MOVIMIENTO OSCILATORIO
1) Objetivos: • • • •
Analizar el movimiento oscilatorio en un caso de amortiguamiento. Aplicar nuestros conocimientos del curso en el experimento para así reforzarlos. Aprender a manejar los materiales de laboratorio de una forma más precisa. Poder hallar la constante C de amortiguamiento luego de haber hallado K constante de elasticidad.
2) Fundamento Teórico: Para poder realizar los cálculos necesarios para poder hallar la constante C debemos de tener en cuenta algunos conceptos tales como: Movimiento Armónico Simple
Donde se ve que K es la pendiente de la función F vs x
Para este caso:
Se sabe que:
Por lo tanto:
Reemplazando lo de (1)
Tiene la forma de un movimiento oscilatorio. Por ello:
Movimiento Armónico Amortiguado:
Su frecuencia es de la siguiente forma:
Momento de Inercia: El momento de inercia se halla de dos maneras:
Para partículas discretas:
Para sólidos:
Hay algunos momentos de inercia conocidos que nos ayudarán como: Cilindro Solido
Placa rectangular:
Teorema de Steiner: Si se tiene el momento de inercia del centro de masa se puede hallar cualquier momento de inercia en cualquier eje paralelo al eje que pasa por el centro de masa.
Ajuste Cuadrático: Es un método por el cual a partir de datos obtenidos experimentalmente, éstas se aproximan a una función determinada. Veremos el que nos interesa. Recta Mínima Cuadrada:
2) Materiales: - Vernier
- Balanza
- Barra con agujeros
- Cronometro
- regla metálica
- Pesas
- Resorte y soporte
4) Procedimiento:
Pesamos todas las pesas que se nos han asignado, luego escogerlos de diferentes maneras, colocarlos en el resorte y medir las diferentes elongaciones. Con los datos construir una tabla. Pesas(Kg)
X(cm)
0,3042 0,3562 0,4004 0,4524 0,5564
0,8 2,1 3,8 5,1 8,2
Escoger de nuevo las pesas de diferentes maneras y colocarlo en el resorte, medir el tiempo de 10 oscilaciones, y hacer una tabla de ello. Pesas(Kg)
Periodo(10 Oscilaciones)
0.3562 0.4004 0.4524 0.5044 0.5564
6.45 7.08 7.54 7.92 8.17
Colocar la barra de tal manera que este sostenida por el resorte y un punto de apoyo, además debe estar horizontal. En esta situación medimos el tiempo tres veces de 10 oscilaciones.
T1
8.995
T2 9.06
T3 9.11
T promedio 9.055
En esa situación le añadimos una fuerza amortiguadora que estará representada por la fuerza que ejerce el agua y repetiremos el proceso anterior. T2 9.34
T1
9.49
T3 9.41
T promedio 9.41333
Pesamos la barra, las pesas y demás masas que nos interesan. Con ayuda del Vernier y la regla metálica hacer las dimensiones de la barra. Son 21 agujeros
5) Cálculos y Resultados: Primero hallaremos la constante de elasticidad del resorte, lo podremos hacer de dos diferentes formas. Primera forma:
Teniendo la siguiente tabla: Pesas(Kg)
X(cm)
0,3042 0,3562 0,4004 0,4524 0,5564
0,8 2,1 3,8 5,1 8,2
Se puede hallar una relación entre fuerza y elongación, pues: F = mg Donde
Fuerza(N)
X(m)
2.984202 3.494322 3.927924 4.438044 5.458284
0,008 0,021 0,038 0,051 0,082
Se sabe que k es la pendiente de la función F vs x, por ello hallaremos esa función por el método de ajuste cuadrático.
