INGENIERIA DE INDUSTRIAS ALIMENTARIAS
BIOQUÍMICA DE LOS ALIMENTOS
GIULIANA RONDÓN SARAVIA
TÉCNICAS DE SEPARACION DE PÉPTIDOS Y PROTEINAS CRISTHEL TUNY ZUNIGA
AREQUIPA – PERÚ 2013
Si una fuerza cambia en el tiempo, la velocidad y la aceleración del cuerpo también cambiarán en el tiempo. Un tipo de movimiento particular ocurre cuando sobre el cuerpo actúa una fuerza que es directamente proporcional al desplazamiento del cuerpo desde su posición de equilibrio. Si dicha fuerza siempre actúa en la dirección de la posición de equilibrio del cuerpo, se producirá un movimiento de ida y de vuelta respecto de esa posición, por eso a estas fuerzas se les da el nombre de fuerzas de restitución, porque tratan siempre de restituir o llevar al cuerpo a su posición original de equilibrio. El movimiento que se produce es un ejemplo de lo que se llama movimiento periódico u oscilatorio. Ejemplos de movimientos periódicos son la oscilación de una masa acoplada a un resorte, el movimiento de un péndulo, las vibraciones de las cuerdas de un instrumento musical, la rotación de la Tierra, las ondas electromagnéticas tales como ondas de luz y de radio, la corriente eléctrica en los circuitos de corriente alterna y muchísimos otros más. Por ello uno de los movimientos más importantes, de los observados en la naturaleza, es el movimiento oscilatorio o vibratorio. De todos los movimientos oscilatorios, el más importante es el movimiento armónico simple (MAS), debido a que además de ser
el de más sencilla descripción matemática, es una aproximación muy buena de muchas oscilaciones presentes en la naturaleza.
¿QUÉ ES EL MOVIMIENTO OSCILATARIO? Es un movimiento en torno a un punto de equilibrio estable. Los puntos de equilibrio mecánico son, en general, aquellos en los cuales la fuerza neta que actúa sobre la partícula es cero. Si el equilibrio es estable, un desplazamiento de la partícula con respecto a la posición de equilibrio (elongación) da lugar a la aparición de una fuerza restauradora que devolverá la partícula hacia el punto de equilibrio. Una partícula oscila cuando se mueve periódicamente respecto a una posición de equilibrio Si estudiamos el movimiento de un número de objetos podemos quizás contestar a la pregunta. Si una masa se suspende a partir de un resorte, se tira hacia abajo y después se suelta, se producen las oscilaciones EJEMPLOS El balanceo de una bolita en una pista curvada, la bolita oscila hacia delante y atrás de su posición de reposo.
Una masa suspendida del extremo de una cuerda (un péndulo simple), cuando la masa se desplaza de su posición de reposo y se la suelta se producen las oscilaciones.
Un carrito atado entre Una regla afianzada dos soportes en un con abrazadera en plano horizontal por un extremo a un medio de resortes banco oscilará oscilará cuando el cuando se presiona carrito se desplaza de y después se suelta su posición de reposo el extremo libre. y después se suelta.
¿Qué hacemos en éstos y otros ejemplos, para conseguir las oscilaciones? Las masas se sacan de su posición de reposo y después se sueltan. Una fuerza restauradora tira de ellas y parecen ir más allá de la posición de reposo. Esta fuerza restauradora debe existir de otra manera ellas no se moverían cuando son soltadas. Porque hay una fuerza entonces debemos tener una aceleración. La fuerza de restauración se dirige siempre hacia la posición de equilibrio central la aceleración se dirige así siempre hacia la posición de equilibrio central. Podemos determinar el gráfico distancia - tiempo para un objeto oscilante tomando una fotografía estroboscópica para un péndulo o usando el Sonic Ranger del laboratorio. Se obtiene su desplazamiento máximo a un lado y otro de la posición de reposo.
La figura arriba muestra los gráficos distancia – tiempo. Algunas oscilaciones parecen tener la misma característica a la tomada al mismo tiempo para cada oscilación completa. Tales osciladores se conocen como isócronas, y mantienen esta característica constante del tiempo sin importar los cambios de la amplitud debido al amortiguamiento.
