Formule trigonometrice matematica

Formule de trigonometrie

http://bacalaureat.dap.ro

sin 2 x + cos2 x = 1 formula fundamentală a trigonometriei Formule pentru transformarea sumelor in produse sin : ¡ → [ −1,1] p+q p−q sin p + sin q = 2sin cos funcţia sin este impară sin( − x ) = − sin x 2 2 cos : ¡ → [ −1,1] p−q p+q sin p − sin q = 2sin cos 2 2 cos( − x ) = cos x funcţia cos este pară p+q p−q cos p + cos q = 2 cos cos π  sin  − x  = cos x 2 2 2  p+q p−q cos p − cos q = −2 sin sin π  2 2 cos  − x  = sin x 2  Formule pentru transformarea produselor in sume tg ( − x ) = − tgx ctg ( − x ) = − ctgx sin( x + y ) + sin( x − y ) sin x ⋅ cos y = 2 x x sin 2 x = 2sin x cos x ⇒ sin x = 2sin cos 2 2 cos x ⋅ cos y = cos( x + y ) + cos( x − y ) 2 cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x cos( x − y ) − cos( x + y ) 1 + cos 2 x sin x ⋅ sin y = 2 2 cos 2 x = 2 cos x − 1 ⇒ cos x = 2 2 1 − cos 2 x cos 2 x = 1 − 2 sin 2 x ⇒ sin2 x = 2 2 sin 3 x = sin x (3 − 4sin x ) cos 3 x = cos x(4 cos 2 x − 3) sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a cos( a + b) = cos a cos b − sin a sin b cos( a − b) = cos a cos b + sin a sin b tga + tgb 1 − tga ⋅ tgb tga − tgb tg ( a − b ) = 1 + tga ⋅ tgb sin x tgx = cos x cos x ctgx = sin x tg ( a + b ) =

http://bacalaureat.dap.ro

3tgx − tg 3 x tg 3x = 1 − 3tg 2 x ctg 3x =

ctg 3 x − 3ctgx 3ctg 2 x − 1

2t  sin x = 1 + t 2  2 cos x = 1 − t  x 1 + t2 unde t = tg  2 tgx = 2t 2  1− t  2  ctgx = 1 − t 2t 

2tgx  sin 2 x =  1 + tg 2 x   1 − tg 2 x cos 2 x = 1 + tg 2 x   tg 2 x = 2tgx  1 − tg 2 x  2  ctg 2 x = 1 − tg x  2tgx

Ecuaţii trigonometrice fundamentale 1)Ecuaţia sin x = a are soluţii dacă şi numai dacă a ∈ [ −1,1] . In acest caz soluţiile sunt x ∈ { ( −1) k arcsin a + kπ / k ∈ ¢} . 2)Ecuaţia cos x = b are soluţii dacă şi numai dacă b ∈ [ −1,1] . In acest caz soluţiile sunt x ∈ { ± arccos b + 2kπ / k ∈ ¢} . 3)Ecuaţia tgx = c are soluţii ∀c ∈ ¡ . x ∈ { arc tgc + kπ / k ∈ ¢} . Soluţiile sunt 4)Ecuaţia ctgx = d are soluţii ∀d ∈ ¡ . x ∈ { arc ctgd + kπ / k ∈ ¢} . Soluţiile sunt sin(arcsin x ) = x

  sin(arccos x ) = 1 − x 2   ∀x ∈ [ −1.1] cos(arccos x ) = x  2  cos(arcsin x ) = 1 − x 