DISTRIBUCIO DISTRI BUCION N NORMAL Y ESTANDAR ESTANDAR NORMAL
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE APRENDIZAJE Enlistar las características de una distribución de probabilidad normal. Definir y calcular valores z. Determinar la probabilidad que una observación esté entre dos puntos utilizando la distribución normal estándar. Determinar la probabilidad que una observación este arriba o debajo de un valor, utilizando la distribución normal estándar. Comparar dos o tres o mas observaciones que estén en distintas distribuciones probabilísticas. Utilizar la distribución normal para aproximar la distribución probabilística nominal.
INTRODUCCION
DISTRIBUCIÓN NORMAL Sin duda la distribución continua de probabilidad más importante, por la frecuencia con que se encuentra y por sus aplicaciones teóricas, es la distribución
normal, gaussiana o de LaplaceGauss. Fue descubierta y publicada por Pierre Pierre Simon Simon de Lapla Laplace ce (1749-1827)
Karl F. Gauss (1777-1855)
primera vez en 1733 por De Moivre. A la misma llegaron, de forma independiente, Laplace (1812) y Gauss (1809), en relación con la teoría de los errores de observación astronómica y física .
INTRODUCCION • Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución. • Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana. • En otra otras s ocas ocasio ione nes, s, al cons consid ider erar ar dist distri ribu buci cion ones es bino binomi mial ales es,, tipo B(n,p), para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores, se ve que sus polígonos de frecuencias se aproximan a una curva en "forma de campana". • En resumen, la importancia de la distribución normal se debe a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal.
INTRODUCCION • Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie, p.ejm. tallas, pesos, envergaduras, diámetros, perímetros,... • Caract Caractere eres s fisiol fisiológi ógicos cos , por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono. • Caract Caractere eres s sociol sociológi ógicos cos , por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen. • Caract por ejem ejempl plo: o: coci cocien ente te int intelec electu tual al,, Caractere eres s psicol psicológi ógicos cos , por grado de adaptación a un medio,... • Errores cometidos al medir ciertas magnitudes. estadísticos muestrales, por ejemplo : la media. • Valores estadísticos • Otras Otras distri distribuc bucion iones es como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales, ...
CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN PROBABILÍSTICA NORMAL
CARACTERISTICAS DE UNA DISTRIBUCION PROBABILISTICA NORMAL 1. La curv curva a norma normall tiene tiene un perfi perfill de campana (campaniforme), y presenta un solo pico en el centro exacto de la distribución. La media (aritmética), la mediana y la moda de la distribución son iguales y están en el punto central. De esta forma, la mistad del área bajo la curva se halla a un lado (o encima del valor central) de ese punto, y la otra mitad, al otro lado (o por debajo).
CARACTERISTICAS DE UNA DISTRIBUCION PROBABILISTICA NORMAL 2. La distribuc distribución ión probabil probabilística ística normal es simétric simétrica a con respecto respecto a su media. Si se corta la curva normal verticalmente por este valor central las dos mitades serán como imagines reflejadas en un espejo.
CARACTERISTICAS DE UNA DISTRIBUCION PROBABILISTICA NORMAL 3. La curva normal decrece uniformemente en ambas direcciones a partir del valor central. Es asintótica, los cual significa que la curva se acerca acerca cada vez mas al eje x pero pero en realidad nunca llega a tocarlo. Esto es, las colas o extremidades se extienden indefinidamente en ambas direcciones. Sin embargo en el mundo real esto no resulta verdadero. Por ejemplo la duración de las pilas alcalinas no van a durar 300 años.
CURVA NORMAL
FAMILIA DE DISTRIBUCIONES NORMALES
FAMILIA DE DISTRIBUCIONES NORMALES (μs = y σs ≠ )
FAMILIA DE DISTRIBUCIONES NORMALES (μs ≠ y σs =) σ = 5
σ = 5
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
FAMILIA DE DISTRIBUCIONES NORMALES (μs ≠ y σs ≠) σ = 5
σ = 7
σ = 10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
1 20
AREAS BAJO LA CURVA NORMAL
INTERPRET INTERPRETACIÓN ACIÓN PROBABILISTI PROBABILISTICA CA DE LA CURVA NORMAL
• Entre la media y una desviación típica tenemos siempre la misma probabilidad: probabilidad: aproximadamente el 68.27 %.
INTERPRET INTERPRETACIÓN ACIÓN PROBABILISTI PROBABILISTICA CA DE LA CURVA NORMAL
• Entre la media y dos desviaciones típicas tenemos siempre la misma probabilidad: probabilidad: aproximadamente el 95.45 %.
INTERPRET INTERPRETACIÓN ACIÓN PROBABILISTI PROBABILISTICA CA DE LA CURVA NORMAL
• Entre la media y dos desviaciones típicas tenemos siempre la misma probabilidad: probabilidad: aproximadamente el 99.73 % .
FUNCION DENSIDAD
FUNCIÓN DE DENSIDAD • Empl Emplean eando do cálcul cálculos os bastan bastante te labori laborioso osos, s, puede puede demost demostra rarse rse que el modelo de la función de densidad que corresponde a tales distribuciones viene dado por la fórmula:
FUNCIÓN DE DENSIDAD La curva normal es una distribución teórica de los datos de una población. Es una curva con forma de campana, descripta por la siguiente ecuación:
Y =
N
2πσ
e
(
− x − μ
2
)
/ 2 σ
2
FUNCIÓN DE DENSIDAD • • • • • • •
Y = Frecuencia de un valor dado de X N = Frecuencia total de la distribución X = Cualquier dato de la distribución μ:
Media de la distribución
π:
Constante con un valor aprox. de 3,1416
σ
: Desviación estándar de la distribución
e: Constante con un valor aproximado
TIPIFICACIÓN Sí la variabl variable e X es N(µ, N(µ, δ), entonces la variable tipificada de X es
X-µ
y sigue también una distribución normal pero de µ
= 0Z= y δ = 1, es decir N(0,1) δ
Por tanto su función de densidad es :
y su función de distribución es:
siendo la representación gráfica de esta función :
a la variable Z se la denomina variable tipificada de X , y a la curva de su función de densidad curva normal tipificada .