OSCILACIONES SINUSOIDALES Se dice que un sistema cualquiera, mecánico, eléctrico, neumático, etc. es un oscilador armónico si cuando se deja en libertad, fuera de su posición de equilibrio, vuelve hacia ella describiendo oscilaciones sinusoidales, o sinusoidales amortiguadas en torno a dicha posición estable.
La masa colgada del resorte forma un oscilador armónico. El ejemplo es el de una masa colgada a un resorte. Cuando se aleja la masa de su posición de reposo, el resorte ejerce sobre la masa una fuerza que es proporcional al desequilibrio (distancia a la posición de reposo) y que está dirigida hacia la posición de
equilibrio. Si se suelta la masa, la fuerza del resorte acelera la masa hacia la posición de equilibrio. A medida que la masa se acerca a la posición de equilibrio y que aumenta su velocidad, la energía potencial elástica del resorte se transforma en energía cinética de la masa. Cuando la masa llega a su posición de equilibrio, la fuerza será cero, pero como la masa está en movimiento, continuará y pasará del otro lado. La fuerza se invierte y comienza a frenar la masa. La energía cinética de la masa va transformándose ahora en energía potencial del resorte hasta que la masa se para. Entonces este proceso vuelve a producirse en dirección opuesta completando una oscilación. Si toda la energía cinética se transformase en energía potencial y viceversa, la oscilación seguiría eternamente con la misma amplitud. En la realidad, siempre hay una parte de la energía que se transforma en otra forma, debido a la viscosidad del aire o porque el resorte no es perfectamente elástico. Así pues, la amplitud del movimiento disminuirá más o menos lentamente con el paso del tiempo. Se empezará tratando el caso ideal, en el cual no hay pérdidas. Se analizará el caso unidimensional de un único oscilador (para la situación con varios osciladores, véase movimiento armónico complejo). El caso más sencillo de movimiento oscilatorio se denomina movimiento armónico simple y se produce cuando la fuerza resultante que actúa sobre el sistema es una fuerza restauradora lineal. El Teorema de Fourier nos da una razón de la importancia del movimiento armónico simple. Según este teorema, cualquier clase de movimiento periódico u oscilatorio puede considerarse como la suma de movimientos armónicos simples. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
El movimiento armónico simple (se abrevia m.a.s.), también denominado movimiento vibratorio armónico simple (abreviado m.v.a.s.), es un movimiento periódico, oscilatorio y vibratorio en ausencia de fricción, producido por la acción de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional al desplazamiento pero en sentido opuesto.Y que queda descrito en función del tiempo por una función senoidal (seno o coseno). Si la descripción de un movimiento requiriese más de una función armónica, en general sería un movimiento armónico, pero no un m.a.s. En el caso de que la trayectoria sea rectilínea, la partícula que realiza un m.a.s. oscila alejándose y acercándose de un punto, situado en el centro de su trayectoria, de tal manera que su posición en función del tiempo con respecto a ese punto es una sinusoide. En este movimiento, la fuerza que actúa sobre la partícula es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida hacia éste.
CINEMATICA DEL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE: El movimiento armónico simple es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila de un lado al otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo.
Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo.El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja. Es también, el movimiento que realiza cada uno de los puntos de la cuerda de una guitarra cuando esta entra en vibración; pero, pongamos atención, no es el movimiento de la cuerda, sino el movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos definir en la cuerda. El movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es el resultado del movimiento global y simultáneo de todos los puntos de la cuerda.
