Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
´ del lenguaje natural en l ogica ´ Formalizacion de predicados Grado en Ingenier´ıa Inform a´ tica
Octubre 2010
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica
´ Esquema de la sesi on
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
1 Estrategias
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Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores
1 Estrategias
´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
2 Patrones
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Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores
1 Estrategias
´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
2 Patrones
´ de frases que contienen cuantificado res 3 Negacion
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1 Estrategias
´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
2 Patrones
´ de frases que contienen cuantificado res 3 Negacion
´ de razonamientos 4 Formalizacion
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1 Estrategias
´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
2 Patrones
´ de frases que contienen cuantificado res 3 Negacion
´ de razonamientos 4 Formalizacion
5 Logicas ´ de orden superior
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica Estrategias Patrones
1 Estrategias
Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos
2 Patrones
Logicas ´ de orden superior
´ de frases que contienen cuantificado res 3 Negacion
´ de razonamientos 4 Formalizacion
´ 5 Logicas de orden superior
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Objetivo
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Objetivo
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
•
Formalizar una frase del lenguaj e natural en l o´ gica de predicados, esto consiste en encontrar una expresi o´ n que la represente fielmente en el lenguaje formal.
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Objetivo
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
•
•
Formalizar una frase del lenguaj e natural en l o´ gica de predicados, esto consiste en encontrar una expresi o´ n que la represente fielmente en el lenguaje formal. No hay procedimientos generales para la formalizaci o´ n, pero se pueden determinar algunas estrategias, como las que vamos a indicar a continuaci o´ n.
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Estrategias iniciales
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Estrategias iniciales
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
•
Si la frase que se quiere formalizar no tiene una estructu ra sint´actica f a´ cilmente reconocible, se puede intentar reescribirla en el lenguaje natural hasta llegar a una frase con una estructura m a´ s sencilla y que mantenga el mismo significado.
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Estrategias iniciales
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores
•
´ de Formalizacion razonamientos
Si la frase que se quiere formalizar no tiene una estructu ra sint´actica f a´ cilmente reconocible, se puede intentar reescribirla en el lenguaje natural hasta llegar a una frase con una estructura m a´ s sencilla y que mantenga el mismo significado.
Logicas ´ de orden superior
•
Tenemos que definir claramente el dominio o los dominios a los que pertenecen los objetos que vamos a usar.
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Estrategias iniciales
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores
•
´ de Formalizacion razonamientos
Si la frase que se quiere formalizar no tiene una estructu ra sint´actica f a´ cilmente reconocible, se puede intentar reescribirla en el lenguaje natural hasta llegar a una frase con una estructura m a´ s sencilla y que mantenga el mismo significado.
Logicas ´ de orden superior
•
Tenemos que definir claramente el dominio o los dominios a los que pertenecen los objetos que vamos a usar.
Ejemplo:
Todos los hombres son mortales
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Estrategias iniciales
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores
•
´ de Formalizacion razonamientos
Si la frase que se quiere formalizar no tiene una estructu ra sint´actica f a´ cilmente reconocible, se puede intentar reescribirla en el lenguaje natural hasta llegar a una frase con una estructura m a´ s sencilla y que mantenga el mismo significado.
Logicas ´ de orden superior
•
Tenemos que definir claramente el dominio o los dominios a los que pertenecen los objetos que vamos a usar.
Ejemplo: •
Todos los hombres son mortales
Si el dominio son los hombres no hace falta el predicado es hombre”.
P(x)=”x
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Estrategias iniciales
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores
•
´ de Formalizacion razonamientos
Si la frase que se quiere formalizar no tiene una estructu ra sint´actica f a´ cilmente reconocible, se puede intentar reescribirla en el lenguaje natural hasta llegar a una frase con una estructura m a´ s sencilla y que mantenga el mismo significado.
Logicas ´ de orden superior
•
Tenemos que definir claramente el dominio o los dominios a los que pertenecen los objetos que vamos a usar.
Ejemplo: •
•
Todos los hombres son mortales
Si el dominio son los hombres no hace falta el predicado es hombre”.
P(x)=”x
Si el dominio es el de los seres vivos, sin embargo, s ´ı hace falta.
