MOVIMIENTO OSCILATORIO
Fundamento teórico
Todos los cuerpos, de una u otra manera, se deforman al interactuar con otros cuerpos. Esta transformación se debe fundamentalmente a que las fuerzas ejercidas sobre cualquier objeto, de alguna manera cambian sus estructuras moleculares o cristalinas. Cuando dejan de actuar las fuerzas externas, los cuerpos en parte recuperan su forma original y mantienen algo de la las s deformacio ion nes sufrid ida as, sin embargo, para estudia iarr el compo com porta rtamie miento nto de los ob objet jetos os en re relac lación ión co con n la re recup cuper erac ación ión de sus estr es truc uctu tura ras s lu lueg ego o de un una a in inte tera racc cció ión, n, se ha es esta tabl blec ecido ido la si sigu guie ient nte e clasificación: se denominan elásticas, aquellas sustancias que componen a los cuerpos de modo que cuando sobre ellos actúa una fuerza externa, plásti sticas cas o pred pr edom omina ina la te tend nden enci cia a a re recu cupe pera rarr su fo form rma a or origi igina nal; l; y plá inelásticas so son n no nomb mbra rada das s aq aque uell llas as su sust stan anci cias as qu que e co comp mpon onen en a lo los s cuerpos de manera que la tendencia más sobresaliente que presentan es a mantener la deformación luego de una interacción. Ejemplos de cuerpos elásticos son los compuestos por caucho, acero, vidrio; mientras que son cuerpos inelásticos los fabricados de plastilina, arcillas, y cobre entre otros. Cuando sobre un cuerpo se ejerce una fuerza, esta acción se transmite a la estr es truc uctu tura ra cr cris ista tali lina na o mo mole lecu cula larr de la su sust stan anci cia a qu que e lo co comp mpon one, e, modificando la posición de los átomos, a su vez, la estructura responde con una fuerza igual y contraria, lo cual podría interpreta e microscópicamente como e l cumplimiento cumplimiento de la tercera tercera ley de Newton (acción (acción y reacción) reacción) La resp re spue uest sta a de la las s su sust stan anci cias as a la ac acci ción ón de fu fuer erza za s ex exte tern rnas as,, qu que e se manifiesta como la tendencia a recuperar la forma original, es a lo que se denom den omina ina fue fuerza rza de res restit tituci ución ón y tie tiene ne un o rig rigen en ele electr ctrom omagn agnéti ético co . El primero en estudiar las fuerzas elásticas o de restitución fu e Robert Hook e (1635 -1703 ), llegando a establecer que éstas siempre son proporcionales a la de formación y a una constante que depende del material , lo cual se expresa matemáticamente como :
F=-kx El signo me nos indica que la fuerza de restitución siempre se opone a la que se realiza sobre el cuerpo para deformarlo. Como todo cuerpo es en parte elástico y en parte plástico, cuando la fuerza externa que se aplica es mu y grande, también lo serán las deformaciones y por lo tanto la ley de Hooke deja de cumplirse, porque se sobrepasan sobrepasan los límites lí mites de elasticidad de la sust sustanci ancia, a, lo que impone que para utilizar utilizar esta ley confiablemen confiablemente, te, las defo de form rmac acio ione nes s qu que e se pr prod oduz uzca can n en lo los s cu cuer erpo pos s el elás ásti tico co s de debe ben n se serr pequeñas. La ley de Hooke tambié ién n puede ser comprobada
experimentalm experime ntalmente ente con rela relativa tiva facilidad. facilidad. Sea x=0 la posic posición ión dond donde e el cuerpo no recibe ninguna fuerza (“posición de equilibrio”), si éste se ha comprimid comp rimido o inicia inicialmen lmente te un a dist distancia ancia x=-A, pasará pasará por la posic posición ión de equilibrio y se moverá aproximadamente la misma distancia X=A, pero al lado opuesto de la posición x =0. El movimiento se repetirá tantas veces más, cuanto más se pueda disminuir la fricción entre el cuerpo que se mueve mue ve y la supe superf rficie icie horizo hor izonta ntall , a este este mo movim vimien iento to se le le denom denomina ina “oscilatorio”.
