Apuntes de Clase - Modelos de Transporte-Asignación-Transbordo

1. Modelos de Transporte, Asignación y Transbordo Transbordo Los problemas de transporte, asignación y transbordo corresponden a una clase especial de problemas de programación lineal conocida como como problemas de flujo de red. Estos problemas tienen una estructura matemática que ha permitido que los científicos de la administración desarrollen para su solución eficientes procedimientos especializados; como resultado, incluso problemas grandes pueden resolver con apenas unos cuantos segundo de tiempo de computadora.

1.1 Modelo de Transporte

EL MODELO DE RED Y UNA FORMULACION DE PROGRAMACION LINEAL El problema de transporte frecuentemente se presenta al planear la distribución de bienes y servicios desde varias localizaciones hacia varas ubicaciones de la demanda. Típicamente, la cantidad de los bienes disponibles en cada localización de suministro (origen) es limitada, y la cantidad de los bienes necesarios en cada una de las localizaciones de demanda (Destino) es conocida. Por lo general, en un problema de transporte, el objetivo es minimizar el costo de embarcar los bienes desde los orígenes hasta los destinos. Ilustremos lo anterior, considerando un problema de transporte al que se enfrenta la corporación XYZ. Este problema involucra el transporte de un producto desde tres plantas hasta cuatro centros de distribución. XYZ tiene plantas en Quito, Lima y Santiago. La capacidad de producción para el siguiente período de tres meses de planeación para un tipo específico de generador es como sigue:

Origen

Planta

1 2 3

Quito Lima Santiago Total

Capacidad de producción de tres meses (unidades) 5 000 6 000 2 500 13 500

La empresa distribuye sus generadores a través de cuatro regionales de distribución, localizados en Buenos Aires, Río de Janeiro, Bogotá y Caracas; el pronóstico de la demanda de tres meses de los centros de distribución es como sigue: Pronóstico de demanda Destino Mercado a tres meses (unidades) 1 Buenos Aires 6 000 2 Río de Janeiro 4 000 3 Bogotá 2 000 4 Caracas 1 500 Total 13 500 La administración desearía determinar cuánto de su producción deberá embarcarse desde cada una de las plantas hasta cada uno de los centros de distribución. La figura siguiente muestra de manera gráfica las 12 rutas de distribución que XYZ puede utilizar. Esta gráfica se conoce como una red; los círculos son los nodos y las líneas que los conectan, los arcos. Cada origen y destino queda

Investigación Operativa

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representado por un nodo y cada ruta de embarque posible por un arco. La oferta o suministro se escribe al lado de cada nodo origen y la demanda se escribe al lado de cada nodo destino.

Representación en Red del problema de transporte de XYZ

Los bienes embarcados de los orígenes hacia los destinos representan el flujo en la red. Note que la dirección de flujo (de origen a destino) queda representada por las flechas. Para el problema de transporte de XYZ, el objetivo es determinar las rutas a usar y la cantidad a embarcar en cada una de ellas, y que den el mínimo costo de transporte total. El costo de cada unidad embarcada en cada una de las rutas aparece en la tabla siguiente y se muestra en cada uno de los arcos de la figura anterior.

Buenos Río de Aires Janeiro Bogotá Caracas Quito 3 2 7 6 Lima 7 5 2 3 Santiago 2 5 4 5 Para resolver este problema de transporte se puede utilizar un modelo de programación lineal. Utilizaremos variables de decisión con dobles subíndices, indicando con X11 el número de unidades que se embarcan del origen 1 (Quito) al destino 1 (Buenos Aires), con X12 el número de unidades embarcadas del origen 1 (Quito) al destino 2 (Río de Janeiro), y así sucesivamente. En general, para un problema de transporte con m orígenes y n destinos, las variables de decisión se escriben como sigue: xij=número de unidades embarcadas del origen i hasta el destino j Donde i = 1,2,…,m y j = 1,2,…,n En vista de que el objetivo del problema de transporte es minimizar el costo total del transporte, podemos utilizar, para desarrollar las siguientes expresiones de costo, los datos de costo de la tabla anterior o que aparecen sobre los arcos de la Red anterior. Costo de transporte para unidades embarcadas desde Quito = 3x 11 + 2x12 + 7x13 + 6x14 Ing. Efraín Murillo Msc.


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representado por un nodo y cada ruta de embarque posible por un arco. La oferta o suministro se escribe al lado de cada nodo origen y la demanda se escribe al lado de cada nodo destino.

Representación en Red del problema de transporte de XYZ

Los bienes embarcados de los orígenes hacia los destinos representan el flujo en la red. Note que la dirección de flujo (de origen a destino) queda representada por las flechas. Para el problema de transporte de XYZ, el objetivo es determinar las rutas a usar y la cantidad a embarcar en cada una de ellas, y que den el mínimo costo de transporte total. El costo de cada unidad embarcada en cada una de las rutas aparece en la tabla siguiente y se muestra en cada uno de los arcos de la figura anterior.

Buenos Río de Aires Janeiro Bogotá Caracas Quito 3 2 7 6 Lima 7 5 2 3 Santiago 2 5 4 5 Para resolver este problema de transporte se puede utilizar un modelo de programación lineal. Utilizaremos variables de decisión con dobles subíndices, indicando con X11 el número de unidades que se embarcan del origen 1 (Quito) al destino 1 (Buenos Aires), con X12 el número de unidades embarcadas del origen 1 (Quito) al destino 2 (Río de Janeiro), y así sucesivamente. En general, para un problema de transporte con m orígenes y n destinos, las variables de decisión se escriben como sigue: xij=número de unidades embarcadas del origen i hasta el destino j Donde i = 1,2,…,m y j = 1,2,…,n En vista de que el objetivo del problema de transporte es minimizar el costo total del transporte, podemos utilizar, para desarrollar las siguientes expresiones de costo, los datos de costo de la tabla anterior o que aparecen sobre los arcos de la Red anterior. Costo de transporte para unidades embarcadas desde Quito = 3x 11 + 2x12 + 7x13 + 6x14 Ing. Efraín Murillo Msc.


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Costo de transporte para unidades embarcadas desde Lima = 7x21 + 5x22 + 2x23 + 3x24 Costo de transporte para unidades embarcadas desde Santiago = 2x 31 + 5x32 + 4x33 + 5x34 La suma de estas expresiones nos da la función objetivo que nos muestra el costo total de transporte de XYZ. Los problemas de transporte necesitan restricciones, dado que cada uno de los orígenes tiene un suministro limitado y cada destino tiene una demanda específica. Veremos que en primer término las restricciones de suministro. La capacidad de la planta de Quito es de 5 000 unidades. Con el número total de unidades que se embarcan desde la planta de Quito expresado de la forma x11+x12+x13+x14, la restricción de suministro de la planta de Quito será: x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 5000 Suministro de Quito Con tres orígenes (plantas), el problema de transporte de Foster tiene tres restricciones de suministro. Dada la capacidad de 6 000 unidades en la planta de Lima y de 2500 unidades en Santiago, las dos restricciones de suministro adicionales son: x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 5 000 Suministro de Lima x31 + x32+ x33 + x34 ≤ 5 000 Suministro de Santiago Con los cuatro centros de distribución como destino se requiere de cuatro restricciones de demanda para asegurar que se satisfarán las demandas en los destinos: x11 + x21 + x31 = 6 000 Demanda de Buenos Aires x12 + x22 + x32 = 4 000 Demanda de Río de Janeiro x13 + x23 + x33 = 2 000 Demanda de Bogotá x14 + x24 + x34 = 1 500 Demanda de Caracas Combinando la función objetivo y las restricciones en un modelo, obtenemos una formulación de programación lineal, con 12 variables y siete restricciones del problema de transporte de XYZ: Min. 3x11 + 2x12+ 7x13 + 6x14 + 7x21 + 5x22 + 2x23 + 3x24 + 2x31 + 5x32 + 4x33 + 5x34 Sujeto a x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 5000 x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 6000 x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 2500 x11 + x21 + x31 = 6000 x12 + x22 + x32 = 4000 x13 + x23 + x33 =2000 x14 + x24 + x34 =1500 xij ≥ 0 para i = 1,2,3 y j = 1,2,3,4 Comparando la formulación de programación lineal con la figura de la Red de este problema nos lleva a varias observaciones. Toda la información necesaria para la formulación de la programación lineal aparece en la red. Cada nodo tiene una restricción y cada arco tiene una variable. La suma de las variables correspondientes a los arcos desde el nodo origen debe ser menor que o igual al suministro de dicho origen, y la suma de las variables que corresponden a los arcos que llegan a un nodo destino debe ser igual a la demanda de dicho destino.

