TEMA: MODELOS DE ASIGNACIÓN, TRANSPORTE Y TRANSBORDO MODELO DE ASIGNACIÓN El modelo de asignación es un caso especial equilibrado de suministros y demandas del modelo de transporte, en el que los recursos se asignan a las actividades en términos de uno a uno, haciendo notar que la matriz correspondiente debe ser cuadrada. Así entonces cada recurso debe asignarse, de modo único a una actividad particular ocasionando su principal característica la cual es el conocimiento del costo de asignación de cada punto de suministro a cada punto de demanda. Los suministros y demandas para cualquier problema de asignación son enteros, y representan los costos Cij asociados con el recurso que es asignado, de modo que el objetivo es determinar en qué forma deben realizarse todas las asignaciones para minimizar los costos totales, lo cual nos genera el método húngaro.
MÉTODO HUNGARO
El hecho de que el algoritmo del método húngaro es aun más simple que el simplex de transporte para problemas de asignación (min), esto genera que sea mayor utilizado en el alto grado de degeneración de problemas. Pasos 1. Encuentre el elemento mínimo en cada renglón de la matriz de costos m X m. Construya una nueva matriz restando en cada costo el costo mínimo de su renglón. Para esta nueva matriz, determine el costo mínimo en cada columna. Construya una nueva matriz (llamada la matriz de costos reducida) restando de cada costo el costo mínimo de su columna. 2. Trace el número mínimo de líneas (horizontales, verticales, o ambas) que son necesarias para cubrir todos los ceros en la matriz de costos reducida. Si se requieren m líneas, entonces está disponible una solución optima entre los ceros cubiertos en la matriz. Si son necesarias menos de m líneas, entonces proceda al paso 3 3. Determine el elemento no cero más pequeño (llámelo k) en la matriz de costos reducida que no cubren las líneas trazadas en el paso 2. Ahora reste K de cada elemento no cubierto de la matriz de costos reducida y agregue k a cada elemento cubierto por dos líneas. Vuelva al paso 2. Observaciones 1. Para resolver un problema de asignación en el que el objetivo es maximizar la función objetivo, multiplique la matriz de utilidades por -1 y resuelva el problema como uno de minimización. 1
2. Si el número de renglones o columnas en la matriz de costos no es igual, entonces el problema de asignación esta desequilibrado. El método húngaro podría producir una solución incorrecta si no está equilibrado el problema 3. En un problema grande, es posible que se dificulte hallar el número mínimo de líneas necesario para cubrir los ceros en la matriz de costos actual.
EJEMPLO
Un ejemplo de asignación de recursos es el de Machineco, el cual consiste en determinar qué maquina debe asignarse a cada tarea ya que se tienen cuatro máquinas y cuatro tareas para completar. Cada máquina se debe asignar para completar una tarea y Machineco desea reducir el tiempo de preparación total necesario para completar las cuatro tareas.
