COMPLEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO 1.
Pian Pianii e rett rette e nell nello o spaz spazio io.. Abbiamo a suo tempo ricavato l’equa-
zione di un generico piano nello spazio, perpendicolare a un vettore asse` bene ribadire che un piano `e univocamente definito gnato u = (α , β , γ ). ) . E dati tre punti appartenen appartenenti ti ad esso. L’equazione L’equazione cartesiana cartesiana di un piano in , un riferimento ortonormale di versori i, j, j k `e un’equazione un’equa zione del tipo tip o ax + by + cz + d = 0
(1)
dove x, x, y , z sono le coordinate di un qualsiasi punto appartenente al piano e a, a, b, c, d, tutti reali, sono i coefficienti e il temine noto aventi il significato esposto nel cap. 3. Ricordando che per le condizioni di perpendicolarit`a e parallelismo tra piani valgono le condizioni (3.19) e (3.20) di pag 70, ricordiamo che una retta nello spazio pu`o essere rappresentata come intersezione tra due piani ad es. ax + by + cz + d = 0 (2) a x + b y + c z + d = 0
oppure sotto forma parametrica come esposto a pag. 71. Notiamo che alla stessa forma parametrica si pu`o arrivare eguagliando a t i tre rapporti x
−x l
0
=
y
−y m
0
=
z
−z
0
(3)
n
dove P 0 (x0 , y0 , z0 ) `e un punto appartenente alla retta e l,m, l,m, n sono i para della retta. retta. Tali parametri parametri direttori direttori sono definiti a meno di metri direttori della un fattore di proporzionalit`a e coincidono con le componenti di un vettore paralle parallelo lo alla retta. retta. (vedi (vedi pag. 43). 43). Se la retta retta `e data data sotto sotto la forma forma (2) i parametri direttori si ottengono estraendo i determinanti, presi a segno alterno, dalla matrice dei coefficienti della (2) e precisamente: l=
b b
c , c
m =
−
a a
c , c
n =
a a
b b
(4)
(Suggerimento: Dimostrare questa propriet`a. a. Basta considerare il prodotto vettoriale tra ..... ??) 1
2. Angoli di due rette. Date due rette r ed s si definiscono angoli di due rette r, s e si indicano con rs gli angoli di due vettori qualsiasi paralleli
alle due rette. Tali angoli sono due, (dipende dall’orientazione dei vettori), e differiscono tra loro di π . Si ha pertanto
cos rs =
± cos rs
dove al secondo membro compaiono i vettori rr ,s paralleli alle due rette r, s. Tali angoli sono dati, tramite i parametri direttori, dalla formula
cos rs =
ll + mm + nn
± √
2
2
2
l +m +n
l
2
2
+m +n
2
(5)
Dalla (5) si ritrova la condizione per la perpendicolarit`a di due rette nello spazio: ll + mm + nn = 0
con ovvio significato dei simboli. Tale condizione `e del tutto equivalente alla (3.24) di pag. 72. 3.
Angoli di due piani. Detti α e β due piani nello spazio, si com-
prende che gli angoli di questi piani sono anche gli angoli delle loro normali. Pertanto la formula che fornisce il coseno dell’angolo di due piani `e del tutto simile alla precedente (5), con l’ovvia sostituzione dei coefficienti dei piani ai parametri direttori presenti in (5):
cos αβ =
aa + bb + cc
± √
2
2
a +b +c
2
2
2
a +b
+c
2
(6)
Ricordiamo che una retta e un piano sono ortogonali quando la retta `e parallela al vettore caratteristico del piano, cio`e se vale la relazione 4. Angolo tra una retta e un piano.
a b c = = l m n
(7)
Tale relazione a pag. 74 `e stata scritta con α, β , γ al posto di l, m, n: Dato il fattore di proporzionalit`a arbitrario esistente tra c.d. e p.d. possiamo ritenere la (7) e la (3.30) sostanzialmente identiche. Supponiamo quindi 2
la retta r e il piano α non perpendicolari ma incidenti. Possiamo sempre immaginare un piano contenente la retta r ortogogonale al piano α e quindi consideriamo la retta r intersezione di questi ultimi due piani ortogonali. Si definisce angolo di r e α il pi` u piccolo (acuto!) tra i due angoli formati da r ed r . Siamo ricondotti quindi all’angolo tra due rette, ma senza il doppio segno che compariva nella (5). Ora se consideriamo la normale al piano α questa ha parametri direttori (a,b,c). L’angolo della retta r con questa normale nα `e il complementare di quello cercato ϕ, pertanto scriveremo
sin nα α = cos ϕ =
√ a
2
|al + bm√ + cn|
+ b2 + c2
l2 + m2 + n2
(8)
.
COMPLEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA NEL PIANO 5.
u semplici note fin dall’antiConiche. Sono le curve algebriche piane pi`
chit`a, studiate in modo sistematico da Apollonio di Perga (III secolo a.C.) il quale per primo dimostr`o che da un unico cono rotondo (completo) `e possibile ottenere tutte le variet`a di coniche variando semplicemente l’inclina` possibile dare una definizione generale di zione del piano di intersezione. E coniche come luogo geometrico. Essa `e la seguente:
C
Dicesi conica il luogo dei punti del piano per i quali ` e costante il rapporto delle distanze da un punto e da una retta assegnati.
In formule avremo P F = e d(P, d)
(9)
con il significato dei simboli P punto generico appartenente alla conica F fuoco d retta direttrice e eccentricit` a. d(P,d) distanza tra P e la retta d. Fissato un sistema ortonormale e posto F (x0 , y0 ), d : ax + by + c = 0, P = P (x, y), l’equazione precedente si traduce nella (x
2
−x ) 0
+ (y
−
(ax + by + c)2 y0 ) = e a2 + b 2 2
3
2
(10)
La (10) dimostra che una conica `e una curva algebrica del secondo ordine. Naturalmente `e possibile studiare le coniche tramite equazioni pi` u semplici con un’opportuna scelta del sistema di riferimento. Escludiamo da questo breve studio le coniche degeneri che si ottengono dalla (10) quando F appartiene a d. In questo caso, difatti, scelta la retta d coincidente con l’asse delle y (x = 0) e posta l’origine in F (0, 0), la (10) diventa (1
2
2
− e )x
+ y2 = 0
(11)
che `e appunto l’equazione di una conica degenere. La conica si riconduce a un punto per e < 1, all’asse x per e = 1 e a due rette nel caso e > 1. Si hanno quando F non appartiene a d. Scegliamo il sistema di riferimento con l’asse x passante per il fuoco F e perpendicolare alla retta d. Avremo F (c, 0) e l’equazione della retta d del tipo x = h (h = c ). L’equazione (10) pu`o essere riscritta 6.
Coniche non degeneri
(x
− c)
2
+ y 2 = e 2 (x
2
− h)
cio`e (1
2
− e )x
2
+ y2
2
2
2
− 2(c − e h)x + c − e h
2
= 0.
(12)
L’equazione (12) da origine alle equazioni ben note dei tre tipi di coniche che si ottengono a seconda che l’eccentricit`a e sia maggiore, uguale o inferiore a 1. Se e = 1 si sfruttano i due punti in cui A ed A in cui l’asse x interseca la conica. Le prime coordinate sono soluzioni dell’equazione in x
(1
2
2
2
2
2
− e )x − 2(c − e h)x + c − e h
2
= 0.
(13)
Una volta scelta l’origine del riferimento nel punto medio tra A ed A , le soluzioni x1 , x2 della (13) sono tali che x1 + x2 = 0. Se si indicano con (a, 0), ( a, 0) le coordinate di A, A rispettivamente, si hanno dall’equazione (di secondo grado in x) le relazioni
−
c
2
− e h = 0,
e 2 h2
2
−c
= a 2 (1
2
−e )
(14)
(15)
da cui segue e2 h2 = a 2 e infine a2 h = , c
c2 e = 2. a 2
4
Cos`i la (12) pu`o essere riscritta (a2
2
2
− c )x
+ a2 y 2 = a 2 (a2
2
− c ).
e c2 < a2 ; si pone nella (16) a2 Caso e < 1. In questo caso `
−c
ottiene l’equazione x2 y2 + 2 =1 a2 b Caso e > 1 . Si pone c2
2
−a
x2 a2
ellisse
(16) 2
= b2 e si
(17)
(18)
= b 2 e si ottiene l’equazione
−
y2 =1 b2
iperbole
Caso e = 1. In questo caso l’asse x incontra la conica in un solo punto V . Si sceglie V come origine e nell’equazione che si ottiene dalla (12) per e = 1
y2
2
2
− 2(c − h)x + c − h = 0 il termine noto `e nullo. Quindi h = −c. Posto 2c = p la (19) diventa y 2 = 2 px
parabola
(19)
(20)
Le equazioni ricavate, per la scelta del riferimento e le semplificazioni conseguenti, si dicono equazioni delle coniche in forma canonica . Dall’equazione dell’ellisse, nel caso in cui a = b si ottiene immediatamente l’equazione della circonferenza con centro nell’origine. Nel caso a = b = 1 si ha x2 + y 2 = 1
circonferenza
(21)
Passiamo in rapida rassegna le coniche non degeneri scrivendo le loro equazioni canoniche ottenute considerando le coniche come luogo di punti soddisfacenti una determinata propriet` a. ` il luogo dei punti del piano per cui `e costante la somma 7. Ellisse. E delle distanze da due punti fissi, F ed F detti fuochi. Detto P (x, y ) un punto generico appartenente all’ellisse deve essere verificata la relazione
P F + P F = 2a
5
Scelto un sistema di riferimento con l’asse x coincidente con la retta passante per i due fuochi, l’origine nel punto di mezzo in modo che i due fuochi siano i punti F (c, 0), F ( c, 0), possiamo scrivere
−
− (x
2
2
c) + y +
(x + c)2 + y 2 = 2a
(22)
Per una propriet`a elementare dei triangoli si nota subito che 2c < 2a e quindi a > c. Eliminando le radici nella (22), ponendo a2 c2 = b2 e semplificando si arriva all’equazione dell’ellisse in forma canonica
−
x2 y2 + 2 =1 a2 b
(23)
Fig. 1. Ellisse. Propriet` a dell’ellisse.