ECUACION DEL MOVIMIENTO Elongación En un movimiento armónico simple la magnitud de la fuerza ejercida sobre la partícula es directamente proporcional a su elongación, esto es la distancia a la que se encuentra ésta respecto a su posición de equilibrio. En un desplazamiento a lo largo del eje O x, tomando el origen O en la posición de equilibrio, esta fuerza es tal que donde es una constante positiva y es la elongación. El signo negativo indica que en todo momento la fuerza que actúa sobre la partícula está dirigida hacía la posición de equilibrio; esto es, en dirección contraria a su elongación (la "atrae" hacia la posición de equilibrio). Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico simple se define entonces en una dimensión mediante la ecuación diferencial Siendo la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo siguiente ecuación donde es la frecuencia angular del movimiento:
se obtiene la
(2) La solución de la ecuación diferencial (2) puede escribirse en la forma (3) donde: = elongación o desplazamiento respecto al punto de equilibrio. =amplitud del movimiento (elongación máxima). = frecuencia angular = tiempo. = fase inicial e indica el estado de oscilación o vibración (o fase) en el instante t = 0 de la partícula que oscila. Además, la frecuencia de oscilación puede escribirse como esto:
(4)
,
y por lo tanto el periodo como La velocidad y aceleración de la partícula pueden obtenerse derivando respecto del tiempo la expresión
.
VELOCIDAD La velocidad instantánea de un punto material que ejecuta un movimiento armónico simple se obtiene por lo tanto derivando la posición respecto al tiempo:
(5)
ACELERACIÓN La aceleración es la variación de la velocidad del movimiento respecto al tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuación de la velocidad respecto al tiempo:
(6)
AMPLITUD Y FASE INICIAL La amplitud y la fase inicial se pueden calcular a partir de las condiciones iniciales del movimiento, esto es de los valores de la elongación y de la velocidad inicial. (7) (8)
Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos
(9) Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos
(10)
DINAMICA DEL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE:
En el movimiento armónico simple la fuerza que actúa sobre el móvil es directamente proporcional al desplazamiento respecto a su posición de equilibrio, donde la fuerza es nula. Esta fuerza va siempre dirigida hacia la posición de equilibrio y el móvil realiza un movimiento de vaivén alrededor de esa posición. (11) Un ejemplo de M.A.S sería el que realiza un objeto unido al extremo un muelle, en ese caso k sería la constante de elasticidad del muelle. Aplicando la segunda ley de newton tendríamos:
(12) Comparando esta ecuación y la que teníamos para la aceleración (6) se deduce:
(13)
Esta ecuación nos permite expresar el periodo (T) del movimiento armónico simple en función de la masa de la partícula y de la constante elástica de la fuerza que actúa sobre ella:
(14)
ENERGIA DEL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
Las fuerzas involucradas en un movimiento armónico simple son centrales y, por tanto, conservativas. En consecuencia, se puede definir un campo escalar llamado energía potencial ( E p) asociado a la fuerza. Para hallar la expresión de la energía potencial, basta con integrar la expresión de la fuerza (esto es extensible a todas las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo, obteniéndose:
(15) La energía potencial alcanza su máximo en los extremos de la trayectoria y tiene valor nulo (cero) en el punto x = 0, es decir el punto de equilibrio. La energía cinética cambiará a lo largo de las oscilaciones pues lo hace la velocidad:
(16) La energía cinética es nula en -A o +A (v=0) y el valor máximo se alcanza en el punto de equilibrio (máxima velocidad Aω).
(17) Como sólo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica (suma de la energía cinética y potencial) permanece constante.
(18) Finalmente, al ser la energía mecánica constante, puede calcularse fácilmente considerando los casos en los que la velocidad de la partícula es nula y por lo tanto la energía potencial es máxima, es decir, en los puntos y . Se obtiene entonces que,
(19) O también cuando la velocidad de la partícula es máxima y la energía potencial nula, en el punto de equilibrio
(20) Las fuerzas involucradas en un movimiento armónico simple son centrales y, por tanto, conservativas. En consecuencia, se puede definir un campo escalar llamado energía potencial ( E p) asociado a la fuerza. Para hallar la expresión de la energía potencial, basta con integrar la expresión de la fuerza (esto es extensible a todas las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo, obteniéndose:
(15) La energía potencial alcanza su máximo en los extremos de la trayectoria y tiene valor nulo (cero) en el punto x = 0, es decir el punto de equilibrio. La energía cinética cambiará a lo largo de las oscilaciones pues lo hace la velocidad:
(16) La energía cinética es nula en -A o +A (v=0) y el valor máximo se alcanza en el punto de equilibrio (máxima velocidad Aω).
