Introducci´ o n a la L´ on ogica de Predicados ogica ´ Algebra
Araceli Guzm´ an y Guillermo Garro an
Facultad Fac ultad de Cienc Ciencias ias UNAM
Semestre 2018-1
doyouwantmektalwar.wordpress.com
L´ ogica de Predicados y Cuantificadores
´ Algebra
Algunos ejemplos Poner ejemplos de cuantificadores y propiedades. Ejemplos de como formar propiedades con otras propiedades y los conectivos l´ogicos
L´ ogica de Predicados y Cuantificadores
Principios de verdad para cuantificadores l´ ogicos observacion: Regla de particularizaci´on ∀xp(x) ⇒ ∃xq (x).
´ Algebra
L´ ogica de Predicados y Cuantificadores
´ Algebra
Negaci´on de los cuatificadores (Leyes de De Morgan para cuantificadores) En general, si p (x) es una propiedad, admitimos como axioma que las siguientes proposiciones son verdaderas en todo caso: ¬∀x p(x) ⇔ ∃x ¬ p(x)
y
¬∃x p(x) ⇔ ∀x ¬ p(x).
Tambi´en escribimos x p(x) en lugar de ¬∃x p(x). Ejemplos
L´ ogica de Predicados y Cuantificadores
´ Algebra
Leyes del Asociativas para Cuantificadores Si p(x) y q (x) son propiedades, entonces adimitremos como axiomas que los bicondicionales siguientes son verdaderos en todo caso ∀x( p(x) ∧ q (x)) ⇔ ( ∀x p(x)) ∧ (∀x q (x)) ∃x( p(x) ∧ q (x)) ⇔ ( ∃x p(x)) ∧ (∃x q (x)) . En particular, ∀x( p(x) ∧ q) ⇔ ( ∀x p(x)) ∧ q ∃x( p(x) ∧ q) ⇔ ( ∃x p(x)) ∧ q.
Ejemplos ejemplitos
L´ ogica de Predicados y Cuantificadores
Equivalencias con cuantificadores que
´ Algebra
admitimos como axiomas
no
No obstante, no es posible admitir las siguientes equivalencias como verdaderas en todo caso (¿por qu´e?) ∀x( p(x) ∨ q (x)) ⇔ ( ∀x p(x)) ∨ (∀x q (x)) ∃x( p(x) ∨ q (x)) ⇔ ( ∃x p(x)) ∨ (∃x q (x)) .
Ejemplos ejemplitos
L´ ogica de Predicados y Cuantificadores
´ Algebra
Leyes del Reemplazo Sean p(x) y q (x) un par de propiedades. Entonces admitiremos como axiomas que las proposiciones siguientes son tautolog´ıas: ∀x[ p(x) ⇔ q (x)] ⇔ [ ∀x p(x) ⇔ ∀x q (x)]
(1)
∃x[ p(x) ⇔ q (x)] ⇔ [ ∃x p(x) ⇔ ∃x q (x)]
(2)
Consecuencias Dadas dos propiedades p(x) y q(x) tales que la proposici´on ∀x[ p(x) ⇔ q (x)] es V, entonces el bicondicional ∀x p(x) ⇔ ∀x q (x) es tambi´en tautol´ ogico.
L´ ogica de Predicados y Cuantificadores
´ Algebra
Leyes del Reemplazo Ejemplo De acuerdo a las leyes de De Morgan (de la l´ogica proposicional), se tiene que la proposici´ on siguiente es V:
∀x ¬[ p(x) ∧ q (x)] ⇔ [ ¬ p(x) ∨ ¬q(x)]
Por lo tanto, de acuerdo a la regla (1), y a los principios de negaci´on de los cuantificadores expuestos anteriormente, se sigue que los bicondicionales siguientes son tautol´ ogicos: ¬∃x[ p(x) ∧ q (x)] ⇔ ∀x¬[ p(x) ∧ q (x)] ⇔ ∀x[¬ p(x) ∨ ¬q (x)] Por transitividad, el bicondicional ¬∃x[ p(x) ∧ q(x)] ⇔ ∀x[¬ p(x) ∨ ¬q(x)] es tautol´ ogico.