AREAS BAJO LA CURVA NORMAL
DISTRIBUCION NORMAL Área debajo de la curva normal
DISTRIBUCION NORMAL Interpretación Ejemplo: Coeficiente Intelectual (IQ) de 10.000 individuos
DISTRIBUCION NORMAL Interpretación Ejemplo: Coeficiente Intelectual (IQ) de 10.000
individuos
Para calcular el número de datos que hay en cada área, lo único que debemos hacer es multiplicar el porcentaje correspondiente por la cantidad total de datos. Así, existen: - 34,13% X 10.000 = 3.413 3.413 datos entre 100 y 116, - 13,59% X 10.000 = 1359 1359 datos entre 116 116 y 132, - 2,15% x 10.000= 215 datos entre 132 y 148, Y - 0,13% x 10.000= 13 datos son mayores que 148. Para la otra mitad de la distribución existen 3.413 datos entre 84 y 100, 1.359 datos entre 68 y 84 y 215 datos entre 52 y 68; 13 datos se encuentran por debajo de 52.
DISTRIBUCION NORMAL PUNTAJE ESTÁNDAR (PUNTAJES Z) Para un valor real de IQ = IQ = 132
¿Es alto, medio o bajo? ‐
‐
‐
Determinar el porcentaje de distribución que están por debajo de 132 (el rango percentil del dato 132). El IQ = 132 está dos desviaciones estándar arriba de la media. Para obtener el rango percentil de 132: debemos sumar: 47,72 + 50 = 97,72%. Esto indica que el 97,72% de los datos están por debajo del IQ 132.
DISTRIBUCION NORMAL Interpretación gráfica
TABLAS ESTADISTICAS DE LA NORMAL
¿COMO LEER LAS TABLAS ESTADISTICAS DE LA NORMAL?
*Margen izquierdo : Los enteros de z y su primer decimal. * Margen superior: segundo decimal * Cuerpo de la tabla: áreas correspondientes, acumuladas, desde 0 hasta 3.99
La tabla consta de:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
.0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359
0.5
.1915 ....
.0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0363 .0675 .0675 .0754 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .... .1179 .....
......
.1554 ....
...... .....
...... ....
......
......
EJEMPLOS SOBRE EL USO DE LA TABLA NORMAL ESTANDAR Ejercicio 1.-¿Cuál es la probabilidad de que un valor de z esté entre 0 y -2.03?
EJEMPLOS SOBRE EL USO DE LA TABLA NORMAL ESTANDAR Solución del Ejercicio 1: Cómo la curva es simétrica P (-2.03 < z < 0) = P (0 < z < 2.03)
? z
EJEMPLOS SOBRE EL USO DE LA TABLA NORMAL ESTANDAR
Solución del Ejercicio 1: Se busca en la tabla el área correspondiente correspondiente a z = 2.03 0
1
2
3
4
1.8 1.9 2.0
0.47882
2.1
47. 88% z
EJEMPLOS SOBRE EL USO DE LA TABLA NORMAL ESTANDAR Ejercicio 2.-¿Cuál es la probabilidad de que un valor de z esté entre -2.03 y +2.03?
EJEMPLOS SOBRE EL USO DE LA TABLA NORMAL ESTANDAR Solución del Ejercicio 2: La misma área hay entre entr e 0 y -2. -2.03 03 , por por lo ta tant nto o P ( -2. -2.03 03< < z< z< 2.0 2.03) 3) = 0.95764
? 95.76% 47.88%
47.88% z
EJEMPLOS SOBRE EL USO DE LA TABLA NORMAL ESTANDAR Ejercicio 3: Ha Halla llarr P( z >1. >1.25 25 )
EJEMPLOS SOBRE EL USO DE LA TABLA NORMAL ESTANDAR Solución del Ejercicio 3: La probabilidad de z > 1.25 = 0.50 0.500 0 - 0.39 0.39435= 435= 0.10 0.10565 565
10.56%
EJEMPLOS SOBRE EL USO DE LA TABLA NORMAL ESTANDAR Ejercicio 4: Hallar P ( - 0 . 3 4 < z <
)
EJEMPLOS SOBRE EL USO DE LA TABLA NORMAL ESTANDAR Solución del Ejercicio 4: P(0
) = 0.50000
P( -0.34 < z < ∞) = 0.13307 + 0.50000 = 0.63307
13.31%
50% z
-3
-2
-1
0
1
2
3
=
EJEMPLOS SOBRE EL USO DE LA TABLA NORMAL ESTANDAR Ejercicio 5: Hallar P ( 0.3 0.344 < z < 2.3 2.300 )
EJEMPLOS SOBRE EL USO DE LA TABLA NORMAL ESTANDAR Solución del Ejercicio 5: P(0< z <0.34) = 0.13307 P( 0 < z < 2.30) = 0.4893
P (0.3 (0.34 4 < z < 2.30) 2.30) = 0.48930 0.48930 - 0.13 0.13307 307 = 0.356 0.35623 23
35.62% z
Hasta ahora vimos como dado un valor x de la variable, hallar probabilidades transformando (estandarización) la variable en valores de Z:
z=
x
-
¿Cómo hallar hallar un valor de x, dada la pr probabilidad? obabilidad? Ejemplo: Sea una variable distribuida normalmente con =4 y =2 . Hallar el valor de x que deja por encima de él un 38.20% (0.3820)
SE DEBE DESESTANDARIZAR:
x = z
+
0.5000 - 0.382 = 0.118 Se busca en la tabla el valor más aproximado :0.1179 corr corres espo pond ndee a z =+ 0.30 Sustituyendo en la fórmula
0.30x2+4 =4.60
38.20%
x = ? 4.60
LA DISTRIBUCIÓN DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR
• El área bajo la curva normal y sobre el eje x es igual a la probabilidad de que la variable aleatoria x tome un valor dentro de cierto interva rvalo. Para medir esta área es ne neccesari ario calcular la integral de la fu fun nción de la curva rva normal para un interva rvalo de valores. Para evitar la dificultad de resolver integrales es necesario tabular las áreas que corresponden a cada valor de x. Como el número de distribuciones normales es ilimitado sería una tarea sin fin intentar establecer tablas para cada combinación de µ y σ. Afortunadamente, un miembro de la familia de las distribuciones normales puede ser usado en todos los problemas donde la distribución normal es aplicable, esta es la distribución normal con media cero y desviación estándar 1, la cual es llamada distribución normal estándar estándar.
