Movimiento Oscilatorio I. Introducción 2
“Todo es energía y materia” más según la expresión E = mc (de Einstien), la masa también es una forma de energía. Dicho de otra manera, la masa es energía condensada. En consecuencia todo es energía, y según la ley de conservación, la energía no se crea ni se destruye, solo se transforma (Lavoisier). De nuestra experiencia cotidiana, percibimos, o mejor, nos es más tangible la energía condensada, la materia. La energía es un continuo fluir, vive en continua transformación, es su evolución, sin dejar de ser lo que es, sin perder su identidad, se identifica en ella una continua dinámica que lleva implícita en su esencia. Pero hay un condicionamiento inexorable en la energía condensada (la materia), siempre busca ocupar posiciones o estados de mínima energía en ergía (lo que yo he dado en llamar estado de felicidad de la materia). El obedecer tal condicionamiento, implica el servir fielmente (sin negarse a ello) al proceso imperativo de trasmisores de energía. La energía no podrá fluir, sino existen esos trasmisores, independientes de su magnitud. Ante la necesidad de comprender ese continuo fluir de la energía y sus consecuencias, elegimos sistemas que por nuestra familiaridad e inmediatez con ellos, nos permiten en mayor o menor medida alcanzar ese objetivo. Los osciladores son esos sistemas sin los cuales, lo que llamamos movimientos ondulatorios, simplemente no existirían. Esos sistemas oscilatorios se enfocan bajo tres circunstancias básicas: el caso ideal, el caso real y el caso forzado. Las ondas, las considero como ese mecanismo predilecto del continuo fluir de la energía; y por nuestros sistemas censores naturales: el auditivo y el óptico, nos tienen que ser muy familiares. A través de ellas, y nuestra inteligencia, conciente o inconscientemente convertimos nuestra existencia en una continua búsqueda de ese estado de felicidad anotado antes. Por lo que para nosotros representan esos censores naturales, nos deben impulsar cada vez más hacia una mejor comprensión de las ondas, y consecuentemente a crear conciencia sobre su uso racional e inteligente, para aprovecharlas mejor; ya sea, por la inmensa utilidad que podemos encontrar en ellas, o por lo menos, para tener los fundamentos necesarios que nos permita cuidar mejor de esa riqueza natural que representan nuestros sentidos; y así disfrutar a plenitud de ellos por más tiempo en nuestra existencia. El congraciarnos cada vez más con la maravillosa naturaleza que nos rodea; desde nuestro entorno inmediato, amenizado con las melodías musicales, hasta impresionarnos con la infinitud del macro o microcosmos, son algunas de las variadas manifestaciones, que deben convertirse en fuertes razones que nos motiven a estudiar con mucho interés esa forma de transportarse la energía, las ondas. El transporte de energía, percibido a través de nuestros sentidos, e interpretado y aplicado por nuestra inteligencia y creatividad; es un continuo hacer que merece ser analizado en lo fundamental, para apropiarnos de ese conocimiento, y de esa manera aprovecharlo inteligentemente en las múltiples actividades inmersas en nuestras diferentes profesiones, en las que como es natural, aspiramos ejercer exitosamente. Tengamos siempre presente, que de lo bien fundamentado que sea nuestro conocimiento, es que surgen las agallas con las que debemos aspirar trascender como fruto de nuestro juicioso hacer cotidiano.
Las oscilaciones como fuente de las ondas La materia siempre esta en movimiento, movimiento que se justifica por el continuo fluir de la energía. De todas las posibles clases de movimientos, resaltamos uno que parece ser el
preferido de la naturaleza, el movimiento oscilatorio . Este movimiento que identifica una manera especial de transferencia de energía, parece entrañar un comportamiento característico y preferencial en la forma de fluir de la energía, haciéndolo en la forma más silenciosa (lenta) posible, sin sobresaltos. Todo el mundo es testigo de las nefastas consecuencias que ocasionan las transferencias bruscas de la energía, originadas en la acumulación no deseada de la misma, y manifiesta en: los temblores de tierra, maremotos, terremotos, y similares, etc. De la infinidad de sistemas oscilatorios que existen, los ejemplos más académicos, que por su simplicidad son analizados frecuentemente para introducirnos en el estudio de las oscilaciones son: el péndulo simple, péndulo físico o compuesto, péndulo de torsión, y el sistema masa-resorte (ver figura 1), sin ser los únicos claro. De cada uno de ellos nos ocuparemos en alguna medida en nuestras discusiones, sobre todo en la primera parte del curso.