El movimie movimiento nto osci oscilato latorio rio que que se obser observa va en en un puede ser de tres tipos:
sistema siste ma masa masa reso resorte rte
a) Movi Movimien miento to osci oscilator latorio io no amort amortiguad iguado. o. Se pr prod oduc uce e cu cuan ando do la fricc fr icción ión ent entre re la ma masa sa y la sup superf erficie icie se pue puede de co consi nsider derar ar nul nula. a. A es este te movimiento se le llama movimiento armónico simple (M.A.S.). b) Movi Movimien miento to osci oscilatori latorio o amort amortigua iguado do . Es to todo do ti tipo po de mo movi vimi mien ento to oscilatorio real, para el cual no se puede despreciar la fu erza de fricción. El movimien mov imiento to amo amortigu rtiguado ado puede ser de tres tipo s: 1. Sobr Sobre e amo amortigu rtiguado, ado, cuando el objeto oscilante no llega a oscilar, sino que cuando se suelta ocupa lentamente lentamente su posi posición ción de equil equilibrio ibrio.. Suced Sucede e cuan cuando do las fuerzas de rest re stit ituc ució ión n so son n má más s pe pequ queñ eña as qu que e la las s de fr fric icci ción ón;; 2. Cr Crít ític icam amen ente te amortiguado, cuando la masa intenta oscila r, puede que pase una vez por la posición de equilibrio pero la tendencia es detenerse en dicha posición. Ocurre cuando la s fu erzas de restitución y las de fricción son del mismo orden or den.. Y 3. Sub am amor ortigu tiguad ado, o, cua cuando ndo el cue cuerpo rpo os oscila cilante nte rea realiz liza a va varia rias s oscila os cilacio ciones nes,, la fr frecu ecuenc encia ia na natur tural al del mov movimi imient ento o se con conse serva rva pe ro la amplit am plitud ud dis dismin minuye uye len lenta tamen mente te en el tie tiempo mpo has hasta ta que fin finalm alment ente e se detiene. Se produce cuando las fuerzas de restitución son mucho mayores que las de fricción. c) Movimiento oscilatorio forzado. Se produce cuando a un movimiento oscila os cilato torio rio sub am amor ortig tiguad uado o se le sum suminis inistra tra sis sistem temát ática icamen mente te cie cierta rta energía por un agente externo para compensar la pérdida por causas de la fricción. Un ejemplo de este tipo de movimiento lo constituye un niño en un columpio al que sistemática mente hay que empujarlo para que no cese su movimiento.
Movimiento armónico simple: Las condiciones para que este sistema oscile con co n mo movi vimi mien ento to ar armó mónic nico o si simp mple le so son: n: 1. Un re reso sort rte e qu que e po pose sea a un una a constante de elasticidad que le permita realizar muchas oscilaciones. 2. Una masa que pueda ser considerad a como un cuerpo puntual. 3.- Que no existen exis ten agent agentes es que pro provoque voquen n efec efectos tos disip disipativ ativos, os, es decir decir,, se despr desprecia ecia toda fuerza de fricción. En todos los casos, la fu erza está dirigida hacia la posición de equilibrio y se l lama fuerza recuperadora. Cuando el objeto se encuentra a la izquierda de la posición de equilibrio, la fuerza recuperadora
está dirigid a hacia la derecha. Y cuando el objeto se encuentra a la derecha der echa de la posición de equilibrio, la fuerza recuperadora está dirigida hacia la izquierda. Se puede encontrar la ecuación del movimiento de este sistema utilizando la segunda ley de Newton. En efecto, analizando el diagrama de cuerpo libre para la masa oscilante y utilizando la segunda ley de Newton se obtiene:
Σ F=ma=-kx Dividiendo toda la ecuación entre m, se obtiene:
a+ km x= 0 Haciendo las sustituciones:
ω₀² = k m
y arreglando se llega a:
a+
ω₀² x =0 Que es la ecuación diferencial, cuya solución, resulta ser:
X = A sen [ ω₀t + ф₀ ]
… (1)
