Lógica de Predicados

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3.2 Lógica de predicados Predicados de primer orden Lenguaje formal de la lógica de predicados (sintaxis) Cuando decimos “Pitágoras nació en Grecia” declaramos una proposición. Esta proposición tiene dos componentes componentes principales: Pitágoras nació en Grecia Sujeto Término

predicado

El término es término es el objeto al cual se refiere la proposición, en este caso, Pitágoras. Y el  predicado es  predicado es el que expresa algo sobre el término en la proposición. Una proposición con predicado se forma al unir por lo menos un término con un predicado. Estas uniones pueden ser de dos formas: a. Si en la proposición el predicado expresa una propiedad o cualidad  verificada por el término término se llama llama cópula afirmativa. afirmativa.  b. Si en proposición la propiedad expresada por el predicado no es  verificada por el término término se llama llama cópula negativa. negativa. Los predicados se representan mediante letras mayúsculas y los términos mediante letras minúsculas. Ejemplo:  p : Pitágoras  H ( −) : nació en Grecia El predicado es:  H ( p ) : Pitágoras nació en Grecia Un predicado es una proposición en la que se afirma o se niega algo de uno o varios objetos que son los términos del predicado. El lenguaje formal de la lógica de predicados está formado por tres elementos: términos, predicados y conectivos. 1. Términos. Según el objeto referenciado ( de quien se esté hablando ) el objeto puede ser de tres tipos: a. Término constante.  constante.   El objeto referenciado es algo o alguien específico.  H ( p ) : Pitágoras nació en Grecia.  b. Término variable. El objeto referenciado no es algo o alguien específico. F ( x ) :  x es mayor  que 3 c. Término función.  función.  El objeto referenciado viene dado por otro objeto. G ( x, y ) : La hermana mayor de Nazira se llama Leyla. La hermana mayor de  x  se llama  y . 79

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Si un término se refiere a todos los objetos que verifican una propiedad expresada en el predicado, se le llama Término universal. En universal. En caso contrario, cuando el término no se refiere a todos los objetos se le llama Término existencial o particular. 2. Predicados. Predicados. En función del número de términos referenciados, el predicado puede ser: a. Monádico  Monádico  o de atribución de propiedades a sujeto. Es el predicado al que se refiere a un único término.  H ( p) : Pitágoras nació en Grecia.  b. Poliádico o de relación entre términos. Es el predicado que se refiere a más de un término. F ( x ) :  x es mayor  que 3 . G ( x, y ) : La hermana mayor de Nazira se llama Leyla. La hermana mayor de  x  se llama  y . Los predicados pueden ser: contradictorios o contrarios recíprocamente: Son contradictorios  contradictorios   uno del otro si cada uno de ellos se verifica en todos los objetos que no verifican el otro. Ejemplo: F ( x )  y G ( x )  son predicados contradictorios F ( x) : Esa pared es blanca contradictorios G ( x) : Esa pared no es blanca Son contrarios  contrarios   uno del otro si no pueden verificarse en un mismo objeto pero puede existir un objeto que no verifica ni uno ni otro. Ejemplo: F ( x, y ) : Leyla es la hermana mayor de Nazira F ( x, y )  y G ( x, y )  son predicados contrarios G ( x, y ) : Leyla es la hermana menor de Nazira 3. Conectivos. Conectivos . Negación, conjunción, disyunción, implicación,  bicondicional:  bicondicional: a. Negación ¬  H ( p) : Pitágoras no nació en Grecia  b. Conjunción  H ( p ) : Pitágoras nació en Grecia y fue un gran matemático c. Disyunción F ( x, y ) : Leyla 0 es la hermana mayor de Nazira o es la hermana menor. d. Implicación G ( x ) : si esa pared es blanca entonces yo necesito lentes. e. Bicondicional G ( x ) : esa pared se ve blanca sí y sólo sí le da la luz.

