IVB / GEOMETRÍA / 5º
PARÁBOLA Si un plano intersecta a una superficie cónica de revolución y es paralelo a una de las generatrices forma una curva llamada parábola. Plano G
Para la deducción de la ecuación se aplica la condición de que cualquier punto de la parábola equidiste del foco y de la recta directriz. Abiertas se tendrá que el vértice es el punto medio del segmento HF . Es decir: HV = VF
G’ y
P(x,y) El anál anális isis is mate matemá máti tico co,, nos nos dice dice que que la parábola es una curva plana abierta y que se extiende indefinidamente.
ECUACIÓN DE LA FPARÁBOLA CON LA RECTA DIRECTRIZ. V
a) ELEMEN ELEMENTOS TOS DE LA LA PARÁB PARÁBOLA OLA D M
H
R
A
P
P
‘E
x
(0,0)
F
H
y
E
S D’
B
Recta Directriz : Eje focal :
P(x,y)
N
DD'
⇒
PF = PH
⇒
(x
EE'
⇒
Foco : F Vértice : V
P : PARÁMETRO
o)2
−
D’
F ( y
+
p)2
−
(0,0) V 4py = x2H
( y
=
H
p)
+
x D
Cuerda : AB Cuerda Focal :
RS
Lado recto : MN
b) ECUACI ECUACIÓN ÓN DE LA PARÁ PARÁBOL BOLA A COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”
161
IVB / GEOMETRÍA / 5º
2. CON PUNTO
VÉRTICE
EN
CUALQUIER
Obs.Si :
p > O ⇒ se abre hacia la derecha p < O ⇒ se abre hacia la izquierda
y P(x,y)
F
1. De la figura, determine la ecuación de la parábola. V (h,k) P = (x – h) = 4p(y – k) 2
Obs.- D’ Si: (0,0)
D H p > O ⇒ se abre hacia arriba x p < O ⇒ se abre hacia abajo
b) x2 = y d) 4x2 = Y
F
y 2
e) 4x2 =
P x
2. Del gráfico, calcule la ecuación de la parábola. PQ : Lado recto. (PQ = 4p)
y
a) H O
(4,4)
c) x2 = 2y
3. ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON LA RECTA DIRECTRIZ PARALELA AL EJE Y D
y
a) x2 = 4Y
V
x
F
2 5 x=y
y
P
b) y2 = 4x
2p
c) y2 = 2x O d) y2 = D’ Donde:
2x
y = 4Px
4. CON EL VÉRTICE EN CUALQUIER PUNTO DEL PLANO CARTESIANO
2p
3
Q
e) 4y2 = x
2
x
p
3. Del gráfico, calcule la ecuación de la parábola. Si ABCD es un cuadrado de 16m2 de área:
y
y
D
Directriz
P(x,y) F B
E’
V H (h,k)
F
E A
(0,0) P : (y – k)2 = 4p (x – h) 162
C
x
D
x
a) (y – 8)2 = -8(x + 4)
d) y2 = -8(x + 4)
b) (y – 8)2 = 8(x + 2)
e) y2 = -4(x + 4)
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”
IVB / GEOMETRÍA / 5º
c) (y – 4)2 = -8(x + 4)
e) (x + 2)2 = 4(y – 1)
4. Determine la ecuación de la parábola. (F : foco) S = 64 y
8. Calcule las coordenadas del vértice de la parábola.
P V
a) V = (3, 4)
F
b) V = (-3, -4) c) V = (3, -4)
y
d) V = (6, 8) S
e) V = (4, 3)
x
2
(x–3)2=4p(y-4) O 9. Determine las coordenadas del foco xde la parábola. Si: FPQO : cuadro y S = 16
2
a) (y – 16) = 4x b) (y – 16)2 = 8x c) N.A.