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Estrategias en frases
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Estrategias en frases
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En una frase necesitamos determinar:
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Estrategias en frases
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En una frase necesitamos determinar: •
Logicas ´ de orden superior
Las constantes, que son objetos concretos de uno o m a´ s dominios.
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Estrategias en frases
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En una frase necesitamos determinar: •
Las constantes, que son objetos concretos de uno o m a´ s dominios.
•
Las variables, que son objetos gen e´ ricos de uno o m a´ s dominios.
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Estrategias en frases
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En una frase necesitamos determinar: •
Las constantes, que son objetos concretos de uno o m a´ s dominios.
•
Las variables, que son objetos gen e´ ricos de uno o m a´ s dominios.
•
Las funciones de aridad n > 0 , que representan c o´ mo un cierto objeto queda determinado por otros (u otro).
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Estrategias en frases
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En una frase necesitamos determinar: •
Las constantes, que son objetos concretos de uno o m a´ s dominios.
•
Las variables, que son objetos gen e´ ricos de uno o m a´ s dominios.
•
•
Las funciones de aridad n > 0 , que representan c o´ mo un cierto objeto queda determinado por otros (u otro).
´ Los predicados monadicos que representan propiedades de un objeto.
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Estrategias en frases
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
En una frase necesitamos determinar: •
Las constantes, que son objetos concretos de uno o m a´ s dominios.
•
Las variables, que son objetos gen e´ ricos de uno o m a´ s dominios.
•
•
•
Las funciones de aridad n > 0 , que representan c o´ mo un cierto objeto queda determinado por otros (u otro).
´ Los predicados monadicos que representan propiedades de un objeto. Los predicados de aridad objetos.
n
>
0 que representan relaciones entre
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Primeros ejemplos de frases
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Primeros ejemplos de frases
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Ejemplo:
Todos los hombres son mortales
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Primeros ejemplos de frases
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Ejemplo:
Todos los hombres son mortales
∀x M x
•
Logicas ´ de orden superior
Con el dominio de los hombres: mortal.
( ) donde
M x
x
( ) significa es
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Primeros ejemplos de frases
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Ejemplo:
Todos los hombres son mortales
∀x M x
•
Con el dominio de los hombres: mortal.
Logicas ´ de orden superior
•
M x
( ) donde
Con el dominio de los seres vivos ∀x ( H (x) → significa x es hombre.
x
( ) significa es
M (x))
donde H (x)
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Primeros ejemplos de frases
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Ejemplo:
Todos los hombres son mortales
∀x M x
•
Con el dominio de los hombres: mortal.
Logicas ´ de orden superior
•
Con el dominio de los seres vivos ∀x ( H (x) → significa x es hombre.
Ejemplo:
Existen hombres inmortales
M x
( ) donde
x
( ) significa es
M (x))
donde H (x)
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Primeros ejemplos de frases
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Ejemplo:
Todos los hombres son mortales
∀x M x
•
Con el dominio de los hombres: mortal.
Logicas ´ de orden superior
•
Con el dominio de los seres vivos ∀x ( H (x) → significa x es hombre.
Ejemplo: •
Existen hombres inmortales
En el primer caso: ∃x ¬M (x).
M x
( ) donde
x
( ) significa es
M (x))
donde H (x)
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Primeros ejemplos de frases
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos
Ejemplo:
Todos los hombres son mortales
∀x M x
•
Con el dominio de los hombres: mortal.
Logicas ´ de orden superior
•
Con el dominio de los seres vivos ∀x ( H (x) → significa x es hombre.
Ejemplo:
Existen hombres inmortales
•
En el primer caso: ∃x ¬M (x).
•
En el segundo: ∃x ( H (x) ∧ ¬M (x)).
M x
( ) donde
x
( ) significa es
M (x))
donde H (x)
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Estrategias finales
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Estrategias finales
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•
Identificadas las conectivas ling¨u´ısticas y los cuantificadores (universales o existenciales) debemos sustituirlas por los conectivos y los cuantificadores de la l o´ gica de primer orden.
