Cre Cr ecimi ento, Decr Decr ecimi ento y desin desin tegración tegración R adiactiva
Sea P=P(t) una población que depende del tiempo t dP
Es la tasa de cambio de la población que se mide en número de unidades por
dt
unidad de tiempo 1 dP
Denota la tasa de crecimiento de la población, que se mide en porcentaje por
P dt
año, horas, días, etc. 1 dP P dt
k
Sirve para predecir el futuro, donde K es igual a la constante de
proporcionalidad en resumen. dP dt
kP k cte porporcionalidad P(t0 ) P 0
Si K>0
Si K<0
dP dt
denota crecimiento
dP dt
denota decrecimiento o desintegración.
La solución es de la forma P(t)=Ce
Ej ercici os Resueltos:
1. Un profesor redacta las notas del curso con una rapidez proporcional al número de hojas ya escritas. Por otra parte sus alumnos son capaces de leer los apuntes con una velocidad constante. Al comenzar el curso, el profesor entrega 10 hojas a sus alumnos y posteriormente se las va a proporcionando a medida que las escribe. Determine el atraso de uno de sus alumnos en la lectura de las notas al finalizar el 3er trimestre si al
cabo del primero llevaba un atraso de 20 páginas y al término de 6 meses un atraso de
70 páginas. Considere cada trimestre de tres meses sin receso entre cada uno de ellos. Solución: t : tiempo medido en meses H (t ) : número de hojas escrita al cabo de t meses L(t ) : número de hojas leídas al cabo de t meses Ya ahora tenemos los siguientes datos que sacamos del problema, para esta parte tomamos como 6 meses es igual a un trimestre, escribimos H (t ) donde t esta en función del tiempo en trimestre. H (0) 10
H (1) L(1) 20
H (2) L(2) 70
L(0)=0
Y ahora las ecuaciones diferenciales serán: Donde Ha es el número de hojas escritas, entonces integramos y tenemos: dH dt
kH H (t ) cekt
Ahora la otra parte donde L es la variable por así decirlo que nos indica la lectura de apuntes de los alumnos:
dL dt
p pt c1
De la ecuación tenemos una condición en la variable L: L(0) 0 0 pt c1
L(t ) pt Ahora aremos una relación entre las dos ecuaciones pero el tiempo se va dar en meses H (3) L(3) 20 H (6) L(6) 70
Resolviendo el sistema: 10e3k 3 p 20 10e6 k 6 p 70
Restando la segunda ecuación con dos veces la primera y poniendo x e3k obteniendo la ecuación cuadrática 10 x2 20 x 30 Cuya solución positiva es x e3k 3 .De esta forma: k
ln(3)
p
3
10 3
Así: H (t ) 10e L(t )
10 3
ln3 t 3
t
Y el número de páginas de atraso al cabo de 9 meses es: 3ln3
H (9) L(9) 10e
30
270 30 240
2. Si la vida media de una sustancia reactiva es de 32 días. Determinar el tiempo ‘t’ en que 24 kilos se convierten en 3 kilos. Solución: Sea el modelo matemático de acuerdo a los datos del problema: dS dx
kS
Dónde: S es la función de sustancia que depende del tiempo k es la constante de proporcionalidad S (0) 24 kg. y v.m. 32 días. Nos piden determinar el tiempo ’t’ tal que S (t ) 3 kg. La ecuación anterior se resuelve mediante el método de separación de variables, entonces tenemos:
dS
kdx
S dS
Despejando S: Integrando ambos
k dt miembros:
S ln( S ) kt cDespejando S: S (t ) ce
kt
Ahora usando las condiciones iniciales del problema:
S (0) ce k (0 ) 24 c S (t ) 24e kt v.m
ln 2
k
ln 2
k
v.m.
