Distr Distribu ibuci ción ón expon xponen enci cial al y relac elació ión n entr entre e expo exponen nencia ciall y Pois Poisson son Probabilidad y Estadística Estadística 10/10/17
Distribu istr ibución ción expone xpo nencial ncial Exp () La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta .
G( p) P( X x) 1 p p, x 0 ,1 , 2 , ... ... x
Describe procesos en los que nos interesa saber el tiempo
hasta que ocurre un determinado evento , sabiendo que el tiem tiempo po que que puede uede tran transc scur urri rirr desd desde e cual cualqu quiier ins instant ante dado dado t , hasta que ello ocurra en un instante t f , no depende del
tiempo tiempo transcurri transcurrido do anteriorm anteriorment ente. e.
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Distribución exponencial Exp () Ejemplos
de
este
tipo
de
distribuciones son: el tiempo que tarda una partícula radiactiva en
desintegrarse (datación de fósiles o
cualquier
materia
orgánica
mediante la técnica del carbono 14) o el tiempo
que puede
transcurrir
servicio
en
un
de
urgencias , para la llegada de un paciente.
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Distribución exponencial Exp () En un proceso de Poisson donde se repite sucesivamente un experimento a intervalos de tiempo iguales, el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de dos "sucesos raros" consecutivos sigue un modelo probabilístico exponencial.
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Distribución exponencial Exp ( )
f ( x) e para x 0, 0 x
2.0 1.8 1.6
1.4
1.2 1.0
f ( x)dx
e
0.8 0.6
x 0
0
e x dx
1
0.4 0.2 0.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
5
E ( x)
0
Var( x) 2
•
x e
x
dx
1
1 2
Media o Valor esperado:
Representa la cantidad media que se espera como resultado de un experimento aleatorio cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el experimento se repite un número elevado de veces. •
Varianza:
Es una medida de la dispersión de una variable aleatoria X con respecto a su esperanza E(x).
Distribución exponencial Exp ( )
x
0
e
t
dt
e
t
x
0
1 e
x
Función acumulada 1 e , x 0 F ( x) x 0 0, x
F ( x)
P( X x) 1 e
P( X
x) 1 F ( x) 1 (1 e ) e
x
x
x
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a) A lo sumo 5 min b) Al menos 10 min c) Entre 3 y 10 minutos
•
Se ha comprobado que el tiempo de vida de un marcapasos es en promedio 16 años. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona a la que se le ha implantado este marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20 años?
•
1−
== ≤ = = = = . F(x)=
•
−
=
La probabilidad de que una persona se le reimplante un marcapasos antes de 20 años es de 0.7134 ó
Relación entre la distribución de Poisson y la exponen Entre las distribuciones de Poisson y Exponencial existen importantes relaciones. •
•
Distribución de Poisson: Sea Y una P( ) que representa el número de llegadas en un intervalo de tiempo fijo. Recuerda que es la esperanza de esta distribución. Distribución exponencial: En este mismo problema consideramos ahora el tiempo que transcurre entre dos llegadas. Sea X la v.a que representa dicho tiempo. Se puede demostrar que entonces X se distribuye como una Exponencial( ).
•
Función de Probabilidad:
− , , , … = ; = , ! , =
Si la variable aleatoria X, representa el número de eventos aleatorios independientes que ocurren a una rapidez constante sobre el tiempo o espacio, entonces se dice que la variable aleatoria X tiene una distribución Poisson cuya función de probabilidad es la anterior. •
En la practica , la relación se expresa de la siguiente manera: Si el número de ocurrencias de un evento sigue una distribución de Poisson con media , el tiempo entre ocurrencias sucesivas tiene una distribución exponencial con parámetro
Ejemplos de la relación Poisson-Exponencial Ejemplo 1): Por el tramo de una carretera pasan 600 vehículos por hora. Supongamos que este número se distribuye tipo Poisson. Hallar la probabilidad de que el tiempo de paso entre cada 2 vehículos sucesivos sea: A) Menor de 24 segundos. B) Entre 18 y 24 segundos. •
•
•
=== 0,3600 , = 1 16 6 24 1 1 241 1 < 24 = 0 6 6 = 6 6 0 = 14 = . 24 1 1 241 1 18 < < 24 = 18 6 6.= 6 6 18 = 0.98170.9502 = es válida en el intervalo
en segundos. Por lo tanto,
es la razón de paso, y utilizando
, se tiene:
A)
R//=La probabilidad de que el tiempo de paso entre cada 2 vehículos sea menor a 24 segundos es del 0.9817. B)
R//=La probabilidad de que el tiempo de paso entre cada 2 vehículos se encuentre entre 18 y 24 segundos es del 0.0315
Ejemplo 2): En una carretera el número de autos que excede el límite de velocidad es más de 10 millas por hora es una variable aleatoria que tiene distribución Poisson con . ¿Cuál es la probabilidad de un tiempo de espera menor de 5 minutos entre autos que excede el límite de velocidad en más de 10 millas por hora? •
•
= . = . = = . = = = . 1 1 6 0 ≤ ≤ 5 = 0 8.48.4 = 8.406 = 1.4 + 1 = .
Así se tiene:
R//= Entonces la probabilidad de un tiempo de espera menor de 5 minutos entre autos que exceden la velocidad máxima es de 0.75 o del 75%
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Fuentes consultadas: •
•
•
Anderson, David R,; Sweeney, Dennis J, y Williams, Thomas A. Estadística para administración y economía. Cencage Learning, Décima edición, México, 2008. Walpole, Ronald E,;Myers, Sharon. Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Pearson, novena edición. http://poissonyexponencial.blogspot.com/2010/10/distribucion-poisson.html .
