MÉTODO DUAL
JULIETH PATRICIA BOCANEGRA NIETO KAREN JULIETH VILLADIEGOBAENA NILSA PEÑALOZA GONZALEZ Estudiantes
CARMEN MATÍAS Docente
UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA EXTENSIÓN MAICAO PROGRAMA DE ADMINISTRACION DE EMPRESAS MAICAO-LA GUAJIRA I P.A 2010
PROBLEMA DUAL
Todo problema de programación lineal tiene un problema relacionado con él, el cual se le llama problema dual o, simplemente dual. En un problema original de programación lineal, denominado problema primario o, simplemente primario, el dual puede formularse con la información obtenida en el primario. El problema dual es importante por muchas razones teóricas y, además, por motivos prácticos. Una de sus propiedades es que, al ser resuelto, suministra información indispensable sobre la solución del problema primario. De manera análoga, la solución del primario da toda la solución esencial relativa a la solución del problema dual. En un problema de programación lineal, su solución puede determinarse resolviendo el problema original o su dual. Las propiedades estructurales de los dos problemas pueden provocar una decidida preferencia por cuál problema solucionar. Aun con los métodos computarizados, las eficiencias del cómputo pueden provenir de la solución de una forma de problema. En la mayoría de los procedimientos de Programación Lineal, el dual se define para varias formas del primal, dependiendo de los tipos de restricciones, de los signos de las variables y del sentido de la optimización. La experiencia nos indica que en ocasiones, los principiantes se confunden con los detalles de esas definiciones. Más importante aún es que el uso de esas definiciones múltiples puede conducir a interpretaciones inconsistentes de los datos en la tabla simplex, sobre todo en lo que respecta a los signos de las variables. El concepto de dualidad indica que para cada problema de Programación Lineal hay una asociación y una relación muy importante con otro problema de programación lineal, llamado precisamente dual. La relación entre el problema dual y su asociado, es decir el problema original llamado primal, presenta varias utilidades: Aporta elementos que aumentan sustancialmente la compresión de la Programación Lineal. El análisis de dualidad es una herramienta útil en la solución de problemas de Programación Lineal, por ejemplo: más restricciones que variables. El problema dual tiene interpretaciones e informaciones importantes que muestran que los análisis marginales están siempre involucrados implícitamente al buscar la solución óptima a un problema de Programación Lineal.
LAS RELACIONES EXISTENTES ENTRE AMBOS PROBLEMAS El dual tiene tantas variables como restricciones existen en el primal.
1. El dual tiene tantas restricciones como variables en el primal. 2. Los coeficientes de la función objetivo del primal son los términos independientes de las restricciones del dual. 3. Los términos independientes de las restricciones del primal son los coeficientes en la función objetivo del dual. 4. la matriz de coeficientes de las restricciones del dual es igual a la transpuesta de la del primal.
TIPOS DE PROBLEMAS DUALES 1. Duales Simétricos: para primales que incluyan restricciones de desigualdad. 2. Duales Asimétricos: para primales en forma estándar, es decir con restricciones de igualdad.
Otro tipo de restricciones entre los problemas primal y dual son las siguientes:
1. para duales simétricos el sentido de desigualdad de las restricciones del dual es inverso a las del primal; mientras que para asimétricos, las restricciones del dual son de sentido menor e igual en caso de que el problema dual sea de minimización, y de mayor e igual en caso de maximización. Además, las variables del dual, variables duales, no están sujeta a la condición de no negatividad. 2. El problema dual de uno de minimización es de maximización y viceversa. 3. El dual del dual es el primal.
La siguiente tabla sintetiza la simetría de los dos tipos de problema y sus relaciones:
Problema de maximización Numero de restricciones Restricción Restricción Restricción Numero de Variables Variable no negativa Variable no positiva Variable no restringida Coeficiente de la función objetivo para la j-ésima variable Constante del miembro derecho para la j-ésima restricción Coeficiente en restricción i para la variable j
Problema de minimización Numero de variables Variable no negativa Variable no positiva Variable no restringida Numero de restricciones Restricción Restricción Restricción Constante del miembro derecho para la restricción j-ésima Coeficiente de la función objetivo para la variable j Coeficiente en restricción j para la variable i
Sin distinguir en el caso de duales simétricos o asimétricos, podemos formular una tabla general, que reúne las relaciones entre el problema primal y Dual sea cual sea su formulación:
PROBLEMA DE PROBLEMA DE MINIMIZACION MAXIMIZACION ≥0
VARIABLES
RESTRICCIONES
≤ ≤0
≥
No restringidas
=
≥
≥0
≤
≤0
=
No restringidas
RESTRICCIONES
VARIABLES
TEOREMAS DE DUALIDAD Los siguientes teoremas establecen las relaciones entre el problema primal, el dual y sus soluciones. En todas ellas se utiliza la forma primal-dual simétrica.
