3.- MODELO DE TRANSPORTE, ASIGNACIÓN Y TRANSBORDO
3.1.- Modelo de Transporte El método de transporte es un caso especial de la programación lineal y busca determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos.
Objetivo: Determinar la cantidad que se enviará de cada “fuente” (punto de origen) a cada “destino” tal que se minimice el costo total de transporte. Entre los datos del modelo se cuenta: Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino • • El costo de transporte unitario de la mercancía de cada fuente a cada destino Supuesto: El costo de transporte en una ruta es directamente proporcional al número de unidades transportadas. FUENTES
DESTINOS
S S
1
c
11
1
1
c
d
1
12
si = Oferta de la fuente i. d j = Demanda del destino j.
S
2
S m
2
2
.
.
.
.
.
.
m
n
Minimizar
d
2
xij = Cantidad transportada de i a j . d n
m n z = ∑ ∑c ij x ij i j n
s.a.
∑ x
ij
j
i = 1, 2, ..., m
m
∑ xij >d j j = 1, 2, ..., n i x ij >0
cij = Costo unitario de transporte de i a j.
i = 1,....m; j = 1,...n
Cuando la oferta total no es igual a la demanda total, se dice que el modelo de transporte está desequilibrado. En caso contrario si:
∑ si = ∑ dj
→
Modelo de
transporte balanceado y es una condición necesaria y suficiente para que un problema de transporte tenga soluciones factibles. m n z = ∑ ∑c ij x ij i j
Min n
∑ x
Sa
ij
j
i = 1, 2, ..., m
= si
m
∑ xij = d j
j = 1, 2, ..., n
i
x
ij
>0
i = 1,....m; j = 1,...n Costo por unidad distribuida Destino 1 2 ... n C11 C12 ... C1n C21 C22 ... C2n
1 2 . M
Origen
Cm1 d1
Demanda
X11 X12 ... 1 1 …
Cm2 d2
... ...
Recursos S1 S2
cmn dn
sm
Coeficiente de ... X2n ... Xm1 Xm2 …
X1n X21 X22 1 1 1 …
xmn
1 1
Restricciones De Origen
1
Restricciones De destino
… A=
1
1 1
1 1
1 …
1
…
1 ..
..
1
1
Cualquier problema de programación lineal que se ajuste a esta formulación especial es del tipo de problemas de transporte, sin importar su contexto físico. Para el caso de sobreproducción: ∑ Si > ∑ d j Balancear el problema agregando un destino imaginario o artificial (destino ficticio) el cual tendrá como demanda dicha sobreproducción. En cuanto a los costos asociados a este nuevo destino los estableceremos iguales a cero. Para el caso de sobredemanda:
∑ Si
<
∑ d j
Balancear agregando un origen artificial(origen ficticio) el cual tendrá como recursos (producirá) dicha sobredemanda. Los costos asociados a este nuevo origen son cero.
Ejemplo: M.G. tiene 3 plantas: Los Angeles: Detroit: New Orleans:
Capacidad 1.000 automóviles/año 1.500 automóviles/año 1.200 automóviles/año
Centros de Distribución:
Denver: Miami:
Demanda 2.300 automóviles/año 1.400 automóviles/año
Costo Transporte: 0,08 U$/milla Distancia Recorrida (millas):
Los Angeles: Detroit: New Orleans:
Denver 1.000 1.250 1.275
Miami 2.690 1.350 850
Costo por automóvil:
Los Angeles (1): Detroit (2): New Orleans (3):
Denver 80 100 102
Miami 215 108 68
(1)
x ij = Nº de autos transportados de i a j
Oferta Total = Demanda Total
Min Z = 80 x 11 + 215 x 12 + 100 x 21 + 108 x 22 + 102 x 31 + 680 x 32 s.a. x 11 + x 12 + x 21 + x 22 +x 31 + x 32 = 1.000 x 11 + x 12 + x 21 + x 22 +x 31 + x 32 = 1.500 x 11 + x 12 + x 21 + x 22 +x 31 + x 32 = 1.200 x 11 + x 12 + x 21 + x 22 +x 31 + x 32 = 2.300 x 11 + x 12 + x 21 + x 22 +x 31 + x 32 = 1.400 x ij ≥ 0 ∀ ij
(2)
DESTINOS Los Angeles
Denver (1) 80
(1) x 11
Detroit
1.000
108
1.500
68
1.200
x 12
(2)
100 x 21
New Orleans
Miami (2) 215 x 22
(3)
102 x 31
x 32
2.300
1.400
Métodos para encontrar soluciones iniciales factibles Regla de la Esquina Noroeste: Este método comienza con la asignación de la máxima cantidad admisible a través de la oferta y la demanda de la variable x ij (esquina noroeste de la tabla). 1.