Las Oscilaciones A
B
C
D
Figura 1. Sistemas en estado de mínima energía (estado de felicidad ): A (péndulo simple), B(péndulo físico), C(péndulo de torsión), D(sistema masa-resorte). Estos sistemas, cuando son perturbados por algún trabajo que se hace sobre ellos (que los obliga a dejar su estado de felicidad) transferirán al medio que les rodea, la energía que representa ese trabajo, con un afán natural por recuperar el estado inicial, los lleva a realizar movimientos que son característicos a cada uno de estos sistemas, pues son sistemas diferentes, pero en su función de transferir energía, son equivalentes. Por las características, que son inherentes a cada uno de ellos; en su afán de volver a su estado inicial, no pueden transferir cualquier cantidad de energía, además les es propia su forma de transferencia que esta de acuerdo con la naturaleza, la cual parece preferir la transferencia en forma lenta (en cantidades pequeñas), sin sobresaltos (en cantidades grandes). Todos los cuerpos o sistemas en la naturaleza son elásticos, unos más que otros. Esta característica esta asociada con el hecho de que, la mayor parte del volumen que ocupan los
cuerpos es vacía. Claro, un “vacío” lleno de campos eléctricos, magnéticos, gravitacionales, …, o espirituales, que justifican de una u otra forma, las fuerzas que conectan las diferentes partículas fundamentales o moleculares que constituyen la materia. De la magnitud de esas fuerzas, en última instancia dependerá explícitamente la clasificación que normalmente se hace de los cuerpos, en más o menos elásticos.
¿Cómo perturbamos los sistemas que pueden realizar movimientos oscilatorios? Profesor. ¿Qué opinión le merecen esos sistemas, en cuanto a su complejidad? Estudiante. Realmente me parecen todos muy sencillos. Profesor. Muy bien, ese ya es un buen punto a su favor. Pero ¿cuál le parece el más sencillo? Estudiante. El péndulo simple, me parece que su nombre está muy adecuado, por su simplicidad, casi extrema. Profesor. Estoy muy de acuerdo con su apreciación, y agregaré algo más; tenga cuidado que en esa simplicidad extrema, se esconde gran cantidad de información física. Estudiante. Siempre es así, como para que nos interesemos mucho por entender lo que hay detrás de las cosas sencillas. Profesor. Yo considero que sí. Más aún, un gran pesador dijo alguna vez “las grandes verdades de la naturaleza son las que están escritas en la forma más simple posible”, un ejemplo de eso puede ser la equivalencia de masa-energía de Einstein E = mc2. Estudiante. Ese mismo parecer no podrá ser aplicado a los humanos. Profesor. Ciertamente, es como una norma de comportamiento o características humanas, los seres realmente valiosos, los verdaderos genios, se caracterizan por su humildad y sencillez, un gran pensador expresaba “cuando el hombre se profundiza en sus investigaciones científicas, cada vez se convence más de la poca cosa que él es, y no encuentra razón para sentirse más que los demás”. Profesor. Entonces, aprovechemos de la simplicidad de nuestro primer sistema, para analizarlo y aprender de él algunas cosas interesantes. i ii iii
F
Figura 2. Efecto de una fuerza externa F sobre el sistema A de la figura 1. A partir del equilibrio i, cuando la fuerza se aplica hacia la derecha ii, y cuando la misma fuerza actúa hacia la izquierda iii.
T
T
T
mg mg mg Figura 3. Fuerzas que aparecen en el sistema, en i, para justificar el equilibrio, en ii y iii como respuesta a la fuerza externa, en cuyo caso se ha perdido el equilibrio. En este punto, traeremos lo aprendido en el curso de mecánica, sobre las fuerzas, y expresado en la segunda ley de Newton, las causas del movimiento son las fuerzas . Los efectos que tienen las fuerzas, tienen que ver con su magnitud, efectos que se pueden manifestar a través de movimientos o deformaciones.
