INFORME:
MOVIMIENTO OSCILATORIO
OBJETIVOS:
Estudiar las características dinámicas del movimiento armónico simple, amortiguado y forzado. Verificar la dependencia lineal entre la fuerza aplicada aun resorte y su deformación (ley de HOOKE) en la región elástica.
Estudiar el movimiento oscilatorio de un sólido rígido haciendo uso de los conceptos de oscilador armónico y dinámica de rotación. Encontrar experimentalmente la relación del período de oscilación con la constante elástica del resorte y su masa.
Verificar que en el caso del movimiento armónico amortiguado, la fuerza de amortiguamiento es proporcional a la velocidad, mostrando la validez del modelo. x + 2yx + w02x = 0, respecto al experimento realizado encontrar la constante de amortiguamiento del agua.
MATERIALES:
UN CRONOMETRO
NIVEL DE BURBUJA
VARILLA DE METAL CON ORIFICIOS
REGLA MILIMITRADA
VERNIER O PIE DE REY
VALDE PEQUEÑO
SOPORTE UNIVERSAL Y UN SOPORTE DE MADERA
BLOQUES Y VARILLA PEQUEÑA CON BASE CIRCULAR
RECIPIENTE CON AGUA
UNA BALANZA
FUNDAMENTO TEORICO: Oscilación Armónica:
Sabemos que la amplitud de un cuerpo vibrante tal como un resorte o péndulo puede mantener su oscilación indefinidamente si no recibe una fuerza que se oponga a su movimiento, si es así, tiene una amplitud que decrece gradualmente hasta que se detiene. Esto es, el movimiento es oscilatorio amortiguado. Para explicar dinámicamente el amortiguamiento podemos suponer que, en adición a la Fuerza elástica F=-Kx actúa otra fuerza, opuesta a la velocidad. la fuerza que Consideraremos será debido a la viscosidad del medio en el cual el movimiento tiene Lugar ( F=- lv ) donde l es una constante y v es la velocidad. El signo negativo se debe al hecho que F se opone a v . La fuerza resultante sobre el cuerpo es: ma = -kx - lv
(1)
Recordando que: v = dx/dt y a = d 2 x/dt 2 remplazando tenemos: d 2 x/dt 2 + 2 γ dx/dt + w 02 x = 0
Donde: 2 g= l/m y w 02 = k/m es la frecuencia angular sin amortiguamiento.
Oscilación Armónica simple:
El caso del movimiento amónico simple se observa cuando g = 0, es decir d 2 x/dt 2 + w 02 x = 0
Oscilación Armónica am ortigu ada:
Escribamos una solución para el caso de pequeño amortiguamiento cuando g<0 la Solución es entonces: x = Ae -gt sen(wt +a ) Indica que el efecto del amortiguamiento es disminuir la frecuencia de las oscilaciones. La amplitud de las oscilaciones no es constante y está dada por Ae-gt debido al exponente negativo, la amplitud decrece a medida que el tiempo aumenta, resultado de un movimiento amortiguado. Mom ento de Inercia El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:
TEOREMA DE STEINER O TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS
El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:
donde: I eje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; I (CM )eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa; M : Masa Total y h : Distancia entre los dos ejes paralelos considerados.
PROCEDIMIENTOS:
1: MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE a) HALLANDO LA CONSTANTE DE ELASTICIDAD DEL RESORTE :
Observaciones: Sabemos que la contante de elasticidad del resorte se define como la fuerza necesaria para estirar o deformar dicho resorte en una unidad. De lo anterior tenemos:
K= P
Donde:
P: Carga aplicada
X
K: Constante de elasticidad X: Alargamiento producido
Para el experimento asumimos la gravedad como 9.8 m/s2 1: Las mediciones se realizar por medio de los siguientes materiales:
4 pesas soporte metálico 1 resorte 1 regla graduada 1 canastilla
2: usando el soporte metálico, coloque el resorte como muestra la figura:
Figura
3: colocar sobre el resorte el sistema (M1 +canastilla) con pesos previamente conocidos y tomar apuntes sobre el alargamiento producido del resorte con la regla graduada. 4: coloque otro sistema (M1 + M2 + canastilla) con pesos conocidos y baje lentamente hasta el equilibrio y tome la medida del nuevo alargamiento del resorte. 5: repetir el procedimiento para las demás pesas. 6: una vez tomado las longitudes del alargamiento del resorte y teniendo la la masa de cada pesa, procedemos a hacer un ajuste de curvas cuya ecuación tendrá la forma siguiente:
F = Y= ax+ b
donde:
a = constante de elasticidad del resorte.