2. Tachar la columna (renglón) satisfecha, lo que indica que las variables restantes de la columna (renglón) tachada son iguales a cero. Si se satisfacen una columna y un renglón al mismo tiempo, sólo uno puede ser tachado. (Esta condición garantiza la ubicación automática de variables básicas cero, si las hay). 3. Ajustar las cantidades de oferta y demanda de todos los renglones y columnas no tachados, la cantidad factible máxima se asigna al primer elemento no tachado de la nueva columna (renglón). El proceso se completa cuando se deja sin tachar exactamente un renglón o una columna.
Ejemplo: 1 1
2 10
x 11
2
0 x 12
12 x 21
3
3 x 13
x 22
x 31
9
14
15
20
25
18
5
x 24
16 x 33
15
11 x 14
x 23
x 32
5
20
7
0
4
x 34
15
10
Método del Costo Mínimo: 1. Asignar el valor más grande posible a la variable con el menor costo unitario de toda la tabla. (Los empates se rompen en forma arbitraria). Tachar el renglón o columna satisfecho. 2. Ajustar la oferta y la demanda de todos los renglones y columnas no tachados, repítase el proceso asignando el valor más grande posible a la variable con el costo unitario no tachado más pequeño. El procedimiento está completo cuando pueda exactamente un renglón o una columna sin tachar.
Método de Aproximación de Vogel: 1.
Calcular la penalización para cada renglón (columna), que se define como la diferencia aritmética entre el costo unitario más pequeño c ij y el que le sigue del renglón (columna).
2. Identificar el renglón o columna con la mayor penalización, rompiendo empates en forma arbitraria. 3. Asignar el mayor valor posible a la variable con el costo más bajo del renglón o columna seleccionada. Ajústense la oferta y la demanda y táchese el renglón o columna satisfecho. Cualquier renglón o columna con oferta (demanda) cero no debe utilizarse para calcular penalizaciones futuras. 4.
Se tienen las siguientes posibilidades: a) Si solo hay un renglón o columna sin tachar, deténgase. b) Si solo hay un renglón (columna) con oferta (demanda) positiva sin tachar, determínese. Las variables básicas del renglón (columna) a través del método del costo mínimo. c) Si todos los renglones y columnas sin tachar tienen oferta y demanda cero (asignadas), determínese las variables básicas cero a través del método del costo mínimo. Deténgase. d) De lo contrario, calcúlese las penalizaciones de los renglones y columnas no tachados y después diríjase al paso 2.
Prueba de optimalidad
Después de obtener una solución básica factible inicial, se verifica si es óptima mediante la prueba de optimalidad. Para ejemplificarla, consideremos la solución inicial básica factible obtenida: v1 U1
3
v2 7
3 U2
v3
v4
6
4
recursos ui 5
3
2
2
8
5
3
2
2
4
2 U3
4
3
0 demanda v j
3
2 4
1 2
1
Inicialización:
Se construye una solución inicial básica factible. Prueba de optimalidad :
Se obtiene ui y v j eligiendo el renglón con el mayor número de asignaciones y estableciendo su ui = 0, y después resolviendo el sistema de ecuaciones c ij = u i + v j para cada (i,j) tal que xij es básica. Si c ij - ui - v j ≥ 0 para toda (i,j) tal que x ij es no básica, entonces la solución actual es óptima por lo que el proceso se detiene. De lo contrario, se regresa a una iteración. Iteración:
Se determina la variable básica entrante: se elige la variable no básica x ij que tiene el valor negativo más grande (en términos absolutos) para c ij - ui - v j 1.
Se determina la variable básica que sale identificando la reacción en cadena (encontrar el circuito) que se necesita para conservar la factibilidad cuando se aumenta el valor de la variable básica entrante. Entre las celdas donadoras se selecciona la variable básica que tiene el menor valor. 2.
