Instituto Superior del Profesorado “ D r . J oa ” oaqu qu ín V . Gon G onzá zál ez Profesorado de Informática Lógica Informática B (2013)
Práctica 2: Lógica de predicados
proposici onale onal es 1. Dadas las siguientes f un ciones proposici , reemplaza la variable por elementos del dominio tales que las transformen en primer lugar en proposiciones verdaderas y en segundo lugar en proposiciones falsas. i) x fue una provincia argentina ii) x pintó “Guernica” iii) x fue un artista renacentista iv) x2 – 2x – 2x +1= 0 v) x es un escritor argentino vi) x es número primo vii) x >3, con x número real viii) x escribió “El Quijote” ix) x recibió en premio Nobel de Medicina x) x es un cuadrilátero que tiene todos sus lados congruentes xi) x es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de otro llamado centro 2. i. Expresa en lógica de predicados de primer orden cada una de las siguientes proposiciones. Indique en cada caso el dominio de cada función proposicional que declare. ii. Expresa como proposiciones categóricas, aquellas que sea posible. iii. Niega cada una de ellas en lógica de predicados y en lenguaje coloquial. coloquial. iv. Grafica en diagramas de Venn, aquellas que sea s ea posible. a. Algunas materias son fáciles de aprobar. b. Todos los alumnos aprobaron el primer parcial. c. Alguien aprobó el primer parcial, pero no el segundo. d. El alumno de la licenciatura debe estudiar. e. Existen buenos libros. f. No hay libros inútiles. g. Ningún libro es totalmente malo. h. No todos los libros están en castellano. i. Los libros de lógica son más claros que los de álgebra. j. Sólo los libros de lógica son más claros que los de álgebra. k. Algunos exámenes sólo pueden rendirse en marzo o diciembre. l. Algunos exámenes sólo pueden rendirse en 2014. m. Nadie estudió nada. n. Alguien estudió todo. 3. Indica cuáles de los siguientes enunciados corresponden a verdades matemáticas dentro del conjunto de los números naturales (Considera el 0 como número natural): a. xy (x+y = y+x) e. xy (x.y = x) b. xy (x+y = 0) f. xy (x.y = 1) c. xy (yx) xy ( y x) g. xy (x.y = 1) d. xy (x+y = 3 0=1) h. xy (x.y = x + y)
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4. Simboliza los siguientes enunciados en lógica de predicados de primer orden, primeramente sin utilizar cuantificadores existenciales y luego sin utilizar cuantificadores universales: a. No todos los animales comen carne. b. Algunas pájaros comen granos o hierbas. c. Ningún ratón es más pesado que un gato. d. Todo número es negativo o posee raíz cuadrada. 5. Para cada una de las siguientes fórmulas de la lógica de predicados indica: a. Alcance de cada cuantificador b. Variables libres c. Si se trata o no de una proposición d. Para aquellos casos que sean proposiciones, realice una traducción coloquial e. Niegue las proposiciones obtenidas en d. i. x (A(x) B(x)) v. x y A(x,y) ii. x A(x) B(x) vi. x y (A(x,y) B(x)) iii. x A(x) B(a) vii. x y A(x,y) B(x) iv. xy (P(x, y) Q(x)) viii. x (y A(x,y) B(x) 6. Simboliza los siguientes enunciados en lógica de predicados de primer orden, primeramente sin utilizar cuantificadores existenciales y luego sin utilizar cuantificadores universales: e. No todos los libros de matemática tienen más de 100 hojas. f. Algunos libros de inglés son amenos o claros. g. Ningún libro de informática es más pesado que un diccionario. h. Todo libro de poesía es corto o posee un prólogo. 7. Con la función proposicional: M(x,y,z) = “x dijo que y siguió a z ” exprese, si es posible, las proposiciones siguientes. Extrae conclusiones. a. Juan dijo que Luis lo siguió. b. Juan dijo que Luis siguió a todos. c. Juan dijo que él no siguió a nadie. d. Juan no dijo que él siguió a alguien. 8. Niega cada una de las siguientes proposiciones: a. x(P(x) ~Q(x)) b. x y (x + 2y = 0) c. x y (P(x) ~Q(x,y) R(y)) 9. Analiza si son válidas cada una de las siguientes equivalencias: a. ~x y (Q(x) P(x,y)) Q(y) x (y (~(~(Q(x) ~ ~ ~ P(x,y)) ~Q(y)))) b. ~(x y ((Q(x) ~P(x,y)))) (x y(P(x,y)) Q(x)
10. Analiza la validez de cada uno de los siguientes razonamientos y realiza una formulación coloquial de los mismos. a. b. x(P(x) ~Q(x)) x(P(x) ~Q(x)) x(P(x) R(x)) x(P(x) R(x)) x(R(x) Q(x)) x(R(x)) 2
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c.
