CAPITULO 7 Modelo de programación lineal: método grafico PREGUTA! " PRO#LEMA! PARA A$LI!I! Preg%nta& para an'li&i& 7-1
Exponga las similitude similitudess y difere diferencias ncias entre problemas problemas de minimiz minimización ación y maximización utilizando los métodos de solución gráfica de programación lineal.
7-2
Es importa importante nte entender entender los los supuesto supuestoss que que siren siren de fundamento fundamento al uso de de cualqui cualquier er modelo modelo de anális análisis is cuanti cuantitat tatio. io. !"uále !"uáless son las #ipóte #ipótesis sis y requ requer erim imie ient ntos os de un mode modelo lo de prog progra rama maci ción ón line lineal al que que debe debe ser ser formulado y utilizado
%$7-&
'e dice dice que que cada cada problema problema de programac programación ión lineal lineal que tiene tiene una región región factible tiene un n(mero infinito de soluciones. Explique esta afirmación.
7-)
*caba de formula formularr un problema problema de de maximiz maximización ación de programa programación ción lineal lineal y se está preparando para resolerlo gráficamente. !+ué criterios deberá considerar considerar para decidir si ser,a más fácil resolerlo resolerlo con el méto do de punto de esquina o el método de l,nea de isoutilidad$
7-
!En qué condiciones condiciones es posibl posible e que que un un problema problema de programación programación lineal lineal tenga más de una solución óptima$
7-
/esarrolle /esarrolle su propio propio 0uego de ecuacio ecuaciones nes de restricción restricción y desigual desigualdades dades y util,celas para ilustrar gráficamente cada una de las siguientes condiciones a3 a3
un pro probl blem ema a ililimit imitad ado. o.
b3 b3
un probl roblem ema a fact actible ible..
c3 c3 7-7
un prob proble lema ma que que conti contiene ene res restr tric icci cione oness redund redundant antes. es.
En una ocasión4 el gerente de producción de una gran firma manufacturera de "incinnati comentó 56e gustar,a utilizar la programación lineal4 pero es una técnica que opera en condiciones de certeza. 6i planta no la tiene4 es un mar de incertidumbre. or lo tanto4 la programación lineal no puede ser utilizada utilizada aqu,5. !iensa que este comentario comentario tiene su mérito$ mérito$ Explique por qué el gerente pudo #aberlo dic#o.
7-8
9a siguient siguientes es relaciones relaciones matemáticas matemáticas fueron formuladas por un un analista analista inest inestiga igador dor de operac operacione ioness de la 'mit#'mit#- 9a:ton 9a:ton "#emic "#emical al "ompany "ompany.. !"uáles son inálidas para usarse en un problema de programación lineal y por qué$ maximizar la utilidad ; )< 1 = &<1<2 = 8<2 = <& su0eta a
2<1 = <2=
2<& > ? ≤
<1 = )<2=
2
1.
X 1
= <2 = &<&
≥
21
≤
8?
1
1@<2 <1 = -<1 7-@
3
<& ; 17
X <2 = & √ X
3
<2 = <& ;
*nalice *nalice el papel del anális análisis is de sensibilida sensibilidad d en programación lineal. lineal. !En !En qué circunstancias se requiere4 y en qué condiciones piensa que no es necesaria$
7-1? El ob0etio ob0etio de un programa programa lineal es es maximizar maximizar la utilidad ; 12< = 8A. 8A. 9a 9a utilidad máxima es de B8???4 "on una computadora se encuentra que el l,mite superior de la utilidad en < es 2? y el inferior @. Explique los cambios que ocurrir,an en la solución óptima los alores de las ariables y la
utilidad3 si la utilidad de < se incrementara a B1. !"ómo cambiar,a la solución óptima si la utilidad de < se incrementara a B2$ 7-11 9a utilidad máxima de un programa lineal es de B??. Cna restricción de este problema es )< = 2A > 8?. "on una computadora se encuentra que el precio dual de esta restricción es & y que existe un l,mite inferior de 7 y uno superior de 1??. Explique qué significan estas cifras. 7-12 /esarrolle su propio problema de programación lineal original con dos restricciones y dos ariables reales. a3 Explique el significado de los n(meros del lado derec#o de cada una de sus restricciones. b3 Explique la importancia de los coeficientes tecnológicos. c3 Desuela gráficamente el problema para encontrar la solución óptima. d3 lustre de manera gráfica el efecto de incrementar la tasa de contribución de su primera ariable < 13 de ?F sobre el alor del alor que primero le asignó. !"ambia la solución óptima$ 7-1& Explique cómo un cambio en un coeficiente tecnológico puede afectar a la solución óptima de un problema. !or qué un cambio en la disponibilidad de un recurso puede afectar una solución$
Pro(lema&) Q . X
7-1)9a Electrocomp
"orporation
fabrica
dos
productos
eléctricos
acondicionadores de aire y grandes entiladores. El proceso de ensamble *
*
Gota
Q significa que el problema puede resolerse utilizando +6 para Hindo:sI < significa
que el problema puede resolerse con Excel +6 y resolerse con +6 para Hindo:s yJo Excel.