3. Se determina la nueva solución básica factible: se suma el valor de la variable básica que sale a las asignaciones de las celdas receptoras y se resta este valor a las asignaciones de las celdas donadoras. Para determinar si la solución es óptima se debe calcular nuevamente u i y v j y luego para cada variable no básica, c ij - ui - v j. Se detiene cuando todos los c ij - ui - v j sean positivos 4.
3.2.- MODELO DE ASIGNACIÓN Consiste en asignar “m” trabajos a “n” máquinas al menor costo total. Caso especial del modelo de transporte ya que: La oferta disponible en cada fuente es 1 (a j=1). • La demanda requerida en cada destino es 1 (b j=1). • • cij= Costo de asignar el trabajo i a la máquina j.
1 2 . . . . m
TRABAJOS
Minimizar s.a.:
1 c11 c21
2 C12
cm1 1
n n z = ∑ ∑c ij x ij i j n ∑ x ij =1 i = 1, j
1
MÁQUINA . .
.
.
.
.
N c1n
cmn 1
1 1 . . . . 1
..., n
n
∑ x ij =1
j = 1, ..., n
i
0 de lo contrario.
fdf
x ij =
fd df
1 si el trabajo i se asigna a la máquina j.
Si m ≥ ó ≤ n → es necesario balancear el problema
Algoritmo de Asignación: Paso 0: Inicialización Crear la matriz inicial. Se modifica de la siguiente manera: a) Por cada fila, identifique el número menor y reste este valor en cada fila.
b) Por cada columna, identifique el número menor y reste este valor de cada celda en esta columna.
Paso 1: Prueba de Optimalidad Intente identificar una asignación factible en la matriz actual en al que cada celda seleccionada tenga un valor 0. Si se encuentra esta asignación, deténgase → solución óptima, de lo contrario ir a 2. Paso 2: Movimiento Establezca una matriz de asignación con las propiedades 1 y 2 y haga lo siguiente: 1. Cubra todas las celdas que contienen valores cero dibujando una línea a través del menor número de filas y columna como sea posible. 2. Entre todas las celdas no cruzadas identificar una con el menor valor. a. Restar este número de todas las celdas no cruzadas. b. Añada este número a todas las celdas tanto en una fila como en una columna cruzada. Ir a 1.
3.3.- Modelo de Transbordo Reconoce: “más económico enviar a través de nodos intermedios o transitorios antes de llegar al punto final” (concepto más general que el propuesto por el modelo de transporte) Ejemplo
8 1.000 0
3
P1
T1
7 2 1.200
P2
T2 5
800
D2
900
D3
500
5
6 7
D1
4 4
3
nodos que actúan como puntos de origen y destino “nodos de transbordo” (T1, T2, D1, D2) nodos que actúan como “nodos puros de oferta” (P1, P2) • nodos que actúan como “nodos puros de demanda” (D3) • •
• •
El modelo de transporte se puede convertir en un modelo de transporte regular con: 6 puntos de origen: P1, P2 T1, T2, D1, D2 5 puntos de destino: T1, T2, D1, D2, D3 Como la oferta de todas las fuentes pudiera potencialmente pasar por cualquier fuente o destino antes de volver a distribuirse. Esto significa que el número de fuentes (destinos) del modelo de transbordo será igual a la suma de fuentes y destinos en el modelo estándar.
• • • •
Las cantidades de la oferta y demanda en los diferentes nodos se calculan como: Oferta “nodo puro oferta” = oferta original Oferta “nodo transbordo” = oferta original + B Demanda “nodo puro demanda” = demanda original Demanda “nodo transbordo” = demanda original + B
Donde B = amortiguador. B debe ser suficientemente grande para permitir que todas las ofertas de la demanda original pasen por cualquiera de los nodos de transbordo B = 2.200 B = oferta total o bién (demanda total) =(1.000 + 1.200) o bién ( 800 + 900 + 500) = 2.200 P1
T1 3
T2 7
D1 M
D2 M
D3 M
1.000
P2
2
5
M
M
M
1.200
T1
0
7
8
6
M
B
T2
M
0
M
4
9
B
D1
M
M
0
5
M
B
D2
M
M
M
0
3
B
B
B
800 + B
900 + B
500
Si no se permiten envíos directos, se penaliza asignando un costo muy elevado C ij = M
800 1.000 0
P1
1.000
T1
1.200
P2
800
400 1.000
1.200
D1
D2
900
500
T2 D3
500
