La fórmula de Euler (relación entre la función exponencial y las funciones trigonométricas) La fórmula de Euler establece, mediante el uso de los números complejos, una relación insospechada entre la función exponencial y las funciones trigonométricas.
La función exponencial La función exponencial se puede definir de varias formas equivalentes, pero la forma fundamental de calcularla es mediante la serie de potencias que aparece en la siguiente fórmula: ∞
ex =
xn ∑ n! = 1 + x + 12 x2 + 16 x3 + · · · n =0
(1)
Esta fórmula, que no es más que la serie de Taylor de la función exponencial, se explica y se demuestra en los cursos de cálculo infinitesimal y aquí sólo la usaremos con fines ilustrativos y de motivación. En cualquier caso es importante que el estudiante se familiarize lo antes posible con ella y con los razonamientos que haremos con ella a continuación ya que esto será de enorme importancia en muchas asignaturas de la carrera.
De la función función exponencia exponenciall a la fórmula de Euler Euler Si en la serie de Taylor (1) de la función exponencial se pone como x un imaginario puro, que i n = ± 1 para n para n par par e i e i n = ± i para n para n impar, impar, todos los términos con x = i θ , entonces, debido a que i potencias pares de x son números reales y los de las impares, imaginarios. En consecuencia la suma se separa en dos partes dando lugar a una suma de dos series, una con todos los términos reales y la otra con todos los términos imaginarios: ∞
iθ
e =
(i θ )n
∑ n! = 1 + 12 (iθ )2 + · · · + iθ + 16 (iθ )3 + · · · n= 0
= 1 −
1 θ2 2
+ · · · + i − θ
1 θ3 6
+ · · · .
En la última expresión, cada suma entre paréntesis es una serie de potencias real y su suma es bi . Se un número real, lo que significa que eiθ es igual a un número complejo de la forma a + bi. demuestra en los cursos de Cálculo que el primer paréntesis es la serie de Taylor de la función coseno y que el segundo es la serie de Taylor de la función seno, de forma que se llega a la conclusión de que los números reales a reales a y b que cumplen e cumplen e 1θ = a + bi son bi son a = cos θ y b = sen θ ; es decir: eiθ = cos θ + i sen θ . Esta fórmula se conoce como fórmula de Euler y es de gran importancia en las aplicaciones de los números complejos. Su demostración se basa únicamente en la ecuación i ecuación i 2 = − 1 y en las series de Taylor de las funciones seno, coseno y exponencial. Vamos a ver ahora otras formas sencillas de deducirla sin recurrir a las series de Taylor.
1
. h 5 5 : 9 , 5 1 0 2 e d e r b m e i t p e s e d 3 e d n ó i s r e V
Deducciones elementales de la fórmula de Euler Primera:
Consideremos la función f ( t) = cos t + i sen t.
(2)
Vamos a ver que esta función se puede expresar también en términos de la función exponencial. Aplicando a f ( t) las reglas del cálculo de derivadas: f (t) = − sen t + i cos t = i 2 sen t + i cos t = i (i sen t + cos t) = i f (t).
(3)
Esto significa que la función f (t) tiene las propiedades f (t) = i, f (t)
f (0) = 1 , de donde, integrando de 0 a θ ,
0
es decir:
θ
f ( t) dt = f ( t)
0
θ
i dt ,
[ln f (t)]0θ = i [t]0θ ,
ln f (θ ) = i θ ,
f ( θ ) = e iθ ,
eiθ = cos θ + i sen θ .
Segunda:
La siguiente demostración es parecida a la anterior pero sólo usa las reglas de derivación. Consideremos la función cos t + i sen t f ( t) = . (4) eit Vamos a ver que esta función es una función constante calculando su derivada y viendo que es cero. Aplicando a f ( t) las reglas del cálculo de derivadas:
(− sen t + i cos t)eit − (cos t + i sen t)ie it − sen t + i cos t − (i cos t − sen t) = it it e e eit (5) − sen t + i cos t − i cos t + sen t = = 0. eit Puesto que f ( t) es una función constante, su valor es para todo t igual a su valor en t = 0, pero i sen0 f (0) = cos0+ = 1+1i·0 = 1, luego f (t) = 1 para todo t, o sea: ei0 f (t ) =
cos t + i sen t = 1. eit que es equivalente a la fórmula de Euler.
(6)
La tercera demostración de la fórmula de Euler se basa en la propiedad p( z¯ ) = p( z)
(7)
del conjugado, la cual es válida no sólo cuando p( z) es un polinomio, sino también cuando es una función analítica real cualquiera y, en particular, para la función exponencial: e z = e z¯ .
(8)
No vamos a demostrar la propiedad (7) para todas las funciones analíticas, pero sí queremos remarcar que la demostración de (8) a partir de la fórmula (1) que define a la función exponencial es exactamente igual que la demostración de la propiedad (7) de los polinomios. Podemos, pues, usar la propiedad (8) de la función exponencial para deducir la fórmula de Euler como veremos a continuación. 2
Tercera:
Suponiendo conocida la ecuación (8), se deduce que para todo número complejo de la forma eiθ su conjugado es igual a su inverso y por tanto, según z z¯ = | z|2 , e iθ tiene módulo igual a 1: eiθ = e iθ = e −iθ
por tanto:
| eiθ | = 1.
En consecuencia, existe una función α( θ ) tal que eiθ = cos α( θ ) + i sen α(θ ). Derivando ambos miembros de esta igualdad se deduce que la derivada de α es constante e igual a 1. Puesto que α(0) = 0, deducimos que α es la función identidad: α(θ ) = θ y por tanto eiθ = cos θ + i sen θ .
Cartel de anuncio de una conferencia de matemáticas en la Universidad de Santiago de Compostela en 2012
Una identidad famosa Un caso particular de la fórmula de Euler que es especialmente famoso es el que se obtiene al poner θ = π teniendo en cuenta que cos π = − 1 y sen π = 0. Entonces se obtiene: eπ i = − 1 ,
que se puede reescribir como:
eπ i + 1 = 0.
Esta última es una expresión en la que los cinco números más importantes de las matemáticas están relacionados entre sí mediante las tres operaciones fundamentales de la aritmética (sumar, multiplicar y elevar a una potencia). Ejercicio: Deducir la ecuación (8) a partir de la fórmula de Euler teniendo cuidado en considerar que z es un número complejo cualquiera, no sólo un imaginario puro.
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