(17) Como sólo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica (suma de la energía cinética y potencial) permanece constante. (18) Finalmente, al ser la energía mecánica constante, puede calcularse fácilmente considerando los casos en los que la velocidad de la partícula es nula y por lo tanto la
energía potencial es máxima, es decir, en los puntos obtiene entonces que,
y
. Se
(19) O también cuando la velocidad de la partícula es máxima y la energía potencial nula, en el punto de equilibrio (20) RELACION ENTRE EL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Y EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
Supongamos un móvil efectuando un movimiento armónico sobre el eje OX con amplitud A, mientras otro describe un movimiento circular de radio A. Los dos parten simultáneamente de la misma posición indicada en la figura y ambos tienen el mismo periodo:
Para el móvil que describe el movimiento armónico simple, obtendremos:
Para el móvil que describe el movimiento circular uniforme, si nos fijamos en un punto cualquiera de su trayectoria, vendrá definido por un vector posición r(t):
Y obtendremos:
Vemos que las componentes X de estas magnitudes coinciden con las propias del movimiento armónico: el movimiento armónico simple puede considerarse como una proyección de un movimiento circular uniforme sobre un diámetro de la misma circunferencia. PÉNDULO FÍSICO
Se llama péndulo físico a aquel cuerpo rígido capaz de pivotar a través de un eje horizontal fijo, como se muestra en la figura (a), este al ser desplazado de su posición de equilibrio, figura (b), aparece un torque ejercido por la fuerza de gravedad teniendo como línea de acción el eje horizontal en el que se suspende el cuerpo rígido y con dirección contraria al desplazamiento angular , y de esta forma llevar al cuerpo rígido a su posición de equilibrio, posición que no logra obtener debido a la inercia del cuerpo rígido, llevando la así a una nueva posición, donde nuevamente aparece un torque recuperador repitiéndose este movimiento oscilatorio. En el péndulo simple se cumple las siguientes relaciones Donde: T : periodo Io : momento inercia respecto al eje IG : momento inercia con respecto al centro de gravedad (constante) m : masa ! : longitud del centro de gravedad al eje que pasa por O En el caso que estudiaremos para la barra usaremos las siguientes terminologías y relaciones:
IG : momento inercia con respecto al centro de gravedad (constante) m : masa (constante) Donde: Ti : periodo experimental Ii : momento inercia para cada # de hueco
!i : longitud del centro de gravedad a cada # de hueco b : longitud de la barra (constante) a : ancho de la barra (constante)
Momento de Inercia Dado un eje arbitrario, para un sistema de partículas se define como la suma de los productos entre las masas de las partículas que componen un sistema, y el cuadrado de la distancia r de cada partícula al eje escogido. Representa la inercia de un cuerpo a rotar. Matemáticamente se expresa como:
Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo) lo anterior se generaliza como:
El subíndice V de la integral indica que hay que integrar sobre todo el volumen del cuerpo. Este concepto, desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme.(La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación) Así, por ejemplo, la segunda ley de newton tiene como equivalente para la rotación: PÉNDULO DE TORSIÓN
Un péndulo de torsión, es un sistema construido de la siguiente forma. Consta de una varilla vertical que por el extremo superior se fija a un soporte y en el extremo opuesto se encuentra unida a un cuerpo rígido, como se muestra en la figura 11.7. Cuando a la varilla se la retuerce y luego se la deja girar, ejerce un torque de restitución sobre el cuerpo rígido, proporcional al desplazamiento angular θ, que se puede escribir como:
DETERMINACION DEL PERIODO DE OSCILACIÓN:
Al aplicar un momento torsional M en el extremo inferior del hilo, éste experimenta una deformación de torsión. Dentro de los límites de validez de la ley de Hooke, el ángulo de torsión φ es directamente proporcional al momento torsional M aplicado, de modo que (1) donde τ es el coeficiente de torsión del hilo o alambre de suspensión, cuyo valor depende de su forma y dimensiones y de la naturaleza del material. Para el caso de un hilo o alambre es