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Estrategias finales
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•
•
Identificadas las conectivas ling¨u´ısticas y los cuantificadores (universales o existenciales) debemos sustituirlas por los conectivos y los cuantificadores de la l o´ gica de primer orden. Para formalizar un razonamiento necesitamos formalizar el conjunto de sus premisas y de su conclusi o´ n.
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Observaciones y ejemplos
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Observaciones y ejemplos
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1. Ya que la formalizaci o´ n de una frase depende del dominio o de los dominios elegidos, se pueden obtener formalizac iones distintas de un mismo enunciado.
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Ejemplo primero
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Ejemplo primero
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Para formalizar la frase: “Todos los ni˜nos juegan con la pelota,”
Logicas ´ de orden superior
podemos definir los predicados J (x) : x juega con la pelota
y J (x y) : x juega con el juguete y ,
.
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Ejemplo primero
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Ejemplo primero
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a) Sea D 1 el conjunto de los ni n˜ os. Entonces se obtiene
∀xJ (x).
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Ejemplo primero
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a) Sea D 1 el conjunto de los ni n˜ os. Entonces se obtiene
∀xJ (x).
b) Sean D 2 el conjunto de las personas y sea “ N (x) : x es un ni n˜ o ” En este caso se obtiene ∀x(N (x) → J (x)) .
Logicas ´ de orden superior
.
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Ejemplo primero
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos
a) Sea D 1 el conjunto de los ni n˜ os. Entonces se obtiene
∀xJ (x).
b) Sean D 2 el conjunto de las personas y sea “ N (x) : x es un ni n˜ o ” En este caso se obtiene ∀x(N (x) → J (x)) .
Logicas ´ de orden superior
.
c) Sean D 1 el conjunto de los ni n˜ os y D 2 el conjunto de los juegos. Entonces “p = la pelota” es una constante en D 2 y obtenemos la formalizaci´on ∀x J (x p) ,
.
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Ejemplo primero
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos
a) Sea D 1 el conjunto de los ni n˜ os. Entonces se obtiene
∀xJ (x).
b) Sean D 2 el conjunto de las personas y sea “ N (x) : x es un ni n˜ o ” En este caso se obtiene ∀x(N (x) → J (x)) .
Logicas ´ de orden superior
.
c) Sean D 1 el conjunto de los ni n˜ os y D 2 el conjunto de los juegos. Entonces “p = la pelota” es una constante en D 2 y obtenemos la formalizaci´on ∀x J (x p) ,
.
d) Sean D 1 el conjunto de las personas y D 2 el conjunto de los juegos. Entonces “p = la pelota” es una constante en D 2 y, usando el predicado “N (x) : x es un ni n˜ o” obtenemos la formalizaci o´ n ∀x
( N (x) → J (x p)) ,
.
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´ observaciones y ejemplos Mas
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´ observaciones y ejemplos Mas
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2. Toda funci´on se puede representar mediante un predicado con un argumento m´as que la funci o´ n. Adem a´ s, las funciones simplifican la estructura de la f o´ rmula obtenida.
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Ejemplo segundo
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica
Ejemplo segundo
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
Consideremos la frase: “Todo padre quiere mucho a sus hijos.”
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Ejemplo segundo
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Consideremos la frase: “Todo padre quiere mucho a sus hijos.”
a) Formalizaci´on con predicados.
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Ejemplo segundo
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores
Consideremos la frase: “Todo padre quiere mucho a sus hijos.”
´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
a) Formalizaci´on con predicados. Podemos definir el dominio D de las personas y los predicados P(x y) : x es el padre de y ,
,
y Q(x y) : x quiere mucho a y ,
Con estas definiciones, la formalizaci o´ n ser´ıa ∀ x ∀ y (P (x , y ) →
Q(x y)) ,
.
.
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Ejemplo segundo
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
b) Formalizaci´on con funciones.
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Ejemplo segundo
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b) Formalizaci´on con funciones. Podemos definir el dominio D de las personas, la funci o´ n
´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
f (x) : el padre de x
,
y Q(x y) : x quiere mucho a y ,
.
Con estas definiciones, la nueva formalizaci o´ n ser´ıa ∀x(Q(f (x), x)).
Notar que la formalizaci o´ n se ha simplificado y que la funci o´ n de un argumento f (x) sustituye al predicado binario P (x y) ,
.