Q X 4 significa que el problema puede
de cada uno es similar en el sentido que ambos requieren una cierta de cantidad de alambrado y taladrado. "ada acondicionador de aire requiere & #oras de alambrado y 2 de taladrado. "ada entilador debe pasar por 2 #oras de alambrado y 1 #ora de taladrado. /urante el siguiente periodo de producción4 están disponibles 2)? #oras de tiempo de alambrado y se pueden utilizar #asta 1)? #oras de tiempo de taladrado. "ada acondicionador de aire endido produce una ganancia de B2. "ada entilador ensamblado puede ser endido con una ganancia de B1. Kormule y resuela esta situación de mezcla de producción de programación lineal para encontrar la me0or combinación de acondicionadores de aire y entiladores que produzcan la ganancia máxima. Cse el método gráfico de punto de esquina. Q . X
7-1
9a administración de Electrocomp se percata de que no incluyó dos
restricciones cr,ticas ea el problema 7-1)3. En particular4 la administración decide que para garantizar un suministro adecuado de acondicionadores de aire de un contrato4 se deben fabricar4 por lo menos4 1? de estos aparatos. "omo Electrocomp incurrió en una sobreoferta de entiladores en el periodo precedente4 la administración también insiste que no se produzcan más de 8? entiladores durante este periodo de producción. Desuela este problema de mezcla de productos para encontrar la nuea solución óptima. Q : X
7-1 Cn candidato a alcalde de un pequeLo pueblo asignó B)?4??? para publicidad de (ltimo minuto en los d,as preios a la elección. 'e utilizarán dos tipos de anuncios radio y teleisión. "ada anuncio de radio cuesta B2?? y llega a un auditorio estimado de &??? personas. "ada anuncio de teleisión4 que cuesta B??4 afectará a unas 7??? personas. *l planificar la campaLa de publicidad4 la directora de ésta desea llegar a tantas personas como sea posible4 y estipuló que se deben utilizar4 por lo menos4
1? anuncios de cada tipo. *demás4 el n(mero de anuncios de radio debe ser por lo menos igual al n(mero de anuncios de teleisión. !"uántos anuncios de cada tipo se deberán utilizar$ !* cuántas personas llegarán$ Q . X
7-17
9a Mutdoor Kurniture "orporation fabrica dos productos4 bancas y
mesas de d,a de campo4 que pueden ser usados en 0ardines de casas y parques. 9a firma cuenta con dos recursos principales sus carpinteros fuerza de mano de obra3 y existencias de madera de pino para construir el mobiliario. /urante el siguiente ciclo de producción4 están disponibles 12?? #oras de mano de obra seg(n un acuerdo con el sindicato. 9a firma también dispone de &?? pies de madera de pino de buena calidad. "ada banca que Mutdoor Kurniture produce requiere ) #oras de mano de obra y 1? pies de maderaI cada mesa de d,a de campo4 #oras de mano de obra y & pies de madera. 9as bancas terminadas redituarán una ganancia de B2? cada una. !"uántas bancas y mesas de d,a de campo deberán producir Mutdoor Kurniture para obtener la ganancia máxima posible$ Cse el método gráfico de programación lineal. Q : X
7-18
El decano de Hestern "ollege of Nusiness debe planificar las ofertas
de cursos de la escuela para el semestre de otoLo. 9as demandas de los estudiantes #acen necesario ofrecer por lo menos &? cursos del licenciatura y 2? de posgrado en el semestre. 9os contratos del profesorado también dictan que se ofrezcan por lo menos ? cursos en total. "ada curso de licenciatura impartido le cuesta a la uniersidad un promedio de B2?? en salarios de profesores4 mientras que cada curso de posgrado cuesta B&???. !"uántos cursos de licenciatura y posgrado deberán ser impartidos en el otoLo de modo que los salarios de los profesores se mantengan en su m,nima expresión$