(2) siendo D el diámetro del alambre, l su longitud y G el módulo de rigidez del material que lo constituye. Debido a la elasticidad del hilo (rigidez), aparecerá un momento recuperador igual y opuesto al momento torsional aplicado; cuando se haga desaparecer el momento torsional aplicado, el sistema se encontrará en las condiciones precisas para iniciar un movimiento oscilatorio de torsión, concomitante con las oscilaciones de rotación de la masa suspendida del hilo o alambre. Igualando el momento recuperador - τφ al producto del momento de inercia I del sistema por la aceleración angular α=d2φ/dt 2, tenemos la ecuación diferencial del movimiento de rotación: (3) que es formalmente idéntica a la ec. dif. correspondiente a un movimiento armónico simple. Así pues, las oscilaciones del péndulo de torsión son armónicas, y la frecuencia angular y el período de las mismas son
(4) NOTA: El mecanismo de los relojes de pulsera mecánicos, accionado mediante un resorte espiral, tienen un periodo de oscilación que puede calcularse mediante la fórmula anterior. El reloj está regulado mediante el ajuste del momento de inercia de la rueda de inercia (mediante unos tornillos de la rueda de inercia) y de forma más precisa mediante el cambio del coeficiente de torsión .
USOS Y APLICACIONES El péndulo de torsión constituye el fundamento de la balanza de torsión y de un buen número de dispositivos y mecanismos.
Medida de módulo de rigidez: Mediante la determinación precisa del período de oscilación del péndulo de torsión podemos calcular el valor del coeficiente de torsión τ de la probeta, y a continuación el valor del módulo de rigidez G del material ensayado. Medida de momentos de inercia: Añadiendo al cuerpo suspendido otro cuerpo de momento de inercia desconocido , el nuevo periodo de oscilación por torsión será:
(5) de modo que eliminando entre las ecuaciones (4) y (5) obtenemos
(6) que nos permite calcular el momento de inercia del cuerpo añadido. OSCILACIONES AMORTIGUADAS
En todos los movimientos oscilantes reales, se disipa energía mecánica debido a algún tipo de fuerza de fricción o rozamiento. Cuando esto ocurre, la energía mecánica del movimiento oscilante disminuye con el tiempo y el movimiento se denomina amortiguado. La representación más sencilla y más común de una fuerza de amortiguamiento es aquella que la considera proporcional a la velocidad de la masa pero en sentido opuesto,
en donde b es una constante que describe el grado de amortiguamiento. Puesto que siempre está dirigida en sentido opuesto a la dirección del movimiento, el trabajo realizado por la fuerza es siempre negativo. Así pues, hace que disminuya la energía mecánica del sistema. La segunda ley de Newton aplicada al movimiento de un objeto de masa (m) situado en un muelle de constante (k) cuando la fuerza amortiguadora es (bv) se escribe
Cuando la fuerza amortiguadora es pequeña comparada con kx, es decir, cuando b es pequeña, la solución de la ecuación es:
en donde la frecuencia del movimiento es:
Clases de oscilaciones amortiguadas Resulta conveniente expresar la frecuencia de la vibración en la forma
en donde representa la frecuencia de la oscilación en ausencia de una fuerza de resistencia (el oscilador no amortiguado). En otras palabras, cuando b = 0 la fuerza resistiva es cero y el sistema oscila con su frecuencia natural, o. 1. AMORTIGUAMIENTO DEBIL.- Cuando la fuerza disipativa es pequeña en comparación con la fuerza de restitución, el carácter oscilatorio del movimiento se conserva pero la amplitud de la vibración disminuye con el tiempo y, finalmente el movimiento cesará. Este sistema se conoce como oscilador subamortiguado. En el movimiento con una constante de resorte y una partícula masiva dadas, las oscilaciones se amortiguan con más rapidez a medida que el valor máximo de la fuerza disipativa tiende al valor máximo de la fuerza de restitución. La solución de la ecuación diferencial del movimiento es la expresada anteriormente.