b) DETERMINANDO LA FRECUENCIA NATURAL DEL SISTEMA MASA RESORTE:
1: Primeramente para esta parte del experimento pesamos la varilla de metal con orificios y medir su longitud total. 2: con la ayuda de los siguientes materiales arme un la siguiente figura:
Varilla metálica Soporte universal Un resorte Un soporte de madera
3: con el nivel de burbuja comprobar que la varilla metálica este en forma horizontal 4: ahora con el sistema totalmente en equilibrio hacemos 10 oscilaciones, repetimos este procedimiento tres veces.
2: MOVIMIENTO ARMONICO - AMORTIGUADO:
a)
DETERMINE LA FRECUENCIA SISTEMA MASA RESORTE:
DE
AMORTIGUAMIENTO
DEL
1: conocida la masa de la varilla, ahora hacemos uso del recipiente con agua y de la varilla pequeña de base circular de masa conocida, para formar el siguiente sistema.
2: con la ayuda del nivel de burbuja aseguramos la varilla para que este en forma horizontal.
3: con el sistema mostrado hacemos 5 oscilaciones donde el ángulo de oscilaciones sea equivalente a 10º, repetimos este procedimiento 3 veces.
CALCULOS Y RESULTADOS:
1: MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE: a)
HALLANDO LA CONSTANTE DE ELASTICIDAD DEL RESORTE :
Observación: Para poder hallar la constante de rigidez del resorte haremos uso dela teorema de ajuste de curvas cuya ecuación nos dará la forma:
Y= ax+ b
donde:
a = constante de elasticidad del resorte.
Teorema:
( ̅) ( ̅) ( ̅) ∑ ∑( ̅) ( ̅) ( ̅) ∑
∑ ̅ F = K.X = ax+ b
Donde:
: Media aritmética de los X : Media aritmética de los Y a=K y b0
i i
̅
Ln
K
F= KX X
Masa (kg)
Peso (N)
Ln + X (m)
X (m)
M3+M1
1.498
0.130
0.006
M2+M1
2.443
0.132
0.008
M1 +M4
2.464
0.134
0.010
M1+M3+M4
3.482
0.155
0.031
M1+M2+M3+M4
5.445
0.229
0.105
xi ( Deformación) m
yi (Peso) N
0.006
1.498
0.008
2.443
0.010
2.464
0.031
3.482
0.105
5.445
0.16
15.332
Siendo: M1: 0.0490 kg M2: 0.2000 kg M3:0.1038 kg M4: 0.2022 kg
g
= 9.81 m/s 2 Ln = 0.124 m
= 0.0032 y = 3.0664
a = 34.895 Y
F = 34.895x+1.9381 POR LO TANTO
K = a = 34.895 (N/m2)
b= 1.93891
b) DETERMINANDO LA FRECUENCIA NATURAL DEL SISTEMA MASA RESORTE:
Hallando la frecuencia en forma experimental:
Resultados del experimento: Masa de la barra = 1,7716 Kg.
Longitud total de la barra = 1,099 m
L b = 9,5 cm. a = 25,2 cm. c = 45, 9 cm.
Sabemos: T1(s)
T2(s)
T3(s)
11,49 11,38 11,40
TPROMEDIO(s)
11,42333
f = 1/ T
Siendo: T : Periodo de oscilación (promedio)
f : frecuencia natural experimental Por lo tanto:
f experimental = 0,8754 Hz.