• Cada distribución normal deberá estandarizarse, es decir, tran transf sfor orma marrse a una distr distrib ibuci ución ón norm normal al está estánda ndarr, util utiliz izan ando do un valor z, o variable aleatoria estándar.
Valor Z. Distancia entre un valor seleccionado, denominado X , y la media de la distribución, en unidades de una desviación estándar. En términos de fórmula:
Z= X - µ δ
Gracias a esta fórmula podemos transformar cualquier distribución normal a la distribución normal estándar .
• Si se quiere saber la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores dentro de determinado rango, se necesitaría calcular el área bajo la curva, resolviendo la integral de la función para ese rango de valores. • Una característica que tiene cualquier distribución normal es que el área bajo la curva, que representa la probabilidad de que la variable aleatoria tome ciertos valores, se distribuye en la misma proporción. • Para facilitar los cálculos se tabularon las áreas bajo la curva normal que se encuentran a la derecha de algunos de los valores Z, de esta forma ya no es necesar sario resol solver integra grales, solo se necesit sita transformar la distribución normal de interés en una distribución normal estándar mediante la fórmula, y el área a la derecha del valor z será el mismo que el área a la derecha de x.
EJEMPLO 1 Los coeficientes intelectuales de 600 aspirantes de cierta universidad se distribuyen aproximadamente aproximadamente de forma normal con una media de 115 y una desviación estándar de 12. Si se selecciona un aspirante al azar, encuentre la probabilidad de que: a) b) c) d) e)
Tenga un coeficiente mayor de 120. Tenga un coeficiente menor de 100. Tenga un coeficiente menor de 122. Tenga un coeficiente entre 115 y 125. Tenga un coeficiente entre 90 y 105.
SOLUCION a) Hay una una distribuci ución norm ormal con media dia 115 y desv esviaci ación estándar de 12 y queremos saber cual es la probabilidad de que x sea mayor de 120, es decir, cuanto mide el área a la derecha del 120. Lo primero es transformar esta distribución normal en una distribución normal estándar (con media cero y desviación estándar 1), para lo cual hay que cambiar el valor de x por un valor Z con la fórmula.
Z=
X-µ δ
= 120 -115 = 0.41 12
SOLUCION a) La distribución ya transformada queda así:
SOLUCION a) Se busca busca el valor valor del del área área a la derecha derecha del del valor valor Z en la tabla de áreas bajo la curva normal, la unidad y la primer decimal se buscan en la primer columna, y la segunda decimal en el primer renglón, donde se cruzan renglón y columna es el valor del área a la derecha del valor z. En este ejemplo:
z 0 .4 1
1 .3 4 0 9 0
Y como el área a la derecha del valor z es el área que busc busca amos, os, ent entonce onces s este es el resul esulttado, do, es deci ecir, la probabilidad de que un aspirante a la universidad tenga un coeficiente intelectual mayor de 120 es .34090
SOLUCION b) Para encontrar la probabilidad de que un aspirante tenga un coeficiente intelectual menor de 100, primero se traza la curva de la distribución normal original, para luego transformarse en la distribución normal estándar. estándar. El valor z se calcula con la fórmula:
Z=
X-µ δ
= 100 -115 = -1.25 12
SOLUCION b) La distribución ya transformada queda así:
SOLUCION b) En la tabla de áreas bajo la curva normal no se tabularon valores z negativos, pero como la curva normal es simétrica, el área a la izquierda del valor z = -1.25 es del mismo tamaño que el área a la derecha del valor z = 1.25, por lo que solo se necesita buscar en la tabla el área correspondiente al valor positivo.
z 1.25
5
.10565
SOLUCION c) Para encontrar la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor de 122, hay que estandarizar la distribución obteniendo el valor z correspondiente al valor de x = 122.
Z=
X-µ δ
= 122 -115 = 0.58 12
SOLUCION c) La distribución ya transformada queda así:
SOLUCION c) El área de .28096 corresponde a la que se encuentra a la derecha del valor z, pero no es la que nos interesa en esta vez, el área que queremos encontrar es la que se encuentra a la izquierda del valor z, que podemos calcular restando el área de .28096 al área total bajo la curva que es 1.
z 0.58
5 .28096
P( x < 122 122 ) = 1 - .28 .2809 096 6 = ..719 71904 04
SOLUCION d) Para encontrar el área que se encuentra entre x = 115 y x = 125 hay que encontrar el área a la derecha de cada uno de esos valores. A la derecha de 115 ( la media ) el área es .5, .5, para para encontr encontrar ar el área área a la derecha derecha de 125 hay hay que encontrar en la tabla el valor z correspondiente.