k
ln 2 32
Entonces, tenemos la ecuación diferencial:
S (t ) 24e
ln 2 32
t
Cuando S (t ) 3 se tiene:
3 24e 1
e
ln 2 32
ln 2 32
t
t
8 1 ln(2) ln( ) t 8 32 ln(2) t 3ln(2) 32 t 96
3. En una reacción química, la sustancia M se transforma en otra sustancia a una velocidad proporcional a la cantidad de M no transformada todavía. Si al inicio de la reacción había 200 gr. De M y a una hora más tarde 75 gr, calcule el porcentaje de M transformada después de 2 horas. (guía UNSA – E E.DD 1ªedición
datos : sea M(t) la cantidad de sustancia sabemos : M(0)=200gr; M(1)=75gr dM
kM ; k 0 dt nos piden :% M transformada despues de 2horas
:
solucion : de :
dM
kM M (t ) e kt c
dt ahora : M (0) c 200 gr c 200gr k : M (1) 200e 75 k ln(
75 200
)
reemplazando : ln(
M(t) 200 e
75 200
entonces : M (t) 200 e
2ln(
75 200
)
28.125 gr
por regla detres simple : 200 gr 100% (200 28.125) x
rpta : lacantidad transformadadespues dedoshoras es85.93%
4. El azúcar se disuelve en el agua con una rapidez proporcional a la cantidad que queda sin diluir .si 30 libras de azúcar se reduce a 10 libras en 4 horas ¿en cuánto tiempo se habrá diluido el 95% del azúcar?.(gu ía de practi ca U NSA-EE.DD 3ª edicion) DATOS sea A(t) la cantidad de azucar presente enuntiempo sabemos :
dA dt
kA; k o
A(0) 30 A(4) 10 SOLUCION A(t) Cekt hallando C A(0) 30 Ce0 C 30
hallamdo k A(4) 10 30e 4 k k 0.275 reemplazando : A(t ) 30e 0.275t nos piden : A(t ) cuando seha diluido el 95% A(t)
(5)(30)
30e0.275t
t 10.89 horas 100 respuesta : despues 10.89horas sehabra diluido el 95% 5. Usando carbono -14 cuya vida media es de 5568,determine la edad deunfosil humano que contiene 25.2mgr de C-14,si la cantidad presente en un ser humano vivo es de 53.8 mgr
DATOS : sea C (t ) : la cantidad de carbonoen el humano C (0) 53.8mgr;C(5600) 26.9mgr sabemos :
dC dt
kC C (t ) ce kt
entonces : C (0) c 53.8 c 53.8 C (5600) 53.8e5600 k 26.9 k 1.2378 104
reemplazando : C (t ) 53.8e
1.2378104 t
entonces : nos piden la EDAD del fosil humano A(t ) 53.8e
1.2378104 t
25.2
laedad del fosil es 6127años aprox.
Ejercicios propuestos: 1. En una reacción química, la sustancia M setransforma en otra sustancia a una velocidad proporcional a la cantidad de M no transformada todavía. Si al inicio de la reacción había 200g. de M y una hora más tarde 75gr., calcule el porcentaje de M transformada después de dos horas. Rpta. 85,93%
2. En un cultivo de levadura la rapidez de cambio es proporcional a la cantidad presente. Si la cantidad de cultivo se duplica en 4 horas, ¿Qué cantidad puede esperarse al cabo de 12 horas, con la misma rapidez de crecimiento? Rpta. 8 veces más 3. Un magnate posee una fortuna que crece a un ritmo proporcional al cuadrado de su valor en cada momento. Si tenía 10 millones de dólares hace un año y hoy tiene 20 millones. ¿De cuánto será su fortuna en 6 meses? Rpta. 40 millones 4. Una bola de naftalina pierde su volumen por evaporación con una rapidez que es proporcional a su área instantánea. Si el diámetro de la bola disminuye de 2cm a 1cm en 3 meses. ¿Cuánto tiempo se requiere para que su diámetro sea de 1mm? Rpta. 5,7 meses 5. Con frecuencia, el fechado por carbono se usa para determinar la edad de un fósil. Por ejemplo, en una cueva de Sudáfrica se halló un cráneo humano junto con los restos de una hoguera. Los arqueólogos creen que la edad del cráneo sea igual a la edad de la hoguera. Se ha determinado que sólo queda 2% de la cantidad original de carbono 14 en los restos de madera en la hoguera. Estime la edad del cráneo, si la vida media del carbono 14 es de aproximadamente 5600 años. Rpta. 31606 años.