Q : X
7-1@
6'*
"omputer
"orporation
fabrica
dos
modelos
de
minicomputadoras4 *lp#a ) y Neta . 9a firma emplea cinco técnicos4 que traba0an 1? #oras cada uno al mes en su l,nea de ensamble. 9a administración insiste en que se mantengan las #oras de traba0o es decir4 todas las 1? #oras3 de cada traba0ador durante las operaciones del mes siguiente. 'e requieren2? #oras de mano de obra para ensamblar cada computadora *lp#a ) y 2 para elaborar cada modelo Neta . 6'* desea producir por lo menos 1? *lp#a )s y por lo menos 1 Neta s durante el periodo de producción. 9as *lp#a )s generan '12?? de utilidad por unidad y las Neta s producen B18?? cada una. /etermine el n(mero más rentable de cada modelo de minicomputadora que se debe producir durante el siguiente mes. Q : X
7-2?
Cn ganador de la Oexas 9otto decidió inertir ?4??? al aLo en el
mercado de alores. iensa adquirir acciones de una firma petroqu,mica y una compaL,a de sericios p(blicos. *unque una meta a largo plazo es obtener los máximos rendimientos posibles4 no #a pasado por alto el riesgo que implica la compra de acciones. 'e asigna un ,ndice de riesgo de 1-1? con 1? como el más riesgoso3 a cada una de las dos acciones. El riesgo total del portafolio se encuentra multiplicando del riesgo de cada acción por los dólares inertidos en ella. 9a tabla siguiente proporciona un resumen de la deolución y el riesgo.
*l inersionista le gustar,a maximizar el rendimiento de la inersión4 pero el ,ndice de riesgo promedio de ésta no deberá ser de más de . !"uánto deberá inertir en cada acción$ !"uál es el riesgo promedio de esta inersión$ !"uál es el rendimiento estimado de esta inersión$ 5
Q : X
7-21 Dem,tase a la situación de la Oexas 9otto del problema 7-2?4 y suponga que el inersionista cambió de actitud sobre la inersión y desea poner mayor atención en el riesgo de la inersión. *#ora desea minimizar el riesgo de ésta mientras genere un rendimiento de por lo menos 8F. Mrdene estos datos como un problema de 9 y encuentre la solución óptima. !"uánto deberá inertir en cada acción$ !"uál es el riesgo- promedio de esta inersión$%!"uál es el rendimiento estimado de esta inersión$
Q : X
7-22
Desuele el siguiente de problema de 9 con el método gráfico de
punto de esquina maximizar la utilidad ; )< = )A su0eta a
≤
&< = A
1? ≤
< - 1A
≤
<=&A
7-2&
1?
≥
<4 A Q : X
1?
?
"onsidere esta formulación de 9
maximizar la utilidad ; B< = 2A su0eta a
< = &A
≥
@?
8< = 2A &< = 1A A <4 A
≥ ≥
1? 12?
≤
≥
7? ?
lustre gráficamente la región factible y aplique el procedimiento de l,nea de isocosto para indicar cuál punto de esquina produce la solución óptima. !"uál es el costo.de esta solución$ Q : X
7-2)
9a casa de bolsa NlanP4 9eibo:itz y Heinberger #a analizado y
recomendado dos acciones a un club de inersionistas constituido por profesores uniersitarios. Qstos estaban interesados en factores tales como crecimiento a corto plazo4 crecimiento intermedio y tasas de diidendos. 9os datos sobre cada acción son los siguientes *ACTOR
ACCI+ ,-. LOUI!IAA GA! A/ TRIME1 I!ULATIO PO0ER COMPA"
otencial de crecimiento a corto plazo4 por dólar
.&
.2)
1.7
1.?