Z=
X-µ δ
= 125 -115 = 0.83 12
SOLUCION d) La distribución ya transformada queda así:
SOLUCION d) El área a la derecha de x = 125 es parte del área a la derecha de x = 115, 15, si la rest restam amos os obte obtend ndrremos emos el área área que que se encuentra entre los dos valores.
P( 115 115 < x < 125 125 ) = .5 - .203 .20327 27 = .29673 .29673
SOLUCION e) Para encontrar el área que se encuentra entre x = 90 y x = 105, hay que encontrar encontrar en la tabla el área a la izquierda de cada uno de esos valores. Al estar en el lado izquierdo de la curva, por simetría, el área es la misma que la correspondiente a los valores z positivos.
Z=
X-µ δ
Z=
X-µ δ
= -2.08
z 2.0
8 .01876
= 105 -115 = - 0.83 12
z 0.8
3 .20327
= 90 -115 12
SOLUCION e) La distribución ya transformada queda así:
Restamos: P( 90 < x < 105 105 ) = .203 .20327 27 - .018 .01876 76 = .18451 .18451
E jemplo
2: La distribución de los ingresos anuales de
un grupo de empleados a nivel de gerencia media en Tapson Inc siguió en forma aproximada una distribución normal con una media de US$ 37200 y una desviación estándar de US$ 8000. 1. ¿En ¿Entre tre que que par par de canti antida dade dess est está, apr aproxima ximada dame men nte el 68,27 % de los ingresos? 2. ¿Entre que par de valores está, aproximadamente el 95,45 % de los ingresos? 3. ¿Entre que par de valores está, aproximadamente el 99,73 % de los ingresos? 4. ¿Cual es la media, mediana y moda de los ingresos? 5. ¿Es asimétrica la distribución estándar de estos últimos?
Ejemplo 2: (solución) 1. 36400 y 38000, calculado por 37200 ± 1(800) 2. 35600 y 38800, calculado por 37200 ± 2(800) 3. 34800 y 39600, calculado por 37200 ± 3(800) 4. 37200. Media, mediana y moda son =s 5. Una distribución estandar es simétrica
Ejemplo 3: Si la me media µ es es US US$ 10 1000 y una desviación estándar de δ es US$ 100 calcular: 1.‐ El ingreso semanal es de US$ 1225 a una unidad estándar de:
Z=
X-µ
=
δ
1 22 5 - 1 00 0 100
= 2,25
2. El ingreso semanal es de US$ 775 a un valor z:
Z=
X-µ δ
=
7 7 5 - 10 00 100
= - 2, 2 5
Ejemplo 4: A los empleados de una empresa se les otorgan puntos por eficiencia. La distribución de estas sigue, aproximadamente, una distribución normal. La media es 400, y la desviación estándar, 50.
1.‐ ¿Cuanto vale el area bajo la curva normal entre 400 y 482? 2. ¿Cuanto vale el area bajo la curva normal por encima de 482? 3. Muestre los aspectos de este problema en una gráfica.
Solución: 1. Calculando el desvío normal:
Z=
4 8 2 - 4 00 50
el área es 0.4495
2. ‐ 0.0505 = 0.5000 ‐ 0.4495
= 1.64
Solución: 3. Gráfico 0.5000
0.0505 0.4495
1.64 escala de Z
77
Ejemplo 5: (respecto al Ejemplo 3:) 1. ¿Qué porcentaje de los ejecutivos tienen un ingreso semanal de US$ 925 o menos? Solución: Aproximadamente Aproximadamente el 22.66% , calculado calculado por: Z= 925 - 1000 100
= - 0.75
el área área es 0.2734 0.2734 entonc entonces es tene tenemos mos 0.5000 0.5000 0.2734 = 0.2266
Ejemplo 5: (respecto al Ejemplo 3:) 2. Representar Representar el problema en un diagrama. Solución: 0.2734
σ= 100
0.2266
-0.75 925
0 1000
Ejemplo 6: Un análisis de las calificaciones obtenidas en la primera prueba de una asignatura de matemáticas revelo que seguían, aproximadamente, una curva normal con media de 75 y desviación estándar de 8. El profesor otorga una calificación de A al 10% superior de las calificaciones en la prueba. ¿Cuál es el punto divisorio entre la calificación A y B?
Ejemplo 6: (solución) 85.24 , el área mas cercana a 0.4000 es 0.3997; Z = 1.28 , entonces:
X - 75 8
= 1.28
Despej Despejand ando o tene tenemos mos:: X = 85.2 85.24 4
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PROPUESTOS 1) Hallar el área bajo la curva normal tipificada: a) Entr Entre e Z = 0 y Z = 1,2 1,2 b) Entre Z = -0,68 y Z = 0 c) Entre Z = -0,46 y Z = 2,21 d) Entre Z = 0,81 y Z = 1,94 e) A la der derec echa ha de de Z = -1,2 -1,28 8 2) Si "área" se refiere al área bajo la curva normal tipificada, hallar el valor o los valores de Z tales que: a) El área entre 0 y Z sea 0,3770 b) El área a la izquierda de Z sea 0,8621 c) El área entre -1,5 y Z sea 0,0217
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 3) El peso medio de 500 estudiantes varones de una universidad es de 68,5 Kg. y la desviación típica es de 10 Kg. Suponiendo que los pesos están distribuidos normalmente, hallar el número de estudiantes que pesan: a) Entre 48 y 71 kg. b) Más de 91 kg. 4) La media del diámetro interior de una muestra de 200 lavadoras producidas por una máquina es 1,275 cm. y la desviación típica de 0,0125 cm. El propósito para el cual se han diseñado las lavadoras permite una tolerancia máxima en el diámetro de 1,26cm. a 1,29 cm., de otra forma las lavadoras se consideran defectuosas. Determinar el porcentaje de lavadoras defectuosas producidas por la máquina, suponiendo que los diámetros están distribuidos normalmente.