6. Los arqueólogos utilizaron piezas de manera quemada o carbón vegetal, que se encontraron el sitio para fechar unas pinturas prehistóricas y dibujo en paredes y techos de una caverna en Lascaux, Francia. Si se encuentra que había disminuido 85.5% del C-14 que se encontró en arboles vivos del mismo tipo. Rpta. 15600 años
7. Cuando un haz vertical de luz pasa por un medio transparente, la rapidez a la que decrece su intensidad I es proporcional a
I t , donde t presenta el espesor del
medio (en pies). En agua de mar clara, la intensidad tres pies por debajo de la superficie es 25%de la intensidad inicial I 0 del haz incidente.¿Cuál es la intensidad del haz de 15 pies debajo de la superficie?
Rpta. I (15) 0.00098I 0 aproximadamente 0.1% de I 0 8. La población de una comunidad se incrementa a una tasa proporcional al número de personas presente en el tiempo t . Si en 5 años se duplica una población inicial P 0 ¿Cuánto tarda en triplicarse? ¿En cuadriplicarse?
Rpta. 7,9 años; 10 años 9. La población de un pueblo crece a una tasa proporcional a la población presente en el tiempo t . L a población inicial de 500 se incrementa 15% en diez años. ¿Cuál será la población en 30 años? ¿Qué tan rápido está creciendo la población en t 30 ? Rpta. 760 ; aproximadamente11 personas/año 10. El isotopo reactivo de Plomo, Pb 209 , decae a una rapidez proporcional a la cantidad presente en el tiempo t y tiene una vida media 3.3 horas. Si al inicio está presente un gramo de isotopo, ¿Cuánto tiempo tarda en decaer 90% del plomo? Rpta. 11horas
11. El carbono obtenido de un antiguo cráneo contiene solamente la sexta parte de C14 respecto del carbono obtenido de un hueso actual. ¿qué tan antiguo es el cráneo? (la vida media del C-14=5600 años). (EE.DD 4ªedición-ED WARDS-PEN NE Y)
Respuesta=14735 añ os apr ox. 12. Un accidente en una planta de potencia nuclear ha dejado una área contaminada con material radioactivo a su alrededor, la cual decrece de manera natural. La cantidad inicial de material radioactivo presente es de 15 su(unidad de seguridad) y 5 meses más tarde es todavía de 10 su. (EE.DD 4ªedición-EDWARDS- PENNEY) a) Escriba una fórmula para calcular la cantidad A(t) de material radioactivo que permanece después de t meses. b) ¿Qué cantidad de material radioactivo permanecerá después de 8 meses? c) ¿Cuánto tiempo pasara hasta que A=1 su, de tal manera que sea seguro para que la gente pueda regresar a esa área?
Respuesta a) A (t)=15((2/3) ^ (t/5)) b) aprox . 7.84su
c) despué s de 33.4 meses 13. supóngase que la población P de bacterias en un cultivo al tiempo t , cambia a una razón directamente proporcional a si inicialmente hay 1000 bacterias y después de 4 horas la población se redujo a 100 bacterias determine: a) la población en función del tiempo. b) la población después de un tiempo muy largo. (EE.DD-J .VENTURA BERRECI L -DAVI D ELI ZARRARAZ)
Respuesta a) P(t )
1000 1000 999e0.0018t
b) 1 14. Cierto material radioactivo se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidad existente en cada instante. En una prueba realizada con 60 mg de este material, se observó que después de 3 horas, solamente permanecía el 80% de la masa original. Hallar: (EE.DD-J .VENTURA BERRECI L-DAVI D ELIZARRARAZ) a) La cantidad restante de masa en cualquier instante. b) ¿Qué cantidad de material hay después de 5 horas? c) ¿Cuanto tiempo de transcurrir para que la cantidad de material sea un cuarto de la cantidad inicial?
