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CONSULTOR EMPRESARIAL Y DOCENTE UNIVERSITARIO ADMINISTRACION DE OPERACIONES INTRODUCCION
En primer lugar definamos que es PL; la Programación Lineal es una técnica matemática que usa la administración de empresas para resolver situación de planeación de producción y operaciones. Son diversas las situaciones en las que restricciones de recursos hacen de la planeación de la producción un desafío. La PL surge como la técnica que encuentra soluciones fáctibles para los menesteres de la producción. Se utilizará el libro de Hamdy A. Taha: Investigación Investigación de Operaciones, para explicar la técnica de solución de problemas de PL mediante el método gráfico. Utilicemos dos ejercicio de la página 57 el 2-5 y 2-6, así: EJERCICIOS DE PRGRAMA P RGRAMACION CION LINEAL 2-5 Préstamos Bancarios
Un pequeño banco asigna un máximo de $20000 para préstamos personales y para automóvil durante el mes siguiente. El banco cobra una tasa de interés interés anual del 14% a préstamos personales y del 12% a préstamos para automóvil. Ambos tipos de préstamos se saldan en periodos de tres años. El monto de los préstamos para automóvil debe ser cuando menos dos veces mayor que e] de los préstamos personales. La experiencia pasada ha demostrado que los adeudos no cubiertos constituyen el 1% de todos los préstamos personales. ¿Cómo deben asignarse los fondos? Solución A. IDENTIFICACION IDENTIFICACION DE LAS VARIABLES VARIABLES
P= Monto asignado a los préstamos personales A= Monto Asignado a los préstamos para Automóvil B. RESTRICCIONES RESTRICCION
EXPLICACION
A>=2P
El enunciado dice que los préstamos para automóvil deben ser mayor en dos veces a los personales; usamos la siguiente tabla para ilustrar que la restricción debe ser A>=2P P 5.000 10.000 15.000 20.000 Variable Independiente A 10.000 20.000 30.000 40.000 Variable Dependiente
A+P<=20.000
El Banco solo tiene $20.000 para prestar, por eso sin importar cuánto asigne en préstamos personales o para automóvil, no debe pasarse de $20.000
Por lo tanto, Las restricciones son:
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CONSULTOR EMPRESARIAL Y DOCENTE UNIVERSITARIO ADMINISTRACION DE OPERACIONES 1) A+P<=20.000 2) A>=2P 3) A>=0 4) P>=0 C. FUNCION OBJETO
Debemos maximizar los ingresos del banco, pues el objeto de asignar préstamos es recaudar dinero por el servicio de intermediación financiera, que para este caso está determinado por el 14% para Personal y 12% para Automóvil. Sin embargo, el banco deja de recibir dinero por concepto de préstamos incobrables, los dineros que deja de recibir se clasifican en Monto de Capital y Monto de los Intereses. El Monto de Capital que deja de recibir el banco, por incobrables; se calcula obteniendo el 1% del monto de los préstamos personales, la fórmula es: Incobrables=0.01 X P El Monto de los Intereses que dejan de recibirse por incobrables, se calcula obteniendo el 14% del Monto del Capital incobrable, la fórmula es Interés Incobrable=0.14 X (0.01 X P). Por todo lo anterior, la fórmula de la Función Objeto se construye así: Z =
0.14P
El Interés de los préstamos personales
+ 0.12 A
Interés de los préstamos de Automóvil
-
0.01P
Capital perdido
-
Agrupamos los términos con la variable P, la ecuación queda así: Z=0.14P-0.01P-0.0014P+0.12 A La función Objeto es Z=0.1286P+0.12 A D. REPRESENTACION GRAFICA
0.14x(0.01P)
Interés del capital perdido
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A
2
20.000
Punto de respuesta óptima
16.000 12.000
Área de respuesta factibles
8.000 4.000
Z´ Z 4.000
1
8.000 12.000 16.000 20.000
P
Procedimiento para graficar las Restricciones
Para lograr la anterior gráfica, se procede de la siguiente manera: Se toman cada una de las ecuaciones y se desarrolla el siguiente procedimiento: Se toma la ecuación, por ejemplo, P+A=20.000, nótese que se usa una ecuación y no una desigualdad, porque para representarla gráficamente, debe usarse ecuación y no restricción; sin embargo, debe tenerse en cuenta el sentido de la desigualdad para determinar el área de soluciones factibles. Teniendo la ecuación P+A=20.000 se procede a dar valores a las variables, preferiblemente cero (0) a cada una de ellas. De no poder asignar valores de cero (0), se procede a hacer una tabla, dando dos valores diferentes a una variable y despejando la otra.