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 5) Si X está distribuida normalmente con media 5 y desviación típica 2, hallar P ( X > 8). 6) Se tiene un programa de entrenamiento diseñado para mejorar la calidad de las habilidades de los supervisores de la línea de producción. Debido a que el programa es auto administrativo, los supervisores requieren un número diferente de horas para terminarlo. Un estudio de los participantes anteriores indica que el tiempo medio que se lleva completar el programa es de 500 h. y que esta variable aleatoria normalmente distribuida tiene una desviación estándar de 100 h. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un participante elegido al azar requiera más de 500 h. para completar el programa?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegido al azar se tome entre 500 h. y 650 h. para completar el programa de entrenamiento?.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegido al azar se tome más de 700 h. en completar el programa?. d) Suponga que el director del programa de entrenamiento desea saber la probabilidad de que un participante escogido al azar requiera entre 550 y 650 h. para completar el trabajo requerido en el programa. ¿Cuánto ha de ser ese valor? e) ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegido al azar se tomará menos de 580 h. para completar el programa? f) ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato escogido al azar se tome entre 420h.y 570 h. para completar el programa? 7) Dada una variable con distribución normal de media μ = 40 y desviación desviación estándar σ = 6 encuentre el valor de x que tiene: a) El 34% del área a la izquierda. b) El 5% del área a la derecha.
8) Ciert Cierto o tipo de pieza pieza para autom automóvi óvill tiene un promed promedio io de duració duración n de tres años, con una desviación estándar de 0,5 años. Suponga que las duraciones de las piezas son normalmente distribuidas y encuentre la probabilidad de que una pieza determinada tenga un tiempo de duración de más de 3,5 años. 9) Una fábrica de alimentos empaca productos cuyos pesos están normalmente distribuidos con media de 450 gramos y desviación estándar de 20 gramos. Encuentre la probabilidad de que un paquete escogido al azar pese entre 425 y 486 gramos. 10) En un proceso industrial el diámetro de una aro es muy importante. El comprador establece en sus especificaciones que el diámetro debe ser de 3,0 ± 0,01 mm. El no acepta ningún aro que se salga de estas especificaciones. Se sabe que en el proceso el diámetro de los aros tienen distribución normal con media de 3,0 mm y una desviación estándar de 0,005 mm. ¿Qué porcentaje de arandelas será rechazado?.
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 11) Un investigador reporta que unos ratones vivirán un promedio de 40 meses cuando sus dietas se restringen drásticamente y después se enriquecen con vitaminas y proteínas. Suponga que la vida de tales ratones se distribuye normalmente con una desviación estándar de 6.3 meses, encuentre la probabilidad de que un ratón viva: a) Mas de 32 meses b) Menos de 28 meses c) Entre 37 y 49 meses d) Entre 45 y 50 meses e) Entre 40 y 43 meses f) ¿Cuál es la probabilidad de que de seis ratones 4 vivan más de 30 meses?
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 12) Las barras de centeno que cierta panadería distribuye a las tiendas locales tienen una longitud promedio de 30 cent centíímetr etros y una desvi esviac aciión están stánd dar de 2 cent entímetr etros. os. Suponga que las longitudes se distribuyen normalmente, ¿qué porcentaje de las barras son a) Mas largas de 31.7 cm? b) Entre 29.3 cm. y 33.5 cm de longitud? c) Entre 32 cm. y 35 cm? d) Mas cortas de 38 cm? e) Entre 27.5 cm. y 30 cm? f) ¿Cuál es la probabilidad de que de 4 barras, tres midan más de 35 cm.?
13) Un abogado va todos los días de su casa a su oficina. El tiempo promedio del viaje es 24 min. con una desviación estándar de 3.8 minutos. Si las duraciones de los viajes están distribuidas normalmente: a) ¿Cuál es la probabilidad de que un viaje tome al menos ½ hora? b) Si la oficina abre a las 9:00 a.m. y él sale de su casa a las 8:45 a.m., ¿qué porcentaje de las veces llega tarde al trabajo? c) Si sale de su casa a las 8:35 a.m. y el café se sirve en la oficina de 8:50 a.m. a 9:00 a.m.,¿cuál es la probabilidad de que llegue a la hora del café? d)¿Cuál es el tiempo mínimo que duran el 15% de los viajes más lentos? e) Encuentre la probabilidad de que dos de los siguientes tres viajes tomen como máximo ½ hora.
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 14) Las alturas de 1000 estudiantes se distribuyen normalmente con una media de 174.5 cm y una desviación estándar de 6.9 cm., ¿cuántos de estos estudiantes se esperaría que tuvieran alturas: a) Menores de 160 cm? b) Entre 171.5 cm y 182 cm? c) Mayores a 165 cm? d) Entre 174.5 cm y 180 cm? e) Entre 180 cm y 195 cm? f) Menores de 185 cm? g) ¿Cuál es la probabilidad de que de cinco estudiantes, al menos 3 midan más de 180 cm? h) ¿Cuál es la probabilidad de que de 3 estudiantes, ninguno mida menos de 160 cm?