Respuesta=
a ) x(t ) 60e
0.07438t
b)41.37 mg c)18.64horas 15. La población de cierta ciudad aumenta proporcionalmente al número de habitantes que hay en un momento dado, si después de 5 años la población se ha triplicado y después de 8 años la población es de 45000 habitantes ,halle el número de habitantes que había inicialmente en la cuidad. (guía U NSA – E E.DD 1ªedición).
Respuesta=7760 habitantes 16. Cuando pasa un rayo vertical de luz por una sustancia transparente , la razon con que decrece su intensidad Z es proporcional a Z(t) donde t representa el espesor ,
en pies del medio . en agua de mar clara , la intensidad a 3.ft bajo la superficie ,es el 25% dela intencidad inicial del rayo incidente ¿ cual es la intensiad del rayo a 15 ft bajo la superficie. (EE .DD 6ª edicion- DE NN I S G.ZI L L )
Respuesta=0.0009810 aprox 0.1% de la i ntensidad ini cial 17. En un proceso radioactivo se efectúan dos mediciones .la primera, dos horas después de iniciado el proceso, arroja la cantidad de 10 mgr .mientras que en la segunda ,que se efectúa una hora después ,indica la presencia de 8 mgr ¿ cuál es la cantidad original de la sustancia radioactiva?.(guía de practica UNSA-E E.DD 3ª edi ci on )
Respuesta=15.62mgr. 18. Suponga que un cuerpo mineral formado en un antiguo cataclismo contenía originalmente el isotopo de uranio-238,el cual tiene una vida media de 4.51x10^9 años, pero no contenía plomo ,producto final del decrecimiento radioactivo del uranio . si ahora la relación entre los átomos de uranio y plomo en el mineral es de 0.9¿ cuándo ocurrió el cataclismo? (EE .DD 4ªedición-ED WARDS-PEN NE Y)
Respuesta=hace 4.86x10^ 9 añ os. 19. Suponga que el pentobarbital de sodio se usa para anestesiar a un perro. Este queda anestesiado cuando su torrente sanguíneo contiene al menos 45 miligramos de pentobarbital de sodio por Kg de peso ,suponga también que esta sustancia se elimina exponencialmente del torrente con una vida media de 5 horas ¿ qué dosis se le debe administrar a un perro de 50 Kg de peso para anestesiarlo durante 1 hora (EE .DD 4ªedición-ED WARDS-PEN NE Y)
Respuesta=2.585 mi ligramos. 20. Se ha observado en el laboratorio que el radiose desintegra a una rapidez proporcioanl ala cantidad de radio presente. Su vida media es de 1600 años.¿ que (EE.DD-J .VENTURA BERRECIL- porcentaje desaparecera en un año?. DAVI D ELI ZARRARAZ)
Respuesta=0.0433% de la cantidad inicial . EJERCICIOS PROPUESTOS 21. Una cierta sustancia radioactiva tiene una vida media de 38 horas. Encontrar que tanto tiempo toma el 90% de la radiactividad en disiparse.
Respuesta: t= 126 años 22. Se sabe que un cierto material radiactivo decae a una velocidad proporcional a su cantidad de material presente. Un bloque de ese material tiene originalmente una masa de 100 gr. Y cuando se le observa después de 02 años, su masa ha disminuido a 80 gr. Encuentre una expresión para la masa de ese material como función del tiempo.
Respuesta: x (t)= 100 e 23. Suponer que una gota de lluvia esférico se evapora a una velocidad a su área superficial. Si originalmente el radio es de 3mm. , 1 hora después se ha reducido a 2mm. Encontrar una expresión para el radio de la gota como función del tiempo. Respuesta: r=t mm, 0
de pulgadas, tiene un radio de de pulgada al cabo de un mes. Suponiendo que se
evapore aun índice proporcional a su superficie. Encuéntrese el radio en función del tiempo después e cuantos meses más desaparecerá por completo. Respuesta: r= (2-t)8; desaparecerá después de un mes nada más.