Teorema 1 El dual del dual es el primal. Teorema 2 (Dualidad débil) Sean x e y soluciones factibles para los problemas primal y dual respectivamente. Se verifica z = cTx ≤ bTy = G Corolario 1 Si las soluciones factibles x* e y* verifican cTx* = bTy*, entonces x e y son soluciones óptimas para el primal y el dual respectivamente. Corolario 2 Si el problema primal es factible y no acotado, el dual no tiene solución. Corolario 3 Si el problema dual es factible y no acotado, el primal es infáctible. Teorema 3 (Principio fundamental de la dualidad): Si existe una solución óptima x* para el problema primal, entonces existe una solución óptima y* para el problema dual. De la misma forma, si existe una solución óptima Y* para el problema dual, entonces existe una solución óptima x* para el problema primal. En ambos casos, Z* = cTx* = bTy* = G* Teorema 4 Si B es base óptima para el problema primal, entonces Y*T = ctBB-1 es una solución óptima del dual. ¿CÓMO CONVERTIR UN PROBLEMA PRIMAL A DUAL? Los parámetros y estructura de este problema proporcionan toda la información necesaria para formularlo. Un problema dual se formula de un problema primal de la siguiente forma: 1.
Si el primal es un problema de maximización su dual será un problema de minimización y viceversa. El sentido de la optimización es siempre el opuesto de los correspondientes problemas primarios y duales.
2.
Los coeficientes de la función objetivo del problema primal se convierten en los coeficientes del vector de la disponibilidad en el problema dual.
3.
Los coeficientes del vector de disponibilidad del problema original se convierten en los coeficientes de la función objetivo (vector de costo o precio) en el problema dual.
4.
Los coeficientes de las restricciones en el problema primal, será la matriz de los coeficientes tecnológicos en el dual.
5.
Los signos de desigualdad del problema dual son contrarios a los del primal.
6.
Cada restricción en un problema corresponde a una variable en el otro problema. Si el primal tiene m restricciones y n variables, el dual tendrá n restricciones y m variables. Así, las variables X n del primal se convierte en nuevas variables Y m en el dual. El número de variables en el primario siempre es igual al de las restricciones que hay en el dual. el número de restricciones en el problema primario siempre es igual al de las variables del dual.
El siguiente cuadro describe la formulación de un problema de maximización y su Dual.
Problema Dual
Problema primario
Maximice Z=
Minimice Z=
2x1 + 4x2
Sujeta a:
800Y1 + 350Y2 + 125Y3
Sujeta a: 5x1 + 4x2
3x1 + 2x2
-4x1 + 3x2
≤
≤
800
350
125
5
y1
+3
y2 -4
≤
2
4
y1
+2
y2
≤
4
≥
0
y1
y2
+3
Antes de resolver el método dual es necesario poseer conocimientos sobre problemas de minimización ya que ambos problemas (maximización y minimización) los utilizaremos en la solución del problema dual.
REGLAS DE UN PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN: 1. Comprobación de optimización en un problema de minimización: En un problema de minimización se abra encontrado la solución óptima si todos los coeficientes en el renglón cero de las variables son menores e iguales a cero. Si los coeficientes de un renglón cualquiera (cero) son positivos para las variables no básicas puede obtenerse una mejor solución si se le asigna una cantidad positiva. 2. Nueva variable básica en un problema de minimización: En un problema de minimización la variable no básica que reemplazará a una variable básica actual es la única que tiene el más grande coeficiente positivo del renglón cero. Los empates pueden solucionarse de modo arbitrario. 3. Variable básica de salida: la variable básica que se sustituirá se obtiene determinando el renglón y asociada a mínimo b i aik, i= 1…..m donde aik > 0 Además de identificarse la variable básica de salida b i aik es el número máximo de unidades que pueden introducirse en la variable básica de entrada.
RESUMEN DEL METODO SIMPLEX EN UN PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN En primer lugar se suman todas las variables de Masía y Artificial a cada restricción y se pone en una tabla simplex el coeficiente de las variables y las contantes del miembro derecho. 1. Se identifica la solución inicial declarando como variable básica cada una de las variables Artificial. Todas las demás son no básicas en la solución inicial. 2. Se determina si la solución actual es óptima al aplicar la regla uno. 3. Se determina la variable no básica que deberá convertirse en una variable básica en la siguiente solución al aplicar la regla dos. 4. Se identifica la variable básica que debería ser reemplazada en la siguiente solución y para ello aplica la regla tres.
5. Se aplica la operación de eliminación Causiana para generar la siguiente solución.
No es necesario colocar todos los pasos pues se suponen que los llevamos anotados mentalmente.