Estudiante . ¿Por qué se pierde el equilibrio en ii y iii? Profesor. En i, en la figura 2, el peso y la tensión, actúan sobre la misma línea de acción, pero en sentidos contrarios. La reacción del peso mg, es la tensión T a través de la cuerda, puesto que son iguales en magnitud, la resultante es nula (estado de equilibrio). En ii y iii, el efecto de la fuerza F , fue llevar la masa m a un punto donde, tanto mg como la tensión T , ya no actúan sobre la misma línea de acción, de esa manera se rompe el equilibrio del sistema.
Estudiante . ¿Realizó trabajo la fuerza F , al llevar la masa a la nueva posición de no equilibrio?. Profesor. La palabra no equilibrio, significa o se traduce que la fuerza F si hizo trabajo. Estudiante . ¿Cómo puedo visualizar la energía que representó el trabajo hecho por la fuerza F ? Profesor. Observe la siguiente figura anterior; en ella se tomó como nivel de referencia el punto más bajo del sistema, y como puede verse, entre ese nivel y el de la nueva posición, hay una diferencia que llamaremos h, y si la multiplicamos por el peso mg, o sea mgh, representa ese trabajo hecho por F, o energía. Profesor. Para ser un poco más explícito, de la mecánica, se sabe que el trabajo físico realizado por una fuerza F, que actuando sobre un cuerpo entre dos puntos que definen el vector r, esta definido por W = F.r. En nuestro caso, como muestra la figura, ese trabajo es equivalente a la energía potencial gravitacional que en la nueva posición adquiere la masa m, como efecto de la acción de la fuerza aplicada (perturbadora). Como es claro de la figura, entre la nueva posición y la posición inicial, media una distancia efectiva h. En la definición de trabajo en mención, esta distancia h, debe ser una componente del vector r; y la fuerza que se hace contra la acción de la gravedad, será igualmente una componente de F. De esa manera, podemos obtener la cantidad de energía ganada por el sistema (y por lo que no se considerará afortunada), y es la que necesita liberar, para volver a la posición de felicidad que tenía inicialmente antes de la perturbación. Profesor. Subjetivamente, ¿Cómo considera usted que se encuentre el sistema por la energía en exceso que tiene ahora, bien o mal? Estudiante. Yo, considerándome como un cuerpo material, lo que en realidad físicamente soy, me parece que hay varias situaciones a tener en cuenta, y que bien pueden servir para responder su pregunta. Profesor. ¿Cuáles pueden ser esas situaciones? Estudiante. Las llamaré, estado de enfermedad, de felicidad (como usted dice), y saludable. Profesor. Y en términos energéticos, ¿cómo definiría cada estado? Estudiante. El de enfermedad, como aquel en el que no tengo la energía mínima; el de felicidad, como el de energía mínima; y el saludable, cuando hay exceso de energía.
Además, agregaría que ese estado saludable, es el que nos hace estar siempre dispuesto a trabajar, a estar activos. Profesor. Muy bien, lo felicito. Ha utilizado usted muy bien una cualidad que sin duda le aportará mucho en su proceso de crecimiento personal, sustentado en el conocimiento, la asociación de ideas; algo muy natural, pero que el estudiante raramente utiliza. Y permítame agregar, el estudiante por costumbre, por el acoso generado por las múltiples actividades académicas o de otra índole en que se envuelve, o por facilidad; recurre frecuentemente a la memorización; la cual, sin reflexión o análisis, se vuelve nociva a sus intereses, y los hace sufrir mucho, sólo para pasar los cursos. Por eso, al llegar al final de lo que llamamos formación, tiene un cantidad de información en la cabeza que no sabe que hacer con ella. Lamentable todo eso, y deseo que ese no sea su caso. Estudiante. Esa energía que tiene el sistema, el péndulo, ¿qué va a pasar con ella? Profesor. Usted bien dijo antes, cuando se tiene energía en exceso, hay disposición natural para trabajar, precisamente eso es la que hará el sistema. A través del trabajo, disipará esa energía. Estudiante. Mi profesor de mecánica decía, que el trabajo físico es hecho por fuerzas. ¿Qué fuerza es la que va hacer el trabajo en este caso? Profesor. Retomemos la figura, como puede ver tanto en (a) como en (b), la fuerza que perturbó el sistema, hizo que las fuerzas que estaban equilibradas (actuando en la misma dirección), ahora ya no lo están más; de suerte que necesitamos recurrir al carácter vectorial de las fuerzas, para ver qué fuerza neta es la responsable de esta nueva configuración. (a) (b)
T
mg
mg
Estudiante. Yo aprendí que la descomposición vectorial se hace tomando como base un sistema de coordenadas rectangular, uno de cuyos ejes se puede hacer coincidir con uno cualquiera de los vectores que se van a descomponer. Al tener aquí dos vectores, ¿tal elección se puede hacer sobre cualquiera de ellos, o hay preferencia por alguno en particular? Profesor. En realidad no, aunque pueden presentarse circunstancias, donde por comodidad puede haber alguna preferencia. Al respecto, analicemos más de cerca el asunto, y para el efecto utilicemos un gráfico más detallado. De la figura se puede inferir fácilmente que la
