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Unidad I V
MOVIMIENTO OSCILATORIO
Figura 1. El resorte automotriz que se muestra aquí tiene un amortiguador que fue diseñado para reducir la vibración y lograr un recorrido suave. (GIANCOLI, 2008)
1.
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 1.1 LEY DE HOOKE Equation Chapter 3 Section 1 En 1676 Robert Hooke descubrió y estableció la ley que lleva su nombre y que se utiliza para definir las propiedades elásticas de un cuerpo. En el estudio de los efectos de las fuerzas de tensión, y compresión, observó que había un aumento en la longitud del resorte, o cuerpo elástico, que era proporcional a la fuerza aplicada, dentro de ciertos límites. Esta observación puede generalizarse diciendo que la deformación es directamente proporcional a la fuerza deformadora. F
x
(3.1)
Donde F es la fuerza, medida en N el alargamiento, o compresión. El signo negativo indica que la fuerza del
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resorte es restitutiva, u opuesta a la fuerza externa que lo deforma. Esta expresión se conoce con el nombre de ley de Hooke. Si la fuerza deformadora sobrepasa un cierto valor, el cuerpo no volverá a su tamaño (o forma) original después de suprimir esa fuerza. Entonces se dice que el cuerpo ha adquirido una deformación permanente. La tensión más pequeña que produce una deformación permanente se llama límite de elasticidad. Para fuerzas deformadoras que rebasan el límite de elasticidad no es aplicable la ley de Hooke. 1.2 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Cuando el movimiento de un objeto se repite en intervalos regulares, o períodos, se le llama movimiento periódico. Si tomamos las oscilaciones de un péndulo simple hacia los lados, tenemos un ejemplo de movimiento periódico. Consideremos una partícula de masa m, sujeta a un resorte, que oscila en la dirección x sobre una superficie horizontal, sin fricción. Ver la figura 1, y acceder el siguiente enlace de Internet en donde aparece la animación de dos osciladores armónicos simples con diferentes frecuencias de oscilación:
Figura 2. El oscilador armónico simple reacciona con una fuerza que se opone a la deformación (Raymond A. Serway, 2008)
Aplicando la segunda ley de Newton al resorte tenemos: x ma
(3.2) Por otro lado, la aceleración instantánea se define como,
2
a
d x 2
dt
(3.3)
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De donde obtenemos que: 2
m
d x 2
dt
kx
(3.4)
O bien, d x dt
2
k m
x 0
o
d x 2
2
dt
x0
Proponemos una solución de la forma, (t ) Asen(t )
(3.5)
frecuencia. Esta solución es correcta si
k
m
(3.6)
escribir como: T 2
m k
(3.7)
Función seno
Figura 3.
1.3 ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE La fuerza ejercida por un resorte ideal es conservativa y las fuerzas verticales no efectúan trabajo, así que se conserva la energía mecánica total del sistema. También supondremos que la masa del resorte es despreciable. 49
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La energía cinética del cuerpo es U
1
kx
K
1 2
2
mv
y la energía potencial del
2
2 resorte es . No hay fuerzas no conservativas que efectúen trabajo, así que se conserva la energía mecánica total E
1 2
mv2
1 2
kx2
(3.8)
La energía mecánica total E también está relacionada directamente con la amplitud A del movimiento. Cuando el cuerpo llega al punto x = A, su desplazamiento es máximo con respecto al equilibrio, se detiene momentáneamente antes de volver hacia la posición de equilibrio. Es decir, cuando x = A (o bien, -A), vx= 0. Aquí, la energía es sólo potencial, y E
1
2
kA
Puesto que E es constante, esta cantidad es igual a en cualquier otro punto. 2
E
1 2
2
kA
Figura 4. Gráfica de E, K y U contra desplazamiento en un MAS. La velocidad del cuerpo no es constante, de manera que las imágenes del cuerpo en posiciones equidistantes no están igualmente espaciadas en el tiempo. (YOUNG, 2009)
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Figura 5. Energía cinética K, energía potencial U y energía mecánica total E en función de la posición en un MAS. (YOUNG, 2009)
2.
