C´ alculo Integral Programa de Matem´ aticas Universidad de Cartagena
Secci´on 3.5
y = 2x3 − 2x2 − 12x.
3.4.45. Suponga que la ecuaci´ on cuadr´atica f (x) = px2 + qx + r nunca es negativa en [a, b]. Muestre que el ´ area bajo la gr´afica de f de a a b es 1 A = h[f (a) + 4f (m) + f (b). 3 Sugerencia: mediante una traslaci´on horizontal de esta regi´on, puede asumir que a = −h, m = 0 y b = h.
a) y 2 = x(5 − x)2 b) y 2 = x2 (x + 3) 3.4.47. Halle un n´ umero k > 0 tal que el ´area acotada por las curvas y = x2 and y = k − x2 es 72.
3.4.48. Halle el n´ umero k > 0 tal que la recta y = k divida la regi´on entre la par´abo3.4.46. Halle el ´ area de la regi´on encerrada la y = 100 − x2 y el eje x en dos regiones de en le bucle determinado por ´areas iguales.
3.5.
Longitud de arco
Sabemos que la �distancia en l´ınea recta entre dos puntos del plano (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) viene dada por d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 . Si los puntos hacen parte de una curva y = f (x) y queremos medir la distancia a lo largo de una curva, en el intervalo [a, b], ¿cu´al ser´a la distancia?. Una aproximaci´ on plausible es aproximar la curva por peque˜ nos segmentos de rectas y luego sumar las longitudes de los segmentos de recta. Por ejemplo en el intervalo [xi−1 , � xi ] el segmento viene dado por los puntos (xi−1 , f (xi−1 )) y (x, f (xi )) y la distancia di = (xi−1 − xi )2 + (f (xi−1 ) − f (xi ))2 . La longitud del arco s sera aproximadamente igual a � s≈ di .
Figura 3.5: Curva suave y segmentos de rectas que la aproximan La idea es que al aumentar el n´ umero de segmentos de recta, la suma se acerque a un n´ umero fijo, el cual ser´a la longitud de la curva. Para garantizar esto definiremos la longitud de 127
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arco de una funci´ on suave y luego la longitud de arco para una funci´on suave a trozos. Una funci´ on suave f definida en un intervalo abierto [a, b] es una funci´on cuya derivada es continua en [a, b] ( en los extremos se consideran las derivadas laterales). La funci´on es suave a trozos en [a, b] si existe una partici´on de [a, b] en donde f es suave a trozos en cada subintervalo cerrado de la partici´on. Un arco suave es la gr´afica de una funci´on suave. Un arco suave a trozos es la gr´ afica de una funci´on suave a trozos. Geom´etricamente, una funci´ on suave es una funci´on cuya gr´afica no tiene ”esquinas”. La funci´on f (x) = −x2 + 3 es suave en [−1, 1], porque f � (x) = −2x2 es una funci´on continua en [−1, 1]. La funci´on |x| no es suave en [−1, 1] pero si es suave a trozos. |x| = −x en [−1, 0] la cual es derivable en este intervalo y |x| = x en [0, 1] la cual es derivable en este intervalo. La funci´on |x| no es derivable en x = 0 pero si tiene derivadas por la derecha y por la izquierda. En x = 0 tiene una “esquina”. wxplot2d([-x^2+3,abs(x)],[x,-1,1]);
Volviendo a la aproximaci´ on de la longitud de arco, si tomamos una partici´on regular de [a, b] y la funci´ on suave y = f (x) definida en [a, b], con Δx = (b − a)/n se tiene que s=
n � i=1
di =
n � � i=1
(xi−1 − xi )2 + (f (xi−1 ) − f (xi ))2 .
Por el teorema del valor medio f (xi−1 ) − f (xi ) = f � (x∗i )(xi − xi−1 ) = f � (x∗i )Δx para algun 128
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Secci´on 3.5
x∗i ∈ [xi−1 , xi ]. Por tanto =
di
= =
= = = Como f � (x) es continua, en [a, b] existe y �
b a
�
(xi−1 − xi )2 + (f (xi−1 ) − f (xi ))2 � (xi−1 − xi )2 + (f (xi−1 ) − f (xi ))2 � (xi − xi−1 ) (xi − xi−1 )2 � (xi−1 − xi )2 + (f (xi−1 ) − f (xi ))2 (xi − xi−1 ) (xi − xi−1 )2 � � �2 f (xi−1 ) − f (xi ) 1+ (xi − xi−1 ) xi − xi−1 � �2 � � ∗ f (xi )(xi − xi−1 ) 1+ (xi − xi−1 ) xi − xi−1 � 1 + [f � (x∗i )]2 Δx �
1 + [f � (x)]2 ) es no negativa y continua y por tanto su integral
n � � � 1 + [f � (x)]2 )dx = l´ım 1 + [f � (x∗i )]2 Δx. n→∞
i=1
Definimos entonces la longitud del arco de curva suave C como s=
�
b a
� 1 + [f � (x)]2 )dx.
Si C es suave a trozos en los intervalos [xi−1 , xi ] de una partici´on de [a, b], se define s=
n � � i=1
xi xi−1
� 1 + [f � (x)]2 )dx.
Si la curva viene descrita por una funci´on suave a trozos x = g(y) entonces s=
n � � i=1
yi yi−1
�
1 + [g � (y)]2 )dy.
