Algebra de Predicados

Curso: Matemáticas Discretas

4.- Cuantificadores 4.1 Cuantificador Universal y Existencial:

En esta esta unidad unidad nos ocupar ocuparemo emos s de estudi estudiar ar las propo proposic sicion iones es abiert abiertas, as, que como ya sabemo sabemos s son expresiones que contienen variables. Empecemos por explicar el concepto de variable en términos de lo que ya conocemos. Dado un conjunto S, llamado universo ó dominio dominio de discusión discusión, una variable es un símbolo que representa a cualquier elemento de S. Si dicho conjunto consta de un sólo elemento, al símbolo le llamaremos constante. Por ejemplo: ejemplo: Si p(x) = "x es verde", se debe debe establecer establecer el dominio de x, que podrá ser el conjunto conjunto de pizarrones, libros, animales, etc. Este dominio S se establece al igual que el conjunto universo al principio de la discusión de un problema y contiene a todos los elementos que seran tratados en dicho problema. Las proposiciones proposiciones abiertas las podemos representar representar por p(x), q(x), r(x), etc. donde x ∈S es la variable y recordemos que cada proposición se se puede identificar con el conjunto P = { x ∈S | p(x) }. Este conjunto conjunto consta consta precisament precisamente e de los elementos elementos en S que convierten convierten a la proposición proposición p(x) en verdadera verdadera y ~P contiene por lo tanto a los elementos para los cuales p(x) es falsa. Al conjunto P se le llama conjunto de verdad de la proposición. Consideremos p(x): x2 = 1; el dominio de x debe ser establecido, pues P puede cambiar en distintos dominios. Por ejemplo, si S= R entonces P = { -1, 1 } y ~P = R - { -1, 1 }; si S= N entonces P = { 1 } y el conjunto conjunto ~P = { 2, 3, 4, ... }. Ejercicios: Encuentre los conjuntos de de verdad de p(x): x2 + x = 0 en: a).- S= N. b).- S= R. c).- S= { 1, 2, 3, ..., 9 } d).- S= { 0, 1 } e).- S= { 0, 1, 2, 3 } f ).- S= { 1, 2, 3, 5, 6, 7 } De una proposición abierta p(x) en donde x ∈S, se desprenden dos proposiciones lógicas al generalizar ó particularizar la proposición p(x). Definición Definición 1: Cuantificador Cuantificador Universal. Dada Dada una propos proposici ición ón abiert abierta a p(x), p(x), en donde donde x∈S, es la expresión que resulta verdadera si el conjunto de de verdad P = S y falsa si P ≠ S. Se representa por (∀x) p(x) y se lee " para toda x, p(x) ".

Con la expresión (∀x) p(x) estamos afirmando que que p(x) se cumple para para todos los elementos del dominio S, por lo que será verdadera verdadera sólo si todas las x convierten a la proposición en verdadera. Definición 2: Cuantificador Existencial. Si p(x) es una proposición abierta, la expresión lógica que resulta verdadera verdadera si el conjunto de verdad verdad P ≠ ∅ y falsa si P = ∅ se le representa por (∃x) p(x) y se lee " existe una x tal que ".

En otras palabras, con un elemento del dominio S que convierta a la proposición p(x) en verdadera, la expresión (∃x) p(x) será verdadera, pero pero por supuesto puede haber más; así que este este símbolo se puede interpretar en español como "al menos uno". Con esto podemos redefinir el concepto de fórmula como sigue: si: Definición 3: f es una fórmula si:


a).- f b).- f c).- f d).- f e).- f f ).- f

es una proposición lógica. es una proposición abierta. es la negación de una fórmula. es g Op h donde g y h son fórmulas y Op es un operador binario. es de la forma (∀x) g; donde g es una fórmula. es de la forma (∃x) g; donde g es una fórmula.

Ninguna otra expresión es una fórmula, a menos que se pueda obtener en forma recursiva en un número finito de pasos del tipo a) al f ). Ejercicio: Encuentre los valores de verdad de ( ∀x) ( x2 + x = 0 ) en los incisos a-f del ejercicio 1. 4.2 Negación:

De las definiciones de cuantificadores se puede ver inmediatamente que están relacionados muy directamente mediante la negación. Teorema 1: i ).- ~(∀x) p(x) ≈ (∃x) ~p(x). ii ).- ~(∃x) p(x) ≈ (∀x) ~p(x).