PÉNDULO SIMPLE En el caso de un péndulo ideal o simple, se cuelga una partícula material (la bola) de una cuerda inextensible de masa despreciable. Aunque no hay ningún péndulo real que tenga estas propiedades idealizadas, puede considerarse con pequeño error como péndulo simple el formado por una bola pequeña y pesada colgada de un punto fijo mediante un hilo. La posición de dicho péndulo se describe mediante su distancia angular respecto a la vertical, como se ve en la figura. EL momento de la fuerza gravitatoria sobre la bolita del péndulo respecto al punto de suspensión es mglsen , que tiende a restaurarlo a su posición vertical de equilibrio. Como el 2 momento de inercia del péndulo es I ml , la ecuación del movimiento I se convierte en ml
2
d 2 dt 2
mglsen
o sea.
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(3.9)
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d dt
2
g sen 0 l
Si es pequeño, podemos utilizar la aproximación sen (radianes), que resulta válida hasta un 10%, para < 45º y hasta el 1% para <14º. Sustituyendo sen por en la ecuación anterior, obtenemos una ecuación simple: 2
d 2
dt
2
n 0
(3.10)
n2
g / l En donde , T 2 l / g . Obsérvese que el periodo del movimiento es independiente de la masa de la bola. En el límite de las oscilaciones pequeñas la solución general (t) tiene la forma:
(t ) m sen(nt )
3.
(3.11)
PÉNDULO FÍSICO Un péndulo físico o compuesto está formado por un cuerpo rígido cualquiera suspendido de un eje horizontal, que sirve de soporte, y que se encuentra en libertad de oscilar alrededor de su posición de equilibrio bajo la acción de su propio peso y de la reacción del eje de soporte. Un reloj de pared ordinario es un buen ejemplo. La figura muestra una sección vertical de un péndulo físico compuesto, que está suspendido por un eje que pasa por O y tiene un centro de masas en el punto C. El momento debido a la gravedad puede considerarse como si estuviese aplicado en el centro de masas en sentido opuesto al del movimiento del péndulo,
mgLsen
(3.12)
En donde m es la masa del péndulo entero y L es la distancia del centro de masas a O. la ecuación general del movimiento correspondiente al péndulo físico es, por consiguiente,
O L
d dt
2
mgL I
sen 0
C
En donde I es el momento de inercia del cuerpo respecto al eje de suspensión. En el caso de valores pequeños de , esto equivale a una oscilación armónica simple de periodo.
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mg
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T 2
I mgL
(3.13)
Valor que corresponde a la frecuencia de oscilación de un péndulo ideal de l
longitud l, en donde
I
mL
En otras palabras, un péndulo físico suspendido por O oscilara como si fuese un péndulo ideal con toda su masa concentrada en un punto O’, situado a una
distancia l de O sobre la prolongación que pasa por C. 4.
MOVIMIENTO AMORTIGUADO Hemos pasado por alto cualquier fuerza disipativa o amortiguadora presente en el sistema oscilante. Las fuerzas amortiguadoras reducen la energía mecánica total del sistema, normalmente mediante una transformación en calor. Un péndulo puede estar oscilando durante un tiempo considerable; sin embargo, si no se le suministra energía para compensar la resistencia del aire y el rozamiento en el pivote de giro, la amplitud de oscilaciones ira disminuyendo gradualmente, la energía total es proporcional al cuadrado de la amplitud. Como la fuerza de amortiguamiento se opone siempre a la velocidad podemos F
v
expresarla como , en donde b es una constante llamada coeficiente de amortiguamiento. En el caso del movimiento unidimensional, la ecuación del movimiento es: 2
m
d x dt
2
b
dx
kx
dt
(3.14)
que después de reordenarla, toma la forma d2x dt
En donde b / m y n
2
dx
2
n x 0
dt
k / m.
