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Arista
I.E.P. “SANTA MARÍA”
Geometría – 5to Año
A
cara P
cara Q y
x B
ÁNGULOS DIEDROS
Es la figura geométrica formada por la unión de sus semiplanos que tienen una recta en común a la cual se le denomina arista del ángulo diedro.
son suplementarios. suplementarios.
Notación:
Ángulo Ángulo Diedro Diedro
Q
α ( θ & )*#$
P
AB AB
ó
Ángulo Diedro
P-
AB AB
Dos diedros ad'acentes
Observac! Observac!".# ".#
-Q
Q
:
edi edida da del del
ángulo Diedro
P
PLANOS PERPENDICULARES
Dos planos son perpendiculares! cuando determinan diedros que miden "#$.
:
edida del ángulo diedro.
%i
&
⇒
P
"#$ Q
$%ase & – 'm I(
1
I.E.P. “SANTA MARÍA”
Geometría – 5to Año
PROYECCIÓN ORTOGONAL SOBRE UN
PLANO
Por definición la pro'ección ortogonal de un punto so+re un plano es el pie de la perpendicular tra,ada de este punto al plano. De esto se conclu'e que la pro'ección ortogonal de cualquier figura geométrica so+re un plano es la reunión de las P pro'ecciones ortogonalesL de todos sus puntos so+redico plano.
m
Notación.
• •
Observación.-
/. Triedro Rectángulo.- Es aquel que tiene una cara que mide "#$.
B
C
%ea del punto
Q ⇒ P es la pro'ección
PP'
P so+re el plano Q
c /demás L
O
A
a
M
es la pro'ección ortogonal
so+re el plano Q.
Ángulos poliedros son figuras formadas por tres ó más C regiones angulares que tienen el mismo 5értice.
2. Triedro BiRectángulo.- Es aquel que tiene dos caras que miden "#$. / los cuales se oponen diedros que miden "#$.
A
B
B C
O A
ÁNGULO TRIEDRO
Ángulo triedro 0 1 /23 4riedro 0 1 /23 edidas de las caras : a! +! c edidas de los diedros : α! β! θ
P’
Q
de
b
O
Es aquel ángulo poliedro de tres caras.
$%ase & – 'm I(
B Trirectángulo.- Es aquel que 3. Triedro tiene sus tres caras que miden "#$ entonces sus tres diedros miden "#$. C 2
O A
E)ER$I$IOS *E AP+I$A$I,N I.E.P. “SANTA MARÍA”
Geometría – 5to Año
). En la figura /2 & )6! 23 & 7#! /3 & 768 2P es perpendicular al plano del triángulo /23. 3alcular el ángulo diedro que forman los planos de los triángulos /23 ' /P3. /demás 2P & )7.
P
a9 ;$ +9 )6$ c9 <#$ B d9 #$ e9 N./.
C
A
7. En el gráfico =2>? perpendicular al plano del cuadrado /23D. %i : /2 & 2> & a ' es punto medio de 3D . 3alcular el área del triángulo >D. a
a9
F
7
7
a7 7 +9 7 7 c9 a 7 a7 7 d9 @ e9 N./.
M
A
C
B
D
. %e tiene un cuadrado /23D de lado
@. %e tiene una plano =P? ' un segmento /2 eAterior. 3alcular la medida del ángulo que forman /2 ' el plano =P? sa+iendo que / ' 2 distan del plano )cm ' ;cm respecti5amente además la pro'ección de /2 so+re el plano mide )7cm. a9 @6$ +9 #$ c9 77$ d9 )6$ e9 N./.
6. En la figura mostrada los rectángulos /23D ' /D>C se encuentran en planos que forman un diedro de )7#$. allar 2> ! si : 3D & /C & 7m ' C >C &
$%ase & – 'm I(
a9 @ +9
D
A
3
G
F
I.E.P. “SANTA MARÍA” c9 @
Geometría – 5to Año
:
:
d9 e9 N./.
TAREA *OMI$I+IARIA
). El plano P que contiene un trapecio isósceles! cu'as +ases miden
<. os planos =P? ! =Q? forman un ángulo diedro ;$! /2 & )7cm! /2 es perpendicular8 es la intersección de los planos =P? ' =Q? . calcular la distancia de =2? a la recta .
P
B Q
a9 7;
d9 <
6@
A
:
+9 7; c9 e9 N./.
7. %e tiene un punto / ' un plano P! en el plano P se encuentra una circunferencia de su diámetro. %i la distancia más corta de =/? a la circunferencia es de 6u. 3alcular la distancia más larga de =/? es la circunferencia sa+iendo que / dista de plano u. a9 )6u +9 7 )6u c9 7 );u d9 < e9 N./.
a9 )6 d9 )*
+9 )< e9 N./.
c9 );
;. Fna oGa de papel de forma rectangular /23D! tiene como dimensiones /2 & *H 6 - )9m ' 23 & m. Por los puntos medio de /2 ' 3D se do+la la oGa de papel de manera que el ángulo diedro formado es de ;7$. allar la distancia mInima que eAiste entre la arista del diedro ' el segmento que une el centro de sus caras.
a9 7 m
d9 H
m
6
+9 m ( )9m
c9 6
e9 N./.
*. El coseno del ángulo diedro que forma la +ase del cu+o con el plano que contiene a los puntos medios de las aristas E> ! >C ! /2 ' 23 es :
F
a9 B
@)
+9 c9 d9 e9
:
E
)B )B7 7B N./.
$%ase & – 'm I(
G H
A
B
@. Deducir el 5alor de 5erdad de las afirmaciones siguientes : J. El lugar geométrico de los puntos equidistantes de las caras de un diedro es el plano +isector del diedro. JJ. a magnitud del ángulo de un diedro depende de la posición del 5értice. JJJ. a intersección de un plano ' una esfera nos da un cIrculo. JK. Dos planos que se cortan forman diedros ad'acentes suplementarios. a9 K>KK +9 KKKK c9 >>KK d9 >KKK e9 N./.
C
D
. En el triángulo rectángulo /23! recto en 2! los lados miden /2 & < ' 23 & *. Por el 5értice 2 se tra,a 2> perpendicular al plano /23! tal que 2> & @!*. allar la medida del ángulo diedro que forman los planos /23 ' />3. a9 )6$ +9 #$ c9 @6$ d9 ;6$ e9 N./.
6. a suma de todos los ángulos diedros de un tetraedro cualquiera está comprendido entre : a9 @ rectos ' )7 rectos +9 @ rectos ' 7@ rectos c9 < rectos ' )< rectos d9 * rectos ' 7@ rectos e9 N./.
<. Fna oGa rectangular /23D con /2 & m! 23 & @ m es do+lada por su diagonal /3 asta que se 4
I.E.P. “SANTA MARÍA”
Geometría – 5to Año
forme un ángulo diedro en /3 de medida igual a <#$. a distancia en metros de 2 a la cara /3D es : @
a9
7 :
6
: :
+9
6
:
<
d9
6
:
e9 N./.
:
c9
;. %ea α & ángulo diedro inferior H/23! 23D9. Entonces! tan α es igual a :
