Crecimiento y decrecimiento exponencial Profesor: Víctor Saavedra Salas
EN SÍNTESIS Un crecimiento exponencial se representa por una potencia de exponente variable; es decir, una expresión algebraica de la forma , donde x generalmente representa el tiempo y cuya base es un número mayor que uno, que se elige dependiendo de la situación que represente. represente.
El cociente entre los valores obtenidos para dos exponentes consecutivos es constante. ■
Ejemplo En la situación anterior, el cociente de los valores obtenidos para los meses 3 y 4 es igual al cociente correspondiente a los meses 4 y 5.
Por lo tanto, la cantidad de enfermos se duplica en cada período de tiempo.
PRACTICA Una especie de microorganismo, que se reproduce en un laboratorio, se triplica cada 1 hora. •
1. Completa la siguiente tabla.
0
1
2
1
3
9
Hora N°de microorganismos
Potencia
3
4
5
6
2. Completa el siguiente gráfico a
partir de los datos de la tabla.
3. ¿A qué hora habrá más de 2.000 microorganismos? 4. Si en un momento dado hay 531.441 microorganismos, ¿cuántas horas han transcurrido? 5. Si el experimento hubiese comenzado con 2 microorganismos, ¿cuántos habría después de 4 horas? 6. Escribe una expresión algebraica que represente la situación anterior (número de microorganismos luego de x horas).
EN SÍNTESIS Un decreciemiento exponencial se representa mediante una potencia de exponente variable, es decir una expresión de la forma ax donde, a diferencia del crecimiento exponencial, la base a es un número menor que 1, que se escoge dependiendo de la situación que represente. ■ El cociente entre dos valores correspondientes a tiempos consecutivos, es constante.
PRACTICA La temperatura (en grados Celsius) de cierto objeto, transcurridos t minutos, está dada por la expresión
1. Completa la tabla. Minutos transcurridos Temperatura del objeto
2. ¿Cuál es la razón entre cada temperatura y la temperatura correspondiente al tiempo anterior?
Un cultivo de bacterias, por efecto de sustancias químicas incorporadas al líquido de cultivo, se reduce a la mitad cada día. Inicialmente hay 580.000 bacterias por cada ml de líquido. 3. Confeccionen una tabla en donde se relacione el número de bacterias por cada día transcurrido.
4. ¿Cuántas bacterias habrá al finalizar el cuarto día? 5. ¿Cuántos días han transcurrido si en un momento dado hay l.000 bacterias por cada ml de líquido? 6. ¿Cuántas bacterias han sido eliminadas hasta el quinto día? 7. Encuentren una expresión algebraica que represente esta
8. Utilizando los datos de la tabla de la pregunta 1, construyan el gráfico correspondiente a la situación planteada. Determina cuáles de los siguientes gráficos corresponden a un decreciemiento exponencial y cuáles un crecimiento exponencial.
Potencias de base 10 y notación científica
En años anteriores has estudiado la importancia y el uso de la potencia de 10. Aprendiste, por ejemplo, que la potencia de 10 se utiliza para escribir la descomposición de un número en el sistema decimal y, además, que la notación científica permite escribir y operar cantidades extremadamente grandes o extremadamente pequeñas,
Esta consiste en expresar cualquier número como un producto donde uno de sus factores es una potencia de 10 con exponente entero (positivo o negativo) y un número decimal mayor o igual a 1 y menor que 10.
Ejemplos. 1. En un microscopio electrónico se observa que el largo de una bacteria es 0,0002 cm. Esta cantidad, escrita en notación científica, es:
2. El radio del Sol es de 700.000.000 m. Si expresamos este número en notación científica se obtiene: 700.000.000 = 7 • 100.000.000 = 7 • 108m
EN SÍNTESIS El valor de una potencia de 10 con exponente positivo es 1 seguido de tantos ceros como lo indica el exponente 10n= 1000000...0, n ceros •
•
En una potencia de 10 con exponente negativo el exponente indica la cantidad de cifras decimales del número
Un número escrito en notación científica es igual al producto de un número mayor o igual a 1 y menor que 10, con una potencia de base 10 y exponente entero. Ejemplo El decimal 0,00085 se puede expresar en notación científica como 8,5 10-4 ■
PRACTICA Escribe el resultado correspondiente a cada operación con potencias de base 10. 1. 107 • 10-5 = 2. 103 . 10-11= 3. 106: 10-2 = 4. 10-3 : 10-4= 5. (102)-3 = 6. (10-5) -1 =
Escribe cada número en notación científica y de ingeniería. Para esta última notación guíate por los ejemplos. Notación de ingeniería es aquella en que se escribe el número como producto entre un número entero y una potencia de 10.
Ejemplos Notación de ingeniería 859.000.000 = •
•
859 • 106
0,00000036= •
36 • 10-6
Ejemplos Notación científica 859.000.000 = •
•
•
•
8,59 • 10-7
0,00000036= 3,6 • I0-7 =
•
7. 745.000 = __________ y ____________
•
8. 125.000.000 = __________ y ____________
•
9. 90.000 = __________ y ____________
•
10. 63.000.000.000 = _________ y _________
Resuelve. •
•
11. Dados los números; a = 48 • 102, b = 0,51 • 105 y c = 0,0023 • 107, ordénalos de mayor a menor. ____________>___________>___________
•
•
•
Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año. Si la luz viaja, aproximadamente, a 3 • 108 m/s: 12. ¿cuál es esa velocidad de la luz expresada en km/s? 13. ¿cuál es la longitud de un año luz, en kilómetros?
Expresa en notación científica cada par de números. Luego, calcula la operación indicada, usando las propiedades de las potencias. 14, Dividir 1 50.000 en 25. 15. Multiplicar 2.800.000 y 0,0002. 16. Multiplicar 0,01 24 y 0,2. 17. Dividir 0,01 8 en 0,02.