Una solución es de la forma: ) (t ) Ae t sen(d t
(3.15)
en donde A es la amplitud sin amortiguar, d es la frecuencia angular amortiguada y es una constante positiva denominada constante de amortiguamiento. Para hallar y d reemplazando x(t) en la ecuación diferencial obtenemos: 53
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1 2
d2
2 n2
2
n
1 4
2
2
n
La solución es: ) (t ) Ae t / 2 sen(d t
d
n2
1
2
4 En donde y la amplitud A y el ángulo de fase son constantes arbitrarias que dependen de las condiciones iniciales.
Figura 6. Gráfica de desplazamiento contra tiempo para un oscilador con poco amortiguamiento (YOUNG, 2009)
5.
MOVIMIENTO FORZADO A veces el oscilador amortiguándose encuentra sometido también a una fuerza impulsora periódica externa que impide la disminución de las oscilaciones, o incluso actúa incrementando su amplitud, como sucede en el caso de los relojes accionados eléctricamente, juguetes y relojes accionados por una cuerda mecánica, tropas en marcha rítmica sobre un puente o los impulsos que se dan en un columpio. Si representamos la fuerza por F = F0senwF t , siendo F la frecuencia de la fuerza, la ecuación del movimiento correspondiente a f0 = F0/m se transforma en d2x dt
2
dx
2
n x
dt
F0sen F t
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(3.16)
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Cuando se resuelve esta ecuación, suponiendo que el oscilador esta subamortiguado, resulta que la respuesta del sistema a la fuerza impulsora se compone de dos movimientos, la respuesta transitoria y la respuesta estacionaria. La primera corresponde a la oscilación armónica libre y subamortiguada de frecuencia d que se anula con el tiempo; la segunda corresponde a una oscilación forzada que continua con amplitud constante y con la frecuencia F de la fuerza impulsora. La solución general de la ecuación diferencial anterior es: x(t) = Ae- mt/ 2sen(wd t + f ) + AF sen( wF t + f F )
(3.17)
en donde AF es la amplitud de las oscilaciones estacionarias forzadas, no es arbitraria sino que puede determinarse sustituyendo en la ecuación diferencial. Como el término transitorio no contribuye a AF, obtenemos: AF =
f 0 2
2
2
2
( wn - wF ) + mwn
(3.18)
La diferencia de fase o desplazamiento de fase F, entre la fuerza impulsora y el desplazamiento estacionario es - p£ f
F
= arct g
mwF 2
2
wF - wn
£ 0
lo cual implica que el desplazamiento no estará exactamente sincronizado con la fuerza, sino desfasado en un ángulo constante. Obsérvese que AF y F no son arbitrarias, sino que quedan determinadas por las condiciones físicas. 6.
RESONANCIA MECÁNICA La respuesta del oscilador es un máximo cuando la amplitud AF( F) posee su valor más grande. Este fenómeno, conocido como resonancia, aparece a frecuencias wF = wres =
w2n -
1 2
m2
(3.19) m= w
y m=
w
10 n n La figura muestra a AF y F como valores de F/n para . En el caso de valores extremos de F, la fuerza impulsora y la velocidad de oscilación son paralelas únicamente una parte del tiempo, durante el cual la fuerza realiza trabajo positivo. Sin embargo cuando la frecuencia impulsora se aproxima gradualmente a la frecuencia natural, la diferencia de fases entre la fuerza y la velocidad disminuye rápidamente y la amplitud alcanza un máximo valor en la resonancia, wres = wn
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Figura 7.
7.