V
d) (y – 16) = 8x e) (y – 2)2 = 4(x – 4)
y
a) (2, 4) P
b) (-4, 2)
5. Calcular el parámetro de la siguiente parábola. Sabiendo que pasa por : A(8 , -12) P : x2 = 4py
Q
c) (-4, 0)
x
d) (4, 0)
F
V
e) (-4,-2) y
a) 1/3
x
b) –4/3
P : x2 = 4py
10. Según el gráfico, hallar la ecuación de la parábola
c) 8/3
sabiendo que el área de la región cuadrada VMPQ = 16µ.
A
d) 4/3 e) 2/3
a) y2 = 4x 6. Determine el perímetro de la parábola mostrada
b) y = 4x2
en la figura. a) -
c) x2 = 4y
2
b)
2
c)
3
d)
5
e)
y
M
P Q
V
x
2
d) y = 2x 10
F
V
H
xe) y2 = x
11. Según el gráfico, calcule la ecuación de la parábola, si: OP = PM = MS y PQRS: es un cuadrado de lado 4cm.
10
7. Según la figura VO =
y
a) (x – 4)2 6y
5 , el punto “V” es el
vértice y el punto “F” es el foco. Hallar la ecuación de la parábola.
b) (x – 4)2 = y c) (x – 2)2 = y
a) (x + 2)2 = 4(y + 1) d) (x – 4)2 = 2y
y
b) (x + 1)2 = 4(y + 2)
y Q
e) (x – 4)2 = 3y
c) (x + 2)2 = 4y
R
d) x2 = 4(y + 2) F
O x
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”
V
O
P
M
S
x 163
O
IVB / GEOMETRÍA / 5º
15. Hallar la figura, hallar la ecuación de la parábola mostrada en el gráfico, si: A = (6 , 10) y B = (6 , 2). AB = Lado Recto
12. Según la figura m ∢ATO = 120º, el área de la
región triangular es 3 , L : es el eje de la parábola. Hallar la ecuación.
y A
A
T
L B
O x
O
2
x
2
a) (y -
3 ) = -3(x – 1)
d) y = -4(x – 1)
b) (y -
2 3 ) = -4(x – 1)
e) y2 = 4(x + 1)
c) (y -
2 3 ) = -4x
a) 8(y – 6)2 = 3(x – 4)
d) y2 = 4x
b) (y – 6)2 = 8(x – 4)
e) x2 = y
c) 4x2 = y
13. Según la figura “G” el baricentro del triángulo
ABC, AB = 8 y m∢ABB = 106º; hallar la ecuación de la parábola cuyo eje focal esta contenido en el eje y además. “C” es el foco.
1. De la figura, determine la ecuación de la parábola.
y
2
A
a) x2 = 4Y B
a) x = -4(y – 1) 2
G
b) x = -8(y – 1)
x
b) x2 = y
y
c) x2 = 12y (6,3)
d) 4x2 = Y
c) x2 = 8(y + 1) d) x2 = 4y
y 2
e) 4x2 =
C
F P
2
e) x = -4y
x 2. De la figura, determine la ecuación de la parábola.
14. Hallar la ecuación de la parábola, cuyo foco es
F = (6, 3) y su directriz es L: x = 2. Calcular también los puntos de intersección de la recta L1
: x = y con dicha parábola.
a) x2 = 4Y b) x2 = 3y c) y2 = 4x
a) y2 = 4x
d) (y – 3)2 = 8(x – 4)
d) 4x2 = Y
b) (y – 3)2 = 8(x – 2)
e) (y – 3)2 = (x – 4)2
e) 4x2 =
y 2
c) (x – 4) = (y – 3)2
164
y
(2,1) F P x
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”
IVB / GEOMETRÍA / 5º
3. Del gráfico, calcule la ecuación de la parábola. PQ : Lado recto. (PQ = 4p)
6. Calcular el parámetro de la siguiente parábola. Sabiendo que pasa por: A(4 , -4)
a)
2
y
P
P: x2 = 4py
5 x=y
2
b) y2 = 4x
2p
c) y2 = 8x d) y2 =
O
2x
x
p
x
b) –4/3
2p
3
y
a) 1
P: x2 = 4py
c) -1
e) 4y2 = x
Q
A
d) 1/2 e) 2/3
4. Del gráfico, calcule la ecuación de la parábola. Si ABCD es un cuadrado de 9m2 de área: 7. Según la figura VO = 3
y
Directriz
5 , el punto “V” es el
vértice y el punto “F” es el foco. Hallar la ecuación de la parábola.
