IVB / GEOMETRÍA / 4º
ÁNGULOS DIEDROS
PLANO
Es la figura geométrica formada por la unión de sus semiplanos que tienen una recta en común a la cual se le denomina arista del d el ángulo diedro. ,rista ,
P
cara
cara
Q
Notación: Ángu Ángulo lo Died Diedro ro ó Ángulo Diedro P-Q
PROYEC PROYECCI CIÓN ORTOGO ORTOGONAL NAL SOBRE SOBRE UN
Por definición la pro'ección ortogonal de un punto so(re un plano es el pie de la perpendicular tra)ada de este punto al plano. De esto se conclu'e que la pro'ección ortogonal de cualquier figura geométrica so(re un plano es la reunión de las pro'ecciones ortogonales de todos sus puntos so(redic*o plano. P 3
AB
AB
'
/
:
0
θ
edida del ángulo Diedro
Dos plan planos os son son perp perpeendicu dicula lare ress! determinan diedros que miden "#$.
P+
Q
PLANOS PERPENDICULARES
%ea PP' punto
cuan uando
Q
⇒
P+ es la pro'ección del
P so(re el plano Q
Q
,demás es la pro' pro'ec ecci ción ón orto ortogo gona nall de so(re el plano Q. M
edi edida da del del ángulo diedro. :
θ
%i
& "#$
⇒
P
Q
Dos Dos died diedro ross ad'a ad'ace cent ntes es son son
suplementarios.
ÁNGULO TRIEDRO
Es aquel ángulo poliedro de tres caras. ,
Q
L
Ángulos Ángulos poliedros poliedros son son fguras fguras ormadas ormadas por por tres tres óó más más regiones regiones angulares angulares que que tienen tienen el el mismo mismo vértice. vértice.
P
Obse Observ rvac ació ión. n.-
m
α 1 θ & 2#$
5
P
( 4
c a 0
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Notación.-
Ángulo triedro 4 6 ,05 7riedro 4 6 ,05 • edidas de las caras : a! (! c • edidas de los diedros : α! β! θ
. 8ndicar 9erdadero ó falso. 8. Dos planos son perpendiculares cuando determinan diedros que mide "#$. 88. El lugar eométrico de los puntos equidistantes de las caras de un diedro es el plano (isector del diedro. III. Dos planos que se cortan forman diedros ad'acentes suplementarios. a; <== (; <<= c; <<< d; ==< e; =<=
Observación.-
,. Triedro Rectángulo.- Es aquel que tiene una cara que mide "#$. 0 5 4 , 0. Triedro BiRectángulo.- Es aquel que tiene dos caras que miden "#$. , los cuales se oponen diedros que miden "#$. 0 5 4 , 5. Triedro Trirectángulo.- Es aquel que tiene sus tres caras que miden "#$ entonces sus tres diedros miden "#$. 0
. 8ndicar 9erdadero ó falso 8. En todo triedro la suma de las medidas de las caras es ma'or de #$ ' menor de >?#$. 88. @n triedro 0i-rectángulo es aquel que tiene dos caras que miden AB$. 888. @n ángulo triedro es aquel ángulo poliedro de tres caras. a; === (; <<< c; <=< d; <<= e; ==< >. En un rectángulo ,05D: ,0 & ' 05 & A. %e do(la el rectángulo por los puntos medios de 05 ' ,D formándose un ángulo diedro de ?#$. Callar la distancia entre los 9értices , ' 5 en la posición final. a; 2 (; > 3 c; 3 d; 2 e; 6 A. Dado el triedro tri-rectángulo 4-,05 so(re sus aristas se toman longitudes 4, & 40 & 45 & #. 5alcular el área de la región triangular ,05. a; B 6 (; B 6 c; B# 3 d; B# 6 e; B 3 B. Dado un triedro tri-rectángulo 4-,05 cu'as aristas 4,! 40! 45 miden A 2 . 5alcular el área de la región triangular ,05. a; ? (; ? 3 c; 2 d; 2 2 e; 3 ?. %e tiene un triángulo isósceles ,40 ,4 & 40 & a! se le9anta la perpendicular 4 al plano del triángulo! tal que 4 & a ? se une FG con F,G ' F0G. Callar el diedro ,0 . %i: m ∡ ,40 & "#$. a; >#$ (; ?#$ c; >$ d; B>$ e; AB$ . %e tiene un triángulo rectángulo isósceles ,40 H 4 "#$ ; ,4 & 40 & m por F4G. %e le9anta la perpendicular 4 al plano del triángulo tal que 4& 2 ! se une con , ' 0. Callar la medida del diedro ,0 .