EJERCICIO DE PROBLEMA DE MINIMIZACION Minimice z= 5x1 + 6x2 Sujeta a x1 + x2
≥
10
2x1 + 4x2 ≥ 24 X1, x2
≥0
Este problema se reescribe así: Minimice
z - 5x1 - 6x2 – 0E1 – 0E2 – A1 – A2 = 0
Sujeta a
x1 + x2 – E1 + A1 = 10 2X1 + 4X2 – E2 + A2 = 24 X1, X2, E1, E2, A1, A2 ≥ 0
Variables Básicas
Z 1 0 0
A1 A2
X1 -5 1 2
X2 -6 1 4
E1 0 -1 0
E2 0 0 -1
A1 A2 bi -M -M 0 1 0 10 0 1 24
#R 0 1 2
COLUMNA CLAVE V B
Z X1
X2
E1
E2 A1 A2
1 -5 +3M -6 + 5M -M -M 0 1 1 -1 0 A1 A2 0
2
4
0 -1
bi
0 1
0 0
0
1
# R 34M 0 10 1 24
2
bi aik
R0 = RO+ MR1+MR2 10/1 = 10 24/4 = 6
COLUMNA CLAVE
V B
Z X1
A1
1 -2+M 0 2 0 1 0 2 0 1 1 2
-M -3 + M 2 4 -1 1 4 0 -1 4
Z
X1
X2
E1
E2
A1
1
0
0
-4
X1 0
1
0
-2
0
0
1
1
-1 2 1 2 -1 2
4 - M 1 –M 2 2 -1 2 -1 1 2
X2 V B
X2
X2
E1
E2
A1
A2
bi
# R 0 3 _ 5M 36 + 4M 0 2 4 1 -1 4 1 4 0 1 6 2 4 A2
bi
bi aik 4
R0¨= R0 +(6 – 5M)R2 R1 = R1 – R2 R2 = 1 4 R2
52
# R 0
8
1
R1 = 2R1
2
2
R2 = R2 – ½ R1
R0 = R0 + (2 – M/2) R1
SOLUCIÓN: Variables básica: X 1 = 8 X2 = 2 Z = 52 Variable no básicas: E 1 = 0 E2 = 0 A1 =0 A2 =0 PASO 2: La solución es óptima ya que todos los valores del renglón cero son menores e iguales a cero, la función objetivo se minimiza en 52 cuando x 1 = 8 y x2 = 2
1 = 8 2
6
1 = 12
EJERCICIO DE METODO DUAL
EJERCICIO NÚMERO 7: En el siguiente problema primario: Maximice z = 5x1 + 3x2 Sujeta a
2x1 + 4x2 ≤ 32 3x1 + 2x2 ≤ 24 X1, X2
≥0
1. Formule el problema dual correspondiente
Minimice
z = 32y1 + 24y2
Sujeta a
2y1 + 3y2 ≥ 5 4y1 + 2y2 ≥ 3 y1, y2
≥0
2. Resuelva el problema primario por el método simplex
Z – 5x1 - 3x2 -0S1 - 0S2 = 0 2X1 + 4X2 +S1 3X1 + 2X2 X1, X2, S1, S2
= 32 +S2 = 24 ≥0
COLUMNA CLAVE V B S1 S2
Z
X1
X2
1 0 0
-5 2 3
-3 4 2
S1 S2 0 1 0
bi
0 0 1
0 32 24
#R 0 1 2
bi/aik 16 8
Paso 1: variables básicas: S 1 = 32 S2 = 24 Z= 0 Variables no básicas: X 1 = 0 X2 = 0 Paso 2: la solución no es óptima porque los valores del renglón cero son menores e iguales a cero. Paso 3: la variable no básica que deberá convertirse en una variable básica es -5 y está asociada X 1, por tanto esa columna se denota columna clave y en la siguiente solución se convertirá en una variable básica. Paso 4: la razón mínima es 8 y está asociada a S 2, por tanto en la siguiente solución S2 se convertirá en una variable no básica. Paso 5:
-5
X1
0
2
a
0
3
V B
1
Z
X1
X2
S1 S2
bi
#R
1
0
1/3
0
5/3
40
0
5R2 + R0
S1
0
0
8/3
1
-2/3
16
1
-2R2 + R1
X1
0
1
2/3
0
1/3
8
2
1/3R2
bi/aik
Paso 1: variables básicas: S 1 = 16 X1 = 8 Z= 40 Variables no básicas: S 2= 0
X2 = 0
Paso 2: La solución es óptima ya que todos los valores del renglón cero son mayores e iguales a cero. La función objetivo se maximiza en 40 cuando S 1=16 y X1 = 8
3. Determine la solución óptima del problema dual a partir de la tabla de soluciones óptimas del problema primario. Rta//: Basándonos en la tabla de soluciones óptimas del problema primario podemos decir que la solución óptima del problema dual es 40, es decir qué la función objetivo se minimiza en 40 cuando y 1 = 0, y2 = 5/3
4. Resuelva el problema dual mediante el método simplex para verificar el resultado conseguido en la parte (c). de la tabla de soluciones óptimas del problema dual obtenga la solución óptima del problema primario. Minimice z = 32y1 + 24y2 Sujeta a 2y1 + 3y2 ≥ 5 4y1 + 2y2 ≥ 3 y1, y2 ≥0
z – 32y1 – 24y2 + 0E1 + 0E2 – MA1 – MA2 = 0 2y1 +3y2 – E1 + A1 = 5 4y1 +2y2 – E2 + A2 = 3 y1, y2, E1, E2, A1, A2
Variables Básicas A1 A2
Z 1 0 0
X1 -32 2 4
X2 -24 3 2
E1 0 -1 0
E2 0 0 -1
A1 A2 bi -M -M 0 1 0 5 0 1 3
#R 0 1 2