x(P(x)
~Q(x))
d.
x(Q(x))
~x(P(x) ~Q(x)) x(P(x))
Q(a) x(Q(x) ~P(x)) P(a)
11. Sean los siguientes funciones proposicionales, definidas en el Dom = {figuras planas}, y el razonamiento que se coloca a continuación, se pide: i. Expresa cada proposición como proposición categórica. ii. Expresa cada proposición en lenguaje coloquial. iii. Determina la validez del razonamiento. P(x) = x es un paralelogramo Q(x) = x es un rectángulo R(x) = x es un rombo x(~P(x) Q(x)) x (P(x) Q(x)) ~x(~P(x) (~Q(x) R(x)) x(P(x)) 12. i. Expresa cada uno de los siguientes razonamientos a través de proposiciones categóricas ii. Determina su validez. iii. Aquellos que sean válidos, demostrarlos por método deductivo. iv. Si no son válidos, da un ejemplo de una conclusión que los haga válidos. a. Todas las selvas tropicales tienen color esmeralda. Nada que sea esmeralda está reseco. Por consiguiente, ninguna selva tropical está reseca. b. Todo razonamiento está compuesto por proposiciones. Todo lo que está compuesto por proposiciones merece ser analizado. Por lo tanto, algo que merece ser analizado es un razonamiento. c. Ningún fotógrafo pinta. Todos los que no son fotógrafos son escultores. Por lo tanto, todos los pintores son escultores. d. Todos los epistemólogos son filósofos. Marta es epistemóloga. Por lo tanto, Marta es filósofa. e. Ningún enamorado suspira. Todos los deprimidos suspiran. En consecuencia, nadie que esté deprimido está enamorado. f. Todo ejecutivo que sea poeta es un hombre imaginativo. Todo hombre imaginativo es amante del riesgo. Si todo amante del riesgo no es poeta, entonces, ningún poeta es amante del riesgo. Por consiguiente, si todo hombre imaginativo no es poeta, entonces, ningún ejecutivo es poeta. g. Todos los niños son traviesos, así pues, si Guillermo es un niño, entonces, si todos los seres traviesos son adorables, Guillermo es adorable. 13. A partir de la verdad de “Ningún deportista es vegetariano” ¿qué se puede afirmar acerca de la verdad de las siguientes proposiciones? I. Todos los deportistas son vegetarianos II. Algunos vegetarianos son deportistas III. Ciertos deportistas no son vegetarianos a) I y II son verdaderos y III es falso 3
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b) I y II son falsos pero III es verdadero c) Todos son falsos 14. Demuestra, si es posible, por el método deductivo cada uno de los siguientes razonamientos: a. Todos los múltiplos de pares son enteros. Todos los múltiplos de 4 son pares. Por lo tanto, todos los múltiplos de 4 son enteros. b. Ningún número impar es múltiplo de 4. No hay ningún número triangular que no sea múltiplo de 4. Todo divisor de 107 es impar. De lo anterior se deduce que ningún divisor de 107 es triangular. c. Todas las funciones derivables en R son continuas. Algunas funciones algebraicas son derivables en R. Por lo tanto, algunas funciones algebraicas son continuas en R. d. Algunos números impares son cuadrados perfectos. Algunos positivos son cuadrados perfectos. Por lo tanto, algunos números impares son positivos.
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