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Ejemplo segundo
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores
b) Formalizaci´on con funciones. Podemos definir el dominio D de las personas, la funci o´ n
´ de Formalizacion razonamientos
f (x) : el padre de x
Logicas ´ de orden superior
,
y Q(x y) : x quiere mucho a y ,
.
Con estas definiciones, la nueva formalizaci o´ n ser´ıa ∀x(Q(f (x), x)).
Notar que la formalizaci o´ n se ha simplificado y que la funci o´ n de un argumento f (x) sustituye al predicado binario P (x y) ,
•
.
Observar tambi´en que “el hijo de x ” no es una funci o´ n, ya que un mismo padre puede tener m a´ s que un hijo y, por tanto, el t e´ rmino asociado a x (al padre) no quedar ´ıa un´ıvocamente determinado.
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1 Estrategias
Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos
2 Patrones
Logicas ´ de orden superior
´ de frases que contienen cuantificado res 3 Negacion
´ de razonamientos 4 Formalizacion
´ 5 Logicas de orden superior
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Universal afirmativo
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica
Universal afirmativo
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
∀x(ϕ1 → ϕ2 ), ∀x(¬ϕ2 → ¬ϕ1 ).
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Universal afirmativo
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos
∀x(ϕ1 → ϕ2 ), ∀x(¬ϕ2 → ¬ϕ1 ).
Logicas ´ de orden superior
Es la forma de representar frases del tipo:
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica
Universal afirmativo
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores
∀x(ϕ1 → ϕ2 ),
´ de Formalizacion razonamientos
∀x(¬ϕ2 → ¬ϕ1 ).
Logicas ´ de orden superior
Es la forma de representar frases del tipo: •
Todo ϕ1 es ϕ2 ,
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica
Universal afirmativo
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores
∀x(ϕ1 → ϕ2 ),
´ de Formalizacion razonamientos
∀x(¬ϕ2 → ¬ϕ1 ).
Logicas ´ de orden superior
Es la forma de representar frases del tipo: •
Todo ϕ1 es ϕ2 ,
•
S´olo los
ϕ2
son ϕ1 ,
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica
Universal afirmativo
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores
∀x(ϕ1 → ϕ2 ),
´ de Formalizacion razonamientos
∀x(¬ϕ2 → ¬ϕ1 ).
Logicas ´ de orden superior
Es la forma de representar frases del tipo: •
Todo ϕ1 es ϕ2 ,
•
S´olo los
•
Nadie es
ϕ2 ϕ1
son ϕ1 , a menos que sea
ϕ2 ,
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica
Universal afirmativo
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores
∀x(ϕ1 → ϕ2 ),
´ de Formalizacion razonamientos
∀x(¬ϕ2 → ¬ϕ1 ).
Logicas ´ de orden superior
Es la forma de representar frases del tipo: •
Todo ϕ1 es ϕ2 ,
•
S´olo los
•
Nadie es
•
No hay ning u´ n ϕ1 que no sea
ϕ2 ϕ1
son ϕ1 , a menos que sea
ϕ2 , ϕ2 ,
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica
Universal afirmativo
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores
∀x(ϕ1 → ϕ2 ),
´ de Formalizacion razonamientos
∀x(¬ϕ2 → ¬ϕ1 ).
Logicas ´ de orden superior
Es la forma de representar frases del tipo: •
Todo ϕ1 es ϕ2 ,
•
S´olo los
•
Nadie es
•
No hay ning u´ n ϕ1 que no sea
•
ϕ1
ϕ2 ϕ1
son ϕ1 , a menos que sea
es suficiente para
ϕ2 ,
ϕ2 , ϕ2 ,
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica
Universal afirmativo
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores
∀x(ϕ1 → ϕ2 ),
´ de Formalizacion razonamientos
∀x(¬ϕ2 → ¬ϕ1 ).
Logicas ´ de orden superior
Es la forma de representar frases del tipo: •
Todo ϕ1 es ϕ2 ,
•
S´olo los
•
Nadie es
•
No hay ning u´ n ϕ1 que no sea
•
ϕ1
es suficiente para
ϕ2 ,
•
ϕ2
es necesario para
ϕ1 .