5
a; >#$ d; B>$
4 ,
(; >$ P e; ?#$
c; AB$
5 2. En la figura ,0 & B! 05 & #! ,5 & B 0P es perpendicular al plano del triángulo ,05. 0
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5alcular el ángulo diedro que forman los planos de los triángulos ,05 ' ,P5. ,demás 0P & . a; >$ (; B$ c; ?#$ d; >#$ e; AB$ ". En el gráfico F0=G perpendicular al plano del cuadrado ,05D. %i : ,0 & 0= & a ' es punto medio de 5D . 5alcular el área del triángulo =D. . a = a; . (; c;
a
.
.
. a
.
.
.
d; e;
a
5
0
.
A
>2a
.
A
, #. %e tiene un cuadrado ,05D de ladoD ?cm ! del lado ,0 se toma el punto FPG ' e/terior al plano del cuadrado se toma FQG de modo que PQ sea perpendicular al plano. 5alcular el ángulo diedro que forman los planos del triángulo 5DP ' el cuadrado ,05D sa(iendo que PQ & >cm. a; B>$ (; B>I c; >$ d; >$I e; >#$ . %e tiene una plano FPG ' un segmento ,0 e/terior. 5alcular la medida del ángulo que forman ,0 ' el plano FPG sa(iendo que , ' 0 distan del plano >cm ' cm respecti9amente además la pro'ección de ,0 so(re el plano mide cm. a; AB$ (; >#$ c; $>>+ d; B$ e; 2$ . 3os planos FPG ! FQG forman un ángulo diedro >$! ,0 & cm! ,0 es perpendicular 3 es la intersección de los planos FPG ' FQG . calcular la distancia de F0G a la recta 3. P
,
0
a; B d; 2
(; ? e; "
a; (; c; d; e;
A > A >
> > ?
A. @na *oJa de papel de forma rectangular ,05D! tiene como dimensiones ,0 & 2H B - ;m ' 05 & > m. Por los puntos medio de ,0 ' 5D se do(la la *oJa de papel de manera que el ángulo diedro formado es de $. Callar la distancia mKnima que e/iste entre la arista del diedro ' el segmento que une el centro de sus caras. a; m (; > m c; B m d; H B 1 ;m e; -# − . B m B. El coseno del ángulo diedro que forma la (ase del cu(o con el plano que contiene a los puntos medios de las aristas E= ! =: ! ,0 ' 05 es : = a; >I A(; I > E C c; I d; I> 5 e; >IA D ,
.
0
8ndicar 9erdadero o falso. 8.
En todo ángulo triedro la suma de las medidas de los ángulos diedros es ma'or de 2#$ ' menor de BA#$. 88. @n triedro tri-rectángulo es aquel que tiene sus tres caras que miden "#$. 888. @n triedro rectángulo es aquel que tiene una cara que mide "#$. a; <=< (; ==< c; <<= d; <<< e; === . En la figura mostrada los rectángulos ,05D ' ,D= se encuentran en planos que forman un diedro de #$. Callar 0=! si: 5D & , & m ' = & ?m.