)F
8F
inertido otencial de intermedio en los siguientes tres aLos3 por dólar inertido otencial de tasa de diidendos
"ada miembro del club tiene una meta de inersión de 13 una ganancia de no menos de B72? a corto plazo4 23 una ganancia de por lo menos B??? en los siguientes tres aLos y &3 un ingreso por diidendos de por lo menos B2?? al aLo. !"uál es la inersión más pequeLa que un profesor puede #acer para satisfacer estas tres metas$ Q : X
7-2
Hoofer et Koods produce un alimento de ba0as calor,as para perros
obesos. Este producto se elabora con productos de carne y granos. "ada libra de carne cuesta B?.@? y cada libra de grano B?.?. Cna libra del alimento para perros debe contener por lo menos @ unidades de itamina 1 y
1? unidades de itamina 2. Cna libra de carne contiene 1? unidades de itamina 1 y 12 unidades de itamina 2. Cna libra de granos contiene unidades de itamina 1 y @ unidades de itamina 2. Mrdene estos datos como un problema de 9 para minimizar el costo del alimento para perros. !"uántas libras de carne y de granos deberán ser incluidas en cada libra de alimento para perros$ !"uál es el costo y el contenido de itaminas del producto final$ Q : X
7-2
En gran medida4 la producción estacional de aceitunas de un iLedo
de ireo4 Rrecia4 depende de la poda de las ramas. 'i los olios se podan cada dos semanas4 la producción se incrementa. 'in embargo4 el proceso de poda requiere de una cantidad considerablemente mayor de mano de obra que la que ser,a necesaria si se permitiese que los olios crezcan por s, mismos. *demás4 el resultado de la poda es una aceituna de menor tamaLo y una mayor cercan,a entre los olios. 9a producción de 1 barril de aceitunas por medio de poda requiere #oras de mano de obra y 1 acre de tierra. 9a producción de 1 barril de aceitunas por el proceso normal requiere sólo 2 #oras de mano de obra y 2 acres de tierra. Cn aceitunero dispone de 2? #oras de mano de obra y un total de 1? acres para cosec#ar. /ebido a la diferencia de tamaLo de las aceitunas4 1 barril de olias producido por árboles podados se ende en B2?4 mientras que 1 barril de aceitunas ordinarias tiene un precio en el mercado de B&?. El aceitunero #a decido que por la demanda incierta4 se deberán producir no más de )? barriles de aceitunas de árboles podados. Cse la 9 gráfica para encontrar a3 la utilidad máxima posible. b3 la me0or combinación de barriles de aceitunas de árboles podados y no podados. c3 el n(mero de acres que el aceitunero deberá dedicar a cada
proceso de cosec#a. Q : X
7-27
"onsidere las cuatro formulaciones de 9 siguientes. "on un método
gráfico4 determine a3
qué formulación tiene más de una solución óptima.
b3
qué formulación es ilimitada.
c3
qué formulación no tiene solución factible.
d3
qué formulación es correcta como está.
Kormulación 1
Kormulación &
maximiza 1?<1 = 1?<2 ≤
su0eta a 2<1 2<1 = )<2
1?
≤
1
≤
)<2 ≥
<1
maximizar &<1 = 2<2
<1
≥
2
2<2
≥
8
≤
)8
Kormulación )
maximizar <1 = 2<2 <1
≥
<1 = <2
8
Kormulación 2 su0eta a
su0eta a
maximizar &<1 = &<2
≤
1
2<2
≤
<1 = 2<2
su0eta a )<1 = <2 2 ≤
≤
)<4 = 2<2 2
12 ≥
&<2 2<1
≥
2
&
Q . X
7-28 Rrafique el problema de 9 siguiente e indique el punto de solución óptima maximizar la utilidad ; B&< = B27 su0eta a
2< = A
≤
1?
2< = &A a3
≤
&??