L’ellisse cos`ı ottenuta possiede le seguenti pro-
priet`a. ` simmetrica rispetto a entrambi gli assi x e y e all’origine O. 1) E ` tutta contenuta nel rettangolo di lati 2a e 2b paralleli agli assi e 2) E passanti per i quattro vertici. (vedi prop. seg.). 3) Interseca gli assi coordinati in quattro punti detti vertici: l’asse x in A(a, 0) e A ( a, 0) e l’asse y nei punti B (0, b) e B (0, b). Le quantit`a a e b sono detti semiassi dell’ellisse. 4) L’eccentricit`a e dell’ellisse `e definita dal rapporto ac = e. Si nota subito che se a = b si ha c = 0 e anche e = 0. In questo caso l’ellisse si riduce alla circonferenza di centro O e raggio a2 .
−
−
` il luogo dei punti del piano per cui `e costante la Iperbole. E differenza tra le distanze da due punti fissi detti fuochi . Scelto un sistema 8.
6
di riferimento con i fuochi situati sull’asse x, e l’origine nel punto di mezzo, avremo F (c, 0)
F ( c, 0)
− P F = 2a
−
P F
(a > 0)
oppure:
− P F = 2a
P F
Si tratta quindi di tradurre le condizioni scritte in relazioni tra le coordinate x, y del generico punto P e le quantit` a a e b che sono definite allo stesso modo che nell’ellisse. Si giunge all’equazione x2 a2
y2 =1 b2
−
(24)
La (24) fornisce una semplice e importante relazione. Si ha difatti, isolando il primo termine e considerando il valore assoluto
≥ x a
1
(25)
Pertanto possiamo affermare che nessun punto dell’iperbole `e compreso nella porzione di piano delimitata dalle due rette verticali x = a. Inoltre considerando una generica retta passante per l’origine y = mx e cercando le intersezioni con l’iperbole, si giunge all’equazione di secondo grado in x
±
x
2
1 a2
−
m2 =1 b2
(26)
Per determinare le intersezioni si considerano i valori reali di m, si impone m2 < ab , (con a, b positivi) e si giunge alla relazione 2
2
− ab < m < ab
(27)
Quando m si avvicina a questi valori estremi si vede dalla (26) che x 2 . L’intersezione in corrispondenza di questi valori di m `e all’infinito, pertanto le due rette b b y= x y = + x (28)
→∞
−a
a
7
costituiscono gli asintoti dell’iperbole. La curva `e costituita da due rami, staccati e simmetrici rispetto all’asse y , contenuti ognuno entro l’angolo completo degli asintoti contenente anche l’asse x. Riassumendo, si hanno per l’iperbole le Propriet` a dell’iperbole. seguenti propriet`a : 1) La curva `e simmetrica rispetto agli assi coordinati e all’origine. 2) Giace esternamente alle rette x = a , x = a. 3) Interseca l’asse x, ( mai l’asse y ), nei punti A ( a, 0) e A(a, 0) compresi tra l’origine e i fuochi. 4) I fuochi stanno sull’asse x (ascissa: c = a2 + b2 , esternamente ai punti A e A . 5) Ha come asintoti le rette y = ab x. 6) Giace tutta nell’angolo degli asintoti dove c’`e l’asse x. Come caso particolare, quando gli asintoti sono le bisettrici degli assi l’iperbole prende il nome di iperbole equilatera . Mediante una rotazione di assi si pu`o fare in modo che l’iperbole sia riferita agli asintoti, in questo caso, detti X e Y i nuovi assi, assume la semplice forma
−
±
− √ ±
±
XY = K
(29)
In questo caso la curva sta nel primo e terzo quadrante o nel secondo e quarto quadrante a seconda che si abbia K > 0 o K < 0 Parabola. Si definisce parabola il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso F e da una retta d. Scelto il sistema di riferimento ponendo la retta d orizzontale, il punto F sull’asse y perpendicolare per Q a d e l’origine nel punto medio O del segmento F Q = 2 p, si ha naturalmente 9.