PREGUNTAS 1. Explique por qué el movimiento de un pistón en un motor de automóvil es aproximadamente armónico simple? 2. Si un reloj de péndulo es exacto al nivel del mar, ¿al llevarlo a una gran altitud se atrasará o se adelantará? ¿Por qué? 3. Para un oscilador armónico simple, ¿cuándo (si acaso) los vectores de desplazamiento y de velocidad tienen el mismo sentido? ¿Cuándo los vectores de desplazamiento y de aceleración tienen el mismo sentido? 4. Dos masas iguales están unidas a resortes separados idénticos uno junto al otro. Se jala una masa de modo que su resorte se estira 20 cm, y el otro también se jala y su resorte se estira sólo 10 cm. Las masas se sueltan simultáneamente. ¿Cuál masa alcanzará primero el punto de equilibrio? 5. Una varilla delgada uniforme de masa m está suspendida de un extremo y oscila con una frecuencia f. Si se le une una pequeña esfera de masa 2m al otro extremo, ¿la frecuencia aumenta o disminuye? Explique su respuesta. 6. Un diapasón con frecuencia natural de 264 Hz está sobre una mesa al frente de una habitación. En la parte de atrás del cuarto, dos diapasones, uno de frecuencia natural de 260 Hz y el otro de 420 Hz, están inicialmente en silencio; sin embargo, cuando el diapasón al frente se pone en vibración, el diapasón de 260 Hz comienza espontáneamente a vibrar pero no lo hace el de 420 Hz. Explíquelo. 7. ¿Puede el traqueteo de un automóvil llegar a ser un fenómeno de resonancia? Explique su respuesta.
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8. Los sistemas de masa –resorte y los de péndulo pueden usarse como dispositivos para medir el tiempo en forma mecánica. ¿Cuáles son las ventajas de usar un tipo de sistema en lugar del otro en un dispositivo diseñado para generar mediciones de tiempo reproducibles por un periodo extendido? 9. El péndulo A tiene una pesa de masa m colgada de una cuerda de longitud L; el péndulo B es idéntico al A excepto porque su pesa tiene una masa de 2m. Compare las frecuencias de las oscilaciones pequeñas de los dos péndulos. 10. Un pico agudo en la curva de la frecuencia puede representarse como la suma de funciones sinusoidales de todas las frecuencias posibles, con amplitudes iguales. Una campana golpeada con un martillo suena con su frecuencia natural, esto es, la frecuencia con la que vibra como un oscilador libre. Explique por qué, tan clara y concisamente como pueda. 8.
EJERCICIOS. La numeración entre paréntesis, marca el nivel del ejercicio planteado. 1. (I) Los resortes de un automóvil de 1500 kg se comprimen 5.0 mm cuando una persona de 68 kg se sienta en el lugar del conductor. Si el automóvil pasa por un tope, ¿cuál será la frecuencia de las vibraciones? Ignore el amortiguamiento. 2. (II) Los edificios altos se diseñan para balancearse con el viento. Con un viento de 100 km/h, por ejemplo, la parte superior de la torre Sears de 110 pisos oscila horizontalmente con una amplitud de 15 cm. El edificio oscila a su frecuencia natural, que tiene un periodo de 7.0 s. Suponiendo MAS, encuentre la velocidad horizontal máxima y la aceleración experimentadas por un empleado de la torre Sears cuando se sienta a trabajar en su escritorio localizado en el piso superior. Compare la aceleración máxima (como un porcentaje) con la aceleración debida a la gravedad. 3. (II) Una mosca pequeña de 0.25 g es atrapada en una telaraña. Ésta oscila predominantemente con una frecuencia de 4.0 Hz. a) ¿Cuál es el valor de la constante efectiva de rigidez del resorte k de la telaraña? b) ¿A qué frecuencia vibraría la telaraña si fuera atrapado un insecto con masa de 0.50 g? 4. (II) Una masa m en el extremo de un resorte vibra con una frecuencia de 0.83 Hz. Cuando se agrega a m una masa adicional de 0.83 kg, la frecuencia es de 0.60 Hz. ¿Cuál es el valor de m? 5. (II) Una vara uniforme de 1.0 m de longitud y masa M está articulada en un extremo y se sostiene horizontalmente con un resorte de constante k en el otro extremo (figura). Si la vara oscila poco hacia arriba y hacia abajo, ¿cuál es su frecuencia? [Sugerencia: Escriba una ecuación de torca con respecto a la bisagra].