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Cuantificadores Existen cuatro maneras de unir términos con predicados para obtener proposiciones: afirmativo): Término Término universal con cópula cópula afirmativa afirmativa •  A (universal afirmativo): “Todo…es…” • E (universal negativo): Término universal con cópula negativa “Ninguno… es…” • I (existencia afirmativo): Término existencial con cópula afirmativa “Alguno… es…” O (existencial negativo): Término existencial con cópula negativa • “Algún… no es…” Ejemplo: dominio D: todas las personas.  M ( x) :  es mortal (predicado) en el dominio  A: Todas las personas personas son mortales mortales ∀ xM ( x ) E: Ninguna persona es mortal ∀ x ¬ M ( x) I: Alguna persona es mortal ∃ xM ( x) O: Alguna persona no es mortal ∃ x ¬ M ( x)

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Proposición abierta: abierta: P: x es mayor que uno P ( x ) :  x > 1 P (3) : V 

P(5) : V 

P(0) : F  ⇒

no siempre es verdadero no siempre es falso

P: para algunos valores de x, x es mayor que uno ∃ x

→

cuantificador: cuantificador: “para algunos” “existe por lo menos uno”

⇒  Una frase declarativa es una proposición abierta si 1. contiene una o más variables 2. no es una proposición, pero 3. se convierte en una proposición cuando la variable que aparece se reemplaza por un valor o algo permisible Lo permisible se encuentra en:

un universo, universo de discurso

Universo contiene la opción que se puede considerar o permitir para la variable o  variable que interviene interviene en la proposición proposición abierta  p ( x ) :  x − 3  es un número impar dentro de los reales. U  = Re

∃ x P

( x )

q( x,  y ) :  y − 3  es un número impar y  x + 2 es un número entero dentro de los reales.

(

∃ xy q  x,  y

U  = Re

) ∃ →  existencial: existe como

Cuantificadores ∀→

universal: para todos

Ejemplos: 2

2

∀ x

sen  x + cos x

∃ x , y

 x

2

+

y

Si ∀ x  es V

2

=

=1

41 la suma suma de dos cuadrados cuadrados es 41  x = 4

⇒ ∃ x es verdad

Si ∃ x  es F ⇒ ∀x  es falso ∀ xp ( x ) ⇒ ∃ xp ( x ) :  Significa que

( )

Si ∀ xp  x  es verdad entonces ∃ x es verdadero ⇒:  implica lógicamente (con respecto al valor de verdad) 82

 y = 5

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En una implicación Proposición : ∀ x

[ p( x ) → q( x )]

[ ( ) ( )] ∀ x[q( x ) →  p ( x )]

Contrapositiva: ∀ x ¬q  x → ¬ p  x Recíproca:

[ ( )

Inversa: ∀ x ¬ p  x → ¬q

( x)]

Equivalencia

[ p( x ) ∧ q( x)] ⇒ ∃ xp( x ) ∧ ∃ xq( x) ∃ x[ p ( x ) ∨ q( x )] ⇒ ∃ xp( x ) ∨ ∃ xq( x ) ∀ x[ p ( x ) ∧ q( x )] ⇒ ∀ xp( x ) ∧ ∀ xq( x ) ∀ x[ p ( x ) ∨ q( x )] ⇒ ∀ xp( x ) ∨ ∀ xq( x ) ∃ x

 Variable libre

→  x

 cuando ∀ x

 Variable libre

→  x

 cuando ∃ x

Contraejemplo: Contraejemplo: un valor de  x  que hace que la proposición tenga el valor contrario contrario Reglas para negar proposiciones con cuantificadores:

[ ∀ x  p( x) ] ⇒ ∃ x ¬  p( x) ¬ [ ∃ x  p ( x ) ] ⇒ ∀ x ¬  p ( x ) ¬ [ ∀ x ¬  p ( x ) ] ⇒ ∃ x  p ( x ) ¬ [ ∃ x ¬  p ( x ) ] ⇒ ∀ x  p ( x ) ¬

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