dirección que seguirá la masa será la de la tangente a la circunferencia descrita por su radio, que representa la longitud del péndulo. Si elegimos que uno de los ejes del sistema de coordenadas utilizado coincida con la dirección de la tensión T , entonces la dirección del otro eje, coincidirá con la dirección del otro eje, y lo que debemos tener en cuenta es cómo cambian la dirección de las componentes del peso mg a medida que la masa se aproxima a la posición inicial o de equilibrio. Estudiante. Mi percepción es, que en tal caso las componentes del peso, en particular la que representa la fuerza neta, o la que es responsable del movimiento, cada vez tiende más a coincidir con la dirección del movimiento, alcanzando esta coincidencia justo en la posición de equilibrio. Profesor. En términos del ángulo que forma la dirección de la tensión, respecto a la dirección inicial, ¿qué diría usted acerca de los cambios que experimenta la dirección de la componente responsable del movimiento? Estudiante. Que la dirección de la componente responsable del movimiento tiende a coincidir con la trayectoria cuando los ángulos son pequeños. Profesor. ¿Qué exactamente significaría para usted ángulos pequeños? Dé algún ejemplo o indicación más concreta.
Estudiante. Por ángulos pequeños, estaría refiriéndome a ángulos mensurables, o sea que pueden estar entre 3 y 10 grados, lo cual si lo expresamos en radianes (unidad más utilizada), equivaldría a un rango entre 0.03 y 0.17 radianes aproximadamente, lo que considero que es realmente pequeño para estos sistemas. Profesor. Muy bien, concuerdo con su apreciación.
Estudiante. Ahora me surge una inquietud, sobre la manera como la partícula, busca recuperar la posición de equilibrio. Si ella, la partícula, tiene como objetivo alcanzar de nuevo la posición de mínima energía, ¿por qué cuando llega allí no se detiene? Profesor. Esa inquietud inicialmente se puede enfocar, en términos de la primera ley de Newton. Cuando la partícula alcanza el punto de equilibrio por primera vez, lo hace en virtud del movimiento, y por dicha ley, la de inercia, el sistema tiende a continuar el movimiento que lo aproxima a dicho punto, y por eso pasa de largo. Esta característica se aprecia mejor al inicio del movimiento. Otra forma de enfocar tal hecho, es energéticamente, y que bien sirve de complemento al anterior. En el recorrido entre la posición perturbada, y la de equilibrio, el sistema en estos casos (tal como está planteado) no alcanza a transferir toda la energía con que fue perturbado, y consecuentemente tiene que continuar transfiriendo energía en nuevos recorridos, favorecido también por su inercia. Más adelante consideraremos otros sistemas en los que es posible transferir toda la energía en pequeños recorridos. Estudiante. He podido observar que al iniciar el movimiento, la masa m, después de pasar por la posición de equilibrio llega a un punto que parece ser simétrico con aquel de donde partió, ¿esta observación es verdadera o es aparente? Profesor. Me parece muy oportuna su observación; en realidad lo que usted observa es aparente, pues en razón de que en cada trayectoria el sistema libera una cantidad de energía, cuando inicia un nuevo recorrido, ya no tiene la energía con que inicio (libero parte de ella) y por consiguiente no puede alcanzar de nuevo la posición de partida. Aunque al comienzo él sistema recorre trayectorias parecidas, ellas no son iguales; y por consiguiente, usted no puede en la primera parte del movimiento, definir un tiempo regular para que la masa recorra una determinada trayectoria, ya que todas son distintas. Por esta circunstancia, el movimiento se llama oscilatorio, más no es p eriódico. Estudiante. Como en estos movimientos, se está liberando energía, ¿ellos nunca son periódicos? Profesor. Como usted ya le hizo seguimiento de principio a fin al sistema, mejor le respondo con otra pregunta, en su seguimiento del movimiento, ¿qué hecho interesante le llamó la atención? Estudiante. Que el tiempo que tardo la masa alejándose relativamente mucho de la posición de equilibrio, fue realmente corto. La mayor parte del tiempo estuvo alejándose poco de dicha posición de equilibrio. O en otras palabras, describiendo arcos correspondientes a ángulos pequeños, los que anote antes. Profesor. Considera usted, que, ¿la masa m iba realmente al mismo punto después de cada recorrido? Estudiante. Aunque me parecía que iba al mismo punto, como finalmente el sistema volvía a la posición de equilibrio, tenía que admitir, que la masa después de cada recorrido, realmente no podía alcanzar el mismo punto. Si así fuera, el sistema no podía parar, y eso no es cierto. Lo que me inquieta ahora es, ¿porqué la mayor parte del tiempo que dura el movimiento, es cerca a la posición de equilibrio? Profesor. Como mencionamos antes, en recorridos grandes la cantidad de energía liberada es también relativamente grande, de suerte que en recorridos pequeños, la energía liberada es pequeña, y como la forma de liberar energía es con el movimiento, consecuentemente tendrá que hacerlo cuantas veces sea necesario para recuperar la posición inicial o de equilibrio.