Ing. Efraín Murillo Msc.


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Solución de Lindo 6.0 al problema de transporte de XYZ

Resolvimos el problema de XYZ utilizando el software LINDO 6.0. La solución por computadora mostrada en el cuadro siguiente muestra que el costo total de transporte mínimo es de 39 500 dólares. Los valores de las variables de decisión muestran los valores óptimos a embarcar en cada ruta. Por ejemplo, con x11 = 3500, deberán embarcarse 3500 unidades de Quito hacia Buenos Aires, y con x12 = 1500, deberán embarcarse 1500 unidades de Quito a Río de Janeiro. Otros valores de las variables de decisión indican las cantidades y rutas de los embarques restantes La siguiente tabla muestra el programa de transporte de costo mínimo y la figura resume la solución óptima en la red.



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Variantes al problema El problema de XYZ ilustra el uso del modelo de trasporte básico. Las variantes al problema de transporte básico pueden implicar una o más de las siguientes situaciones: 1. 2. 3. 4.

Oferta o suministro total no igual a la demanda total Maximización de la función objetivo Rutas con capacidad limitada Rutas no aceptables

Con ligeras modificaciones en el modelo de programación lineal estas situaciones se pueden tomar en cuenta fácilmente.

Suministro total no igual a la demanda total. A menudo el suministro total no es igual a la demanda total . Si el suministro total es mayor a la demanda total, no es necesaria ninguna modificación a la formulación de la programación lineal. Aparecerá en la solución de la programación lineal un suministro excedente, como una holgura. La holgura correspondiente a cualquier origen en particular se puede interpretar como suministro u oferta sin utilizar, es decir, una cantidad que no se ha embarcado desde el origen. Si el suministro total es inferior a la demanda total, el modelo de programación lineal de un problema de transporte no tendrá una solución factible. En este caso, se intercambia la dirección de las restricciones, así las restricciones de oferta serán del tipo igual y las de demanda del tipo menor o igual. En este caso quedarán destinos no satisfechos en sus requerimientos.

Función objetivo de maximización.

En algunos problemas de transporte, el objetivo es encontrar una solución que maximice la utilidad o los ingresos. Empleando valores de la utilidad o de ingresos unitarios como coeficientes de la función objetivo, simplemente resolvemos un programa lineal de maximización en vez de uno de minimización. Este cambio no afecta a las restricciones.



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Rutas con capacidad limitada.

La formulación de programación lineal del problema de transporte también puede tomar en consideración capacidades o cantidades mínimas para una o más de las rutas. Por ejemplo, suponga que en el problema de XYZ, la ruta Santiago-Buenos Aires (del origen 3 al destino 1) tiene una capacidad de 1000 unidades debido a la disponibilidad limitada de espacio en su modo de transporte normal. Siendo x31 las cantidades embarcadas de Santiago hasta Buenos Aires, la restricción por capacidad de la ruta Santiago-Buenos Aires sería: x31 ≤ 1000 De manera similar, se pueden definir montos mínimos de ruta. Por ejemplo x22 ≥ 2000 Garantizaría que un pedido, previamente comprometido, para entregar por lo menos 2000 unidades desde Lima a Río de Janeiro se conservaría dentro de la solución óptima.

Rutas no aceptables. Finalmente, quizás no pueda ser aceptable establecer una ruta desde cualquiera de los orígenes hasta cualquiera de los destinos. A fin de manejar esta situación simplemente hacemos desaparecer el arco correspondiente de la red y eliminamos la variable correspondiente en la formulación de la programación lineal. Por ejemplo, si la ruta Lima-Caracas fuera inaceptable o no utilizable, se eliminaría el arco Lima a Caracas de la red respectiva y x24 podría eliminarse de la formulación de programación lineal. La resolución del modelo resultante, con 11 variables y 7 restricciones, nos daría la solución óptima, garantizando al mismo tiempo que la ruta Lima-Caracas no se utilizaría.

Un Modelo general de programación lineal para el problema de transporte. Para mostrar el modelo general de programación lineal del problema de transporte, utilizamos las siguientes notaciones: i = índice de los orígenes, i =1,2,…,m j = índice para los destinos, j =1,2,…,n x ij = número de unidades embarcadas del origen i hasta el destino j c ij =Costo unitario de embarcar del origen i al destino j si = Suministro o capacidad en unidades en el origen i d j = Demanda en unidades en el destino j El modelo general de programación lineal para un problema de transporte, con m orígenes y n destinos, es m

Min  i 1

n

 cij xij j 1

n

 x

ij

Sujeto a:

 si i = 1,2,…,m Suministro

j 1

m

 xij  dj

j = 1,2,…, n Demanda

i 1

xij

0

para todas las i y j Como se mencionó con anterioridad, podemos agregar restricciones adicionales de la forma xij  Lij , si la ruta del origen i al destino j tiene una capacidad Lij . Un problema de transporte que incluya restricciones de este tipo se conoce como un problema de transporte con capacidades. De



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manera similar, podemos agregar restricciones mínimas de ruta de la forma xij ≥ Mij , si la ruta del origen i al destino j debe manejar por lo menos Mij unidades.

EJEMPLO Nro 2: Una compañía tiene dos sucursales. Una ubicada en Camaná que puede producir 3000 docenas de cajas y los costos de enviar cada docena de cajas a las ciudades de Cuzco, Tacna, Moquegua y Puno son de 5, 8, 3 y 6 dólares respectivamente, la sucursal de Mollendo puede producir 4000 docenas de cajas y los costos de enviar a las ciudades de Cuzco, Tacna, Moquegua y Puno son de 6, 2, 4 y 5 dólares respectivamente, la fábrica principal ubicada en la ciudad de Arequipa puede producir 5000 docenas de cajas y los costos de enviar a las ciudades de Cuzco, Tacna, Moquegua y Puno son de 4, 5, 7 y 4 dólares respectivamente. Los consumos para las cuatro ciudades son de 2500, 1500, 4500 y 3500 docenas de cajas respectivamente. Determinar el mínimo costo de transporte desde los centros de abastecimientos a los consumidores. SOLUCIÓN El problema del caso estudio puede ser representado gráficamente del modo siguiente:

Los datos y variables incógnitas quo representan al problema podemos representarlos en la gráfica siguiente:



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Ordenando los datos en la matriz del problema del transporte obtenemos la Matriz de Transporte siguiente:

Como se puede observar en el cuadro anterior las variables incógnitas o de decisión del problema están determinados por Xij (docenas de cajas a transportarse desde la fábrica "i" a la ciudad consumidora "j") y los valores conocidos están determinados por Cij (costo de trasladar una docena de cajas de la fábrica "i" a la ciudad "j"), así como la oferta de docenas de cajas (ai) que producen cada una de las fábricas "i" y la cantidad de demanda requerida por cada ciudad "j" (bj).