QF = 2 p,
F (0, p),
d :
y = p.
−
(30)
La condizione da imporre `e P F = P H.
(31)
Notare che il segmento P H `e parallelo all’asse y passante per O . La (31) si traduce nell’eguaglianza
x2 + ( y
2
− p) 8
= y + p .
|
|
(32)
Svolgendo i calcoli si ottiene y=
che con la posizione
1 4 p
1 2 x 4 p
(33)
= a diventa y = ax 2
parabola
(34)
La (34) appena ricavata `e stata ricavata con una particolare scelta del sistema di riferimento e pertanto riferiamo solo a questa parabola le seguenti propriet`a .
Fig. 2. Parabola. Propriet` a della parabola.
1) La parabola (34) ha l’asse y come asse di simmetria. 2) Il fuoco ha coordinate F 0, 41a . 3) La direttrice ha equazione y = 41a . 4) Il vertice `e in O , equidistante da F e d. Concludiamo queste brevi nozioni sulla parabola ricordando quello che dovrebbe essere gi` a noto dalla scuola media superiore. Ogni equazione algebrica di secondo grado
−
y = ax 2 + bx + c
(35)
con a,b,c costanti arbitrarie di cui la prima diversa da zero, rappresenta 9
sempre una parabola avente: Vertice: asse simm:
dirett:
∆ 4a
b , 2a
− x = − − , − y = − −
fuoco:
10.
−
b 2a
b 2a
1 4a
1 4a
∆ = b
2
− 4ac
(// asse y) ∆ 4a
∆ 4a
(//asse x)
Tangenti ad una conica: regola degli sdoppiamenti. La regola
degli sdoppiamenti permette di trovare la tangente ad una conica in un suo punto mediante un semplice procedimento che spiegheremo prendendo ad esempio il caso della circonferenza. Sia data una circonferenza di centro C (α, β ) ed equazione x2 + y 2
− 2αx − 2βy + γ = 0
(36)
Detto P 0 (x0 , y0 ) un punto appartenente ad essa si voglia scrivere l’equazione della tangente in P 0 . Sappiamo che la tangente a una circonferenza `e perpendicolare al raggio, pertanto il vettore CP 0 `e perpendicolare al vettore P 0 P con P punto qualsiasi appartenente alla retta. Imponendo la condizione di perpendicolarit`a tra i due vettori mediante l’annullarsi del prodotto scalare si pu`o scrivere:
−−→
−−→
(x0
− α)(x − x ) + (y − β )(y − y ) = 0 0
0
0
(37)
Sviluppando i calcoli si ottiene x0 x + y0 y
− α(x + x) − β (y + y) + γ = 0 0
0
(38)
La (38), una volta ordinata, `e l’equazione della retta tangente in P 0 alla circonferenza. Dal punto di vista mnemonico si vede che basta, avendo presente la (36), rimpiazzare x2
con
xx
y2
con
yy
2x con
(x + x)
2y con
(y + y )
e poi sostituire a una delle coordinate la corrispondente del punto P 0 (x0 , y0 ). 10
11.
Le coniche come curve algebriche del secondo ordine.
Fino ad ora abbiamo considerato le coniche come luoghi geometrici, cio`e come insieme di punti soddisfacenti a una certa condizione. Vi `e un altro modo di considerarle e precisamente considerare tali curve come la totalit`a dei punti del piano le cui coordinate cartesiane (x, y) soddisfano un’equazione di secondo grado a coefficienti reali:
C
f (x, y ) = a 11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0
(39)
Il problema dello studio delle coniche si riconduce quindi allo studio delle ` quindi agevole la determinazione degli elepropriet`a dell’equazione (39). E menti di simmetria che in un nuovo sistema di riferimento ci permetteranno di scrivere la stessa conica, inizialmente rappresentata dalla (39), tramite un’equazione canonica del tipo di quelle studiate in precedenza. 12. Invarianti di una conica. Se dal vecchio sistema di riferimento (O,x,y) si effettua un cambiamento di riferimento ortogonale passando a un nuovo sistema (O , x , y ), la conica `e rappresentata da un equazione
R
R
del tipo
2
a11 x
C
2
+ 2a12 x y + a22 y + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0
(40)
i cui coefficienti sono generalmente diversi da quelli della (39). Tuttavia si verifica che il cambiamento di riferimento lascia inalterati i tre numeri
a11 D = a12 a13 D33 =
a12 a22 a23 a11 a12
a13 a23 a33 a12 a22
T = a 11 + a22
(41)
(42) (43)
che si dicono invarianti della conica relativi all’equazione (39). Si nota subito che D, detto discriminante della conica, `e il determinante di una matrice simmetrica i cui elementi sono i coefficienti della (39). D33 `e il complemento algebrico di a 33 in tale matrice e T `e la somma dei coefficienti di x2 e y 2 . 11