Expres Expr esió ión n qu que e re reci cibe be el no nomb mbre re de ec ecua uaci ción ón de dell mo movi vimi mien ento to de un una a partícula animada de movimiento armónico simple. El movimiento armónico simple es un modelo, difícil de lograr en la práctica, porque no es posible anul an ular ar to toda das s la las s fu fuer erza zas s de fr fric icci ció ón qu que e ac actú túan an so sobr bre e un cu cuer erpo po en movimiento, sin embargo, es muy útil para comprender los demás tipos de movim mo vimien ientos tos os oscila cilator torios ios que apa apare recen cen en la nat natura uralez leza. a. Com Como o er era a de esperar espe rarse, se, la ecua ecuación ción gene general ral del mov movimien imiento to arm armónico ónico simp simple le obte obtenida nida (1), tiene dos constantes, A: denominada amplitud y ϕ₀ : llamada constante de fase, ambas dependientes de las condiciones iniciales. Aparece también
ω
la constante ω cuyo valor queda determinado por =√km y relacionada con el periodo T de la l a oscilación a través de la conocida expresión:
ω = 2π T
, por lo que
T= 2π√mk
Movimiento armónico amortiguado:
Para obtener este tipo de movimiento el sistema masa resorte debe cumplir con las siguientes condiciones:
1. El resorte puede tener cualquier constante de restitución. 2. La fuerza de rozamiento se concentra entre la masa y la superficie por la que desliza y se tomará proporcional a la velocidad. 3. La mas masa a se considera considera como un cuer cuerpo po puntual. Utilizando Utilizando de nuevo la segunda ley de Newton, y de acuerdo al análisis de cuerpo libre de la masa oscilante se obtiene:
∑F = ma= -bv –kx ma +bv +kx=0 En este caso todas las fuerzas de fricción se han concentrado en la masa oscilante (en realidad también hay fricción con el aire y entre las espiras del resorte), y se ha tomado como: fr −= bv Dividiendo toda la ecuación entre m, se obtiene:
a +bm v +
km
x =0
Como en la ecuación diferencial del MAS, por comodidad, se hace:
ω₀ =k m
…y además
2Y = b m
De modo que la l a ecuación diferencial anterior puede ser escrita como:
a+ 2y v +
km
x =0
La cual pued puede e solu soluciona cionarse rse por el méto método do de los oper operado adores, res, formando formando la ecuación característ característica: ica:
λ²+2yλ+ω₀²=0 Cuyas soluciones son:
λ
= -y
=-2y±4y2-4ω₀²2
±√y²-ω₀²
Las posibilidades de valores para el operador λ son los siguientes:
a)
- ω₀²>0
y² Lo que implica que las soluciones de la ecuación son reales, negativas y diferentes, por lo tanto la solución es del tipo:
x= C₁
+ C₂
e-λ₁t
e-λ₂t
Esta so Esta soluc lució ión n es un una a su suma ma de ex expo pone nenc ncia iale les s de decr crec ecie ient ntes es,, in indic dican an un movi mo vimi mien ento to qu que e ac acer erca ca la ma masa sa al pu punt nto o de eq equi uili libr brio io ac acer ercá cánd ndos ose e asintótica asint óticament mente e al eje de los tiem tiempos, pos, pero nunca lo llega a tocar, a este tipo ti po de mo movi vimi mien ento to se le de deno nomi mina na mo movi vimi mien ento to osc scil ilat ator orio io so sobr bre e amortiguado.
b) y²- ω₀² =0; De donde se sigue que las raíces de la ecuación características son reales e iguales λ₁ λ₂ λ₃ =-λ, por lo tanto la solución de la ecuación diferencial es de la l a forma:
x= C₁
+ C₂
e-λ₁t
te-λ₂t
Lo qu que e gr gráf áfic ica ame ment nte e se co corr rres espo pond nde e co con n la su supe perp rpos osic ició ión n de un una a exponencial decreciente como en el caso anterior, más otra exponencial decreciente multiplicada linealmente por la variable, por lo tanto la curva tiende mucho más rápidamente a la posición de equilibrio, a este tipo de movimiento se le llama críticamente amortiguado.