L´ ogica de Predicados y Cuantificadores
´ Algebra
Leyes del Reemplazo Sean p(x) y q (x) un par de propiedades. Entonces admitiremos como axiomas que las proposiciones siguientes son tautolog´ıas: ∀x( p(x) ⇔ q (x)) ⇔ [ ∀x p(x) ⇔ ∀x q (x)]
(1)
∃x( p(x) ⇔ q (x)) ⇔ [ ∃x p(x) ⇔ ∃x q (x)]
(2)
Consecuencias De la misma forma podemos deducir todas las leyes de De Morgan para cuantificadores: ¬∃x[ p(x) ∧ q(x)] ⇔ ∀x[¬ p(x) ∨ ¬q(x)] ¬∃x[ p(x) ∨ q(x)] ⇔ ∀x[¬ p(x) ∧ ¬q(x)] ¬∀x[ p(x) ∧ q(x)] ⇔ ∃x[¬ p(x) ∨ ¬q(x)] ¬∀x[ p(x) ∨ q(x)] ⇔ ∃x[¬ p(x) ∧ ¬q(x)]
L´ ogica de Predicados y Cuantificadores
Leyes del Reemplazo Ejemplos ejemplitos
´ Algebra
L´ ogica de Predicados y Cuantificadores
´ Algebra
Leyes del Reemplazo Los condicionales siguientes son tautol´ogicos: ∀x[ p(x) ⇒ q (x)] ⇒ ∀x[¬ p(x) ∨ q (x)] ⇒ ∀x¬ p(x) ∨ ∀xq (x) ⇒ ∃x¬ p(x) ∨ ∀xq (x) ⇒ ¬∀xp(x) ∨ ∀xq (x) ⇒ ( ∀xp(x) ⇒ ∀xq (x)) Por transitividad, el condicional ∀x[ p(x) ⇒ q(x)] ⇒ [ ∀xp(x) ⇒ ∀xq (x)] es tautol´ ogico. Consecuencias Si dadas dos propiedades p(x) y q(x) se tiene que la proposici´on ∀x[ p(x) ⇒ q (x)] es siempre V, entonces el condicional ∀
( )
∀
( )
L´ ogica de Predicados y Cuantificadores
´ Algebra
Leyes del Reemplazo
∃xp(x) ⇒ ∃xq (x) ⇒ ¬∃xp(x) ∨ ∃xq (x) ⇒ ¬∀xp(x) ∨ ¬∀x¬q(x) ⇒ ¬ (∀xp(x) ∧ ∀x¬q (x)) ⇒ ¬∀x ( p(x) ∧ ¬q (x)) ⇒ ∃x (¬ p(x) ∨ q (x)) ⇒ ∃x( p(x) ⇒ q (x))
L´ ogica de Predicados y Cuantificadores
´ Algebra
Leyes del Reemplazo Ejemplo (Transitividad del condicional y el cuantificador universal) Sean p(x), q(x) y r(x) propiedades. La proposici´on
∀ ( ( ) ⇒ x
es siempre V.
p x
( )) ⇒ [ ( ) ⇒
q (x)) ∧ (q (x) ⇒ r x
p x
( )]
r x
En consecuencia, el condicional
∀ ( ( ) ⇒ x p x
es tambi´en tautol´ ogico.
