PROBLEMA DE TRANSBORDO El Problema de Transbordo es una variación del modelo original de transporte que se ajusta a la posibilidad común de transportar unidades mediante nodos fuentes, destinos y transitorios, mientras el modelo tradicional solo permite envíos directos desde nodos fuentes hacia nodos destinos. Existe la posibilidad de resolver un modelo mo delo de transbordo mediante las técnicas tradicionales de resolución de modelos de transporte y este procedimiento se basa en la preparación
del
tabulado
inicial
haciendo
uso
de
artificios
conocidos
con
el
nombre
de amortiguadores, los cuales deben ser iguales a la sumatoria de las ofertas de los nodos de oferta pura y de coeficiente cero (0) en materia de costos.
RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA DE TRANSBORDO MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL Para poder resolver un problema de transbordo mediante programación lineal basta con conocer una nueva familia de restricciones, las llamadas restricciones de balanceo. En un problema de transbordo existen 3 clases de nodos, los nodos de oferta pura, los de demanda pura y los nodos transitorios que posibilitan el transbordo y que deben de balancearse para hacer que el sistema sea viable, es decir, que todas las unidades que ingresen a un nodo sean iguales a las que salgan del mismo (unidades que salen + unidades que conserve el nodo).
EL PROBLEMA Modelar mediante programación lineal el problema de transbordo esbozado en la siguiente figura
La figura muestra una serie de nodos y sus respectivas rutas m ediante las cuales se supone distribuir las unidades de un producto, el número que lleva cada flecha representa el costo unitario asociado a esa ruta, y las cantidades que se ubican en los nodos iniciales representan la oferta de cada planta, así como las cantidades de los nodos finales representa la demanda de cada distribuidor.
LAS VARIABLES DE DECISIÓN En este caso como en la mayoría las variables de decisión deben representar la cantidad de unidades enviadas por medio de cada ruta. Es muy aconsejable denotar cada nodo con un número para simplificar la definición nominal de las variables.
Una vez renombrado cada nodo definiremos las variables:
XA,C = Cantidad de unidades enviadas desde P1 hacia T1
XA,D = Cantidad de unidades enviadas desde P1 hacia T2
XB,C = Cantidad de unidades enviadas desde P2 hacia T1
XB,D = Cantidad de unidades enviadas desde P2 hacia T2
XC,D = Cantidad de unidades enviadas desde T1 hacia T2
XC,E = Cantidad de unidades enviadas desde T1 hacia D1
XC,F = Cantidad de unidades enviadas desde T1 hacia D2
XD,F = Cantidad de unidades enviadas desde T2 hacia D2
XD,G = Cantidad de unidades enviadas desde T2 hacia D3
XE,F = Cantidad de unidades enviadas desde D1 hacia D2
XF,G = Cantidad de unidades enviadas desde D2 hacia D3
RESTRICCIONES Existen en este modelo 3 tipos de restricciones y están estrechamente relacionadas con los tipos de nodos existentes, para un nodo oferta pura existe la restricción de oferta; para un nodo demanda pura existe la restricción de demanda, y para un nodo transitorio y/o transitorio de demanda existe la restricción de balance. Recordemos que los nodos transitorios son aquellos que tienen rutas (flechas) de entrada y salida, y si además este presenta un requerimiento de unidades se denomina transitorio de demanda.
Restricciones de Oferta:
XA,C + XA,D = 1000
XB,C + XB,D = 1200
Restricciones de demanda:
XD,G + XF,G = 500
Restricciones de balanceo para nodos únicamente transitorios: Con estas restricciones aseguramos que todas las unidades que lleguen sean iguales a las unidades que salgan.
XA,C + XB,C - XC,D - XC,E - XC,F = 0
XA,D + XB,D + XC,D - XD,F - XD,G = 0
Restricciones de balanceo para nodos transitorios con requerimientos: Con estas restricciones aseguramos que todas las unidades que lleguen sean iguales a la sumatoria de las unidades que salen más los requerimientos del nodo (demanda).
XC,E - XE,F = 800
XC,F + XD,F + XE,F - XF,G = 900
FUNCIÓN OBJETIVO En este caso la definición de la función objetivo se limita a la consignación de cada ruta con su respectivo costo bajo el criterio "minimizar". ZMIN = 3XA,C + 4XA,D + 2XB,C + 5XB,D + 7XC,D + 8XC,E + 6XC,F + 4XD,F + 9XD,G + 5XE,F + 3XF,G
RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA DE REDES DE SUMINISTRO EL PROBLEMA
Este es un problema propuesto en el texto "Investigación de Operaciones de TAHA" que hace referencia a una red de gasoductos en la que los distintos nodos representan estaciones de bombeo y recepción, los costos se encuentran en las rutas de la siguiente figura.