F
Foco
B
C y
A
x
D
a) (y – 6)2 = 6(x + 3/2)
d) y2 = -8(x + 4)
b) (y – 8)2 = 8(x + 2)
e) N.A.
c) x2 = y-6
5. Determine la ecuación de la parábola. (F : foco) S = 36 y
P V
O
F
x V a) (x - 6)2 = 12(y - 3)
d) x2 = 4(y + 2)
b) (x + 1)2 = 4(y + 2)
e) (x + 6)2 = 12(y + 3)
c) (x + 2)2 = 4y
8. Calcule las coordenadas del vértice de la parábola.
F
a) V = (2, 3) b) V = (-3, -4)
S
x
c) V = (-2, 3)
y
d) V = (6, 8) a) (y – 12)2 = 4x
d) (y – 16)2 = 8x
b) (y – 16)2 = 8x
e) N.A.
e) V = (2, -3)
V (x–2)2 = 4p(y-3)
c) (y - 12)2 = 12(x-3) O COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”
x 165
IVB / GEOMETRÍA / 5º
9. Según el gráfico, hallar la ecuación de la parábola
sabiendo que el área de la región cuadrada VMPQ = 9µ. a) y2 = 4x
y M
b) y2 = 3x
P
13. Se tiene un túnel cuya entrada tiene forma parabólica de ancho 16cm y altura 12cm, calcular a qué altura el ancho de la entrada es 8cm. a) 8cm
b) 9cm
d) 10cm
e) 8cm
c) 4,5cm
c) x2 = 4y d) y2 = 2x 2
Q V
x
e) y = x
14. Según el gráfico, halle la ecuación de la parábola si OP = PM = MS y PQRS es un cuadrado de lado 4cm.
10. Hallar la ecuación de la parábola, cuyo foco es F = (4, 3) y su directriz es L : x = 1. a) y2 = 4x
d) (y – 2)2 = 4(x – 4)
b) (y – 4)2 = 4(x – 2)
e) (y – 3)2 = (x – 4)2
y
Q
c) (x – 4) = (y – 3)2
11. Hallar la ecuación de la parábola, cuyo foco es F = (5, 5) y su directriz es L : x = 3.
a) (x – 4)2 = 6y
d) (x – 4) = 2y
b) (x – 4)2 = y
e) (x – 4)2 = 3y
2 c) (x – 2) O =y 2
R
P
M
S
x
2
a) (y -5) = 4 (x - 4)
d) (y – 3) = 8(x – 4)
b) (y – 3)2 = 8(x – 2)
e) N.A. 15. Según el gráfico la ecuación de la parábola cuya
c) (x – 4) = (y – 3)2
bisectriz es el eje de abcisas OM = 12 y el área de la región triangular OPV es 36 µ2. 12. Hallar la figura, hallar la ecuación de la parábola mostrada en el gráfico, si : A = (4 , 7) y B = (4 , 1) AB = Lado Recto y y A P V 37º O
B
x
a) (y – 4)2 = 6(x – 1)
d) y2 = 4x
b) (y – 6)2 = 8(x – 4)
e) N.A.
O a) (x-8)2 = 12(y – 1) b) (x – 6)2 = 16(y – 2) c) (x – 8)2 = 12(y – 3)
c) 4x2 = y
166
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”
x M 2 d) (x – 5) = 6(y – 1) e) (x – 8)2 = 4(y – 3)