Q
c;
5 ,05D ' 0 >. En la figura mostrada los rectángulos ,D= se encuentran en planos que forman un diedro de #$. Callar 0= ! si : 5D & , & m ' = & ?m. D ,
a; (; c; d; e;
A > A >
0
5
,
D
3 3 6
= >. %e tiene un triángulo rectángulo isósceles ,40 en el cual ,4 & 40 & ? m por el punto 4 se
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le9anta la perpendicular 4 al plano del triángulo. Callar 4 si el diedro ,0 formado mide ?#$. a; m (; m c; >m d; >!Bm e; >!2m A. %e tiene un plano Q ' un segmento ,0 & m en el espacio. Callar la medida del ángulo α formado por ,0 con el plano! si las pro'ectantes de , ' 0 miden >m ' m respecti9amente. a; >#$ (; >$ c; AB$ d; B>$ e; ?#$ B. En el triángulo rectángulo ,05 los catetos ,0 ' 05 miden B ' #m. Por 0 se le9anta la perpendicular 0P -. >m al plano del triángulo! luego se une P con , ' 5. 5alcular la medida del diedro ,5 . a; >#$ (; >$ c; AB$ d; B>$ e; ?#$ ?. @n plano P tiene una inclinación de ?#$ so(re el plano. L, qué distancia del plano Q se de(e tra)ar otro plano paralelo que corta a P tal que sus intersecciones distan AcmM. a; cm (; >!Bcm c; . d; . e; . . %e tra)a PQ perpendicular a un plano FQG esta en el plano *aciendo centro en Q. %e tra)a una circunferencia de radio Acm! por un punto 0 de esta se tra)a la tangente 05 de ># m. Callar: FP5G. %i: PQ & >. a; A# (; ># c; B# d; ?# e; # 2. @n triángulo al ser pro'ectado so(re un plano determina un triángulo cu'a área es la mitad del área del primero. El diedro que forman los planos de los dos triángulos mide: a; B$ (; AB$ c; >#$ d; B#$ e; B$ ". El plano P que contiene un trapecio isósceles! cu'as (ases miden ?m ' m ' su altura ?m! forma el plano C que pasa por la mediana del trapecio ! un ángulo de ?#$. Callar el área de la pro'ección del trapecio so(re el plano C. a; > (; c; BA d; >? e; 2 #. %e tiene un punto , ' un plano P! en el plano P se encuentra una circunferencia de su diámetro. %i la distancia más corta de F,G a la circunferencia es de Bu. 5alcular la distancia más larga de F,G es la circunferencia sa(iendo que , dista de plano >u. a; > -Bu (; -Bu c; -Du
d; >?
e; 2
. En el triángulo rectángulo ,05! recto en 0! los lados miden ,0 & ? ' 05 & 2. Por el 9értice 0 se tra)a 0= perpendicular al plano ,05! tal que 0= & A!2. Callar la medida del ángulo diedro que forman los planos ,05 ' ,=5. a; B$ (; >#$ c; AB$
d; B$
e; "#$
. Deducir el 9alor de 9erdad de las afirmaciones siguientes : 8. El lugar geométrico de los puntos equidistantes de las caras de un diedro es el plano (isector del diedro. 88. 3a magnitud del ángulo de un diedro depende de la posición del 9értice. 888. 3a intersección de un plano ' una esfera nos da un cKrculo. 8<. Dos planos que se cortan forman diedros ad'acentes suplementarios. a; <=<< (; <<<< c; ==<< d; =<<< e; ===< >. 3a suma de todos los ángulos diedros de un tetraedro cualquiera está comprendido entre : a; A rectos ' rectos (; A rectos ' A rectos c; ? rectos ' ? rectos d; 2 rectos ' A rectos e; rectos ' ? rectos A. @na *oJa rectangular ,05D con ,0 & > m! 05 & A m es do(lada por su diagonal ,5 *asta que se forme un ángulo diedro en ,5 de medida igual a ?#$. 3a distancia en metros de 0 a la cara ,5D es : >
A
a; .
>
(;
B
>
B
c;
>
>
?
d;
A
>
e;
B
>
>
B. %ea α & ángulo diedro inferior H,05! 05D;. Entonces! tan α es igual a : 0 . a; (; . 5 . c; > d; A . e; ∞ D ,