2. AMORTIGUAMIENTO CRITICO.- Si el amortiguamiento del oscilador aumenta suficientemente, puede llegar a alcanzar un valor crítico b c, tal que bc = 2mo; entonces, de acuerdo con la definición de la frecuencia angular de las oscilaciones amortiguadas, sera = 0. Evidentemente, en estas condiciones no hay oscilaciones y el oscilador regresará a la posición de equilibrio sin rebasarla o, a lo más, rebasándola una sóla vez. La condición de b = 2m o se conoce con el nombre de amortiguamiento crítico. En este caso, la solución de la ecuación diferencial es de la forma
donde Ao y A1 son dos constantes de integración, que pueden expresarse en función de las condiciones iniciales, esto es, de la posición x o y de la velocidad vo de la partícula en el instante inicial:
SOBREAMORTIGUAMIENTO.- El sobreamortiguamiento se presenta cuando b > 2m o. Entonces de acuerdo con la definición de la frecuencia angular de las oscilaciones amortiguadas, será imaginaria. En estas condiciones es evidente que no habrán oscilaciones, y la partícula regresará a la posición de equilibrio sin rebasarla o rebasándola una vez a lo sumo. Para unas condiciones iniciales dadas (x o,vo), cuanto mayor sea el amortiguamiento más tiempo empleará el sistema en quedar en reposo en la posición de equilibrio. Para el oscilador sobreamortiguado, la solución de la ecuación diferencial es de la forma
3.
con
donde A1 y A2 son dos constantes de integración cuyos valores dependerán de las condiciones iniciales (x o,vo).
OSCILACIONES FORZADAS
La energía de un oscilador amortiguado disminuye con el tiempo, como resultado de la fuerza disipativa. Es posible compensar esta pérdida de energía aplicando una fuerza externa que suministre la energía disipada realizando un trabajo positivo sobre el sistema. En cualquier instante, es posible agregar energía al sistema por medio de una fuerza aplicada que actúe en la dirección del movimiento del oscilador. Vamos a estudiar el oscilador forzado, el cual está sometido a una fuerza restauradora y a una fuerza externa (fuerza impulsora) que varía armónicamente con el tiempo cuya expresión obedece a una del tipo:
en donde F o es constante y es la frecuencia angular de la fuerza, que generalmente no está relacionado con la frecuencia natural del sistema un objeto de masa m sujeto a un muelle de constante de fuerza k sometido a una fuerza amortiguadora – bv y a una fuerza externa F o cos t obedece entonces a la ecuación del movimiento dada por
o sea
en donde hemos puesto
y
La solución de la ecuación consta de dos partes, la solución transitoria y la solución estacionaria. La parte transitoria de la solución es idéntica a la de un oscilador amortiguado no forzado dada por
Las constantes de esta solución, A y , dependen de las condiciones iniciales. Transcurrido cierto tiempo, esta parte de la solución se hace despreciable porque la amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo. De este modo sólo queda la solución estacionaria, que no depende de las condiciones iniciales y que se puede escribir como
en donde la frecuencia angular es la misma que la de la fuerza impulsora. La amplitud A viene dada por:
y la constante de fase por:
Observando las ecuaciones podemos ver que el desplazamiento del sistema y la fuerza impulsora oscilan con la misma frecuencia pero difieren en fase en .
El signo negativo de la fase se ha introducido para que la constante de fase positiva.
es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_oscilatorio biblioteca.pucp.edu.pe/docs/elibros.../Medina_Fisica2_Cap2.pdf
www.dgeo.udec.cl/~juaninzunza/docencia/fisica/cap11.pdf
enebro.pntic.mec.es/~fmag0006/Prism501.html
www.rinconsolidario.org/ciencias/biblioteca/asignaturas/.../mas.htm
www.slideshare.net/.../oscilaciones-amortiguadas-forzadas
www.sc.ehu.es/sbweb/.../oscilaciones/amortiguadas/amortiguadas.htm
sea