ϕ2 ϕ1
son ϕ1 , a menos que sea
ϕ2 , ϕ2 ,
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
Universal negativo
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica
Universal negativo
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
∀x(ϕ1 → ¬ϕ2 ).
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica
Universal negativo
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
∀x(ϕ1 → ¬ϕ2 ).
Es la forma de representar frases del tipo:
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica
Universal negativo
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos
∀x(ϕ1 → ¬ϕ2 ).
Logicas ´ de orden superior
Es la forma de representar frases del tipo: •
Ningu´ n ϕ1 es ϕ2 ,
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica
Universal negativo
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos
∀x(ϕ1 → ¬ϕ2 ).
Logicas ´ de orden superior
Es la forma de representar frases del tipo: •
Ningu´ n ϕ1 es ϕ2 ,
•
Todos los ϕ1 carecen de
ϕ2 .
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
Existencial afirmativo
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica
Existencial afirmativo
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
∃x(ϕ1 ∧ ϕ2 ).
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica
Existencial afirmativo
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos
∃x(ϕ1 ∧ ϕ2 ).
Logicas ´ de orden superior
Es la forma de representar frases del tipo: •
Alg´un ϕ1 es ϕ2 ,
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica
Existencial afirmativo
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos
∃x(ϕ1 ∧ ϕ2 ).
Logicas ´ de orden superior
Es la forma de representar frases del tipo: •
•
Alg´un ϕ1 es ϕ2 , Alguien es a la vez
ϕ1
y ϕ2 .
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
Existencial negativo
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica
Existencial negativo
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
∃x(ϕ1 ∧ ¬ϕ2 ).
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica
Existencial negativo
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
∃x(ϕ1 ∧ ¬ϕ2 ).
Es la forma de representar frases del tipo:
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica
Existencial negativo
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos
∃x(ϕ1 ∧ ¬ϕ2 ).
Logicas ´ de orden superior
Es la forma de representar frases del tipo: •
Alg´un ϕ1 no es
ϕ2 ,
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica
Existencial negativo
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos
∃x(ϕ1 ∧ ¬ϕ2 ).
Logicas ´ de orden superior
Es la forma de representar frases del tipo: •
Alg´un ϕ1 no es
•
No todos los
ϕ1
ϕ2 ,
son ϕ2 .
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Ejemplos
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Ejemplos 1) (Universal afirmativo)
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica Estrategias
Ejemplos 1) (Universal afirmativo)
Patrones
“Nadie se levanta a menos que tenga que irse.”
Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
La frase anterior se puede reescribir como “Para todo x si x no tiene que irse, entonces no se levanta,” ,
o como “Para todo x si x se levanta, entonces tiene que irse.” ,
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica Estrategias
Ejemplos 1) (Universal afirmativo)
Patrones
“Nadie se levanta a menos que tenga que irse.”
Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
La frase anterior se puede reescribir como “Para todo x si x no tiene que irse, entonces no se levanta,” ,
o como “Para todo x si x se levanta, entonces tiene que irse.” ,
Sea D el dominio de las personas y sean P(x) : x se levanta
,
Q(x) : x tiene que irse Con estas definiciones obtenemos la formalizaci o´ n: .
∀x (P(x) →
Q(x))
.
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Ejemplos
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Ejemplos
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
2) (Universal negativo)
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Ejemplos
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2) (Universal negativo) “Ning´un emperador es odont o´ logo (L. Carroll).”
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Ejemplos
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2) (Universal negativo) “Ning´un emperador es odont o´ logo (L. Carroll).” Sea D el dominio de las personas y sean P(x) : x es emperador
,
Q(x) : x es odont o´ logo
.
Con estas definiciones obtenemos la formalizaci o´ n: ∀x (P(x) → ¬Q(x)).
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Ejemplos
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Ejemplos 3) (Existencial afirmativo)
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Ejemplos 3) (Existencial afirmativo)
Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
“Algunos estudiantes de inform´atica s o´ lo son amigos de los aficionados a la l o´ gica.” Esta frase se puede reescribir como: “Para algunos estudiantes de inform a´ tica, una persona es un amigo s´olo si es aficionado a la l o´ gica.”