15)Investigadores de la Universidad George Washington reportan que aproximadamente 75% de las personas creen que “los tranquilizantes funcionan muy bien para hacer que una persona esté más tranquila y relajada”. De las siguientes 80 personas entrevistadas, ¿cual es la probabilidad de que a) Al menos menos 50 50 sean sean de esa esa opinió opinión? n? b) A lo más 56 tenga tengan n est esta a opi opini nión ón? ? c) Entre 60 y 70 tengan esta opinión? d) Exactamente 43 tengan esta opinión? 16) Trace una curva normal para una variable aleatoria x que tiene una una medi edia μ = 100 y des desviaci ación está stándar ndar σ = 10. Indique los valores de 70, 80, 90, 100, 110, 120 y 130 en el eje horizontal.
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 17) Un fabricante de medicamentos sostiene que cierto medicamento cura una enfermedad de la sangre en promedio el 80% de los casos. Para verificar esta afirmación, inspectores de gobierno utilizan el medicamento en una muestra de 100 individuos y deciden aceptar la afirmación si 75 o más se curan. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el gobierno acepte la afirmación? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el gobierno rechace la afirmación si en realidad la probabilidad de curarse es de .70?
18) Un estudio sobre nuevos delincuentes juveniles reveló que el 38% de ellos vuelve a delinquir. delinquir. a) ¿Cuál es la probabilidad de que de cien nuevos delincuentes juveniles 30 o más vuelvan a delinquir? b) ¿Cuál es la probabilidad de que de 50 nuevos delincuentes juveniles 40 o menos vuelvan a delinquir? c) ¿Cuál es la probabilidad de que de 35 nuevos delincuentes juveniles 15 vuelvan a delinquir? d elinquir? 19) La cantidad real de café instantáneo que vierte una máquina en jarras de 4 onzas varía de una jarra a otra, y se puede fijar como una variable aleatoria que tiene una distribución normal con σ = 0,04 onzas. Si sólo el 2% de las jarras va a contener menos de 4 onzas de café. ¿Cuál debe ser el contenido medio de estas jarras?
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 20) Se supone que los resultados de un examen tienen una distribución normal con media de 78 y varianza de 36. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que presenta presenta examen examen obtenga una califi calificación cación mayor de 72? 72? b) Suponga que los estudiantes que se encuentran en el 10% superior de la di distribución se se le les as asigna un una cali califi fica caci ción ón A ¿cual ¿cual es la cali califi fica caci ción ón míni mínima ma que debe debe tener un estudiante para obtener una un a A?. c) ¿Cuál debe ser la calificación mínima aprobatoria si el eval evalua uado dorr pret preten ende de que sol solamen amente te el 28.1% 28.1% de los estudiantes apruebe?
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 21) Obtenga Z si: a) El área de la curva normal entre 0 y Z es 0,2019 b) El área de la curva normal a la derecha de Z es 0,8810 c) El área de la curva normal a la derecha de Z es 0,0336 d) El área de la curva normal entre -Z y Z es 0,2662 22) La cantidad de radiación cósmica a la cual está expuesta una persona mientras vuela en avión es una variable aleatoria que tiene una distribución normal con μ = 4,35 mrem y σ = 0,59 mrem. Determine las probabilidades de que una persona que va en este vuelo está expuesta a: a) Más de 5,00 mrem de radiación cósmica. b) Entre 3,00 y 4,00 mrem de radiación cósmica.
23) Una empresa fabrica juntas teóricas para el trasbordador espacial de la NASA. Las cuales se han diseñado para sellar conexiones y piezas en el sistema de combustible a fin de impedir fugas. Un tipo de juntas ha de tener 5 centímetros de diámetro para que encaje como es debido; no puede variar arriba o abajo en más de 0,25 cm. sin provocar una fuga peligrosa. La empresa afirma que esta junta tiene 5 cm. de media con una desviación típica de 0,17 cm. Si estas cifras son correctas y se supone una distribución normal de los diámetros, los funcionarios de la NASA desean determinar: a) La proporción de juntas que se adaptarán correctamente. b) La proporción de juntas que son defectuosas. c) La pro probab babilid ilidad ad de que que cua cualqui lquier er junta unta teng tenga a un diám diámet etro ro superior a 5,3 cm. d) La probabilidad de que una junta tenga un diámetro comprendido entre 4,9 y 5,2 cm.
24) La cantidad real de café instantáneo que vierte una máquina en jarras de 4 onzas varía de una jarra a otra, y se puede fijar como una variable aleatoria que tiene una distribución normal con σ = 0,04 onzas. Si sólo el 2% de las jarras va a contener menos de 4 onzas de café. ¿Cuál debe ser el contenido medio de estas jarras? 25) Un estudio reciente reveló que el 64% de las mujeres mayores de 18 años, consideran a la nutrición la prioridad en su vida. Se seleccionó una muestra de 60 mujeres. Determinar la probabilidad de que: a) 32 o más consideren importante la dieta diaria. b) 44 o más estimen que la alimentación es esencial. c) Más de 32 pero menos de 43 consideren importante el aspecto dietético. d) Exactamente 44 consideren fundamental la alimentación.
26)Supóngase que X tiene una distribución distribución probabilística probabilística binomial, binomial, con n = 50 y p = 0,25. Calcule: a) La media y la desviación estándar de la variable aleatoria. b) La probabilidad de que X valga 15 o más. c) La probabilidad de que X valga 10 o menos. 27)La empresa Tax Service se especializa en las devoluciones de importes de impuestos federales. Una reciente auditoría de las declaraciones indicó que se cometió un error en el 10% de las que manifestó el año pasado. Suponiendo que tal tasa continúe en este periodo anual y elabore 60 declaraciones. ¿Cuál es la probabilidad de que realice: a) Más de 9 errores?; b) Por lo menos 9 errores?; c) Exactamente 9 errores?