Tiempo de preparación para Machineco Máquina
Tarea 1
Tarea 2
Tarea 3
Tarea 4
1
-14
5
8
7
2
2
12
6
5
3
7
8
3
9
4
2
4
6
10
Entonces el problema de Machineco podría formularse como min z = 14x11 + 5x12 + 8x13 + 7x14 + 2x21 + 12x22 + 6x23 + 5x24 + 7x31 + 8x32 + 3x33 + 9x34
+
2x41 + 4x42 + 6x43 + 10x44 s.a x11 + x12 + x13 + x14 = 1 x31 + x32 + x33 + x34 = 1
x21 + x22 + x23 + x24 = 1
(Restricciones de maquina)
x41 + x42 + x43 + x44 = 1
s.a x11 + x21 + x31 + x41 = 1
x12 + x22 + x32 + x42 = 1
x13 + x23 + x33 + x43 = 1
x14 + x24 + x34 + x44 = 1
(Restricciones de trabajo)
Paso 1: Para cada renglón, se resta el mínimo del renglón de cada elemento del renglón, obteniendo la tabla 2. Ahora se resta 2 de cada costo de la columna 4, obteniendo la tabla 3 Paso 2: Como se muestra, las líneas por los renglones 1, 3 y la columna 1 cubren los ceros de la matriz de costos reducida. Por la observación 3, se deduce que solo se pueden asignar tres tareas a los costos cero de la matriz de costos actual. Se requieren menos de cuatro líneas para cubrir todos los ceros, así que se procede al paso 3. 2
Paso 3: El elemento más pequeño no cubierto es igual a 1, así que ahora se resta 1 de cada elemento no cubierto en la matriz de costos reducida y se agrega 1 a cada elemento cubierto dos veces. La matriz resultante es la tabla 4. Ahora son necesarias cuatro líneas para cubrir todos los ceros. Por consiguiente, se tiene una solución óptima. Para hallar una asignación óptima, observe que el único cero cubierto en la columna 3 es x33 así que se debe tener x33=1 También, el único cero cubierto disponible en la columna 2 es x12 de modo que se establece x12=1 y se observa que ni el renglón 1 ni la columna 2 se pueden utilizar de nuevo. Ahora el único cero cubierto disponible en la columna 4 es x24 Entonces se elige x24=1 (que ya no se utiliza más en el renglón 2 y la columna 4). Por último, se elige x41=1. Por consiguiente, se ha encontrado la asignación optima x12,x24,x33,x41 =1. Tabla 2 14
5
8
7
5
2
12
6
5
2
7
8
3
9
3
2
4
6
10
9
0
3
2
0
10
4
3
4
5
0
6
0
2
4
8
9
0
3
0
0
10
4
1
4
5
0
4
0
2
4
6
10
0
3
0
0
9
3
0
5
5
0
4
0
1
3
5
2
Tabla 3
Tabla 4
Tabla 5
3
MODELO DE TRANSBORDO Un problema de transbordo sólo permite envíos que van directamente de un punto de suministro a un punto de demanda. En muchas situaciones se permiten envíos entre puntos de suministro o entre puntos de demanda. Algunas veces también podría haber puntos (llamados puntos de transbordo) por los que se podría hacer el transbordo de los bienes en su viaje de un punto de suministro a un punto de demanda. La solución óptima para un problema de transbordo se determina al resolver un problema de transporte y en el cual un punto de suministro se define como un punto que envía bienes a otro sin recibir algo y de manera similar un punto de demanda recibe bienes sin enviar, lo que nos lleva a un punto de transbordo en donde se cumplen los anteriores simultáneamente. Ahora se describe cómo se puede determinar la solución óptima para un problema de transbordo resolviendo un problema de transporte. Dado un problema de transbordo, se crea un problema de transporte equilibrado mediante el procedimiento siguiente (suponga que el suministro total excede a la demanda total): Pasos: 1. Si es necesario, agregue un punto de demanda ficticio (con suministro de 0 y una demanda igual al suministro en exceso del problema) para equilibrar el problema. Los envíos son ficticios y desde un punto a sí mismo tendrán, por supuesto, un costo de envío cero. Sea s=suministro disponible total. 2. Construya una tableau de transporte como sigue: será necesario un renglón en el tableau para cada punto de suministro y punto de transbordo, y será necesaria una columna para cada punto de demanda y punto de transbordo. Cada punto de suministro tendrá un suministro igual a su suministro original, y cada punto de demanda tendrá una demanda igual a su demanda original. Sea s=suministro disponible total. Entonces cada punto de transbordo tendrá un suministro igual a (suministro original del punto) + s y una demanda igual a (demanda original del punto) + s. Esto asegura que cualquier punto de transbordo que sea un abastecedor neto tendrá una salida neta igual al suministro original del punto y, de manera similar, un demandador neto tendrá una entrada neta igual a la demanda original del punto. Aunque no se sabe cuánto se enviara por cada punto de transbordo, se puede asegurar que la cantidad total no excederá el valor de s. Esto explica porque se agrega s al suministro y la demanda en cada punto de transbordo. Al sumar las mismas cantidades al suministro y la demanda, se asegura que la salida neta en cada punto de transbordo será correcta, y también se mantiene un tableau de transporte equilibrado.