Demostración: Sea P el conjunto de verdad de p(x) en el dominio S. i ).- basta notar que ~( P = S ) es P ≠ S, pero esto es precisamente ~P ≠ ∅ . ii ).- igualmente ~( P ≠ ∅ ) es P = , que es lo mismo que ~P = S. Combinando estos resultados con las equivalencias vistas en la primera unidad obtenemos diversas formas de expresar negaciones usando cuantificadores. Por ejemplo: ~(∀x) ( p(x) → q(x) ) ≈ (∃x) ( p(x) ∧ ~q(x) ) ~(∃x) ( p(x) ∧ q(x) ) ≈ (∀x) ( ~p(x) ∨ ~q(x) ) ≈ (∀x) ( p(x) → ~q(x) ) Ejercicio: Negar las siguientes expresiones: a).- Todos los leones son feroces. b).- Algunos sabios no toman café. c).- Ningún delincuente es justo. d).- Mi casa es de color blanco. e).- Los peces no respiran fuera del agua. También podemos ver que cualquiera de los enunciados en el ejercicio anterior se puede clasificar dentro de alguna de las siguientes cuatro formas: ( ∀x ) ( p(x) → q(x) ) ( ∀x ) ( p(x) → ~q(x) )


( ∃x ) ( p(x) → q(x) ) ( ∃x ) ( p(x) → ~q(x) ) El estudio de estas cuatro formas, que representan la mayor parte de los juicios o enunciados del español, sus negaciones y las inferencias que se pueden obtener son paarte de la lógica clásica y la mayoría de sus leyes se atribuyen a Aristóteles. En la sección 4.5 se verán los silogismos, que es una forma de argumento que usa las expresiones anteriores. Ejercicio: Escriba las expresiones del ejercicio anterior y sus negaciones usando únicamente las cuatro formas anteriores. 4.3 Diagramas de Venn-Euler:

Recordemos que una forma útil de representar conjuntos en un universo S es mediante diagramas de Venn-Euler. Si tenemos una proposición abierta p(x) donde x ∈S, la figura siguiente representa el conjunto de verdad de p(x) y el dominio S:

Las proposiciones abiertas precedidas de un cuantificador también las representamos por diagramas de Venn, pero en una forma distinta a la de la sección 2.4. Si la proposición abierta está precedida por un cuantificador universal se sombrea ( elimina ) la región donde no puede haber elementos si la proposición es verdadera; y para el cuantificador existencial se indica con una x ( nombre de la variable ) el lugar ( la zona ) donde debe estar algún elemento del dominio para que la expresión sea verdadera. Ejemplo: Para una expresión abierta simple tendremos:

Esto se puede aplicar por supuesto a expresiones con más de una proposición abierta. Ejemplo: Grafique mediante un diagrama de Venn: 1.- ( ∀x ) ( p(x) → q(x) )


2.- ( ∀x ) ( p(x) → ~q(x) )

3.- ( ∃x ) ( p(x) ∧ q(x) )

4.- ( ∃x ) ( p(x) ∧ ~q(x) )

En los diagramas, P y Q son los conjuntos de verdad de p(x) y q(x). En el caso del cuantificador existencial, si el conjunto donde debe haber un elemento está representado por varias regiones en el diagrama, conectamos variables en dichas regiones mediante segmentos, que indican que es suficiente que x esté en por lo menos una de las regiones. Ejemplo: Representar por diagramas de Venn las siguientes expresiones: 1).- ( ∃x ) ( p(x) ∨ q(x) )


2).- ( ∃x ) ( p(x) ↔ q(x) )

3).- ( ∃x ) ( p(x) → q(x) )

Ejercicio: Representar por medio de diagramas de Venn: 1).- ( ∀x ) ( p(x) ∨ q(x) ) 2).- ( ∀x ) ( p(x) ∧ q(x) ) 3).- ( ∀x ) ( p(x) ⊗ q(x) ) 4).- ( ∀x ) ( p(x) ↔ q(x) ) 5).- ( ∃x ) ( p(x) / q(x) ) 6).- ( ∃x ) ( p(x) ↔ q(x) ) 7).- ( ∃x ) ( p(x) ∨ q(x) ) 8).- Grafique las negaciones de las proposiciones anteriores.

4.4 Inferencia:

Cuando trabajamos con proposiciones que son formadas por proposiciones abiertas y cuantificadores en un argumento; se puede ver por medio de diagramas de Venn cuándo una conclusión es consecuencia de las premisas. Esto es, el diagrama de la conclusión se debe satisfacer ( coincidir) con el diagrama formado por la conjunción de las premisas. Por ejemplo, consideremos el siguiente argumento: Todos los hombres cometen errores. Todos lor reyes son hombres. por lo tanto: Todos los reyes cometen errores.