Investigación de Operaciones - TAHA
VARIABLES DE DECISIÓN X12 = Cantidad de galones enviados d esde la estación 1, hacia la estación 2 X17 = Cantidad de galones enviados d esde la estación 1, hacia la estación 7 X37 = Cantidad de galones enviados d esde la estación 3, hacia la estación 7 X34 = Cantidad de galones enviados d esde la estación 3, hacia la estación 4 X72 = Cantidad de galones enviados desde la estación 7, hacia la estación 2 X75 = Cantidad de galones enviados d esde la estación 7, hacia la estación 5 X57 = Cantidad de galones enviados d esde la estación 5, hacia la estación 7 X62 = Cantidad de galones enviados desde la estación 6, hacia la estación 2 X65 = Cantidad de galones enviados d esde la estación 6, hacia la estación 5 X56 = Cantidad de galones enviados d esde la estación 5, hacia la estación 6 X54 = Cantidad de galones enviados d esde la estación 5, hacia la estación 4 RESTRICCIONES Restricciones de oferta y demanda:
X12 + X17 = 50000 X37 + X34 = 60000 X12 + X72 + X62 = 90000 X34 + X54 =20000
Restricciones de balance X17 + X37 + X57 - X72 - X75 = 0 X56 - X65 - X62 = 0 X75 + X65 - X56 - X54 = 0
FUNCIÓN OBJETIVO ZMIN = 20X12 + 3X17 + 9X37 + 30X34 + 40X72 + 10X75 + 10X57 + 8X62 + 4X65 + 4X56 + 2X54
INGRESANDO EL MODELO A WINQSB
Bryan Antonio Salazar López
SOLUCIÓN OBTENIDA MEDIANTE WINQSB
Bryan Antonio Salazar López
Esta es la representación grafica de la solución cuyo costo óptimo es de 2'660.000 unidades monetarias
Bryan Antonio Salazar López
PROBLEMA DE LA RUTA MÁS CORTA
Ya el nombre de este tipo de problemas es bastante sugestivo, se trata si es necesario decirlo de una modalidad de problemas de redes en el cual se debe determinar el plan de rutas que genere la trayectoria con la mínima distancia total que una un nodo fuente con un nodo destino, sin importar el número de nodos que existan entre estos.
Esta modalidad de problemas puede solucionarse como un modelo de transbordo normal, sin embargo la principal sugerencia es la de establecer una oferta en el nodo fuente igual a una unidad (1) y establecer una demanda en el arco destino igual a una unidad (1).
EL PROBLEMA Un minero ha quedado atrapado en una mina, la entrada a la mina se encuentra ubicada en el nodo 1, se conoce de antemano que el minero permanece atrapado en el nodo 9, para llegar a dicho nodo hay que atravesar una red de túneles que van conectados entre sí. El tiempo de vida que le queda al minero sin recibir auxilio es cada vez menor y se hace indispensable hallar la ruta de acceso al nodo 9 más corta. Las distancias entre nodos de la mina se encuentran en la siguiente gráfica dadas en cientos de metros. Formule un modelo de transbordo y resuelva mediante cualquier paquete de herramientas de investigación operativa que permita establecer la ruta más corta para poder así auxiliar al minero.
Bryan Antonio Salazar López
VARIABLES DE DECISIÓN El nombre de las variables en este caso poco importa, dado que de ser escogida para la solución básica eso significa simplemente que será empleada como ruta para ir a rescatar al minero, sin embargo nada tiene de malo el que se le pueda asociar con el envío de unidades desde la entrada de la mina hacia el minero, por ende puede sugerirse este como nombre de las variables. "Cantidad de unidades enviadas desde el nodo i hacia el nodo j".
X12 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 1, hacia el nodo 2 X13 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 1, hacia el nodo 3
X23 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 2, hacia el nodo 3 X24 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 2, hacia el nodo 4 X32 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 3, hacia el nodo 2 X34 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 3, hacia el nodo 4 X35 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 3, hacia el nodo 5 X46 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 4, hacia el nodo 6 X47 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 4, hacia el nodo 7 X54 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 5, hacia el nodo 4 X56 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 5, hacia el nodo 6 X57 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 5, hacia el nodo 7 X58 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 5, hacia el nodo 8 X67 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 6, hacia el nodo 7 X69 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 6, hacia el nodo 9 X76 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 7, hacia el nodo 6 X78 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 7, hacia el nodo 8 X79 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 7, hacia el nodo 9 X87 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 8, hacia el nodo 7 X89 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 8, hacia el nodo 9 RESTRICCIONES Restricciones de Oferta y Demanda Hay que recordar que el objetivo de este modelo es la consecución de un plan de ruta que nos permita encontrar al minero lo más pronto posible al recorrer la distancia mínima posible, por ende la clave para plantear el modelo como si fuese de transbordo es establecer una demanda y oferta igual a la unidad (1).
X12 + X13 = 1 X69 + X79 + X89 = 1 Restricciones de Balance X12 + X32 - X23 - X24 = 0 X13 + X23 - X32 - X34 - X35 = 0 X24 + X34 + X54 - X46 - X47 = 0 X35 - X54 - X56 X57 X58 = 0 –
–
X46 + X56 + X57 - X67 X69 = 0 –
X67 + X47 + X57 + X87 X76 X78 X79 = 0 –
–
–
X78 + X58 X89 = 0 –
En palabras sencillas: "Todo lo que entra a cada nodo es igual a lo que sale de él"
FUNCIÓN OBJETIVO ZMIN = 4X12 + 2X13 + 2X23 + 7X24 + 4X32 + 9X34 + 6X35 + 1X46 + 5X47 + 2X54 + 4X56 + 3X57 + 2X58 + 1X67 + 5X69 + 4X76 + 3X78 + 5X79 + 2X87 + 7X89 INGRESANDO LOS DATOS A WINQSB
Bryan Antonio Salazar López - WinQSB
SOLUCIÓN OBTENIDA MEDIANTE WINQSB
Bryan Antonio Salazar López - WinQSB
La ruta más corta para rescatar al minero tiene como distancia total 1600 metros (dado que las distancias estaban dadas en cientos de metros) y es tal como se muestra en la siguiente gráfica.
Bryan Antonio Salazar Lopez
Sin embargo WinQSB cuenta con una metodología mucho más sencilla de resolución de algoritmos de ruta más corta, metodología que explicaremos más adelante, de todas formas hemos encontrado como aplicando debidamente la razón y un algoritmo conocido como el de transbordo podemos solucionar problemas distintos en teoría.