!"ambia la solución óptima si la utilidad por unidad de < cambia a B).?$
b3 Q . X
!+ué sucede si la función de utilidad #ubiese sido deB&<=B&7$
7-2@ *nalice gráficamente el siguiente problema maximizar la utilidad ; B)< = BA su0eta a
< = 2A
≤
< = )7
8 #oras ≤
2) #oras
a3
!"uál es la solución óptima$
b3
'i la primera restricción se modifica a < = &7> 8 !cambia la región factible o la solución óptima$
Q : X
7-&? Examine la formulación de 9 del problema.7-2@. 9a segunda restricción del problema dice < = )7
≤
2) #oras tiempo disponible de la
máquina 23 'i la firma decide que se pueden asignar & #oras a la maquina 2 o sea4 12 #oras adicionales3 a un costo adicional de B1?4 !deberá agregar las #oras$
Q : X
7-&1 "onsidere el siguiente problema de 9 maximizar la utilidad ; < = A su0eta a
2< = A
≤
2< = &A <4 A
≤
12? ≤
2)?
?
a3
!"uál es la solución óptima de este problema$ Desuélalo gráficamente.
b3
'i un aance técnico eleó la utilidad por unidad de < a B84 !afectar,a este aumento la solución óptima$
c3
En lugar de un incremento en el coeficiente de utilidad < a B84 suponga que la utilidad fue sobreestimada y sólo será de B&. !"ambia la solución óptima$
Q : X
7-&2 "onsidere la formulación de 9 que se presentó en el problema 7-&1. 'i la segunda restricción cambia de 2< = &7
≤
2)? a 2< = )7
!qué efecto tendrá este cambio en la solución óptima$
Re&%ltado& del pro(lema 7233
≤
2)?4
Linear Programming Re&%lt& X Maximize Constraint 1 Constraint 2 Solution"#
Y 5. 2. 2. 0.
RHS 6. 1. . 60.
<= <=
Dual
120. 2!0. 510.
0.75 1.75
+o,er -oun' !. 2.5 +o,er -oun' 0. 120.
//er -oun' 12. 7.5 //er -oun' 2!0. 60.
Ranging $ro%lem 7" Solution Re'u(e' )ri*inal &alue Cost &al 0. 0. 5. 60. 0. 6. Dual Sla(Sur/l )ri*inal &alue us &al 0.75 0. 120. 1.75 0. 2!0.
&aria%le X Y Constraint Constraint 1 Constraint 2 Q : X
7-&& 9os resultados de computadora que se presentan arriba son del problema 7-&1. Sselos para responder las siguientes preguntas. a3
!"uánto se podr,a incrementar o disminuir la utilidad de < sin cambiar los alores de < y A en la solución óptima$
b3
'i se incrementara el lado derec#o de la restricción 1 en 1 unidad4 !cuánto se incrementar,a la utilidad$
c3
'i el lado derec#o de la restricción 1 se incrementara en 1? unidades4 !cuánto se incrementar,a la utilidad$
Q : X
7-&) 9os resultados de computadora siguientes son de un problema de mezcla de productos y tres restricciones de recursos. Sselos para responder las siguientes preguntas. 'uponga que4 en cada caso4 se desea maximizar la utilidad. a3
!"uántas unidades del producto 1 y del producto 2 se deberán
producir$ b3
!"uánto de cada uno de los tres recursos se está utilizando$
c3
!"uáles son los precios duales de cada recurso$
d3
'i pudiera obtener más de uno de los recursos4 !cuál deber,a obtener$ !"uánto estar,a dispuesto a pagar por ello$
e3
!+ué le pasar,a a la utilidad si4 con los resultados originales4 la administración decidió producir más de una unidad del producto 2$
Re&%ltado& del pro(lema 7234 Linear Programming Re&%lt& X1 Maximize Constraint 1 Constraint 2 Constraint Solution"#
X2 50. 1. . 2. 25.
RHS 20. 2. . 1. 0.
<= <= <=
Dual
!5. 7. 50. 13250.
0. 0. 25.
+o,er -oun' !0. "4nnit +o,er -oun' 25. 75. 0.
//er -oun' 4nnit 25 //er -oun' 4nnit 4nnit 5.
Ranging &aria%le X1 X2 Constraint Constraint 1 Constraint 2 Constraint
$ro%lem 7"! Solution Re'u(e' )ri*inal &alue Cost &al 25. 0. 50. 0. 5. 20. Dual Sla(Sur/l )ri*inal &alue us &al 0. 20. !5. 0. 12. 7. 25. 0. 50.
