Formulario Geometria nello Spazio

      +       +       +         = 2  = 2  = 2   +  + + = 0  =  +  ,        ==   ++   ++     =  +  +  

●

Punto medio di un segmento di estremi

●

Equazione del piano

 e

Equazione cartesiana Equazione vettoriale

Equazione parametrica

Se il piano è perpendicolare all’asse x:

Se il piano è perpendicolare all’asse y: Se il piano è perpendicolare all’asse z:

 = = =



 

Da equazione cartesiana a parametrica: porre due variabili rispettivamente uguali a  e , ricavare ,  e .



Da equazione parametrica a cartesiana: ricavare  e  e sostituirli nella terza equazione d el sistema.

  =          :  =  +  ,          =  − :  =  +  ,   =  − (,,)  :  + ++  = 0

Vettore normale al piano:

●

Equazione del piano dati un punto P e due generatori

●

Equazione del piano dati tre punti P, Q e R Siano

●

 e

Equazione del piano dati un punto P e il vettore normale

(dove  viene determinato imponendo il passaggio per

●

Perpendicolarità e parallelismo tra piani Due piani sono perpendicolari se e solo se lo sono i loro vettori normali. Due piani sono paralleli se e solo se lo sono i loro vettori normali.

●

Vettore perpendicolare a due vettori Metodo 1 Metodo 2

●

 =  ×



  e

 

Ricavare il vettore  normale ad un piano generato da  e

Vettori perpendicolari a un vettore



Ricavare i vettori generatori di un piano avente vettore normale



.

 (esistono infinite soluzioni).



)

:++ + =  (,) = |  + + + +  + | + ++ +   = 0   + +  = 0  =  +      ==   ++   =  + 

●

Distanza di un punto P da un piano

●

Equazione della retta Equazione cartesiana

Equazione vettoriale

Equazione parametrica

 

  



 

Da equazione cartesiana a parametrica: porre una variabile uguale a , ricavare ,  e .



Da equazione parametrica a cartesiana: ricavare  e sostituirla nelle altre equazioni del sistema.

      :  =  +       :  =  +       :  =  + 

●

Equazione della retta dati un punto P e il generatore

●

Equazione della retta dati due punti P e Q Sia

●

 =  −

Equazione della retta dati un punto P e il piano perpendicolare



Sia  la normale al piano

●



Perpendicolarità e parallelismo tra piani Due rette sono perpendicolari se e solo se lo sono i loro vettori generatori. Due rette sono parallele se e solo se lo sono i loro vettori generatori.

●

 (,) =   −   + −   + −  =   +  +   +  +  + + = 0

Distanza di un punto P da una retta



Determinare H, il punto della retta di minima distanza da r: è il punto di intersezione tra r e il piano passante per P e perpendicolare a r.

●

Equazione della superficie sferica Equazione esplicita: Equazione esplicita:

         − 2 ,− 2 ,− 2  = − 2 + − 2 + − 2 −

se



−   + −   + −   −  ≥ 0

●

●

Equazione del cilindro di raggio r

 +  =    +  =    +   = 

(asse: asse z) (asse: asse y) (asse: asse x)

Equazione del cono

 +  =    +  =    +  =  

(asse: asse z) (asse: asse y) (asse: asse x)

●

Equazione dell’ellissoide

●

Equazione del paraboloide ellittico

●

●

●

 +  +  = 1

 +  = 2  +  = 2

(asse: asse z)

(asse: asse y)

 +  = 2

(asse: asse x)

Equazione del paraboloide iperbolico (sella)

±  ∓  = 1 ±  ∓  = 1

(asse: asse z)

(asse: asse y)

±  ∓  = 1

(asse: asse x)

Equazione dell’iperboloide a una falda

+  +  −  = 1 +  −  +  = 1

(asse: asse z)

(asse: asse y)

−  +  +  = 1

(asse: asse x)

Equazione dell’iperboloide a una falda

−  −  +  = 1 −  +  −  = 1

(asse: asse z)

(asse: asse y)

+  −  −  = 1

(asse: asse x)

●

Teorema delle tre perpendicolari

 

Se dal piede di una perpendicolare ad un piano si manda la perpendicolare a una qualunque retta del piano, quest’ultima risulta perpendicolare al piano delle prime due.

  ⊥⊥ 

●

 ⊥







Principio di Cavalieri Due solidi che possono essere disposti in modo che ogni piano parallelo ad uno dato li tagli secondo sezioni equivalenti, sono equivalenti.

●

Proporzioni tra solidi Se due solidi

Γ Γ  e

 sono simili:

: =  ∶ 

●

: =  ∶ 

Superfici e volumi dei principali solidi Prisma

 = 2 + 

 =  ∙ ℎ

Cilindro

 = 2 +  = 2 + 2ℎ  =  ∙ ℎ  =  +  =  +   = 13  ∙ ℎ

Cono

Piramide

 = 13  ∙ ℎ   4  = 3 

 =  +  Sfera

 = 4

●

Solidi platonici

Tetraedro 4 tr. equilateri 4 vertici

Esaedro 6 quadrati 8 vertici

Ottaedro 8 tr. equilateri 6 vertici

Dodecaedro 12 pentagoni 20 vertici

Icosaedro 20 tr. equilateri 12 vertici