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6. (II) Un bloque de madera de balsa con masa de 55 g flota sobre un lago, oscilando verticalmente a una frecuencia de 3.0 Hz. a) ¿Cuál es el valor de la constante de resorte efectiva del agua? b) Una botella parcialmente llena de agua con masa de 0.25 kg, y casi del mismo tamaño y forma que la del bloque de madera, se lance al agua. ¿A qué frecuencia esperaría usted que la botella oscilara verticalmente? Suponga un MAS. 7. (II) La figura muestra dos ejemplos de MAS, designados como A y B. Para cada uno, ¿cuál es a) la amplitud, b) la frecuencia y c) el periodo? d) Escriba las ecuaciones para A y B en la forma de seno o coseno.
8. (II) Un resorte vertical con constante de rigidez de 305 N/m vibra con una amplitud de 28.0 cm cuando se cuelgan de él 0.260 kg. La masa pasa por el punto de equilibrio (y = 0) con velocidad positiva en t = 0. a) ¿Cuál es la ecuación que describe este movimiento en función del tiempo? b) ¿En qué tiempos el resorte tendrá sus extensiones máxima y mínima? 9. (II) La posición de un OAS en función del tiempo está dada por x = 3.8 cos(5t/4 + /6) donde t está en segundos y x en metros. Encuentre a) el periodo y la frecuencia, b) la posición y velocidad en t = 0, y c) la velocidad y aceleración en t = 2.0 s. 10. (II) Un objeto de masa desconocida m se cuelga de un resorte vertical de constante k desconocida, y se observa que el objeto está en reposo cuando el resorte se extiende 14 cm. Luego se le da al resorte un ligero empujón y experimenta MAS. Determine el periodo T de esta oscilación. 11. (II) Un objeto de 1.60 kg oscila cada 0.55 s desde un resorte ligero que cuelga verticalmente. a) Escriba la ecuación que da su posición y (+ hacia 58
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arriba) en función del tiempo t, suponiendo que cuando se comprime 16 cm a partir de la posición de equilibrio (donde y = 0), y luego se libera. b) ¿Cuánto tiempo le tomará alcanzar por primera vez la posición de equilibrio? c) ¿Cuál será su rapidez máxima? d) ¿Cuál será su aceleración. Máxima y dónde ocurrirá? 12. (II) Elabore una gráfica como la figura para un resorte horizontal, cuya constante sea 95 N/m y que tenga una masa de 55 g en su extremo. Suponga que el resorte empezó con una amplitud inicial de 2.0 cm. Ignore la masa del resorte y cualquier fricción con la superficie horizontal. Utilice su gráfica para estimar a) la energía potencial, b) la energía cinética y c) la rapidez de la masa, para x = 1.5 cm.
13. (II) Una masa de 0.35 kg en el extremo de un resorte vibra 2.5 veces por segundo con una amplitud de 0.15 m. Determine a) la velocidad cuando pasa por el punto de equilibrio, b) la velocidad cuando está a 0.10 m de la posición de equilibrio, c) la energía total del sistema, y d) la ecuación que describe el movimiento de la masa, suponiendo que en t = 0, x fue un máximo. 14. (II) Una bala de 0.0125 kg golpea un bloque de 0.240 kg unido a un resorte fijo horizontal, cuya constante de resorte es de 2.25 x 103 N/m y lo pone en vibración con una amplitud de 12.4 cm. ¿Cuál fue la rapidez inicial de la bala, si los dos objetos se mueven juntos después del impacto? 15. (II) Una masa se encuentra en reposo, sobre una superficie horizontal sin fricción, unida a un extremo de un resorte; el otro extremo está fijo a una pared. Se requieren 3.6 J de trabajo para comprimir el resorte 0.13 m. Si la masa se libera del reposo con el resorte comprimido, experimenta una aceleración máxima de 15 m/s2. Encuentre el valor de a) la constante del resorte y b) la masa. 16. (II) En t = 0, una masa de 785 g en reposo en el extremo de un resorte horizontal (k = 184 N/m) se golpea con un martillo que le da una rapidez inicial de 2.26 m/s. Determine a) el periodo y la frecuencia del movimiento, b) la amplitud, c) la aceleración máxima, d) la posición en función del tiempo, e) la energía total, y f) la energía cinética cuando x = 0.40A donde A es la amplitud.