Re&%ltado& del pro(lema 7235 Linear Programming Re&%lt& X Maximize Constraint 1 Constraint 2
X2 . 1. 1.
RHS 5. 1. 0.
<= <=
Dual
10. 6.
5. .
Solution"#
6.
!.
6.
Ranging $ro%lem 7"5 Solution Re'u(e' )ri*inal &alue Cost &al 6. 0. . !. 0. 5. Dual Sla(Sur/l )ri*inal &alue us &al 5. 0. 10. . 0. 6.
&aria%le X1 X2 Constraint Constraint 1 Constraint 2
Q ⋮ X
7-&
+o,er -oun' 5. 0. +o,er -oun' 6. 0.
//er -oun' 4nnit . //er -oun' 4nnit. 10.
Desuela gráficamente el siguiente problema
maximizar la utilidad ; 8< 1 = <2 su0eta a
<1 = <2 < <1 4 <2
≤
≤
1?
≥
?
a3
!"uál es la solución óptima$
b3
"ambie el lado derec#o de la restricción 1 a 11 en lugar de 1?3 y resuela el problema. !"uánto se incrementar,a la utilidad como consecuencia de este cambio$
c3
"ambie el lado derec#o de la restricción 1 a en lugar de 1?3 y resuela el problema. !"uánto disminuir,a la utilidad como consecuencia de este cambio$ Examine la gráfica y explique qué suceder,a si el alor del lado derec#o se reduce por deba0o de .
d3
"ambie el alor del lado derec#o de la restricción 1 a en lugar de 1?3 y resuela el problema. !"uánto disminuir,a la utilidad con respecto a la original a consecuencia de este cambio$
e3
Ctilizando los resultados de computadora que se dan en esta página4 !cuál es el precio dual de la restricción 1$ !"uál es el l,mite inferior$
f3
!+ué conclusiones se pueden sacar de estos resultados con respecto a los l,mites de los alores del lado derec#o y el precio dual$
Q ⋮ X
7-&
'erendipity1
9os tres pr,ncipes de 'erendip Emprendieron un ia0e. Go pod,an llear muc#o pesoI 6ás de &?? libras los #icieron acilar. /ecidieron llear pequeLas porciones. "uando regresaron a "eilán /escubrieron que sus proisiones estaban a punto de desaparecer "uando4 para su regoci0o4 el pr,ncine Hilliam encontró Cna pila de cocos en el suelo 5"ada uno lleará ? rupias54 di0o el pr,ncipe Dic#ard con una mueca de aprobación "uando casi se tropieza con una riel de león. 5"uidado54 exclamó el pr,ncipe Dobert con alegr,a "uando diisó más pieles de león ba0o un árbol. 5Estas alen más de &?? rupias cada una 'i sólo pudiéramos lleárnoslas #asta la playa.5 "ada piel pesaba 1 libras y cada coco cinco4 ero cargaron con todo en un santiamén. El bote de regreso a la isla era muy pequeLo 1 pies c(bicos de capacidad de carga4 eso era todo. "ada piel de león ocupaba un pie c(bico 6ientras que oc#o cocos ocupaba- el mismo espacio. "on todo estibado se #icieron a la mar 9a palabra serendipity fue acuLada por el escritor inglés Torace Halpole basado en un cuento de #adas titulado 9os tres pr,ncipes de 'erendip. 'e desconoce el origen del problema. 1
A en el trayecto deb,an calcular a cuánto podr,a ascender su nuea riqueza. 5UEurePaV5 gritó el pr,ncipe Dober.4 5nuestra riqueza es tan grande +ue no existe otra forma de regresar en este estado. "ualquier otra piel o coco que pudiéramos #aber tra,do *#ora nos #ar,an más pobres. A a#ora que sé cuántos son cinco. 9e escribiré a mi amigo Toracé en nglaterra y con toda seguridad 'ólo él podrá apreciar nuestra serendipity5. Kormule y resuela 'erendipity mediante 9 gráfica para calcular 5cuál podr,a ser su nuea riqueza5. 9os problemas 7-&74 7-&84 7-&@ y 7-)1 ponen a prueba su #abilidad para formular problemas de 9 con más de dos ariables. Go pueden ser resueltos gráficamente pero le brindarán la oportunidad de plantear un problema más grande. Q ⋮ X
7-&7El Keed%G '#ip Danc# engorda ganado páralos gran0eros locales y lo en,a a los mercados de carne de Wansas "ity y Mma#a. 9es propietarios del ranc#o desean determinar las cantidades de alimento para ganado que deben comprar de modo que se satisfagan los estándares nutricionales m,nimos y4 al mismo tiempo4 se minimicen los costos totales de alimentación. 9a mezcla de aumentos se puede componer de los tres granos que contienen los siguientes ingredientes por libra de alimento IGRE/IETE
* N " /
ALIMETO ,O6A!. ME6CLA 1 ME6CLA " ME6CLA 6 & 2 ) 2 & 1 1 ? 2 8 )
El costo por libra de las mezclas <4 A y X son B24 B) y B2.?4 respectiamente. El requerimiento m,nimo por aca por mes es de ) libras del ingrediente *4 libras del N4 1 libra del " y 8 libras del /.