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 28) Un estudio realizado por el club de acondicionamiento físico Taurus Health Club, reveló que 30% de sus nuevos socios tienen un sobrepeso considerable. Una promoción de membresía en un área metropolitana dio como resultado la inscripción de 500 nuevos ingresantes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que 175 o más de los nuevos socios tengan sobrepeso? b) ¿Cuál es la probabilidad de que 140 o más de los miembros recientes tengan sobrepeso?
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 29) Los gastos mensuales en alimentación para familias de cuatro miembros en una ciudad grande son en promedio de $420 con una desviación estándar de $80. Si los gastos mensuales en alimentación siguen una distribución normal: a) ¿Qué porcentaje de estos gastos es menor de $350? b) ¿Qué porcentaje de estos gastos está entre $250 y $300? c) ¿Qué porcentaje de estos gastos es menor de $250 o mayor de $450? d)¿Cuál es el gasto mayor en dólares que hace una familia que que est está entr entre e el 25% 25% de la fami famililia a que que meno menos s gast gastos os realizan en alimentación.?
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 30) Los salarios de los trabajadores en cierta industria son en promedio $11,9 por hora y la desviación estándar de $0,4. Si los salarios tienen una distribución normal. ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador seleccionado al azar: a) Reciba salarios entre $10,9 y $11,9? $11,9? b) Reciba salarios inferiores a $11? $11? c) Reciba Reciba salari salarios os superio superiores res a $12,95? $12,95? d) ¿Cuá ¿Cuáll debe debe ser el salar salariio meno menorr que que gana gana un trab trabaj ajad ador or que se encuentra entre el 10% de los trabajadores que más ganan? e) Si el dueño de la industria industria va va a aumentarle aumentarle el salario al 15% de los trabajadores que menos ganan. ¿Cuál será el salario máximo que deberá ganar un trabajador para ser beneficiado con el aumento?
31)Se encontró que en un conjunto de calificaciones de exámenes finales en un curso tenía distribución normal con media 73 puntos y desviación estándar de 8 puntos. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una calificación no mayor de 91 puntos en este examen? b) ¿Q ¿Qué ué porc porcen enta taje je de estu estudi dian ante tes s obtu obtuvo vo una una cali califi fica caci ción ón entre 65 y 89 puntos? c) ¿Cuál fue la calificación superada sólo por 5% de los estudiantes que hicieron el examen? d) El profesor sigue el siguiente criterio: Le otorga A a los estudiantes que están ubicados en el 10% de las mejores notas del grupo y usted saca 81 puntos. Suponga que se realiza otro examen en el que la media es 62 y la desviación es 3 y usted saca 68 puntos. ¿En cuál de los 2 exámenes usted queda mejor calificado?. ¿Por qué?
32) Un análisis indica que la duración de las llamadas telefónicas en cierta localidad tienen una distribución normal con media de 240 segundos y varianza de 1600 segundos2. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una llamada cualquiera dure menos de 180 seg? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una llamada dure entre 180 y 300 seg.? c) Si se consideran 1000 llamadas. ¿Cuántas cree usted que durarán menos de 180 seg.? d) ¿Cuál es la duración de la llamada más larga de aquellas que conforman el 1% de las más breves?8 e) La central telefónica de la localidad ha decidido cobrar un impuesto adicional adicional al 5% de las llamadas de mayor duración. duración. ¿Cuánto será el tiempo máximo que puede llamar una persona para que no le sea cobrado impuesto?.
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 33) El estadounidense adulto hombre tiene una estatura promedio 5 pies y 9 pulgadas con una desviación estándar de 3 pulgadas. (Nota: 1 pie corresponde a 12 pulgadas) a) ¿Cuál es la probabilidad de que la estatura de un hombre sea mayor de 6 pies? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la estatura de un ahombre sea menor de 5 pies? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la estatura de un hombre esté entre 6 y 9 pies? d) ¿Cuál es la estatura menor de que tiene un hombre que está en el 10% de los hombres más altos? e) Calcule el rango intercuantil de la estatura de los hombres estadounidenses.
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 34) Los alambres que se utilizan en cierta computadora debe deben n tene tenerr una una resi resist sten enci cia a ent entre re 0.12 0.12 y 0.14 0.14 ohms ohms.. Las Las resistencias re reales de de lo los al alambres producidos por la comp compañ añía ía A tien tienen en una una dist distri ribu buci ción ón norm normal al con con medi media a de 0.13 ohms y una desviación estándar de 0.005 ohms. a)¿Cuál es la probabilidad de que un alambre seleccionado al azar zar de la pr produc oducc ción la la co compañí pañía a A sat satisfag sfaga a la las especificaciones? b)Si se utilizan cuatro de estos alambres en un sistema y los seleccionan de la compañía A ¿c ¿cuál es la probabilidad de que los cuatro satisfagan las especificaciones?
35) Durante los últimos años ha crecido el volumen de acciones negociadas en la bolsa de Nueva York. Durante las dos primeras semanas de enero de 1998, el volumen diario promedio fue de 646 millones de acciones (Barron’s. Enero de 1998). La distribución de probabilidad del volumen diario es apro aproxi xima mada dame ment nte e norm normal al,, con con desv desvia iaci ción ón está estánd ndar ar de unos 100 millones de acciones. a)¿Cuál es la probabilidad de que el volumen negociado sea meno menorr de 400 400 mill millon ones es de acci accion ones es? ? b)¿ Qué porcentaje de las veces el volumen negociado es mayor de 800 millones de acciones. c)Si c)Si la Bolsa Bolsa quiere quiere emiti emitirr un boletín boletín de prensa prensa sobre sobre el 5% de los días más activos, ¿qué volumen activará la publicación?
