importante función del análisis de sensibilidad es que permite experimentar con los valores de los parámetros de entrada.

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Formas para realizar el análisis de sensibilidad (1) Hay dos métodos para determinar la sensibilidad de una solución óptima a los cambios. El primero es simplemente un método de ensayo y error. Este método resuelve todo el problema, de preferencia con una computadora, cada vez que cambia un dato de entrada o parámetro. Esto puede tomar mucho tiempo para probar una serie de posibles cambios.

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Formas para realizar el análisis de sensibilidad (2) El segundo método es el análisis de postoptimalidad. Después que el problema de PL ha sido resuelto, se intenta determinar un intervalo de cambios en los parámetros que no afectan la solución óptima o cambian los valores de las variables en la solución. Esto se realiza sin resolver el problema completo. Análisis de postoptimalidad significa examinar los cambios una vez que se ha llegado a la solución optima.

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Análisis de sensibilidad usando el método gráfico

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Cambios en los coeficientes de la función objetivo ‐ gráfico X2

X2

Variación del coeficiente C1 de X1

(0,16)

Variación del coeficiente C2 de X2

(0,16)

4 X1 + 3 X2 = Z

2 X1 + 1.5 X2 = Z

(0,9)

(0,9)

2 X1 + 3 X2 = Z

2 X1 + 3 X2 = Z

1.5 X1 + 3 X2 = Z (3,0)

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(12,0)

(18,0)

2 X1 + 4 X2 = Z X1


(3,0)

(12,0)

(18,0)

X1

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Cambios en los recursos o valores del lado derecho (1) • Los valores del lado derecho de las restricciones a menudo representan recursos disponibles para la empresa. • Los recursos podrían ser horas de mano de obra o tiempo de máquina o quizás dinero o materiales de producción disponibles.

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Cambios en los recursos o valores del lado derecho (2) • Si el lado derecho de una restricción es cambiado:  La región factible cambiará (a menos que la restricción sea inactiva)  Y con frecuencia la solución óptima cambiará.

• El valor de cambio en la función objetivo que resulta de 1 unidad de cambio en uno de los recursos disponibles es llamado precio dual. • El precio dual de una restricción es el mejoramiento del valor de la función objetivo que resulta del incremento de 1 unidad en el lado derecho de la restricción. 10/02/2013


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Cambios en los recursos o valores del lado derecho (3) • • •

El precio dual de un recurso indica el valor en que la función objetivo será incrementada (o decrementada) debido a otra unidad del recurso. Sin embargo, el valor del incremento posible del lado derecho de un recurso es limitado. Si el valor fuera incrementado más allá del límite superior, entonces la función objetivo ya no se incrementaría por el precio dual.  

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Si fuera excedido este número límite del recurso, quizás cambie la función objetivo, pero por un valor diferente al precio dual. Así, el precio dual sólo es relevante dentro de los límites. Miguel Mejía Puente

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Cambios en los recursos o valores del lado derecho – gráfico (1)

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60 ≤ b1 ≤ 135; precio dual = -0.24 Miguel Mejía Puente

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34.5 ≤ b2 ≤ 72; precio dual = -0.20 Miguel Mejía Puente

60


-∞ ≤ b3 ≤ 4.2; precio dual = 0.00 10/02/2013


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Análisis de sensibilidad usando computadora – LINDO

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Cambios en los coeficientes de la función objetivo – LINDO (1) • LINDO produce un reporte de sensibilidad. • Este reporte provee los incrementos y decrementos admisibles para los coeficientes de la función objetivo. • Sumando el incremento admisible (ALLOWABLE INCREASE) a los valores actuales (CURRENT COEF), el límite superior puede ser obtenido. • Restando el decremento admisible (ALLOWABLE DECREASE) a los valores actuales (CURRENT COEF), el límite inferior puede ser obtenido.

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Cambios en los coeficientes de la función objetivo – LINDO (2) Reporte de análisis de sensibilidad 1.5 ≤ C1 ≤ 4 1.5 ≤ C2 ≤ 4

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Cambios en los coeficientes de la función objetivo – LINDO (3) Si la solución óptima es no degenerada, podemos afirmar lo siguiente: Cuando un coeficiente en particular es aumentado (disminuido) en una cantidad aceptable, la solución óptima no cambia, pero el valor óptimo de la función objetivo aumenta (disminuye) en un valor igual a dicha cantidad multiplicada por el valor de la variable asociada a ese coeficiente. 10/02/2013


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Cambios en los recursos o valores del lado derecho – LINDO Reporte de análisis de sensibilidad 60 ≤ b1 ≤ 135; precio dual = ‐0.24 34.5 ≤ b2 ≤ 72; precio dual = ‐0.20 ‐∞ ≤ b3 ≤ 4.2; precio dual = 0.00 10/02/2013


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Cambios en los recursos o valores del lado derecho (1)

Si la solución óptima es no degenerada, podemos afirmar: Cuando el lado derecho de una restricción activa es aumentado en una cantidad aceptable, la base óptima no cambia, pero la solución óptima sí cambia, y el valor óptimo de la función objetivo aumenta en un valor igual a dicha cantidad multiplicada por el valor del precio dual asociado a esa restricción.

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Cambios en los recursos o valores del lado derecho (2) Si la solución óptima es no degenerada, podemos afirmar: Cuando el lado derecho de una restricción activa es disminuido en una cantidad aceptable, la base óptima no cambia, pero la solución óptima si cambia, y el valor óptimo de la función objetivo disminuye en un valor igual a dicha cantidad multiplicada por el valor del precio dual asociado a esa restricción.

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Cambios en los recursos o valores del lado derecho (3) Si la solución óptima es no degenerada, podemos afirmar: Cuando el lado derecho de una restricción inactiva es aumentado (disminuido) en una cantidad aceptable, la solución óptima no cambia.

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Costo reducido Si una solución óptima es no degenerada, y tiene una variable de decisión cuyo valor óptimo es cero, podemos afirmar lo siguiente: El coeficiente de esa variable en la función objetivo debe ser cambiado por lo menos en el costo reducido, con el objeto de que haya una solución óptima en la que la variable aparezca con un valor positivo.

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Costo reducido – LINDO El costo reducido es el valor en que debe ser incrementado el coeficiente de la variable no básica en la función objetivo para obtener una solución óptima alternativa.

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Modelos de programación lineal Fin del tema

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