El ranc#o enfrenta una restricción adicional pese a cualquier circunstancia4 sólo puede obtener ?? libras de la mezcla X per mes del proeedor de alimentos. "omo por lo general #ay 1?? acas en el Keed %G '#ip Danc# en un memento dado4 esto significa que no se puede contar con más de libras de la mezcla X para usarse en la alimentación de cada aca por mes.
Q : X
a3
Kormule un problema de 9 utilizando la información proporcionada.
b3
Desuela el problema con alg(n programa computacional de 9.
7-&8
Heinberger Elecronics
"orporation fabrica
cuatro
productos
altamente técnicos que ende a firmas aeroespaciales que tienen contratos con la G*'*. *ntes de ser embarcado4 cada uno de los productos debe pasar a traés de los siguientes departamentos alambrado eléctrico4 taladrado4 ensamble e inspección. El requerimiento de tiempo en #oras por cada unidad producida y su alor lucratio se resumen en la tabla siguiente
UTILI/A/ POR UI/A/ ,-.
/EPARTAMETO PRO/UCTO ALAM#RA TALA/R E!AM#L
I!PECCI+
/O
A/O
E
?.
?.&
?.2
?.
@
<68@7
1.
1
)
1
12
OD2@
1.
2
1
?.
1
ND788
2
&
2
?.
11
9a producción disponible en cada departamento cada mes y el requerimiento de producción m,nima mensual para cumplir con los contratos son los siguientes /EPARTAME TO
CAPACI/A/ ,ORA!.
*lambrado
14???
Oaladrado
174???
I8EL /E PRO/UCTO
PRO/UCCI+ M9IMO
1?
<68@7
1?? &??
Ensamble
24???
OD2@
nspección
124???
ND7'8
)??
El gerente de producción tiene la responsabilidad de especificar los nieles de producción de cada producto para el mes entrante. *y(delo a formular es decir4 establecer las restricciones y función ob0etio3 el problema de Heinberger mediante 9. Q ⋮ X
7-&@
Cn fabricante de art,culos deportios que está desarrollando un
programa de producción de dos nueos tipos de raquetas para raquetbol recibió un pedido de 18? del modelo estándar y @? del modelo profesional que debe ser entregado al final de este mes. 'e recibió otro pedido de 2?? unidades del modelo estándar y 12? del modelo profesional4 pero éste no tiene que ser entregado sino #asta finales del mes siguiente. 9a producción en cada uno de los dos meses puede realizarse en tiempo normal o tiempo extra. En el mes en curso4 una raqueta estándar puede ser producida a un costo de B)? con tiempo normal4 y un modelo profesional se puede ser fabricar a un costo de '? en tiempo normal. El tiempo extra elea el costo de estos modelos a '? y B7?4
respectiamente. /ebido a un nueo contrato de traba0o para el mes siguiente4 todos los costos se incrementarán en 1?F a fines de este mes. El n(mero total de raquetas que puede ser producido en un mes en tiempo normal es 2&? y 8? raquetas adicionales pueden ser producidas con tiempo extra cada mes. /ado que el pedido mayor se entregará a finales del mes siguiente4 la compaL,a planea producir algunas raquetas extra este mes y almacenarlas #asta finales del mes siguiente. El costo de conserar las raquetas en el inentario durante un mes se estima en B2 por raqueta. "on estos datos formule un modelo de 9 para minimizar el costo. Q ⋮ X
7-)?