( )) ⇒ ∀
q (x)) ∧ (q(x) ⇒ r x
x [ p(x) ⇒ r(x)]
L´ ogica de Predicados y Cuantificadores
´ Algebra
Principio de permutaci´on para cuantificadores iterados Supongamos que p (x, y) es una propiedad en dos variables x y y . Entonces admitiremos como axiomas que las siguientes proposiciones son verdaderas en todo caso: ∀x∀y p (x, y ) ⇔ ∀y ∀x p(x, y ) ∃x∃y p (x, y ) ⇔ ∃y ∃x p(x, y ). Aplicadamente a los conjuntos, se toman propiedades p(x, y) que se refiere a los elementos x de un conjunto A y los elementos y de un conjunto B , donde A y B no son necesariamente distintos. Entonces admitiremos como axiomas que las proposiciones siguientes son verdaderas en todo caso (∀x ∈ A)(∀y ∈ B ) p(x, y ) ⇔ ( ∀y ∈ B )(∀x ∈ A) p(x, y ) (∃x ∈ A)(∃y ∈ B ) p(x, y ) ⇔ ( ∃y ∈ B )(∃x ∈ A) p(x, y )
L´ ogica de Predicados y Cuantificadores
´ Algebra
Principio de permutaci´on para cuantificadores iterados Supongamos que p (x, y) es una propiedad en dos variables x y y . Entonces admitiremos como axiomas que las siguientes proposiciones son verdaderas en todo caso:
Ejemplo
∀x∀y p (x, y ) ⇔ ∀y ∀x p(x, y )
La proposiciones
∃x∃y p (x, y ) ⇔ ∃y ∃x p(x, y ).
(∀x ∈ R )(∀y ∈ R ) x2 − y2 = (x − y )(x + y ) Aplicadamente a los conjuntos, se toman propiedades p(x, y) que se refiere a los elementos x de un conjunto A y los elementos y de un conjunto B , donde A y B no son (∀y ∈ R )(∀x ∈ R ) x2 − y2 = (x − y )(x + y ) necesariamente distintos. Entonces admitiremos como axiomas que las proposiciones son equivalentes. Detodo hecho verdaderas, en cuanto que la factorizaci´ on siguientes son verdaderas en caso
2 x− x + y )∀x ∈ A) p(x, y ) = y )( ⇔ B )( (∀x ∈ A)(∀y ∈x2B− ) py(x, ( ∀yy)(∈
(∃x ∈ A)(∃y ∈ B ) p(x, y ) ⇔ ( ∃y ∈ B )(∃x ∈ A) p(x, y ) es v´ alida para cualesquiera n´umeros reales x y y .
L´ ogica de Predicados y Cuantificadores
´ Algebra
Principio de permutaci´on para cuantificadores iterados Supongamos que p (x, y) es una propiedad en dos variables x y y . Entonces admitiremos como axiomas que las siguientes proposiciones son verdaderas en todo caso: ∀x∀y p (x, y ) ⇔ ∀y ∀x p(x, y ) ∃x∃y p (x, y ) ⇔ ∃y ∃x p(x, y ). Aplicadamente a los conjuntos, se toman propiedades p(x, y) que se refiere a los elementos x de un conjunto A y los elementos y de un conjunto B , donde A y B no son necesariamente distintos. Entonces admitiremos como axiomas que las proposiciones siguientes son verdaderas en todo caso (∀x ∈ A)(∀y ∈ B ) p(x, y ) ⇔ ( ∀y ∈ B )(∀x ∈ A) p(x, y ) (∃x ∈ A)(∃y ∈ B ) p(x, y ) ⇔ ( ∃y ∈ B )(∃x ∈ A) p(x, y )
No obstante, ⇔ ( ∃y ∈ B )(∀x ∈ A) p(x, y). (∀x ∈ A)(∃y ∈ B ) p(x, y )
L´ ogica de Predicados y Cuantificadores
´ Algebra
Principio de permutaci´on para cuantificadores iterados Supongamos que p (x, y) es una propiedad en dos variables x y y . Entonces admitiremos como axiomas que las siguientes proposiciones son verdaderas en todo caso: Ejemplo ∀x ∀0y} (de p (x, ytodos y ∀xn´ pu(meros x, y ) reales menos el cero). Sea ) ⇔ ∀los Consideremos el conjunto R \{ ∃x∃y p (x, y ) ⇔ ∃y ∃x p(x, y ). la propiedad en dos variables p(x, y ) : xy = 1.