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Ejemplos 3) (Existencial afirmativo)
Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
“Algunos estudiantes de inform´atica s o´ lo son amigos de los aficionados a la l o´ gica.” Esta frase se puede reescribir como: “Para algunos estudiantes de inform a´ tica, una persona es un amigo s´olo si es aficionado a la l o´ gica.” Sea D el dominio de las personas y sean
P(x) : x es estudiante de inform a´ tica Q(x) : x es aficionado a la l o´ gica
,
R(x y) : x es amigo de y Con estas definiciones obtenemos la formalizaci o´ n: ,
∃x (P(x) ∧ ∀y(R(x, y) →
.
Q(y)))
.
,
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Ejemplos
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica
Ejemplos
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4) (Existencial negativo)
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Ejemplos
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4) (Existencial negativo) “Algunos gatos no saben silbar ni maullar (L. Carroll).”
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Ejemplos
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4) (Existencial negativo) “Algunos gatos no saben silbar ni maullar (L. Carroll).” Sea D el dominio de los animales y sean P(x) : x es un gato
,
Q(x) : x sabe silbar
,
R(x) : x sabe maullar
.
Con estas definiciones obtenemos la formalizaci o´ n: ∃
x ( P ( x)
∧¬
Q(x)
∧¬
R(x))
.
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1 Estrategias
Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos
2 Patrones
Logicas ´ de orden superior
´ de frases que contienen cuantificado res 3 Negacion
´ de razonamientos 4 Formalizacion
´ 5 Logicas de orden superior
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´ Negacion
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica
´ Negacion
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior •
´ de una frase que Objetivo: ver c o´ mo se escribe la negaci on contiene un cuantificador.
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Universal-Existencial
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Universal-Existencial
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
Consideremos la frase “Todos los alumnos de esta clase aprobar´an en febrero.”
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Universal-Existencial
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos
Consideremos la frase “Todos los alumnos de esta clase aprobar´an en febrero.” Sean D el conjunto de los alumnos de esta clase y
Logicas ´ de orden superior
P ( x)
:
a x aprobar´
en febrero
La frase dada se puede escribir como: ∀xP(x)
.
.
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Universal-Existencial
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos
Consideremos la frase “Todos los alumnos de esta clase aprobar´an en febrero.” Sean D el conjunto de los alumnos de esta clase y
Logicas ´ de orden superior
P ( x)
:
a x aprobar´
en febrero
.
La frase dada se puede escribir como: ∀xP(x) La negaci´on de “Todos los alumnos de esta clase aprobar a´ n en febrero” es “No todos los alumnos de esta clase aprobar a´ n en febrero,” es decir, ¬(∀xP(x)) que podemos reescribir como: .
,
“Existen alumnos de esta clase que no aprobar a´ n en febrero.” Con los mismos dominio y predicados anteriores, su formalizaci o´ n es ∃x(¬P(x)).
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Existencial-Universal
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Existencial-Universal
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
Consideremos ahora la frase “Algunos alumnos de esta clase suspender´an en febrero.”
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica
Existencial-Universal
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
Consideremos ahora la frase “Algunos alumnos de esta clase suspender´an en febrero.” Sean D el conjunto de los alumnos de esta clase y P(x)
:
a x suspender´
en febrero
La frase dada se puede escribir como: ∃xP(x)
.
.
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica
Existencial-Universal
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos
Consideremos ahora la frase “Algunos alumnos de esta clase suspender´an en febrero.” Sean D el conjunto de los alumnos de esta clase y
Logicas ´ de orden superior
P(x)
:
a x suspender´
en febrero
.
La frase dada se puede escribir como: ∃xP(x) La negaci´on de “Algunos alumnos de esta clase suspender a´ n en febrero” es “Ning u´ n alumno de esta clase suspender a´ en febrero,” es decir, ¬(∃xP(x)) que podemos reescribir como: .
,
“Todos los alumnos de esta clase no suspender a´ n en febrero.”
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica
Existencial-Universal
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos
Consideremos ahora la frase “Algunos alumnos de esta clase suspender´an en febrero.” Sean D el conjunto de los alumnos de esta clase y
Logicas ´ de orden superior
P(x)
:
a x suspender´
en febrero
.