6odem "orporation of *merica 6"*3 es el más grande productor de
dispositios de comunicación por 6M/E6 para microcomputadoras. 6"* endió @??? unidades del modelo regular y 1?4)?? del modelo 5inteligente5 este septiembre. 'u declaración de ingresos del mes se muestra en la tabla de la página siguiente. 9os costos en que se incurrió son t,picos de meses preios y se espera que permanezcan en los mismos nieles en el futuro próximo. 9a firma debe enfrentar arias restricciones durante la preparación de su plan de producción de noiembre. En primer lugar4 #a experimentado una gran demanda y no #a podido mantener un inentario significatio en existencia. 'e espera que esta situación no cambie. En .segundo4 lugar4 la firma está localizada en un pequeLo pueblo de o:a donde no #ay mano de obra adicional disponible. 'in embargo4 los traba0adores pueden ser cambiados de un departamento de producción de un modem a otro. ara producir los @??? modems normales en septiembre se requirieron de ??? #oras de mano de obra directa. 9os 1?4)?? modems inteligentes absorbieron 1?4)?? #oras de mano de obra directa.
Ta(la del pro(lema 724
/eclaración de ingre&o& de MCA del me& ;%e termina el 3 de &eptiem(re MO/EM! ORMALE!
Zentas 6enos /escuentos /eoluciones Deemplazos por garant,a Zentas netas "ostos de entas 6ano de obra directa 6ano de obra indirecta "osto de materiales /epreciación "osto de entas Ctilidad bruta Rastos de entas y generales Rastos generales-ariables Rastos generales-fi0os ublicidad "omisiones sobre entas "osto total de operación ngreso antes de impuestos mpuestos sobre la renta 2F3 ngreso neto
MO/EM! ITELIGETE!
)?4??? 1?4??? 124??? )??? )2)4???
)?4??? 14??? @?? 2?? B1&4???
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&4??? )?4??? 24??? ?4??? B1?4??? '18.8'? )4)7? B1&@4)1?
En tercer lugar4 6"* enfrenta otro problema que afecta al modelo de modems inteligentes. 'u proeedor de componentes sólo puede garantizar 8??? microprocesadores para entrega en noiembre. "ada uno de estos modem requiere uno de estos microprocesadores de fabricación especial. Go están disponibles otros proeedores a corto plazo. 6"* desea4 planificar una mezcla óptima de los dos modelos de modem para producirlos en noiembre para maximizar sus utilidades. a3 Kormule4 con los datos de septiembre4 el problema de 6"* como un programa lineal. b3 Desuélalo gráficamente. c3 Exponga las implicaciones de su solución recomendada.
Q : X
7-)1
Oraba0ando con qu,micos del Zirginia Oec# y de la Cniersidad
Reorge Has#ington4 el contratista paisa0ista Wennet# Rolding mezcló su propio fertilizante4 llamado 5Rolding Rro:54 compuesto por cuatro comple0os qu,micos4 "-&?4 "-@24 /-21 y E-11. * continuación se indica el costo por libra de cada comple0o COMPLE
CO!TO POR LI#RA -
"-&? "-@2 /-21 E-11
?.12 ?.?@ ?.11 ?.?)
9as especificaciones de Rolding Rro: son las siguientes 13 E-11 debe constituir por lo menos 1F de la mezclaI 23 "-@2 y "-&? 0untos deben constituir por lo menos )F de la mezclaI &3 /-21 y "-@2 0untos pueden constituir no más de &?F de la mezcla4 y )3 Rolding Rro: se empaca y ende en sacos de 2? libras. a3 Kormule un problema de 9 para determinar qué mezcla de los cuatro compuestos permitirá a Rolding minimizar el costo de un saco de ? libras del fertilizante. b3 Desuélalo con computadora para encontrar la me0or solución.