Estudiante. Entonces, en ese movimiento final, ¿podemos considerar que los tiempos utilizados para recorrer de extremo a extremo de la trayectoria son iguales? Profesor. Efectivamente; para esos movimientos, se hace la aproximación de considerarlos como movimientos periódicos. Siendo el periodo, el tiempo que tarda la masa m en ir y volver al mismo punto extremo, después de pasar dos veces por la posición de equilibrio. O lo que en el lenguaje muy propio de las oscilaciones es, el tiempo necesario para realizar una oscilación completa. Además, permítame agregar que estos movimientos son llamados también, movimientos armónicos simples. Al hacer la descripción matemática de ellos, precisaremos mejor los atributos de estos movimientos preferidos por la naturaleza. Estudiante. ¿ Todos los movimientos oscilatorios son armónicos simples? Profesor. No todos los movimientos oscilatorios son armónicos simples, más todos los movimientos armónicos simples son oscilatorios. Estudiante. De acuerdo a lo que hemos analizado, los movimientos armónicos simples son los preferidos de la naturaleza en el proceso de transferir energía; ¿cómo podemos identificarlos y describirlos totalmente? Profesor. Efectivamente, esa es nuestra próxima tarea. Para abordar este análisis usted debe tener muy presente algunos conceptos físicos y matemáticos que debe haber aprendido en sus cursos de física y matemáticas, en los cursos previos. Al respecto es importante aclarar, que aunque toda nuestra discusión se centró en el movimiento pendular, todo lo que se ha dicho se aplica tanto a los sistemas mostrados en la figura 1, como a todos los sistemas que son análogos a ellos. Estudiante. ¿ Existe alguna diferencia importante entre los sistemas de la figura 1, en relación con la descripción de su movimiento? Profesor. En lo fundamental no. No obstante cada uno tiene características especiales que lo identifica, y a través de los cuales ellos quedan perfectamente definidos. Por eso es tan importante ser cuidadosos al describirlos matemáticamente. En el sistema pendular, miremos las fuerzas involucradas y sus efectos. En forma muy general, de acuerdo con la figura, las fuerzas que pueden ser identificadas claramente son: el peso mg y la tensión T . En la posición de equilibrio, no hay fuerza neta, y consecuentemente la suma de fuerzas es nula; es decir T – mg = 0, pero en la posición inicial perturbada la situación es la siguiente:
θ
T – mgCos θ = 0
T
mgSen θ = ma o g Sen θ = ma (Segunda ley de Newton)
(*)
mgCos θ mgSen θ mg
Estudiante. Según la última expresión (*), ¿la masa no es importante en el movimiento pendular? Profesor. Su importancia es relativa, pues imagínese usted un péndulo, con solo la cuerda. ¿Cómo le parece a usted tal sistema?