Aplicadamente a los conjuntos, se toman propiedades p(x, y) que se refiere a los eleEntonces que laAafirmaci´ on mentos conjunto y los elementos x deesunclaro y de un conjunto B , donde A y B no son necesariamente distintos. Entonces admitiremos como axiomas que las proposiciones ∀xtodo ∈ R \{ 0})(∃y ∈ R \{0})(xy = 1) siguientes son verdaderas (en caso es verdadera. (Pero ∀x ∈ A)(∀y ∈ B ) p(x, y ) ⇔ ( ∀y ∈ B )(∀x ∈ A) p(x, y ) ⇔ ∃\{ ∃x= ∈1)A) p(x, y ) B\{ y∈ (∃x ∈ A)((∃ ) p(0x, ∃y ∈ R })(y∀)x ∈ ( R y∈ 0}B )()( xy Noesobstante, falsa. ⇔ ( ∃y ∈ B )(∀x ∈ A) p(x, y). (∀x ∈ A)(∃y ∈ B ) p(x, y )
L´ ogica de Predicados y Cuantificadores
´ Algebra
Principio de permutaci´on para cuantificadores iterados Supongamos que p (x, y) es una propiedad en dos variables x y y . Entonces admitiremos como axiomas que las siguientes proposiciones son verdaderas en todo caso: Teorema
La proposici´on
∀x∀y p (x, y ) ⇔ ∀y ∀x p(x, y ) ∃y\{ ∃y\{ ∃x0p}()(x,xyy )= p0 . 1) (x, ∈x R })(y∃)y ⇔∈ R (∀x∃
es verdadera Aplicadamente a los conjuntos, se toman propiedades p(x, y) que se refiere a los elementos un x de o Demostraci´ n.conjunto A y los elementos y de un conjunto B , donde A y B no son necesariamente distintos. admitiremos como axiomas que las proposiciones Si x es un n´umero real y Entonces x = 0, entonces siguientes son verdaderas en todo caso x 1 x = (∀x ∈ A)(∀y ∈ B ) p(x,xy ) ⇔ (x∀y=∈1.B )(∀x ∈ A) p(x, y )
(∃x ∈ A)(∃y ∈ B ) p(x, y ) ⇔ ( ∃y ∈ B )(∃x ∈ A) p(x, y ) (Esto es, y = 1 ). No obstante, x
⇔ ( ∃y ∈ B )(∀x ∈ A) p(x, y). (∀x ∈ A)(∃y ∈ B ) p(x, y )
L´ ogica de Predicados y Cuantificadores
´ Algebra
Teorema
La proposici´ on Principio de permutaci´ on para cuantificadores iterados (∃y ∈ R \{0})(∀x ∈ R \{0})(xy = 1)
es falsa. que p (x, y) es una propiedad en dos variables x y y . Entonces admitiremos Supongamos como axiomas que las siguientes proposiciones son verdaderas en todo caso: Demostraci´ on. ∀x∀y p (x, y ) ⇔ ∀y ∀x p(x, y ) Supongamos que es verdadera, esto es, que para alg´un n´ umero real y = 0, se cumple ∃x∃yreal ∃y ∃particular, p (x,xy x p(x, y ). ) ⇔ que xy = 1, para todo n´umero = 0; en y 2 = yy = 1.
Aplicadamente a los conjuntos, se toman propiedades p(x, y) que se refiere a los elementos los−elementos unprimero, conjuntoseBsigue , donde y B no son x de yun=conjunto y delo De donde ´ bienAy y = queA para todo 1 o 1. Si sucede necesariamente distintos. Entonces admitiremos como axiomas que las proposiciones n´ umero real x = 0, siguientes son verdaderas en todo caso x = x1 = xy = 1. En particular, (∀x ∈ A)(∀y ∈ B ) p(x, y ) ⇔ ( ∀y ∈ B )(∀x ∈ A) p(x, y ) 2 = 1. (∃x ∈ A)(∃y ∈ B ) p(x, y ) ⇔ ( ∃y ∈ B )(∃x ∈ A) p(x, y ) Y si sucede lo segundo, se sigue que para todo n´umero real x = 0, No obstante, −x = x(−1) = xy = 1. ⇔ ( ∃y ∈ B )(∀x ∈ A) p(x, y). (∀x ∈ A)(∃y ∈ B ) p(x, y ) En particular, 2 = 1. Ambos casos son absurdos.