Donde y es F. Además se sabe que:
n =5
Teniendo esto, solo reemplazamos y tendríamos el valor de a y b a = 33.08612767
b = 2.737110093
Por lo tanto la función es: F= ax+b, y graficando
La pendiente es k, lo que representa la letra a k teorico = 33.08612767 Segunda forma:
Se sabe que:
Teniendo la siguiente tabla:
Pesas(Kg)
Periodo(10 Oscilaciones)
0.3562 0.4004 0.4524 0.5044 0.5564
6.45 7.08 7.54 7.92 8.17
Se puede hallarla la constante k para cada dato, lo representaremos en la siguiente tabla: Pesas(Kg)
0.3562 0.4004 0.4524 0.5044 0.5564
T(1 Oscilación)
0.645 0.708 0.754 0.792 0.817
Cte. de elasticidad(K)
33.801363 31.534597 31.415186 31.745666 32.908095
Para hallar la k resultante se tendrá que promediar todas, este k será el experimental. K experimental = 32.28098 Acá tenemos un primer porcentaje de error:
Luego de haber calculado la k debemos calcular la frecuencia normal con la que oscila la barra. Ésta frecuencia también se hallara de dos formas. Primera forma:
Se sabe que la frecuencia de la barra esta dado por:
Tendremos que hallar el I o de la barra y la masa. Calcularemos el I de la barra, como necesitamos la masa de cada parte de la barra primero hallaremos la densidad de la barra:
Ahora se puede hallar las masa que contendrían cada agujero o cilindro, también la masa de la barra completa.
Para hallar el momento de inercia total debemos de restar el momento de inercia de los agujeros al momento de inercia de la barra.
Icentro = IBarra completa – Iagujeros Primero hallaremos el I de la barra
Para poder hallar el momento de inercia de los agujeros usaremos el teorema de steiner.
Iagujero 1 = Iagujero 0 + Magujero x (5 x 10-2)2 Iagujero 2 = Iagujero 0 + Magujero x (5 x 10-2 x 2)2 Iagujero -1 = Iagujero 0 + Magujero x (5 x 10-2 )2
Iagujeros = 21 Iagujero 0 + 2 Magujero x (5 x 10-2)2 (1 + 22 + 32 +….+ 102) Iagujero 0 = (Magujero x ((1.29 x 10-2)/2)2 )/2 Reemplazando Iagujero 0 = 1.298194921 x 10-7 Luego Iagujeros = 0.01201654857 Icentro = IBarra completa – Iagujeros Icentro = 0.1961882638 - 0.01201654857 =0.1841717152 Teniendo el I centro, por el teorema de steiner lo llevamos al punto O.
Ahora calcularemos el I omasa con la siguiente fórmula:
Con todo esto ya tenemos el I o del sistema en el punto o, y podremos calcular la frecuencia.
Reemplazando:
Segunda forma:
Tenemos el periodo T promedio de 10 oscilaciones, además tenemos que:
Reemplazando en la ecuación se tiene:
Teniendo estos dos frecuencias de la barra se puede hallar otro porcentaje de error.
Después de tener la frecuencia natural calcularemos constante C de amortiguamiento. Para ello se tiene que:
Tendremos que calcular γ, por eso primero calcularemos ω a, se tiene el periodo de 10 oscilaciones
Reemplazando en la ecuación se tiene:
Luego se tiene el valor de γ el cual es:
Después despejando C en la ecuación se tiene:
6) Conclusiones:
Nos damos cuenta de que hay variadas formas de poder hallar la constante K y la frecuencia natural. Hay un cierto porcentaje de error y se debe a muchos factores, los cuales pueden ser: mala toma de datos, errores al calcular, aproximar de una manera errónea. Se debe tener cuidado al hacer las mediciones en el laboratorio pues un pequeño error nos haría perder precisión en la respuesta. Nuestro error es de unos 2 %, lo que nos indica que nuestros resultados son buenas aproximaciones a las respuestas verdaderas. Se puso la barra en posición horizontal y perpendicular al resorte para poder trabajar de una manera más simple, sin utilizar componentes de las fuerzas.
7) Bibliografía:
Física I Serway Física Universitaria Zemansky