En el caso que la curva suave est´ a dada en forma param´etrica for funciones suaves (x(t), y(t)) �b� la longitud de arco es s = a [x� (t)]2 + [y � (t)]2 . 129
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Ejemplo 3.5.1. Hallar la longitud del arco de curva descrito por y = x3/2 en [0, 1]. √ 3 x dy = 2 y Soluci´ on. Observe que dx � � � �2 � √ �2 � dy 3 x 9x +1 1+ = 1+ = dx 2 4 por tanto s=
�
1 0
�
� � 3 1 8 94x + 2 2 9x = 1,75. + 1dx = 4 27 0
7 Ejemplo 3.5.2. Hallar la longitud del arco suave descrito por 12xy − 4y 4 = 3 desde ( 12 , 1) 67 on. Observe que derivando impl citamente a x con respecto a y se obtiene a ( 24 , 2). Soluci´
12y
dx + 12x − 16y 3 = 0. dy
De 12xy − 4y 4 = 3 se deduce que 12xy = 3 + 4x4 . Reemplazando esta expresion se llega a 12y 2
dx = 16y 4 − 4y 4 − 3 = 12y 4 − 3 dy 1 dx = y 2 − y −2 . dy 4
As´ı
�2 � �2 dx 1 −2 2 1+ = y + y dy 4 � �2 � � 2 �� dx 1 −2 1 2 y + y 1+ = = y 2 + y −2 dy 4 4 �
de modo que s=
�
2 1
1 59 . y 2 + y −2 dy = 4 24
Ejemplo 3.5.3. Un fabricante necesita fabricar l minas de zinc corrugado de 36 in de ancho a partir de l minas planas con una secci´on transversal siguiendo la curva y = (1/2)∗sin(πx), 0 ≤ x ≤ 36. ¿Cu´al debe ser el ancho de la l´amina plana? Soluci´ on. El ancho debe ser el obtenido al estirar la l´amina corrugada, es decir, debe ser la de la que define el corrugado en el intervalo [0, 36]. Sabemos que f (x) = (1/2) ∗ sin(πx) y f � (x) = (π/2) ∗ cos(πx) y por tanto � 36 � 1 + ((π/2) ∗ cos(πx))2 dx. s= 0
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Secci´on 3.5
Esta no es una integral trivial. Podemos pedirle a maxima que la haga en forma aproximada quad_qags(sqrt((%pi^2*cos(%pi*x)^2)/4+1),x,0,36); que produce la salida [52.69303700688767,3.5011613137874653\,{10}^{-7},2667,0]. El primer n´ umero indica el valor de la integral. El ancho de la l´amina plana debe ser de 52.7 pulgadas aproximadamente.
Ejercicios En los Ejercicios del 3.5.1 al 3.5.10 escribir y 3.5.16. y 3 = 8x2 desde (1, 2) a (8, 8). simplificar la integral que da la longitud del 3.5.17. (y − 3)2 = 4(x + 2)3 de (−1, 5) a arco descrita. No evaluar la integral. (2, 19) 3.5.1. y = x2 , 0 ≤ x ≤ 1 3.5.18. Pruebe que la longitud del arco de 3.5.2. y = x5/2 , 1 ≤ x ≤ 3 y = sin x en [0, π] es igual a la mitad de la 3 2 longitud de la ellipse 2x2 + y 2 = 2. 3.5.3. y = 2x − 3x , 0 ≤ x ≤ 2. 3.5.19. Use una suma de Riemann con n = 3.5.4. y = x4/3 , −1 ≤ x ≤ 1. 6 subintervalos para estimar la longitud del 3.5.5. y = 1 − x2 , 0 ≤ x ≤ 100 arco de seno en el problema anterior. 3.5.6. x = 4y − y 2 , 0 ≤ y ≤ 1 3.5.20. Use una aproximaci´on por trapecios 3.5.7. x = y 4 , −1 ≤ y ≤ 2 con n = 10 subintervalos para estimar la lon2 gitud de la par´abola y = x2 desde x = 0 3.5.8. x = y, 1 ≤ y ≤ 4 hasta x = 1. 3.5.9. xy = 1, 1 ≤ x ≤ 2 3.5.21. Su tarea es construir un camino que 3.5.10. x2 + y 2 = 4, 0 ≤ x ≤ 2. una los puntos (0, 0) y (3, 2) siguiendo la ruEncontrar las longitudes de los arcos suaves ta de un c´ırculo con ecuaci´on (4x+4)2 +(4y− en los Ejercicios 3.5.11 al 3.5.17 19)2 = 337. Halle la longitud de este camino. 2 2 3/2 3.5.11. y = 3 (x + 1) desde x = 0 hasta Las unidades est´an dadas en kil´ometros. x = 2. 3.5.22. Suponga que el camino del Ejercicio 3.5.12. y = 23 (y − 1)3/2 desde y = 1 hasta y = 5. 3.5.13. y = x = 3.
1 3 6x
+
1 2x
desde x = 1 hasta
3.5.14. x = y=2
1 4 8y
+
1 4y 2
desde y = 1 hasta
3.5.21 cuesta 10/(1 + x) miles de millones de pesos por kil´ometro
3.5.15. 8x2 y − 2x6 = 1 desde (1, 38 ) a (2, 129 32 ) 131
(a) Calcule su costo total (b) Con el mismo costo por kil´ometro calcule el costo total de un camino en l´ınea recta entre los dos puntos (0, 0) y (3, 2). ¿Cu´al es el camino m´as costoso y en que porcentaje? Humberto P´erez Gonz´ alez