Demostración de validez en lógica de predicados En los ejercicios que hemos estado revisando, la interpretación de las fórmulas proposicionales consistía únicamente asignarles un valor de verdad a las fórmulas atómicas componente, esta acción determinaba el valor de verdad de la fórmula proposicional completa. Por ejemplo, tómese la siguiente fórmula: p ( q p )
(p ) F e I (q ) V. Con esta interpretación Podemos interpretar sus fórmulas atómicas p y q de la siguiente manera: I p es sencillo calcular el valor de verdad de la fórmula completa: p ( q p ) F
V
F V
F [p ( q p ) ] F cuando I p Resulta, entonces, que I p ( p ) F e I (q ) V. Una tabla de verdad representa el conjunto de todas las interpretaciones posibles de una fórmula, donde cada fila de n la tabla es una interpretación. El número de filas (es decir, el número de interpretaciones posibles) está dado por 2 , donde n es el número de fórmulas atómicas contenidas en una fórmula. En nuestro ejemplo n 2, pues tenemos dos n variables: p y q; luego 2 4, que es el número de filas de la tabla de verdad:
Fila 1 Fila 2 Fila 3 Fila 4
p
q
p
V V F F
V F V F
V V F F
V V F F
(q V F V F
p)
V V V F
V V F F
La interpretación en lógica de predicados es un poco más compleja. Tomemos una proposición universal:“todo conduce la electricidad”. Su simbolización es: xCx x Cx, donde
‘x conduce la electricidad’. ‘Cx’ significa x
La verdad de cualquier fórmula cuantificada depende de tres cosas: cuántos y cuáles individuos hay en el universo, y qué signifique el predicado C . Por ahora revisaremos uno solo de estos aspectos: el cuantitativo. Si mi universo consta solamente de dos individuos: a y b, entonces la proposición “ todo conduce la electricidad” equivale a afirmar la conjunción “a conduce la electricidad y b conduce la electricidad”, pues el “todos” abarca únicamente a estos dos individuos. Simbólicamente, la equivalencia se expresa como sigue:
xCx x Cx Ca Cb Análogamente, si mi un iverso consta de d e tres individuos: a, b y c, entonces la proposición universal equivale a la conjunción “a conduce la electricidad y b conduce la electricidad y c conduce la electricidad”:
x Cx Ca Cb Cc Generalizando, un universo de n individuos determina una equivalencia entre una proposición universal y la conjunción de n proposiciones: x Cx Ca Cb Cc … Cn
Por su parte, la verdad de una proposición particular, por ejemplo “algo conduce la electricidad”, cuya simbolización es x Cx, xCx
también depende de cuáles y cuántos individuos existan. Si hay tres individuos: a, b y c, entonces la proposición
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“algo conduce la electricidad” equivale a afirmar la disyunción “a conduce la electricidad o b conduce la electricidad o c conduce la electricidad”, pues el “algo” sólo se referirá al individuo a, al individuo b o al individuo c. Simbólicamente: x Cx Ca Cb Cc Generalizando, un universo de n individuos determina una equivalencia entre una proposición particular y la disyunción de n proposiciones: xCx Ca Cb Cc … Cn
Analicemos ahora proposiciones más complejas. Tomemos, por ejemplo, las proposiciones“Todos los metales conduce n la electricidad” y “Algunos metales conducen la electricidad”, cuyas simbolizaciones respectivas son: x ( Mx Cx )
y x ( Mx Cx ).