Hallando la frecuencia en forma teórica:
Sabemos:
̅ ̈
Mg (L/2 – b) - K (ө + өo) (L-a-b) 2 = I α Mg (L/2 – b) - өo K (L-a-b) 2 = Iӫ + өK (L-a-b) 2 I α+ 17.934ө = 0
Hallando el momento de inercia de la barra:
I = Ig + md2
Ig = mL2/12
I g = 1.7716(1.099)2/12 I g = 0.178311
Por lo tanto: I = Ig + md2
I = 0,1783 + 1.7716(0.4545)2
I = 0,5443
Luego: W 2 = 17.934/0.5443 W = 5,7402
Sabemos:
W= Entonces:
f
Siendo: f: frecuencia teórica
5,7403 = 2 πf
f (teórica) = 0,9136Hz Hallamos el porcentaje de error:
%porcentaje de error =100% (F TEORICA - FEXPERIMENTAL)/FTEORICA
(0,9136 – 0,8754)100/0,9136
%Porcentaje de error = 4,18%
2: MOVIMIENTO ARMONICO- AMORTIGUADO: a)
DETERMINE LA FRECUENCIA SISTEMA MASA RESORTE:
DE
AMORTIGUAMIENTO
Resultados del experimento: Masa de la barra = 1,7716 Kg.
Longitud total de la barra = 1,099 m
Masa de la varilla de base circular = 0.1060 Kg.
LO
b = 14,4 cm; a = 24,9 cm; c = 46,9 cm; y d = 25,2 cm. LO = 70.6 cm T1(s)
T2(s)
T3(s)
TPROMEDIO(s)
5,7
5,69
5,66
5,68333
Periodo = 1,136666
f experimental = 0,8798Hz. Hallando la frecuencia natural:
̅ ̈
Mg (L/2 – b) - K (ө + өo) (L-a-b) 2 = I α Mg (L/2 – b) - өo K (L-a-b) 2 = Iӫ + өK (L-a-b) 2 I α+ 17.934ө = 0
El momento de inercia de la barra en el punto O es:
I = Ibarra + Imasa puntual I = 0.5442 + md2 I = 0.5442 + 0.106(0.4055) 2 I = 0.5617
DEL
Sabemos:
W = √ 0
Wo2 = 17.934/0.5617 Wo = 5,6505
Sabemos: Como la frecuencia experimental es 0,8798 Hz entonces:
W=
= √ =
5.5249
W= 5.5249
̇ ̈
Se sabe:
W=
√ ( )
Entonces: 5,52492 = 5,65052 - δ 2 δ = 1.4046
También:
δ = c.
δ= c. = () =1.4046 C = 3.1657 C : Constante de amortiguamiento
CONCLUSIONES:
Podemos decir que entre la fuerza elástica y el estiramiento del resorte existe una relación de proporcionalidad directa. La constante que se obtiene es k (constante elástica). Éste valor se puede obtener mediante el método aplicado; que es de aplicar diferentes fuerzas al resorte observando que a mayor fuerza hay mayor estiramiento (Δx) del resorte. Graficando los
valores obtenemos una recta, por lo cual podemos concluir que ambas magnitudes son directamente proporcionales y que su cociente nos da una constante (k) que determinará la dureza del resorte.
El movimiento que presentan los objetos que oscilan mientras que no ha una fuerza externa que influya en el sistema, se llama movimiento periódico bien movimiento armónico no amortiguado, en el que la frecuencia depende tanto de la masa como de la constante del resorte, la constante del resorte depende de factores físicos del mismo, para obtener su valor, solo basta con despejar de la fórmula del periodo. Cuanto mayor sea la masa del cuerpo mayor será su periodo de oscilación Cuanto mayor sea la constante del resorte menor será su periodo de oscilación También podemos decir que hubo un error debido a que asumimos a la barra como uniforme como también al baldecito y despreciamos la masa de esta, como también fue la no exactitud de los tiempos de oscilaciones al calcularlo experimentalmente.
BIBLIOGRAFIA:
Facultad de Ciencias (Universidad Nacional de Ingeniería) Manual de laboratorio de Física.
Facultad de Ingeniería Civil (Universidad Nacional de Ingeniería) Manual de laboratorio Física General
Movimiento Oscilatorio. (Física II). Humberto Leyva Naveros Movimiento Armónico Simple (Física Vol.2). Navarro y Taype www.fisicarecreativa.com/guias/movimientooscilatorio.pdf
Facultad de Ingeniería Civil LABORATORIO DE DE FISICA II
PROFESOR: ING. AMERICO LEON
ALUMNOS: DEUDOR CONDEZO, Rodolfo Allen
CODIGO: 20092103K
12 de octubre del 2009