La frase dada se puede escribir como: ∃xP(x) La negaci´on de “Algunos alumnos de esta clase suspender a´ n en febrero” es “Ning u´ n alumno de esta clase suspender a´ en febrero,” es decir, ¬(∃xP(x)) que podemos reescribir como: .
,
“Todos los alumnos de esta clase no suspender a´ n en febrero.” Con los mismos dominio y predicados anteriores, su formalizaci o´ n es ∀x(¬P(x)).
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica Estrategias Patrones
1 Estrategias
Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos
2 Patrones
Logicas ´ de orden superior
´ de frases que contienen cuantificado res 3 Negacion
´ de razonamientos 4 Formalizacion
´ 5 Logicas de orden superior
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
Ejemplos de razonamientos
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica
Ejemplos de razonamientos
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
Solo ´ las buenas personas ayudan a los pobres. Ninguna buena persona es aficionada a la fotograf´ıa. Antonio ayuda a Juan. Antonio es aficionado a la fotograf´ıa. Entonces, Juan es pobre.
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores
´ Formalizacion Sea D el dominio de las personas, a la constante Antonio y j la constante Juan. Definamos los siguientes predicados:
P(x) : x es buena persona
´ de Formalizacion razonamientos
Q(x y) : x ayuda a y ,
Logicas ´ de orden superior
R(x) : x es pobre
,
,
,
S(x) : x es aficionado a la fotograf ´ıa
.
Con estas definiciones el razonamiento dado se puede escribir como: ∀x∀y(Q(x, y) ∧
R(y) → P(x))
∀x(P(x) → ¬S(x)),
Q(a j) S (a ) ,
R(j)
,
,
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica Estrategias Patrones
1 Estrategias
Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos
2 Patrones
Logicas ´ de orden superior
´ de frases que contienen cuantificado res 3 Negacion
´ de razonamientos 4 Formalizacion
´ 5 Logicas de orden superior
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
´ Logicas de predicados de orden superior
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica
´ Logicas de predicados de orden superior
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior
•
El c´alculo de predicados de primer orden admite generalizaciones a c´alculos de predicados de orden mayor que uno. En el c a´ lculo de predicados de primer orden los cuantificadores pueden afectar s o´ lo a las variables y los predicados se calculan s o´ lo sobre t e´ rminos.
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica
´ Logicas de predicados de orden superior
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos
•
El c´alculo de predicados de primer orden admite generalizaciones a c´alculos de predicados de orden mayor que uno. En el c a´ lculo de predicados de primer orden los cuantificadores pueden afectar s o´ lo a las variables y los predicados se calculan s o´ lo sobre t e´ rminos.
Logicas ´ de orden superior
•
En el c alculo de predicados de segundo orden, los cuantificadores ´ afectan tambi´en a predicados.
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica
´ Logicas de predicados de orden superior
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos
•
El c´alculo de predicados de primer orden admite generalizaciones a c´alculos de predicados de orden mayor que uno. En el c a´ lculo de predicados de primer orden los cuantificadores pueden afectar s o´ lo a las variables y los predicados se calculan s o´ lo sobre t e´ rminos.
Logicas ´ de orden superior
•
•
En el c alculo de predicados de segundo orden, los cuantificadores ´ afectan tambi´en a predicados. En el c a´ lculo de tercer orden se definen predicados de predicados (no s o´ lo predicados de t e´ rminos).
Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica
´ Logicas de predicados de orden superior
Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos
•
El c´alculo de predicados de primer orden admite generalizaciones a c´alculos de predicados de orden mayor que uno. En el c a´ lculo de predicados de primer orden los cuantificadores pueden afectar s o´ lo a las variables y los predicados se calculan s o´ lo sobre t e´ rminos.
Logicas ´ de orden superior
•
•
•
En el c alculo de predicados de segundo orden, los cuantificadores ´ afectan tambi´en a predicados. En el c a´ lculo de tercer orden se definen predicados de predicados (no s o´ lo predicados de t e´ rminos). Siguiendo a˜nadiendo niveles de “predicados de predicados,” se sube el nivel del c a´ lculo de predicados que se est a´ definiendo.