Nuevamente, el valor de verdad de verdad de estas fórmulas cuantificadas dependerá de cuáles y cuántos individuos existan, así como del significado dado a los predicados M y C . Por sencillez, consideremos nuevamente un universo de tres individuos: a, b y c; entonces la proposición universal “Todos los metales conducen la electricidad” equivaldrá a la conjunción “Si a es un metal entonces a conduce la electricidad, si b es un metal entonces b conduce la electricidad, y si c es un metal entonces c conduce la electricidad”:
x ( Mx Cx ) ( Ma Ca ) (Mb Cb ) ( Mc Cc ) Mientras que la proposición particular “Algunos metales conducen la electricidad” equivalldrá a la disyunción “O a es un metal y a conduce la electricidad, o b es un metal y b conduce la electricidad, o si c es un metal y c conduce la
electricidad”: x ( Mx Cx ) (Ma Ca ) (Mb Cb ) ( Mc Cc ) Así, generalizando a universos de n individuos tenemos que: x ( Mx Cx ) ( Ma Ca ) ( Mb Cb )
… ( Mn Cn )
y x ( Mx Cx ) (Ma Ca ) ( Mb Cb )
… ( Mn Cn )
Ahora estamos en posición de explicar cómo se demuestra la validez en lógica de predicados. Tomemos como ejemplo uno de los ejercicios: Todos los ciudadanos que no son traidores están presentes. Todos los oficiales son ciudadanos. Algunos oficiales no están presentes. Luego, hay traidores. (Cx, Tx, Px, Ox) Establecemos nuestro diccionario: Cx: x es un ciudadano, Tx: x es un traidor, Ox: x es un oficial y Px: x está presente. Simbolizando el razonamiento, obtenemos: x [ (Cx Tx ) Px ] x (Ox Cx ) x (Ox Px ) xTx
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Para que este esquema de razonamiento sea válido la conclusión debe ser una consecuencia lógica de las premisas, es decir, que en toda interpretación en la que las premisas sean verdaderas, la conclusión debe ser verdadera también. Hasta el momento hemos considerado universos de dos y tres individuos. Para determinar la validez de un esquema m razonamiento en lógica de predicados debemos considerar un universo que contenga 2 individuos, donde m es el número de predicados del razonamiento, que en el presente ejemplo son cuatro: C , T , O y P . De ahí que nuestro universo constará de 24=16 individuos: [ (Ca Ta ) Pa ] [ (Cb Tb ) Pb ] . . . [ (Ck Tk ) Pk ] (Oa Ca ) (Ob Cb ) . . . (Ok Ck ) (Oa Pa ) (Ob Pb ) . . . (Ok Pk ) Ta Tb . . . Tk , donde k representa al individuo número 16. Para construir la tabla de verdad, debemos contar cuántas fórmulas atómicas hay en el razonamiento. Contemos, pues: Ca, Cb,…, Ck , llevamos 16; Ta, Tb,…, Tk , sumemos otros 16, es decir, 32; Pa, Pb,…, Pk , adicionamos otros 16, llevamos 48; por último, Oa, Ob,…, Ok , añadimos otros 16, y el total es 64. El número de filas de la tabla está dado por 2n, donde n es el número de fórmulas atómicas. Entonces tendrá 264 filas. Tras realizar la operación veremos que nuestra tabla de verdad tendrá tan solo ¡1.8446744071019 filas! No haremos semejante tabla. Demostraremos la validez por un método indirecto, por reducción al absurdo. Suponemos como hipótesis la invalidez del razonamiento, esto es, que la conclusión no es una consecuencia lógica de las premisas, es decir, supondremos que existe una interpretación en la que todas las premisas son verdaderas y la conclusión es falsa. Hipótesis: [ (Ca Ta ) Pa ] . . . [ (Ck Tk ) Pk ] (Oa Ca ) . . . (Ok Ck ) (Oa Pa ) . . . (Ok Pk ) ╞ Ta . . . Tk Ahora asignaremos valores de verdad a las fórmulas atómicas Ca,…, Ck ; Ta,…, Tk ; Pa,…, Pk ; Oa,…, Ok procurando que la hipótesis se cumpla: intentaremos que las premisas sean verdaderas y la conclusión, falsa. Empecemos por la conclusión. Para que la disyunción sea falsa, deben serlo todos sus disyuntos. Entonces I (Ta)=F, I (Tb)=F,…, I (Tk )=F. [ (Ca Ta ) Pa ] . . . [ (Ck Tk ) Pk ] (Oa Ca ) . . . (Ok Ck ) (Oa Pa ) . . . (Ok Pk ) ╞ Ta . . . Tk F
F
Ahora bien, las dos primeras premisas son conjunciones y para que una conjunción sea verdadera, deben serlo todos sus conyuntos: I [(Ca Ta ) Pa ]=V, I [(Cb Tb ) Pb ]=V,…, I [(Ck Tk ) Pk ]=V; y lo mismo con la segunda premisa, I (Oa Ca ) =V, I (Ob Cb ) =V,…, I (Ok Ck ) =V. [ (Ca Ta ) Pa ] . . . [ (Ck Tk ) Pk ] V
V
(Oa Ca ) . . . (Ok Ck ) V
V
(Oa Pa ) . . . (Ok Pk )
╞ Ta . . . Tk F
F
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La tercera premisa es diferente, pues se trata de una disyunción. Para que ésta sea verdadera no es necesario que todos sus disyuntos sean verdaderos, basta con que uno lo sea. Entonces será suficiente con que interpretemos el primer disyunto como verdadero: I (Oa Pa ) =V. [ (Ca Ta ) Pa ] . . . [ (Ck Tk ) Pk ] V
V
(Oa Ca ) . . . (Ok Ck ) V
V
(Oa Pa ) . . . (Ok Pk ) V
╞ Ta . . . Tk F
F
Observemos que Ta no sólo aparece en la conclusión, también lo hace en la primera premisa, por lo cual, si ya la interpretamos como falsa, debemos ser consistentes e interpretarla así también en toda premisas en la que aparezca. [ (Ca Ta ) Pa ] . . . [ (Ck Tk ) Pk ] V F
V
V
(Oa Ca ) . . . (Ok Ck ) V
V
(Oa Pa ) . . . (Ok Pk ) V
╞ Ta . . . Tk F
F
Con los valores asignados será sencillo encontrar interpretaciones para Oa y Pa , pues en la tercera premisa I (Oa Pa ) =V. Entonces I (Oa) =V y I ( Pa ) =V, de aquí que I ( Pa ) =F: [ (Ca Ta ) Pa ] . . . [ (Ck Tk ) Pk ] V F
V
F
V
(Oa Ca ) . . . (Ok Ck ) V
V
V
(Oa Pa ) . . . (Ok Pk ) V V VF
╞ Ta . . . Tk F
F
La segunda premisa nos permitirá “descifrar” la interpretaci ón adecuada para Ca .
Puesto que I (Oa Ca ) =V y
I (Oa) =V, no queda otra opción más que I (Ca) =V: [ (Ca Ta ) Pa ] . . . [ (Ck Tk ) Pk ] V
V F
V
F
V
(Oa Ca ) . . . (Ok Ck ) V
V
V
V
(Oa Pa ) . . . (Ok Pk ) V V VF
╞ Ta . . . Tk F
F
Obsérvese cómo esta última asignación nos conduce a una contradicción en la primera premisa. De los valores que hemos asignado resulta que I (Ca Ta ) = V. Pero entonces el condicional tendría que ser verdadero y falso a la vez:
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[ (Ca Ta ) Pa ] . . . [ (Ck Tk ) Pk ] V V V F V/F F V (Oa Ca ) . . . (Ok Ck ) V
V
V
V
(Oa Pa ) . . . (Ok Pk ) V V VF
╞ Ta . . . Tk F
F
Recordemos que todas las premisas debían ser verdaderas, incluyendo la primera. Por eso cada uno de los conyuntos tenía que ser verdadero, luego I [(Ca Ta ) Pa ]=V; pero con la última asignación esto no se sostiene, pues si I (Ca Ta ) = V e I (Pa ) =F, se sigue que I [(Ca Ta ) Pa ]= F. En consecuencia, la hipótesis fue equivocada y sí hay consecuencia lógica: x [ (Cx Tx ) Px ] , x (Ox Cx ) , x (Ox Px )
Por lo tanto, el razonamiento es válido.
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╞ x Tx