Estudiante. No se apreciaría bien el movimiento, o la cuerda necesitaría ser muy gruesa, para que oscile razonablemente bien, pero en tal caso, el sistema podía ya no ser identificado como un péndulo simple. Profesor. Efectivamente, en el péndulo simple, se considera la cuerda sin masa o de masa despreciable, e inextensible, aunque es una aproximación, es saludable; pues tales cuerdas sin masa e inextensibles es una abstracción. Al considerar la cuerda sin masa o despreciable, es una manera de decir que la masa del sistema es la de aquella ubicada en el extremo de la cuerda, y que lo que uno sigue en el estudio del movimiento de este sistema es, la trayectoria trazada por su centro de masa. Por eso se prefiere que la masa sea uniforme y homogénea. Además, por la propiedad inercial de la masa, sirve de complemento a la dinámica del sistema como lo anotamos antes. Estudiante. La última expresión para la aceleración, ¿se puede considerar como una de las características de los movimientos armónicos? Profesor. Inicialmente, observe que en la expresión a = gSen θ , no se ha dicho nada acerca del ángulo θ. Esta expresión dice que la aceleración es proporcional al Seno θ , o sea que es proporcional a una función de θ , y no al ángulo θ . Esto implica, que no habría restricción sobre la magnitud de θ, y usted observó, que el movimiento que estamos describiendo es aquel que realiza la masa, cuando describe arcos de circunferencia pequeños (ángulos pequeños medidos en radianes), o desplazamientos igualmente pequeños, alrededor de la posición de equilibrio. En consecuencia esa no es la forma que debe tener la aceleración, o en su defecto la fuerza, comúnmente llamada, fuerza recuperadora. Estudiante. Entonces, ¿cómo se puede transformar la expresión de la aceleración, para obtener la forma apropiada? Profesor. Precisamente, en eso se fundamentó mi insistencia sobre la observación del movimiento, pues es necesario que experimentalmente se estructure la idea de pequeños desplazamientos que es lo que identifica a los movimientos armónicos, fundamento de nuestro estudio. Así que teniendo en cuenta el criterio de los pequeños desplazamientos, podemos aplicar la aproximación de que Sen θ ≈ θ ; con lo que la forma final de la aceleración será a = g θ . Estudiante. Entonces la característica del movimiento armónico es que, ¿la aceleración sea proporcional al desplazamiento? Profesor. Evidentemente, es la característica más importante; más también es importante destacar otras características que la complementan y que permiten una mejor identificación del movimiento. Independiente del sistema que experimenta moviendo armónico, como lo pudo observar en los montajes hechos en clase, usted percibió que en los extremos de la trayectoria la fuerza que justifica el movimiento siempre apunta hacia la posición de equilibrio, esa característica se vuelve explicita con el signo menos para la fuerza, o en su defecto a = - gθ . Estudiante. Por la observación hecha en los sistemas analizados en clase, me parece que los sistemas que realizan movimiento armónico simple tienen las siguientes características: fuerza recuperadora dirigida siempre hacia la posición de equilibrio, inercia que lo representa la masa, y desplazamientos pequeños alrededor de la posición de equilibrio. Profesor. Estoy de acuerdo con su parecer, esas son características válidas, y que bien orientan la discusión de estos sistemas. Además es oportuno enfatizar que todo lo que se ha
dicho sobre el movimiento pendular, es aplicable a todos los sistemas armónicos simples. Para complementar este análisis digamos lo siguiente: De a = -g θ , si tenemos en cuenta la definición de θ = arco/radio ≈ x/l, y además a = 2 2 2 2 ω x. Así que -ω x = -gx/l → ω = g/l. Este parámetro ω , es una constante característico de cada sistema; pues como se puede apreciar, está definida en términos de cantidades que les son propias, en el caso del péndulo, son g y l. En el mismo orden de ideas, de la ecuación a 2 d x = -gx/l, sabiendo que a = , entonces podemos escribir la ecuación del movimiento 2 dt 2 d x 2 como − ω x = 0 , que es la ecuación que caracteriza al movimiento armónico simple. 2 dt ¿Sabe usted algo de estas ecuaciones? Estudiantes. Del curso de ecuaciones diferenciales, puedo decir que es una ecuación diferencial incompleta de segundo orden con coeficientes constantes, pues no tiene término con primera derivada. Profesor. Muy bien, sobre las propiedades de estas ecuaciones y su forma de solución; si tenemos en cuenta, que algunos estudiantes aún no han visto el curso de ecuaciones diferenciales, e inclusive otros ni siquiera tienen dicho curso en su currículo, será lo que continuemos discutiendo en lo que sigue.