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 36) Algunos estudios muestran que el rendimiento de gasolina de autos compactos vendidos en USA se distribuye normalmente con una media de 25.5 mpg y una desviación estándar de 4.5 mpg a)¿Que porcentaje de autos compactos tiene un rendimiento de 30 mpg o más? b)Si un fabricante desea diseñar un auto compacto más económico que el 95% de los autos compactos actuales ¿cuál debe ser el rendimiento del nuevo auto?
37) Si el 20% de los residentes de una ciudad de Estados Unidos prefiere un teléfono blanco sobre cualquier otro color disponible. ¿Cuál es la probabilidad de que entre los siguientes mil teléfonos que se instalen en esta cuidad a) Entre 170 y 200 sean blancos b) Al menos menos 210 210 sean sean blanco blancos s c) Más de 225 sean blancos d) Entre 180 y 225 sean blancos 38)El rendimiento promedio al vencimiento de unos bonos emitidos durante el I Trimestre de 2002 fue de 8.55% con una desviación estándar de 0.70%. Suponiendo que el rendimiento de los bonos se distribuye normal y que el rendimiento de la compañía FLEX fue de 7.1% ¿qué podemos decir de la situación financiera de esta firma durante el trimestre mencionado?
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 39) La edad promedio que tiene una persona al casarse por primera vez es de 26 años (U:S News & World Report, 6 de junio de 1994). Suponga que las edades en el primer casamiento tienen una distribución normal, con desviación estándar de 4 años. a) ¿Cual ¿Cual es la probabilidad probabilidad de que una persona persona que se casa por primer primera a vez tenga menos de 23 años años de edad. b)¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se casa por primera vez tenga entre 20 y 30 años de edad? c) El 90% de las las personas personas que se se casan por primera primera vez, ¿a qué edad lo hacen?
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 40) El rendimiento promedio al vencimiento de los bonos indust industri rial ales es emitid emitidos os durant durante e el prime primerr trim trimest estre re de 1975 fue de 8.55% con una desviación estándar de 0.70%. Suponiendo que el rendimiento de los bonos se distribuye normal y que el rendimiento de la compañía FLEX fue de 7.1% ¿qué podemos decir de la situación financiera de esta firma durante el trimestre mencionado? 41) Determine el área situada debajo de la curva normal estándar que está: a) A la izqu izquie ierd rda a de z = 0,94 0,94 b) A la der derec echa ha de z = - 0,6 0,65 5 c) A la der derecha echa de z = 1,76 1,76 d) A la izqu izquie ierd rda a de de z = - 0,85 0,85 e) Entre Entre z = - 0,87 0,87 y z = - 1,28 1,28 f) Entre z = - 0,34 y z = 0,62
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 42) Determine el área situada debajo de la curva normal estándar que está: a) A la izq izqui uier erda da de z = 0,9 0,94 4 b) A la der derec echa ha de z = - 0,6 0,65 5 c) A la der derecha echa de z = 1,76 1,76 d) A la izqu izquie ierd rda a de de z = - 0,85 0,85 e) Entre Entre z = - 0,87 0,87 y z = - 1,28 1,28 f) Entre z = - 0,34 y z = 0,62 43) Determine las probabilidades de que una variable aleatoria tome un valor entre 12 y 15 dado que tenga una distribución normal con: a) μ = 10 y σ = 5 b) μ = 20 y σ = 10
44)Las precipitaciones anuales en una región alcanzan, de media, los 2000 mm, con una desviación típica de 300mm. Calcula, suponiendo que siguen una distribución normal, la probabilidad de que en un año determinado la lluvia: a) No supere supere los 1200 mm b) Supere Supere los 1500 mm. c) Esté Esté entre entre 1700 y 2300 mm. d) Deseamos seleccionar seleccionar el 25% de los años años más lluviosos, lluviosos, ¿a partir de qué cantidad de agua hemos de escogerlos?¿Y si deseamos seleccionar los menos lluviosos? 45) Los resultados de una prueba objetiva pasada a 200 personas indicaron que la distribución de puntuaciones era normal, con medi edia 80pu 0punto ntos y desvi esviac aciión típica pica de10 e10 punt untos. os. Calc alcular ular cuántos de los examinados han obtenido:
a) b) c) d)
Puntuación Puntuación superior superior a 100 puntos Puntuación Puntuación inferior inferior a 55 puntos Puntuación Puntuación comprendida comprendida entre 65 y 95 puntos Si dese deseam amos os sele selecc ccio iona narr al 10% 10% de las las mejo mejore res s prue prueba bas, s, ¿a partir de qué puntuación hemos de escoger
46) Se sabe que la talla media de una población en edad escolar es de 165 cm con una desviación típica de 12 cm. Una I.E. tiene 1400 alumnos matriculados, se pide calcular: a) ¿Cuántos ¿Cuántos alumnos alumnos miden más de 155cm? b) ¿Qué porcentaje porcentaje de de alumnos alumnos miden entre 150 y 178 cm cm? c) Deter etermi mina na la prob probab abililid idad ad de que que cuan cuanto tos s alum alumno nos s mida midan n entre 170 y 186 cm. d) ¿Qué talla talla permite permite asegurar asegurar que elegido elegido un alumno alumno al azar azar,, el 67% de sus compañeros son más bajos que él?