SOLUCIÓN APLICANDO PROGRAMACIÓN LINEAL Formulamos el modelo matemático respectivo (observe que la demanda total es igual a la oferta total): Min 5X11+8X12+3X13+6X14+4X21+5X22+7X23+4X24+6X31+2X32+4X33+5X34 ST Restricciones de Oferta: X11+X12+X13+X14= 3000 (capacidad de producción de Camaná) X21+X22+X23+X24= 5000 (capacidad de producción de Arequipa) X31+X32+X33+X34= 4000 (capacidad de producción de Mollendo) Restricciones de Demanda: X11+X21+X31=2500 (demanda de Cusco) X12+X22+X32=1500 (demanda de Tacna) X13+X23+X33= 4500 (demanda de Moquegua) X14+X24+X34= 3500 (demanda de Puno) Restricciones de no negatividad: Xij≥0

Utilizando el LINDO tenemos la siguiente salida:



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Interpretación: Se observa que el algoritmo Simplex ha utilizado 6 iteraciones para llegar a la solución óptima. El costo total de envío es de 43000 dólares y el plan de transporte es el siguiente: De la Fábrica 1 (Camaná) se deberá enviar 3000 docenas de cajas al cliente 3 (Moquegua) De la Fábrica 2 (Arequipa) se deberá enviar 2500 docenas de cajas al cliente 1 (Cusco) De la Fábrica 2 (Arequipa) se deberá enviar 2500 docenas de cajas al cliente 4 (Puno) De la Fábrica 3 (Mollendo) se deberá enviar 1500 docenas de cajas al cliente 2 (Tacna) De la Fábrica 3 (Mollendo) se deberá enviar 1500 docenas de cajas al cliente 3 (Moquegua) De la Fábrica 3 (Mollendo) se deberá enviar 1000 docenas de cajas al cliente 4 (Puno) Los Slack or Surplus con valor cero indican que las demandas y ofertas han sido agotadas. Los costos reducidos indican que por ejemplo para que se justifique el envío de la fábrica 1 (Camaná) al cliente 2 (Tacna), el costo unitario de transporte por docena deberá mejorar (disminuir) en 7 dólares.

SOLUCIÓN APLICANDO REDES DE OPTIMIZACIÓN DEL WINQSB Utilizando el módulo Network Modeling del WinQSB, ingresamos con File/New Problem, y nos presenta la siguiente ventana:

Existen 7 modelos fundamentales para el tratamiento de los problemas que involucran redes con el fin de optimizar el uso de algún recurso, generalmente tratándose de la minimización de costos, tiempo o la maximización del flujo a través de una red. Estos modelos son: • Flujo en redes o modelo de trasbordo (N e t w o r k F l o w ) • Problema de transporte (Transportatio n Problem ) • Problema de asignación (A s s i g n m e n t P r o b l em )



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• Problema de la ruta más corta (Shortest Path Problem ) • Problema de flujo máximo (M a x i m a l F l o w P r o b l e m ) ) • Árbol de mínima expansión (Minimal Spanning Tree • Problema del agente viajero (Traveling Salesman Problem )

Ingresamos con la opción T ransportation Problem: La función objetivo (Objetive Criterion), Minimización. El formato de entrada de datos ( Data Entry Format ) en forma matricial. El número de Orígenes (Number of Sources), 3. El número de destinos (Number of Destinations ), 4.

Al hacer clic en OK, aparece la tabla siguiente de entrada de datos:

Para modificar los nombres de los nodos pulsamos sobre Node Modifiquemos dichos nombre como se muestra a continuación:

Name

en el menú

Editar

(Edit ).

Luego ingresamos los costos unitarios, así como las ofertas ( Supply ) de cada fábrica y las demandas (Demand ) de cada cliente.

Como paso previo a la solución debe escogerse el método mediante el cual se determina la solución básica inicial (recuérdese que los métodos asociados con el transporte sólo se diferencian en la forma como se obtiene la solución básica inicial). La manera de resolver el problema es idéntica a la del simplex, pudiéndose resolver directamente o por pasos.



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Mediante la opción del menú Solve and Analyze/Select Initial Solution Method, escogemos el método de solución inicial. En este caso se ha escogido el método de la columna mínima.

Presionamos Solve o en su defecto ingresamos por el menú con la opción Solve and Analyze/Solve the Problem.

Obtenemos la misma solución que obtuvimos utilizando el software Lindo. A continuación se muestran dos resúmenes de los que permite este módulo, para realizar el análisis de sensibilidad: La primera tabla mediante la opción del menú Results/Range of Optimality , nos muestra, entre otros, el estado de las variables (básicas o no básicas); esto es, si la solución indica que un tramo ( i,j ) debe realizarse o no; también enseña los costos reducidos, que tienen igual interpretación que en programación lineal. Las dos últimas columnas señalan los máximos y mínimos costos permitidos en un tramo de transporte; esto equivale al análisis de coeficientes de costos de la programación lineal.

De la segunda tabla obtenida mediante la opción del menú Results/Range of Feasibility, cabe destacar los precios duales y los máximos y mínimos permitidos para las restricciones que se interpretan igual que en programación lineal.



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EJEMPLO Nro 3: La Cía. Cervecera de Arequipa quiere planear su producción del primer semestre del 2008. Un estudio de mercado proyecta la demanda regional de cerveza siguiente: Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Demanda (Toneladas) 30 40 50 30 40 30 La capacidad de producción de la planta para satisfacer dicha demanda es de 50 toneladas mensuales. Dado que en el mes de Marzo gran parte del personal de producción sale de vacaciones, la capacidad de la planta se reduce a 20 toneladas. La empresa puede producir y almacenar en cualquier mes para satisfacer demandas futuras. Los costos de producción y almacenamiento se dan en la tabla siguiente (en decenas de soles/tonelada):

a) Determinar utilizando el WinQsb con la opción Network Modeling, el plan de producción mensual para satisfacer la demanda al menor costo de producción y almacenamiento? b) Indicar el costo total óptimo para la empresa. c) Indicar la capacidad ociosa de la planta en cada uno de los seis meses. d) Suponiendo que se obliga agotar la capacidad de producción del mes de Abril, construya el modelo matemático que permita determinar el plan de producción mensual. e) Utilizando el Lindo o WinQSB, determine el plan de producción mensual, el costo total y la capacidad ociosa mensual de la planta.

SOLUCIÓN a) Ingresamos la información de la siguiente manera:

La salida del WinQSB es la siguiente:



Por lo tanto el Plan de Producción es: Enero: 50 toneladas Febrero: 50 toneladas Marzo: 20 toneladas Abril: 30 toneladas Mayo: 40 toneladas Junio: 30 toneladas b) El costo óptimo para la empresa es 449 000 soles. c) La capacidad ociosa es: en Abril 20 toneladas, en Mayo 10 toneladas y en Junio 20 toneladas. d) El modelo matemático respectivo es: Min

200x11+210x12+220x13+230x14+240x15+250x16+ 200x22+210x23+220x24+230x25+240x26+ 220x33+240x34+260x35+280x36+ 200x44+210x45+220x46+ 200x55+210x56+ 200x66

St x11+x12+x13+x14+x15+x16<=50 x22+x23+x24+x25+x26<=50 x33+x34+x35+x36<=20 x44+x45+x46=50 x55+x56<=50 x66<=50 x11=30 x12+x22=40 x13+x23+x33=50 x14+x24+x34+x44=30 x15+x25+x35+x45+x55=40 x16+x26+x36+x46+x56+x66=30 end donde Xij: Número de Toneladas producidas en el mes i para satisfacer la demanda del mes j. e) La salida del Lindo 6.0 es:


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El plan de producción es: Enero: 50 toneladas Febrero: 50 toneladas Marzo: 20 toneladas Abril: 50 toneladas Mayo: 20 toneladas Junio: 30 toneladas El costo de producción es 451 000 soles. La capacidad ociosa es: en Mayo 30 toneladas y en Junio 20 toneladas.

1.2 Modelo de Asignación EL MODELO DE RED Y UNA FORMULACION DE PROGRAMACION LINEAL En una diversidad de situaciones de toma de decisiones se presenta un problema de asignación, los problemas típicos de asignación implican asignar tareas a maquinaria, agentes a trabajos especiales, personal de ventas a territorios, contratos a licitantes y así sucesivamente, Una característica que distingue los problemas de asignaciones que un agente se asigna a una solamente a una tarea. Específicamente, buscamos el conjunto de asignaciones que optimizaran un objetivo dado, como minimizar el costo, minimizar el tiempo o maximizar la utilidad. Para ilustrar el problema de asignación, veamos el caso de ABC, que acaba de recibir solicitudes de estudio de investigación de mercados de tres clientes nuevos. La empresa se enfrenta a la tarea de asignar un líder o jefe de proyecto (agente) a cada cliente (tarea). En este momento, tres individuos no tienen otros compromisos y están disponibles para su asignación como lideres de proyecto. Sin embargo la administración de ABC se da cuenta que el tiempo requerido para terminar cada uno de los estudios dependerá de la experiencia y capacidad del líder de proyecto que se le asigne, los tres proyectos tienen aproximadamente la misma prioridad y la administración desea asignar lideres de proyecto para minimizar el numero total de días necesarios para completar los tres. Si debe asignarse un líder de proyecto a un solo cliente, ¿Qué asignaciones deberán efectuarse? Para responder a esta pregunta la administración de ABC primero deberá considerar todas las posibles asignaciones líder de proyecto-cliente y a continuación estimar los tiempos de terminación del proyecto correspondiente. Con tres lideres de proyecto y tres clientes, son posibles nueve alternativas de asignación. Las alternativas y tiempos de terminación de proyecto estimados en días se resumen en la tabla siguiente: Ing. Efraín Murillo Msc.