Primera manera: Valores de cero a ambas variables
Ecuación A+P=20.000 Si A=0, entonces P+0=20.000, despejamos P=20.000, punto a graficar A=0, P=20.000 Si P=0, entonces A+0=20.000, despejamos A=20.000, punto a graficar A=20.000, P=0
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Segunda manera: Dar varios valores a una misma variable
Ecuación A+P=20.000 Definimos a cual variable le vamos a dar valores, la cual será la independiente; quiere decir que la otra, la cual se despeja, será la variable dependiente. Tomemos a P como la variable independiente, entones A, se despeja, el procedimiento es: A+P=20.000 A=20.000-P (P estaba sumando, pasa al otro lado a restar) Ahora le damos valores a P, por lo menos dos (2) distintos Sea P=4.000, entonces A=20.000-4.000=16.000, punto a graficar A=16.000, P=4.000 Sea P=6.000, entonces A=20.000-6.000=14.000, punto a graficar A=14.000, P=6.000 Para graficar la otra ecuación se hace lo mismo. Sea la ecuación A=2P Asignemos valores a P Si P=4.000, entonces A=2 x (4.000)= 8.000, punto a graficar A=8.000, P=4.000 Si P=6.000, entonces A=2 x (6.000)= 12.000, punto a graficar A=12.000, P=6.000 Sea la Ecuación A=0 Nótese que no importa cuál valor tenga P; el valor de A será siempre Cero (0), la gráfica es la línea encima del eje horizontal P Sea la ecuación P=0 Sin importar el valor de A, P siempre vale cero (0), la gráfica es la línea encima del eje vertical A Procedimiento para obtener el área de soluciones factibles
Se toma cada una de las restricciones y se procede de la siguiente manera: Se identifica el signo de la desigualdad, es decir, si es mayor que o menor que , debe entenderse que la expresión Mayor Que, significa el área encima de la línea que representa la ecuación, si es horizontal u oblicua, o es el área de la derecha si es vertical. La expresión Menor Que, significa el área debajo de la línea que representa la ecuación, si es horizontal u oblicua, o es el área de la izquierda si es vertical. Así por ejemplo,
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A
Sentido de la restricción A+P<=20.000
20.000
20.000
16.000
16.000
12.000
12.000
8.000
8.000
4.000
4.000
Sentido de la restricción
4.000
8.000 12.000 16.000 20.000
4.000
P
Sentido de la restricción
A
A>=2P
P>=0
20.000
20.000
16.000
16.000
12.000
12.000
8.000
8.000
4.000
4.000
8.000 12.000 16.000 20.000
P
Sentido de la restricción
A
A>=0
4.000
8.000 12.000 16.000 20.000
P
4.000
8.000 12.000 16.000 20.000
El Área de Soluciones Factibles es la unión de todos los sentidos representados por las ecuaciones, la siguiente grafica muestra su esquema
P
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ÁREA DE RESPUESTA FACTIBLES
2
20.000
Resulta de la intersección de las áreas resultantes del sentido de la desigualdad que las cobija, para este caso es la que se muestra
16.000 12.000 8.000 4.000
1
4.000
8.000 12.000 16.000 20.000
P
E. SOLUCION OPTIMA
La solución óptima, es el punto en donde la función objeto se maximiza, para este caso es la intersección entre la ecuación 1 y la 2. Procedemos a solucionar este grupo de ecuaciones: 1 2
A+P=20.000 A=2P
Reemplazamos 2 en 1 2P+P=20.000 3P=20.000 P=20.000/3 P=6.666,66666666667= 6.667 Ahora reemplazamos ese valor en cualquiera de las ecuaciones, tomemos la más corta, es decir, la segunda, entonces: A=2P A=2(6.667)=13.333 Por último, calculamos Z, Z=0.1286P+0.12 A, es decir, Z= 0.1286(6.667)+0.12(13.333)= 2.457,33 Respuesta: El ingreso máximo es $2.457,33 prestando $6.667 a la modalidad personal y
$13.333 a la modalidad Automóvil 2-6 Fábrica de tomates
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CONSULTOR EMPRESARIAL Y DOCENTE UNIVERSITARIO ADMINISTRACION DE OPERACIONES Popeye Canning Company tiene un contrato para recibir 60 000 libras de tomates maduros a $7 por Lb de las cuales producirá jugo de tomate y puré de tomate enlatados. Los productos enlatados se empacan en cajas de 24 latas cada una. Una lata de jugo requiere 1 Lb de tomates frescos en tanto que una de puré requiere sólo 1/3 lb. La participación de la compañía en el mercado está limitada a 2 000 cajas de jugo y 6 000 cajas de puré. Los precios al mayoreo por caja de jugo y de puré son $18 y $9, respectivamente. Genere un programa de producción para esta compañía. A. VARIABLES
J= Libras de tomate maduro que se usarán para jugo P=Libras de tomate maduro que se usarán para puré B. RESTRICCIONES
1. 2. 3. 4. 5.
J+P <=60.000 1/24 J<= 2.000 (Cada caja de jugo tiene 24 libras de tomate) 3/24 P<= 6.000 (Cada caja de jugo tiene 8 libras de tomate) J>=0 P>=0
C. FUNCION OBJETO
La caja de Jugo vale $18, entonces una libra cuesta 18/24=$0.75, mientras que la caja de Puré vale $9, una libra de puré vale 9/8=$1.125. La ecuación de la Función Objeto es: Z=0.75J+1.125P D. REPRESENTACION GRAFICA J 60.000
Área de respuesta factibles
3
2
Z´
Punto de respuesta óptima
Z 1
60.000
P
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CONSULTOR EMPRESARIAL Y DOCENTE UNIVERSITARIO ADMINISTRACION DE OPERACIONES E. SOLUCION OPTIMA
Fíjese que se graficó la ecuación Z=0.75J+1.125P, si se toma esa gráfica y se traspola hacía arriba (porque se pretende maximizar los ingresos) hasta alcanzar el punto de inflexión en donde solo toque ese punto del área de solucione s factibles, es decir la gráfica de Z’. El punto de inflexión es la intersección de las ecuaciones 1 y 3, procedemos a solucionar ese sistema de ecuaciones. 1. J+P =60.000 3. 24/3 P= 6.000 Despejamos P en 3, obtenemos lo siguiente: P=(6.000 X 3)/24 P=48.000
Reemplazamos el valor de P en la Ecuación 1, obtenemos lo siguiente J+48.000=60.000 J=60.000-48.000 J=12.000
La función objeto se maximiza con los valores J=12.000 libras de tomate para jugo P=48.000 libras de tomate para puré El valor maximizado de los ingresos es: Z=0.75(12.000)+1.125(48.000)=$63.000