Si lo representamos simbolicamente: Sean r(x): x es rey. h(x): x es hombre. e(x): x comete errores. el argumento se representa: P ( ∀x ) ( h(x) → e(x) ) P ( ∀x ) ( r(x) → h(x) ) C ( ∀x ) ( r(x) → e(x) ). Sean R, E, y H los conjuntos de verdad de r(x), e(x) y h(x) respectivamente. Entonces el diagrama de la conjunción de las premisas será:

Claramente este diagrama incluye al diagrama de la conclusión; esto es, la conclusión es verdadera en este diagrama, lo que muestra que el argumento es válido. Para demostrar formalmente que el argumento es válido recordemos que la condicional en lógica de proposiciones es el equivalente a ⊂ en teoría de conjuntos, por lo que el argumento también se puede enunciar así: P : { x | x es hombre } ⊂ { x | x comete errores } o H⊂E P : { x | x es rey } ⊂ { x | x es hombre } o R⊂H C : { x | x es rey } ⊂ { x | x comete errores} o R ⊂ E lo cual se ve claramente que es válido. Sin embargo, nuestro principal interés en esta sección es acostumbrarnos al uso de los diagramas de Venn. Ejemplo 1: Mostrar por medio de diagramas de Venn que los siguientes argumentos son válidos: a).- ( ∀x ) ( p(x) → q(x) ), ( ∀x ) ( q(x) → r(x) ), ( ∃x ) q(x) | ( ∃x ) ( p(x) ∨ r(x) ) b).- ( ∃x ) p(x), ( ∀x )( p(x) ∧ q(x) ) | ( ∃x ) q(x) Sean P, Q, R los conjuntos de verdad de p(x), q(x) y r(x). a).- el diagrama de conjunción de premisas es:


donde vemos que la conclusión ( ∃x ) ( p(x) ∨ q(x) ) es verdadera. b).- el diagrama de premisas es:

por lo que el argumento claramente es válido. Ejemplo 2: Compruebe que los siguientes argumentos no son válidos: a).- ( ∀x ) ( p(x) → ~q(x) ), ( ∀x ) ( q(x) → r(x) ) | ( ∃x ) ( r(x) ∧ ~p(x) ) b).- Todos los políticos aman el poder. Algunos hombres que aman el poder, aman la violencia. Por lo tanto, algunos politicos aman la violencia. a).- Sean P, Q y R los conjuntos de verdad de p(x), q(x) y r(x) respectivamente; el diagrama de premisas es:

Del diagrama no se concluye que haya un x que esté en R y no esté en P. Por lo tanto el argumento no es válido. b).- Sea p(x) : x es político q(x) : x ama el poder v(x) : x ama la violencia entonces el argumento lo podemos escribir de la siguiente forma: P: ( ∀x ) ( p(x) → q(x) )


P: ( ∃x ) ( q(x) ∧ v(x) ) C: ( ∃x ) ( p(x) ∧ v(x) ) el diagrama de las premisas con P, Q y V como conjuntos de verdad de las proposiciones abiertas es:

De este diagrama no se desprende la conclusión pues el diagrama se cumple si no hay elementos en el area de P∩Q∩V con tal de que haya elementos en P ∩V. Por lo que P∩V puede ser el conjunto vacio y la conclusión es falsa. Ejemplo 3: Encuentre el valor de verdad de las siguientes expresiones: a).- [( ∃x ) ( p(x) ∨ ~q(x) )] ∧ [( ∀x ) ~p(x)] ∧ [( ∀x ) q(x)] b).- [~( ∃x ) p(x)] ∧ [( ∃x ) ( p(x) ∧ ~q(x) )] ∧ [( ∃x ) q(x)] Solución: a).- Comparando el diagrama de la primera proposición con el diagrama de las dos últimas proposiciones vemos que existe una contradicción, o sea, la primera es verdadera donde las otras dos son falsas, entonces el valor de verdad de la expresión completa es siempre falso.

b).- Analizando la primera y segunda expresión, vemos que hay contradicción:

Ejercicios: Diga si los siguientes argumentos son válidos. Muestre su respuesta mediante un diagrama. 1.- Todos los tigres son peligrosos. Algunos seres peligrosos viven en la ciudad. Por lo tanto, algunos tigres viven en la ciudad.