Líder del Proyecto Terry Carlos José

1 10 9 6

15

Cliente 2 15 18 14

3 9 5 3

La figura siguiente muestra la representación en red del problema de asignación de ABC. Los nodos corresponden a líderes de proyecto y a cliente, y los arcos representan las asignaciones posibles de líder de proyecto a cliente. La oferta en cada uno de los nodos origen, y la demanda, en cada nodo destino, es igual a 1; el costo de asignar un líder de proyecto a un cliente es el tiempo que le tomara a dicho líder terminar la tarea del cliente. Note la similitud entre los modelos de red en un problema de asignación y en un problema de transporte El problema de asignación es un caso especial del problema de transporte, en el que todos los valores de oferta y demanda son iguales a 1, y la cantidad que se embarca en cada uno de los arcos es 0 ó 1.

Modelo de Red del Problema de Asignación de ABC

Dado que el problema de asignación es un caso especial del problema de transporte se puede desarrollar una formulación de programación lineal. De nuevo, es necesaria una restricción para cada nodo y una variable para cada arco. Como en el caso del problema de transporte utilizaremos variables de decisión con dobles índices, x 11 indicando la asignación del líder de proyecto 1(Terry) al cliente 1, con x 12 la asignación del líder de proyecto 1 (Terry) al cliente 2, y así sucesivamente, por lo que definiremos las variables de decisión para el problema de asignación de ABC de la forma: Xij = 1 si el de proyecto i se le asigna al cliente j 0 de no ser ese el caso Donde i= 1, 2, 3 y j= 1, 2, 3 Utilizando esta notación y los datos de tiempos de terminación de la tabla anterior, desarrollamos las expresiones para el tiempo de terminación. Días requeridos para la asignación de Terry = 10 x 11+15 x 12+9 x 13 Días requeridos para la asignación de Carlos = 9 x 21+18 x 22+5 x 23 Días requeridos para la asignación de José = 6 x 31+14 x 32+3 x 33



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La suma de los tiempos de terminación de los tres líderes de proyecto nos dará los días totales necesarios para terminar las tres asignaciones, por lo que la función objetivo es: Min. 10 x 11+15 x 12+9 x 12+9 x 21+18 x 22+5 x 23+6 x 31+14 x 32+3 x 33 Las restricciones para el problema de asignación reflejan la condición de que cada líder de proyecto solo puede ser asignado como máximo a un cliente y que cada cliente solo puede tener como máximo un líder de proyecto asignado. Estas restricciones se escriben como siguen: x 11 + x 12 + x 13 ≤ 1 x 21 + x 22 + x 23 ≤ 1 x 31 + x 32 + x 33 ≤ 1 x 11 + x 21 + x 31 = 1 x 12 + x 22 + x 32 = 1 x 13 + x 23 + x 33 = 1

Asignación de Terry Asignación de Carlos Asignación de José

Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3

Note que existe una restricción para cada uno de los nodos de la figura de Red del problema. Combinando la función objetivo y las restricciones en un modelo se obtiene el modelo de programación lineal con nueve variables y seis restricciones siguiente: Min. 10 x 11+15 x 12+9 x 12+9 x 21+18 x 22+5 x 23+6 x 31+14 x 32+3 x 33 Sujeto a x 11 + x 12 + x 13 x 21 + x 22 + x 23

+ x 21

x 11 x 12

+ x 22

x 13

≤1 ≤1 ≤1

x 31 + x 32 + x 33 + x 31 =1 + x 32 =1 + x 23 + x 33 = 1

xij ≥0 para i =1, 2, 3; j = 1, 2, 3 La tabla siguiente muestra la solución por computadora de este modelo. Terry es asignado al cliente 2 ( x 12 = 1), Carlos es asignado al cliente 3 ( x 23 = 1), y José es asignado al cliente 1 ( x 31=1). El tiempo total de terminación requerido es de 26 días.

Esta solución se resume en la siguiente Tabla:

Variantes del Problema



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Debido a que el problema de asignación se puede considerar como un caso especial del problema de transporte, las variantes que pueden ocurrir en un problema de asignación son paralelas a las correspondientes en los problemas de transporte. Específicamente, podemos manejar 1. Numero total de agentes (de suministros) distinto al número total de tareas (demanda). 2. Una función objetivo de maximización 3. Asignaciones no aceptables.

UN MODELO GENERAL DE PROGRAMACION LINEAL PARA EL PROBLEMA DE ASIGNACION El problema general de asignación involucra a m agentes y n tareas. Si hacemos que x ij = 1 o 0, dependiendo si el agente i es asignado o no a la tarea j, y si c ij indica el costo de asignar el agente i ala tarea j, podemos escribir el modelo general de asignación de la forma m

n

Min 

 cij xij

i 1

j 1

Sujeto a: n

 x

ij

 si

j 1

i = 1,2,…,m Suministro

m

 xij  dj

j = 1,2,…, n Demanda

i 1

xij

0

para todas las i y j

Asignaciones Múltiples Al principio de esta sección, indicábamos que una característica distintiva del problema de asignación es que un agente es asignado a una y solo una tarea. En la generalización del problema de asignación, conde un agente puede ser asignado a dos o mas tareas, es posible modificar con facilidad la formulación de programación lineal del problema. Por ejemplo, supongamos que en el problema de ABC, Terry hubiera podido ser asignado hasta a dos clientes; en este caso, la restricción que presenta la asignación de Terry sería x 11 + x 12 + x 13 ≤ 2. En general, si ai indica cual es el limite superior del numero de tareas al que se puede asignar a agente i, podemos escribir las restricciones correspondientes a los agentes de la formula n

 x

ij

 ai

j 1

i = 1,2,…,m

Por lo que vemos que una ventaja de la formulación y resolución de problemas de asignación en forma de programas lineales es que se pueden manejar con facilidad casos especiales como el de la situación que involucra asignaciones múltiples.

EJEMPLO NRO 2: MODELO DE ASIGNACIÓN Se cuenta con seis empleados para llevar a cabo cinco tareas. El tiempo (en minutos) que toma a cada persona realizar cada tarea se da en la tabla siguiente:



18

a) Utilizando el WinQSB, determine la asignación óptima que permita minimizar el tiempo total requerido para realizar las cinco tareas. b) ¿Qué operario se queda sin asignación? c) Si se obliga a la persona 4 realizar la tarea 3 y se prohíbe a las personas 2 y 5 realizar las tareas 2 y 3 respectivamente, Formule un modelo matemático de programación binaria para determinar la asignación de empleados a las tareas que reduce el tiempo total requerido para efectuar las cinco tareas. ¿Qué operario se queda sin asignación?