EJEMPLO 4
Se fabrican dispositivos mecánicos en dos fabricas, una en Memphis y una en Denver. La fabrica de Memphis puede producir 150 dispositivos por dia, y la fabrica de Denver puede producir nada mas y nada menos que 200 dispositivos por dia. Los dispositivos se envían por aire a clientes en Los Angeles y Boston. Los clientes en cada ciudad requieren 130 dispositivos por dia. Debido a la desregulación de tarifas aéreas, se cree que podría ser mas barato enviar primero algunos dispositivos a Nueva York o Chicago, y luego enviarlos a sus destinos finales. Los costos de enviar por via aérea un dispositivo se muestran en la tabla. Se requiere minimizar los costos totales.
De\ A
Memphis
Denver
NY
Boston
LA
Boston
Memphis
0
-
8
13
25
28
Denver
-
0
15
12
26
25
NY
-
-
0
6
16
17
Chicago
-
-
6
0
14
16
LA
-
-
-
-
0
-
Boston
-
-
-
-
-
0
La salida neta de cada ciudad es
MÉTODO DE TRANSPORTE
5
Este método en general se refiere al traslado de mercancía de un lugar a otro (origen-destino) con el fin de minimizar el costo total de distribución, tomando en cuenta que cada origen tiene que distribuir ciertas unidades a los destinos y cada destino tiene cierta demanda de unidades que deben recibir de los orígenes. Para esto se toman en cuenta varios supuestos, cada origen tiene un suministro fijo de unidades que se deben distribuir por completo entre los destinos, a este supuesto se le conoce como supuesto de requerimiento. También se sabe que el costo de distribuir unidades de un origen a un destino cualquiera es proporcional al número de unidades distribuidas. Si el problema de transporte tiene un suministro menor estricto con respecto al total de la demanda, entonces el problema no tiene solución factible y cuando el suministro es menos que la demanda total, entonces se le llama demanda insatisfecha. Se le llama punto de demanda ficticio si tiene una demanda son iguales a la cantidad de suministro en exceso ya que los envíos ficticios solo indican capacidad de suministro en uso, pero se les asigna un costo cero ya que no son reales. La ultima celda en la secuencia tiene un renglón o columna en común con la primera celda de la secuencia Existen tres métodos que se usan para llegar a una solución factible de un problema de transporte equilibrado. Regla de la esquina noroeste: Se inicia la asignación usando la esquina noroeste de tabla, luego se desplaza a la columna de la derecha si todavía quedan recursos en ese origen. De lo contrario se mueve al reglón debajo hasta realizar todas las asignaciones. Método de la ruta preferente: Esta es a partir del costo mínimo de distribuir una unidad. Primero se identifica este costo se realiza la asignación de recursos máxima posible y luego se identifica el siguiente costo menor realizando el mismo procedimiento hasta realizar todas las asignaciones.
Método de Vogel: Se calcula la diferencia entre cada renglón y columna, y esto se define como la diferencia aritmética entre el costo unitario más pequeño y el costo menor que le sigue en ese renglón o columna. En el renglón o columna con la mayor diferencia, se le asigna al menor costo unitario. Los empates se pueden romper de manera arbitraria.
El método más utilizado es el método de asignación de Vogel ya que para este criterio se toman en cuenta los costos de distribución, lo vuelve el más eficiente. Después de una asignación inicial de cualquier método, se hacen iteraciones hasta obtener la solución óptima.
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Una secuencia ordenada de al menos 4 celdas diferentes, se le llama loop o bucle si cumple con las tres características siguientes: Dos celdas consecutivas yacen en el mismo renglón o columna En el mismo renglón o columna no están tres celdas consecutivas En las siguientes tablas se muestran ejemplos de bucles:
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