2.- Existe una solución mayor que 1 o menor que -1. No hay soluciones mayores que 1. Por lo tanto, existe una solución menor que -1. 3.- El oro es pesado. Nada excepto el oro lo silenciará. Por lo tanto, nada que no sea pesado lo silenciará. 4.- Todos los leones son feroces. Algunos leones no toman café. Por lo tanto, algunos seres que toman café o son feroces. 4.5 Silogismos:

Recordemos las cuatro expresiones que vimos en la sección 4.2, éstas son: A : ( ∀x ) ( p(x) → q(x) ) E : ( ∀x ) ( p(x) → ~q(x) ) I : ( ∃x ) ( p(x) ∧ q(x) ) O : ( ∃x ) ( p(x) ∧ ~q(x) )

Universal Afirmativa Universal Negativa Particular Afirmativa Particular Negativa

con estas formas se pueden construir lo que en lógica tradicional se llama silogismo, utilizando tres de ellos de la siguiente manera: Definición: Un silogismo es un argumento de tres proposiciones del tipo A, E, I, O con las siguientes condiciones: i ).- las primeras dos son las premisas y la última es la conclusión. ii ).- las dos premisas tienen una proposición abierta en común llamada término medio. iii ).- la primera premisa y la conclusión tienen una proposición abierta en común llamada término mayor . iv).-la segunda premisa y la conclusión tienen una proposición abierta en común llamada término menor .

Para analizar las posibles formas del silogismo, escribimos primero el término menor ydespués el término mayor en la conclusión. Así que sólamente hay cuatro arreglos posibles para formar silogismos; estos son:

Por ejemplo, el primer argumento de la sección anterior cuya conclusión era que los reyes cometen errores tiene la forma I ; e(x) es el término mayor, r(x) es el menor y h(x) el término medio. Además, tanto las premisas como la conclusión son expresiones del tipo A ( Universal Afirmativa ); éste silogismo se puede clasificar entonces como I - AAA. Se puede ver que hay 256 silogismos posibles de los cuales sólo 15 son válidos. Estos son:


I .-

AAA, Barbara,

EAE, Celarent,

AII, Darii,

II .-

EAE, Cesare,

AEE,

III .-

IAI, Disamis,

AII, Datisi,

OAO, Bocardo,

IV .-

AEE, Cameses,

IAI, Dimarisa,

EIO Fresision

EIO, Camestres,

EIO Ferio AOO Festino,

Baroco

EIO Ferison

Hay muchas leyes generales que se pueden establecer acerca de los silogismos, algunas de ellas se le atribuyen a Aristóteles y todavía se estudian en cursos de lógica tradicionales; como por ejemplo: a) .- Si las dos premisas son negativas, el silogismo no es válido. b) .- Si una premisa es negativa en un silogismo válido, entonces la conclusión es negativa. c) .- Si las premisas son particulares, el silogismo no es válido. etc... Otra regla importante es que de dos premisas universales, no se puede concluir una particular. ¿Por qué? Esto no fué considerado por los logistas de otras épocas y consideraban las siguientes formas como válidas: I .-

AAI, Barbari,

EAO Celaront

II .-

EAO, Cesaro,

AEO

III .-

AAI, Daripti,

EAO Felapton

IV .-

AAI, Bramantip,

EAO, Fesapo,

Camestros

AEO Camenos

Ejemplos: ( Lewis Carroll ) 1 .- Toda avispa es no amigable. Todo cachorro es amigable. Por lo tanto: Todo cachorro no es avispa. Sean: a(x): x es avispa. n(x): x es no amigable. c(x): x es un cachorro. el silogismo es: A: ( ∀x ) ( a(x) → n(x) ) E: ( ∀x ) ( c(x) → ~n(x) ) E: ( ∀x ) ( c(x) → ~a(x) ) el diagrama muestra claramente que sí es válido el silogismo:


2 .- Todas las águilas pueden volar. Algunos puercos no pueden volar. Por lo tanto: Algunos puercos no son águilas. Sean: a(x): x es águila. v(x): x puede volar. p(x): x es puerco. el silogismo es: A: ( ∀x ) ( a(x) → v(x) ) O: ( ∃x ) ( p(x) ∧ ~v(x) ) O: ( ∃x ) ( p(x) ∧ ~a(x) ) y el diagrama muestra que la conclusión se desprende de las premisas, por lo que el argumento es válido:

Ejercicios: 1.- Diga si el siguiente silogismo es válido: Ningún sapo es poético. Algunos patos no son poéticos. Por lo tanto: Algunos patos no son sapos. 2.- Compruebe que la forma I no es válida si las premisas son de la forma Universal Negativa. 3.- ¿Qué condición suponían los logistas antiguos para que I .- AAI, EAO; II .- EAO, AEO; III .- AAI, EAO; y IV .- AAI, EAO, AEO fueran silogismos válidos?

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