SOLUCIÓN: Ingresamos la información al WinQSB, mediante el módulo Network Modeling , luego usamos File/New Problem y escogemos el tipo de problema Assignment Problem. Nuestro modelo tiene 6 orígenes (Number of Objects ) y 5 destinos (Number of Assignments ), obtenemos la siguiente solución:

a) La solución indica que las personas 1, 2, 3, 4 y 5 deben realizar las tareas 2, 1, 3, 4 y 5 respectivamente. b) El operario 6 se queda sin asignación. c) El modelo matemático respectivo es: Min 22x11+18x12+21x13+18x14+18x15+18x21+23x22+27x23+22x24+22x25+ 26x31+28x32+28x33+28x34+24x35+16x41+22x42+17x43+14x44+14x45+ 21x51+24x52+25x53+28x54+20x55+28x61+25x62+28x63+28x64+30x65 St x11+x12+x13+x14+x15<=1 x21+x22+x23+x24+x25<=1 x31+x32+x33+x34+x35<=1 x41+x42+x43+x44+x45<=1 x51+x52+x53+x54+x55<=1 x61+x62+x63+x64+x65<=1 x11+x21+x31+x41+x51+x61=1 x12+x22+x32+x42+x52+x62=1 x13+x23+x33+x43+x53+x63=1 x14+x24+x34+x44+x54+x64=1 x15+x25+x35+x45+x55+x65=1 x43=1 x22=0 x53=0 end donde xij=1, si la persona i es asignada a la tarea j, =0, en caso contrario. Salida del Lindo:



19

La salida no indica que los operarios 1, 2, 4, 5 y 6 se deben asignar a las tareas 4, 1, 3, 5 y 2 respectivamente. El operario que se queda sin asignación es el .el operario 3.

EJEMPLO 3: MODELO DE ASIGNACIÓN El gobierno desea instalar 5 proyectos de inversión (1, 2, 3, 4 y 5) en las regiones A, B, C, D, E, F y G. Se instala a lo más un proyecto por región. La siguiente tabla muestra la rentabilidad de la inversión en un horizonte de vida de 5 años (en millones de dólares): Proyecto 1 2 3 4 5

A 40 25 10 35 30

B 40 20 15 30 25

Región C D 35 45 25 20 15 10 30 35 35 30

E 40 25 20 30 30

F 30 30 15 25 30

G 50 30 20 30 35

a) Como Asesor de gobierno en Planificación, determinar utilizando el WinQsb con la opción Network Modeling, la asignación óptima de los proyectos a cada región, de tal manera que se obtenga el máximo rendimiento de la inversión. b) Indicar la rentabilidad total de la inversión. c) Indicar las regiones que se quedan sin inversión. d) Suponiendo que el proyecto 3 no puede ir a la región A, y se obliga a que el proyecto 4 se instale en la región E, Construir el modelo matemático que permita determinar las inquietudes a, b y c y resuélvalo utilizando el Lindo o WinQSB. SOLUCIÓN a) Ingresamos la información de la siguiente manera:



20

Por lo tanto el proyecto 1, 2, 3, 4 y5 se asignan a las regiones G, F, E, A y C respectivamente. b) La rentabilidad total de la inversión es de 170 millones de dólares. c) Las regiones que se quedan sin inversión son la región B y la D. d) El modelo matemático es el siguiente: Max

40x1a+40x1b+35x1c+45x1d+40x1e+30x1f+50x1g+ 25x2a+20x2b+25x2c+20x2d+25x2e+30x2f+30x2g+ 10x3a+15x3b+15x3c+10x3d+20x3e+15x3f+20x3g+ 35x4a+30x4b+30x4c+35x4d+30x4e+25x4f+30x4g+ 30x5a+25x5b+35x5c+30x5d+30x5e+30x5f+35x5g

St x1a+x1b+x1c+x1d+x1e+x1f+x1g=1 x2a+x2b+x2c+x2d+x2e+x2f+x2g=1 x3a+x3b+x3c+x3d+x3e+x3f+x3g=1 x4a+x4b+x4c+x4d+x4e+x4f+x4g=1 x5a+x5b+x5c+x5d+x5e+x5f+x5g=1 x1a+x2a+x3a+x4a+x5a<=1 x1b+x2b+x3b+x4b+x5b<=1 x1c+x2c+x3c+x4c+x5c<=1 x1d+x2d+x3d+x4d+x5d<=1 x1e+x2e+x3e+x4e+x5e<=1 x1f+x2f+x3f+x4f+x5f<=1 x1g+x2g+x3g+x4g+x5g<=1 x3a=0 x4e=1 end int 35 donde Xij =1, si el proyecto i es asignado a la región j; =0, en caso contrario. La salida del Lindo 6.0 es:



21

Por lo tanto los proyectos 1, 2, 3, 4 y 5 se deberán asignar a las regiones G, F, B, E y C respectivamente. La rentabilidad de la inversión es 160 millones de dólares. Las regiones que se quedan sin inversión son A y D.

1.3 Modelo de Transbordo EL MODELO DE RED Y LA FORMULACIÓN DE PROGRAMACION LINEAL El problema de transbordo es una extensión al problema de transporte en el cual se agregan nodos intermedios, conocidos como nodos de transbordo para tomar en consideración localizaciones como por ejemplo almacenes. En este tipo más general del problema de distribución, los embarques pueden ser efectuados entre cualquier par de tres tipos generales de nodos: de origen, de transbordo y de destino. Por ejemplo, el problema de transbordo permite embarques de bienes del origen a los nodos de trasbordo y hacia los de destino, de un origen a otro, de una localización de trasbordo a otra, de un destino a otro y directamente desde los orígenes hacia los destinos. Como resulto cierto en el caso del problema de transporte, la oferta o suministro disponible en cada origen es limitada y en cada destino la demanda esta definida o especificada. El objetivo en el problema de transbordo es determinar cuantas unidades deberán embarcarse por cada uno de los arcos de la red, de manera que todas las demandas- destino se satisfagan, al costo de transporte mínimo posible. Veamos el problema de transbordo que encara JR. JR es una empresa electrónica con instalaciones de producción en Denver y en Atlanta. Los componentes producidos en cualquiera de estas instalaciones pueden ser embarcados a cualquiera de los almacenes regionales de la empresa, que están localizados en Kansas City y en Louisville. De los almacenes regionales la empresa suministra a los detallistas al menudeo en Detroit, Miami, Dallas y Nueva Orleáns. Las características clave del problema aparecen en el modelo de red, que se muestra en la figura siguiente:



22

Representación en Red del problema de transbordo de JR.

Note que el suministro en cada origen y la demanda en cada destino aparecen en los márgenes izquierdo y derecho respectivo. Los nodo 1 y 2 son de origen; los nodos 3 y 4 son de transbordo, y los nodos 5, 6, 7, 8 son de destino. En la tabla siguiente aparece el costo unitario de transporte para cada ruta de distribución, así como sobre los arcos del modelo de red en la figura anterior. Costos de transporte unitario para el problema de JR

Almacén

Denver Atlanta Kansas Almacén City Louisville Planta

Kansas City Lousville 2 3 3 1

Distribución al detalle

Detroit

Miami

Dallas

Nueva Orleans

2 4

6 4

3 6

6 5

Igual que en los problemas de transporte y asignación, podemos formular un modelo de programación lineal del problema de transbordo a partir de la representación en red. De nuevo, necesitaremos una restricción por cada nodo y una variable por cada arco. Supongamos que x ij denota el número de unidades embarcadas del nodo i, hacia el nodo j . Por ejemplo, x 13 indica el número de unidades que se embarcan desde la planta de Denver al almacén de Kansas City, x 14 el número de unidades embarcadas de la planta de Denver al almacén de Louisville, y así sucesivamente. Dado que el suministro de la planta de Denver es de 600 unidades, las cantidades embarcadas desde la planta de Denver deben ser menor que o igual a 600. Matemáticamente escribimos esta restricción de suministro de la forma X13 + x14 ≤ 600 Similarmente, para la planta de Atlanta tenemos X23 + x24 ≤ 400 Consideremos ahora como expresar las restricciones que corresponden a los dos nodos de trasbordo. Para el nodo 3 (almacén de Kansas City), debemos garantizar que el número de unidades que se embarquen sea igual al número de unidades que se hayan recibido en el almacén. En vista que el:



y obtenemos:

23

Número de unidades embarcadas hacia fuera del nodo 3 = x35 + x36 + x37 + x38 Número de unidades embarcadas hacia el nodo 3 = x13 + x23 x35 + x36 + x37 + x38 = x13 + x23

Colocando todas las variables del lado izquierdo obtenemos una restricción, que corresponde al nodo 3, de la forma - x13 - x23 + x35 + x36 + x37 + x38 = 0 De manera similar, la restricción que corresponde al nodo 4 es: - x14 - x24 + x45 + x46 + x47 + x48 = 0 Para desarrollar las restricciones asociadas con los nodos destino, reconocemos que, para cada nodo, la cantidad embarcada al destino debe ser igual a la demanda. Por ejemplo: para satisfacer la demanda de 200 unidades en el nodo 5 (la tienda al detalle de Detroit), escribimos: X35 + x45 = 200 Similarmente, para los nodos 6, 7 y 8 tenemos: X36 + X46 = 150 X37 + X47 = 350 X38 + X48 = 300 Como es normal la función objetivo refleja el costo total de embarque en las 12 rutas de embarque. Combinando la función objetivo y las restricciones nos lleva a un modelo de programación lineal con 12 variables y 8 restricciones del problema de trasbordo de IJK mostrado a continuación:

Para obtener la solución óptima utilizamos el software Lindo 6.0. El cuadro siguiente muestra el resultado:



24

La tabla siguiente resume la solución óptima.