c)
- ω₀² <0;
y² En este caso existen raíces imaginarias para el operador λ; entonces, por razones de comodidad arreglemos arreglemos el radical de la solución de la ecuación de segundo grado así:
λ=-y±±√y²-ω₀² = - λ±√-1ω02-y2 =-y± iω Donde
ω=
√ω02-y²
>0
Por lo que la solución de la ecuación diferencial tiene la forma:
X= =
[C₁ sen (ωt)+C2cos (ωt)]
e-λ
Haciendo C₁=A cosφ₀ y C₂= Asen φ₀, se obtiene definitivamente que:
X= A
e-λ
sen [ωt + φ₀
]
De do dond nde e pu pued ede e de dedu duci cirs rse e qu que e en es este te ca caso so la ma masa sa os osci cila la,, pe pero ro su amplitud va disminuyendo exponencialmente. A este tipo de movimiento se le llama oscilatorio sub amortiguado, y es el movimiento que se observa realmente en cualquier sistema sistema oscilator oscilatorio. io. El movimiento sub sub amortiguado de un sistema masa resorte horizontal será el fenómeno que se estudiará experimentalmente en esta actividad de laboratorio. Si en la oscilación sub amor am ortig tiguad uada a de un sis sistem tema a ma masa sa res resor orte, te, en el ins instan tante te t1 la má máxim xima a elongación de la masa viene dada por la expresión:
X= A
e-λ
sen [ωt + φ₀
]
Al cabo de un período T, o sea cuando se repitan las características físicas en el sistema oscilante, (no los valores, porque la amplitud ejemplo va dism di sminu inuye yend ndo, o, la en ener ergí gía a ta tamb mbié ién, n, et etc. c.), ), la se sepa para raci ción ón de dell es esta tado do de equilibrio será otro máximo, pero de menor valor, y vendrá dado por la expresión:
x= A
e-λ(t1+T)
sen [ω (t₁+T )+ φ₀
]
Si dividimos estas últimas dos expresiones, teniendo en cuenta que los valores del seno se repiten periódicamente se obtiene que: x₁x₂
=
eλT
Esto indica, que al cabo de un período, cuando las condiciones físicas del sistema son iguales cualitativamente, cualitativamente, la amplitud de la oscilación resulta ser eλT veces menor, lo que quiere decir que la amplitud de las oscilaciones decrece en progresión geométrica al el tiempo. La expresión exponencial expresa la rapidez con que se amortiguan las oscilaciones. Al logaritmo de esta expresión se le conoce como decremento logarítmico y se representa por la letra griega
δ=
δ, o sea que:
lnx₁x₂
γ=
=
lneλT=
yT
,
Si se tiene en cuenta que b2m a partir del decremento logarítmico, logarítmico, midien mid iendo do la má máxim xima a elo elonga ngació ción n en un per períod íodo o de os oscila cilació ción, n, se pue puede de calcular el valor de b.
EJERCICIOS
1 - Una masa de 1 kg cuelga de un resorte que se ha fijado al techo (figura X.13). Si la constante de restitución del resorte (k) es de 1000 N/m, y la masa se pone a oscilar de manera que se mueve 2 cm desde su parte más baja hasta la más alta: a) Determine lo que se estira el resorte cuando se le cuelga la masa. b) Escriba la ecuación del movimiento del sistema suponiendo que no existen fuerzas disipativas y que el movimiento comenzó a observarse
cuando la masa se encontraba en reposo en la parte más alta de su trayectoria. c) Si se aumenta el doble la masa, ¿en qué proporción cambiará el período de oscilación del sistema?.
La masa esférica de un péndulo de 2 metros de longitud se separa 8 centímetros de su posición de equilibrio y se deja oscilar libremente. Si la fricción del aire con el sistema oscilante puede despreciarse, despreciarse, el hilo es inextensible y el diámetro de la esfera es de 1 cm: 2 -
a) Explicar Explicar por qué es posible posible conside considerar rar al sistema sistema oscilant oscilante e como un péndulo simple o matemático. b) Determinar el período de oscilación del sistema. c) Escribir las ecuaciones del movimiento de la masa oscilante: x=x(t) y (t), suponiendo que en el instante inicial la masa estaba separada 8 cm de su posición de equilibrio en el sentido positivo del movimiento.