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17. (II) Un péndulo simple tiene 0.30 m de largo. En t = 0 se suelta desde el reposo iniciando con un ángulo de 13°. Ignorando la fricción, ¿cuál será la posición angular del péndulo en a) t = 0.35 s, b) t = 3.45 s, y c) t = 6.00 s? 18. (II) Obtenga una fórmula para la rapidez máxima vmáx de la lenteja de un péndulo simple en términos de g, la longitud l, y el ángulo máximo de oscilación máx. 19. (II) Una estudiante quiere usar una vara de un metro como péndulo. Planea taladrar un pequeño agujero a través de la vara y suspenderla desde un pasador liso unido a la pared (figura). ¿En qué punto de la vara debería taladrar el agujero para obtener el periodo más corto posible? ¿Qué tan corto puede ser el periodo de oscilación con una vara de un metro oscilando de esta manera?
20. (II) Un disco de madera contrachapada con radio de 20.0 cm y masa de 2.20 kg tiene un pequeño agujero taladrado a través de él, a 2.00 cm de su borde (figura). El disco cuelga de la pared por medio de un pasador metálico que pasa a través del agujero y se usa como un péndulo. ¿Cuál es el periodo de este péndulo para oscilaciones pequeñas?
21. (II) Un bloque de 0.835 kg oscila en el extremo de un resorte cuya constante de resorte es k = 41.0 N/m. La masa se mueve en un fluido que ofrece una fuerza de resistencia F =-bv, donde b = 0.662 N.s/m. a) ¿Cuál es el periodo del movimiento? b) ¿Cuál es el decremento fraccional en amplitud por ciclo? c) Escriba el desplazamiento en función del tiempo, si en t = 0, x = 0, y en t = 1.00 s, x = 0.120 m. 22. (II) Un resorte vertical con constante de 115 N/m soporta una masa de 75 g. La masa oscila en un tubo de líquido. Si a la masa se le da inicialmente una amplitud de 5.0 cm, se observa que la masa tiene una amplitud de 2.0 cm después de 3.5 s. Estime la constante de amortiguamiento b. Ignore las fuerzas de flotación.
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23. (III) Un deslizador sobre una vía de aire está conectado con resortes a ambos extremos de la vía (figura). Ambos resortes tienen la misma constante de resorte, k, y el deslizador tiene masa M. a) Determine la frecuencia de la oscilación, suponiendo que no hay amortiguamiento, si k = 125 N/m y M = 215 g. b) Se observa que después de 55 oscilaciones, la amplitud de la oscilación ha disminuido a la mitad de su valor original. Estime el valor de a. c) ¿Cuánto tiempo pasará para que la amplitud disminuya a un cuarto de su valor inicial?
24. (II) Un automóvil de 1150 kg tiene un resorte con k = 16,000 N/m. Uno de los neumáticos no está adecuadamente balanceado, ya que tiene una pequeña masa adicional en un lado, comparándolo con el otro, lo cual ocasiona que el auto vibre a ciertas rapideces. Si el radio del neumático es de 42 cm, ¿con qué rapidez vibrará más la rueda? 25. (II) La amplitud de un oscilador armónico impulsado alcanza un valor de 23.7 F0/m a una frecuencia de resonancia de 382 Hz. ¿Cuál es el valor Q de este sistema? 26. (III) Considere un péndulo simple (lenteja es una masa puntual) de 0.50 m de longitud con una U de 350. a) ¿Cuánto tiempo se requiere para que la amplitud (que se supone pequeña) disminuya en dos tercios? b) Si la amplitud es de 2.0 cm y la lenteja tiene masa de 0.27 kg, ¿cuál es la tasa de la pérdida de energía inicial del péndulo en watts? c) Si se va a estimular la resonancia con una fuerza impulsora senoidal, ¿qué tan cerca debe estar la frecuencia impulsora de la frecuencia natural del péndulo (de f = f - f0)?
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ANOTACIONES: ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. .............................................................................................................................
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