Tal y como fue mencionado al principio de esta sección, los arcos del problema de trasbordo pueden conectar cualquier par de nodos. En un problema de trasbordo son posibles todos estos patrones de embarque. Sólo seguiremos requiriendo una restricción por nodo, pero la restricción deberá incluir una variable por cada uno de los arcos que entren o salgan del nodo. En los nodos de origen, la suma de los embarques hacia fuera, menos la suma de los embarques hacia adentro, deberá ser menor o igual al suministro en el origen. Por lo que se refiere a los nodos destino, la suma de los embarques de entrada, menos la suma de los embarques de salida deberá ser igual a la demanda. En el caso de los nodos de trasbordo, la suma de los embarques de salida deberá ser igual a la suma de los embarques de entrada, tal u como se dijo antes. Para una ilustración de este problema de trasbordo, de tipo más general, modifiquemos el problema de JR. Suponga que fuera posible embarcar directamente desde Atlanta hasta Nueva Orleáns a 4 dólares por unidad y de Dallas hasta Nueva Orleáns a 1 dólar por unidad. El modelo de red que corresponde a este problema de JR modificado aparece en la figura siguiente:



Representación en Red del problema modificado de transbordo de JR.

La formulación de programación lineal en la siguiente figura:

y la solución por computadora en la figura siguiente:


25


26

En la figura de la Red del problema modificado de JR agregamos dos nuevos arcos al modelo de red, por lo que son necesarias dos nuevas variables en la formulación de la programación lineal. La figura del modelo de programación lineal muestra las nuevas variables x 28 y x78, pareciendo en la función objetivo y en las restricciones que corresponden a aquellos nodos a los cuales están conectados estos nuevos arcos. La figura anterior muestra el valor de la solución óptima que ha sido reducido en 600 dólares, al agregar las dos rutas de embarque: x 28 = 250 unidades, que se están embarcando directamente de Atlanta a Nueva Orleáns, y x78 = 50 unidades, que se están embarcando directamente desde Dallas a Nueva Orleáns.

Variantes del problema Igual que en los problemas de transporte y de asignación, se pueden formular problemas de trasbordo con varias variables, incluyendo: 1. Suministro total no igual a la demanda total 2. Maximización de la función objetivo 3. Rutas con capacidad limitada 4. Rutas inaceptables Las modificaciones al modelo de programación lineal requeridas para aceptar estas variantes son idénticas a las modificaciones necesarias para el problema del transporte descrito en la sección anterior. Cuando agregamos una o más restricciones de la forma xij ≤ Lij, para mostrar que la ruta del nodo i al nodo j tiene una capacidad Lij, nos referimos al problema de trasbordo como un problema de trasbordo con capacidad limitada.

Un modelo general de programación lineal del problema de transbordo El modelo de programación lineal general del problema de trasbordo es:  cij xij todos _ los _ ar cos Min. sujeto _ a : Donde:

 xij

 xij



ar cos_ de _ salid a

 si _ Nodos _ de _ origen _ i

ar cos_ de entrada

 x

 x

  ij ij ar cos_ de _ salid a ar cos_ de entrada

 xij ar cos_ de _ entradaa



 xij

0 _ Nodos _ de _ transbordo _ i

 d j _ Nodos _ de _ destino _ j

ar cos_ de _ salid a

Donde: X ij = número de unidades embarcadas del nodo i al nodo j C ij = costo unitario de embarque del nodo i al nodo j Si = suministro u oferta en el nodo origen i D j = demanda en el nodo destino j

EJEMPLO NRO 2: MODELO DE TRANSBORDO Ingresemos la información de un modelo de red que enlaza 2 fábricas con 4 almacenes y 3 grupos demandantes (9 nodos en total):



Para modificar los nombres de los nodos pulsamos sobre Node Modifiquemos dichos nombre como se muestra a continuación:

27

Name

en el menú

Editar

(Edit ).

La tabla muestra dos fuentes (fábricas S1 y S2) que cuentan con capacidades de producción de 600 y 800 unidades para un período dado. Hay 4 almacenes intermedios, T1 a T4, de los cuales T2 y T3 poseen 350 y 200 unidades respectivamente. Las demandas son T1, 200 unidades; T4, 100 unidades; D1, 500 unidades; D2, 350 unidades y D3 900 unidades. Los costos de transportar una unidad de producto desde cada fuente y punto de trasbordo hasta cada sitio de demanda se encuentran en el cuerpo de la tabla.

Para ver el modelo en modo gráfico procedemos a marcar la opción



28

Una versión arreglada de nuestro modelo de redes se muestra a continuación:

La tabla de resultados finales muestra cómo se da el flujo de productos desde a las fuentes iniciales (S) a los puntos de transbordo (T) y de estas a los destinos finales, con un costo total de 7900 u.m.



29

EJEMPLO NRO 3: Modelo de Transbordo Una empresa de distribución de derivados de petróleo está estudiando un esquema para la distribución de combustible en una región con 4 mercados (A, B, C y D), cuya demanda es presentada en el siguiente cuadro: DEMANDA SEMANAL (TON/MES) MERCADO DEMANDA A 150 000 B 200 000 C 100 000 D 250 000 Para atender esta demanda, la empresa pretende utilizar transporte marítimo y transporte terrestre. Por lo tanto es necesario terminales marítimos a lo largo de la costa. Los terminales considerados son denominados T1, T2 y T3. Las capacidades de cada terminal se presentan en el cuadro siguiente: CAPACIDAD TERMINAL (TON/MES) T1 350 000 T2 300 000 T3 350 000 El combustible a ser distribuido en la Región puede venir de dos refinerías distintas. La refinería 1 tiene una capacidad de producir 300 000 Ton/mes. La segunda refinería tiene una capacidad de 500 000 Ton/mes. Los costos de transporte por tonelada se presentan en el cuadro siguiente:

T1 T2 T3

A 15 20 15

COSTOS DE TRANSPORTE ($/Ton) MERCADOS REFINERÍAS B C D 1 2 14 16 12 18 14 13 14 12 19 13 10 15 10 20 15

a) Suponiendo que los terminales tienen capacidad irrestricta, utilizando el WinQSB, determine el plan de distribución que minimice el costo total. ¿Cuál es el costo total? ¿Cuál es la capacidad ociosa en cada refinería? b) Considerando las capacidades de cada Terminal, construya el modelo matemático respectivo para determinar el plan de distribución a ser adoptado por la empresa. ¿Cuál es el costo total?. ¿Cuál es la capacidad ociosa de cada Terminal?. c) Suponiendo que se exige a la refinería 1 una producción mínima de 250 000 toneladas y que hay transporte prohibido entre el terminal 2 y el mercado C, construya el modelo matemático respectivo para determinar el nuevo plan de distribución a ser adoptado por la empresa. ¿Cuál es el nuevo costo total? SOLUCIÓN

a)

Para visualizar mejor el problema dibujamos la red del problema, luego ingresamos los datos utilizando el tipo de problema: Network Flor Problem



30

La solución es la siguiente:

Por lo tanto el plan de distribución (gráficamente) es:

El costo total es $19 150 000, la única capacidad ociosa es 100 000 toneladas en la Refinería 1.

b)

Considerando las capacidades de transbordo en cada Terminal:



31

El modelo matemático sería el siguiente: Min 18x13+19x14+20x15+14x23+13x24+15x25+15x36+14x37+16x38+12x39+20x46+13x47+14x48+ 12x49+15x56+10x57+15x58+10x59 St Restricciones de oferta: x13+x14+x15<=300 x23+x24+x25<=500 Restricciones de demanda: x36+x46+x56=150 x37+x47+x57=200 x38+x48+x58=100 x39+x49+x59=250 Restricciones de transbordo: X13+x23=x36+x37+x38+x39 X14+x24=x46+x47+x48+x49 X15+x25=x56+x57+x58+x59 Restricciones de Capacidad de los terminales: x13+x23<=350 x14+x24<=300 x15+x25<=350 end Donde Xij=Miles de toneladas a transportar del nodo i al nodo j. La salida del software Lindo 6.0 es:



32

El plan de producción es: x13=200 000, x24=300 000, x25=200 000, x36=150 000, x39=50 000, x48= 100 000, x49= 200 000 y x57=200 000 toneladas. El costo total es $19 150 000. La capacidad ociosa en los terminales es 150 000 toneladas en el Terminal 1 y 150 000 toneladas en el Terminal 3.

c) Agregamos al modelo anterior las siguientes restricciones: Restricción de producción mínima en la refinería 1: x13+x14+x15>=250 Restricción de transporte prohibido: x48=0 La nueva solución tiene un costo total de $ 19 600 000.

1.7 Problemas Propuestos 1.

Considere la representación en red siguiente de un problema de transporte: Los suministros, demandas y costos de transporte por unidad aparecen en la red.

a. b. 2.

Desarrolle un modelo de programación lineal para este problema; asegúrese de definir las variables de su modelo. Resuelva el programa lineal para determinar cuál es la solución óptima.

Un producto es manufacturado en tres plantas y embarcado a tres almacenes (los costos de transporte por unidad aparecen en la tabla siguiente). Planta P1 P2 P3 Demanda de cada almacén a. b. c.

3.

W1 20 10 12 200

Almacén W2 16 10 18 400

W3 24 8 10 100

Capacidad de la planta 300 500 100

Muestre una representación en red del problema. Desarrolle un modelo de programación lineal para minimización de costos de transpone: resuelva el modelo para determinar la solución a costo mínimo. Suponga que las entradas en la tabla representan utilidad por unidad producida en la planta i y vendidas al almacén j. ¿Cómo cambia la formulación del modelo, en comparación con el inciso (b)?

Sound Electronics produce una grabadora de cinta operada por baterías en plantas localizadas



33

en Mar-tinsville, Carolina del Norte; Plymouth. Nueva York, y Franklin, Missouri. El costo de transporte unitario de embarques desde las tres plantas a los centros de distribución en Chicago, Dallas y Nueva York es como sigue:

Después de tomar en consideración los costos de transporte, la administración ha decidido que bajo ninguna circunstancia se utilizará la ruta Plymouth-Dallas. Las capacidades de planta y los pedidos de los distribuidores para el siguiente mes son los siguientes:

Debido a que existen diferentes escalas de salario en las tres plantas, el costo unitario de producción varía de una a otra. Suponiendo que el costo es de 29.50 dólares por unidad en Martinsville, 31.20 dólares por unidad en Plymouth y 30.35 dólares por unidad en Franklin. Determine un plan de producción y de distribución que minimice los costos de producción y de transporte. 4.

El Ace Manufacturing Company tiene pedidos de tres productos similares: Producto A B C

Pedidos (unidades) 2000 500 1200

Hay disponibles tres máquinas para las operaciones de manufactura; las tres pueden producir todos los productos a la misma velocidad de producción. Sin embargo, debido a distintos porcentajes de defectuosos en cada producto y cada máquina, el costo unitario de los productos varía, dependiendo de la máquina utilizada. La capacidad de máquinas para la semana siguiente, así como los costos unitarios son los siguientes: Capacidad Máquina (unidades) 1 1500 2 1500 3 1000 Producto Máquina A B C 1 $1.00 $1.20 $0.90 2 $1.30 $1.40 $1.20 3 $1.10 $1.00 $1.20 Utilice el modelo de transporte para desarrollar el programa de producción a costo mínimo de productos y máquinas. Muestre la formulación de programación lineal. 5.

En una operación de taller por tarea, se pueden llevar a cabo cuatro tareas en cualquiera de cuatro máquinas. El número de horas requerido para cada tarea en cada una de las máquinas se resume en la tabla siguiente. ¿Cuál es la asignación tarea-máquina que minimice el tiempo total?



34

Tarea 1 2 3 4 6.

A 32 22 24 26

B 18 24 30 30

Máquina C 32 12 26 28

D 24 15 24 20

HTV utiliza el producto químico RB en sus operaciones de producción en cinco divisiones. Sólo seis proveedores llenan los estándares de control de calidad de HTV para RB. Los seis proveedores pueden producir RB en cantidades suficientes para dar servicio a las necesidades de cada una de las divisiones. Los volúmenes de RB necesarios para cada división de HTV y el precio por galón que carga cada proveedor son como sigue: Precio Proveedor por galón($) División 1 12.60 1 2 14.00 2 3 10.20 3 4 14.20 4 5 12.00 5 6 13.00 El costo por galón ($) para embarcar de cada uno de los proveedores a cada una de las divisiones aparece en la siguiente tabla. Demanda Miles de galones 40 45 50 35 45

División 1 2 3 4 5

1 2.75 0.80 4.70 2.40 3.40

2 2.50 0.20 2.60 1.80 0.40

Proveedor 3 4 3.15 2.80 5.40 1.20 5.30 2.80 4.40 2.40 5.00 1.20

5 2.75 3.40 4.00 5.00 2.60

6 2.75 1.00 5.60 2.80 3.60

HTV cree en distribuir sus necesidades entre proveedores, de manera que la empresa resulte menos afectada por sus problemas (por ejemplo, huelgas o disponibilidad de recursos). La política de la empresa requiere que coda una de las divisiones tenga un proveedor distinto. a. b. 7.

Para cada combinación proveedor-división, calcule el costo total de satisfacer la demanda de dicha división. Determine la asignación óptima de proveedores a divisiones.

El sistema de distribución para la empresa HC está formado por tres plantas, dos almacenes y cuatro clientes. La capacidad de las plantas y los costos de embarque (en $) desde cada una de las plantas a cada uno de los almacenes, son Planta 1 2 3

Almacén 1 2 4 7 8 5 5 i

Capacidad 450 100 380

La demanda de clientes y los costos unitarios de embarque (en $) de cada uno de los almacenes a cada uno de los clientes son: Cliente Almacén 1 2 3 4 1 6 4 8 4 2 3 6 7 7 Demanda 300 300 300 400 Ing. Efraín Murillo Msc.


a. b. c.

35

Desarrolle una representación en red para este problema. Formule un modelo de programación lineal del problema. Resuelva el problema lineal para determinar el plan óptimo de embarque.

8.

Refiérase al problema 7. Suponga que están permitidos embarques entre los dos almacenes a 2 dólares por unidad y que se pueden efectuar embarques directos de la planta 3 al cliente 4 a un costo de 7 dólares por unidad. a. Desarrolle una representación en red de este problema. b. Formule un modelo de programación lineal del problema. c. Resuelva el programa lineal para determinar el plan óptimo de embarque.

9.

Una empresa tiene dos plantas (P1 y P2), un almacén regional (W) y dos tiendas de menudeo (R1 y R2). En la red siguiente aparece la capacidad de las plantas, las demandas de la tienda de menudeo y los costos unitarios de embarque.

a. Formule un modelo de programación lineal para minimizar los costos de embarque de este problema. b. Resuelva el programa lineal para determinar la solución óptima. c. ¿Qué cambio tendría que efectuarse en el modelo de programación lineal, si el máximo de bienes que se puedan embarcar de W a R1 fuera de 500? ¿Cómo cambiaría lo anterior la solución óptima? 10. Hay cinco trabajadores disponibles para realizar cuatro trabajos. En la Tabla siguiente da el tiempo que tarda cada trabajador para realizar cada trabajo. La meta es asignar los trabajadores a los trabajos de tal manera que se minimice el tiempo total requerido para realizar los cuatro trabajos. Utilice el método Húngaro para resolver el problema. TIEMPO (horas) Trabajo Trabajo Trabajo Trabajo 1 2 3 1 Trabajador 1 10 15 10 15 Trabajador 2 12 8 20 16 Trabajador 3 12 9 12 18 Trabajador 4 6 12 15 18 Trabajador 5 16 12 8 12 11. Una compañía debe satisfacer las demandas siguientes de un producto: enero, 30 unidades; febrero, 30 unidades; marzo, 20 unidades. Se puede dejar pendiente una demanda a un costo Ing. Efraín Murillo Msc.


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de 5 dólares/unidad/mes. Naturalmente, hay que satisfacer toda la demanda para el fin del mes de marzo. Así, si se satisface 1 unidad de demanda de enero durante el mes de marzo, se incurre en un costo por demanda pendiente de 5(2) = 10 dólares. En la tabla siguiente se muestran: la capacidad de producción mensual y el costo de producción por unidad para cada mes COSTO CAPACIDAD DE DE PRODUCCIÓ PRODUCCIÓN N (dólares) 35 400 30. 420 35 410

Enero Febrero Marzo

Formule un problema de transporte balanceado que se podría utilizar para determinar cómo minimizar el costo total (incluyendo los costos por demandas pendientes, los costos de mantener el inventario y los costos de producción) para satisfacer la demanda. 12. Hay cinco emergencias que solicitan en forma simultánea una ambulancia. Se tiene disponible solamente cuatro ambulancias para atender dichas emergencias. En la Tabla siguiente se da la distancia que hay entre la ubicación de la ambulancia y el lugar de cada emergencia. La meta es asignar las ambulancias a las emergencias de tal manera que se minimice la distancia total recorrida. Formule el Modelo matemático respectivo y defina la variable de decisión. DISTANCIA (Kms.) Emergencia Emergencia Emergencia Emergencia Emergencia 1 2 3 4 5

Ambulancia 1 Ambulancia 2 Ambulancia 3 Ambulancia 4

10 5 12 6

15 8 9 12

10 20 12 18

15 16 8 18

16 6 12 13

CASO ESTUDIO NRO 1: Modelo de localización de plantas productivas En este ejemplo se describe un modelo de localización de plantas productivas , o de forma más precisa, el problema de localización de plantas productivas con capacidad limitada. Se trata de elegir la localización de una serie de plantas de entre un conjunto dado de posibles localizaciones, teniendo en cuenta las necesidades de los consumidores y optimizando algún criterio económico. Normalmente, a construcción de una planta origina un coste importante que no depende del nivel de producción de esa planta. Este problema tiene aplicación en campos diversos. Por ejemplo, pueden construirse centrales productivas en diversos lugares para maximizar el beneficio económico teniendo en cuenta los costes de producción y de transporte. La Figura 1 muestra una solución del problema de la localización de plantas para cubrir las necesidades de un conjunto de consumidores. Por tanto, los elementos fundamentales de este problema son 1. Datos I : conjunto { 1,…,n} de n consumidores J : conjunto { 1, … , m} de m lugares donde las plantas pueden ser construidas



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fj : coste fijo de construcción de la planta localizada en j para j  J

Figura 1: Solución del ejemplo de localización de plantas con capacidad limitada. cij : beneficio unitario por venta, al consumidor i , de bienes producidos en la planta j . Normalmente, los costes cij dependen de los costes de producción en la planta j , la demanda y precio de venta al consumidor i , y el coste de transporte desde la planta j al consumidor i . uj : la capacidad productiva de la planta localizada en j bi : la demanda el consumidor i

2. Variables. Las variables de este problema son las siguientes: yj : variable binaria que permite modelar la “construcci ón” de una planta productiva en la localización j . Esto es:

xij: cantidad de producto enviada desde la planta i al consumidor j. 3. Restricciones. Las restricciones de este problema son las siguientes. Ha de satisfacerse la demanda de cada consumidor:

Dado que al consumidor i no se le puede suministrar desde j a no ser que se haya construido una central en j , son necesarias las siguientes restricciones: Estas desigualdades lineales establecen que el consumidor i se puede suministrar desde j sólo si la planta se construye en j ; dado que yj = 0 implica que xij = 0,  i y yj = 1, da lugar a la restricción Σ i  I xij ≤ uj , que implica que la producción de la planta j no puede exceder su capacidad máxima. Además, las restricciones sobre las variables son

4. Función a optimizar. En la denominada formulación estricta del problema de localización de plantas de tamaño cualquiera, se maximiza

Con este modelo, se resuelve fácilmente el problema de localización de centrales de cualquier capacidad. De hecho, si se dispone de un conjunto factible de localizaciones, la solución consiste en asignar a cada consumidor la planta más rentable. Sin embargo, dado que no es realista suponer que a todos los consumidores se les pueda suministrar desde una única planta, es necesario considerar capacidades máximas.



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Ejemplo (Localización de plantas industriales). Una empresa considera la construcción de plantas productivas para suministrar un determinado producto a 7ciudades. La demanda de cada una de esas ciudades puede estimarse mediante factores demográficos y sociales. Estas estimaciones se muestran en la Tabla 1.

Un determinado estudio estadístico ha identificado 6 posibles localizaciones para las plantas industriales. Se supone que todas las plantas tienen las mismas características. La capacidad máxima de producción de cada planta es de 6 unidades. Se considera que el coste de recobrar la inversión a lo largo del horizonte de estudio de una planta es 10 unidades monetarias. La Tabla 2 muestra el beneficio obtenido por vender a la ciudad i , una unidad de producto fabricado en la planta localizada en j .

Ha de determinarse el número de plantas y sus localizaciones, de forma tal que se suministre la demanda de las ciudades y el beneficio obtenido sea máximo. El proceso de optimización asociado a este proceso de toma de decisión consiste en maximizar el beneficio total incluyendo costes de amortización, sujeto a las restricciones pertinentes. Por tanto, el problema consiste en maximizar



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donde (2.7) y (2.8) son las restricciones de demanda y de capacidad productiva, respectivamente. La solución de este problema que se muestra en la Figura 1. Consiste en emplazar 3 plantas industriales en las localizaciones L2, L 4, y L3; la distribución de producción por ciudades se muestra en la Tabla 3.

Se pide: a) b) c) d)

Formule el modelo matemático detallado. Aplique una herramienta de software y obtenga su solución. Interprete la solución obtenida en el punto anterior. Compare la solución obtenida con la mostrada en la tabla 3 y emita sus conclusiones.

CASO ESTUDIO NRO 2: Problema de distribución de combustible y ubicación de terminales Una empresa de distribución de derivados de petróleo esta estudiando un esquema para la distribución de combustible en una región con 4 mercados (A, B, C y D), cuya demanda es presentada en el siguiente cuadro: DEMANDA SEMANAL (TON/MES) MERCADO A B C D

DEMANDA

150 000 200 000 120 000 240 000

Para atender esta demanda, la empresa pretende utilizar transporte marítimo y transporte terrestre. Por lo tanto es necesario terminales marítimos a lo largo de la costa. Los lugares escogidos para la instalación de los posibles terminales son denominados T1, T2, T3 y T4. Los tipos de terminales que pueden ser instalados se presentan en el cuadro siguiente: CAPACIDAD COSTO FIJO COSTO VARIABLE TIPO (TON/MES) ($/MES) ($/MES) I 100 000 500 000.00 6.50 II 200 000 800 000.00 5.30 III 300 000 1 000 000.00 4.50 El combustible a ser distribuido en la Región puede venir de dos refinerías distintas. La refinería 1 tiene una capacidad de producir adicionalmente 600 000 Ton/mes, a un costo unitario de $ Ing. Efraín Murillo Msc.

Apuntes de Clase - Modelos de Transporte-Asignación-Transbordo

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