CURSO: CÁLCULO I - INGENIERÍA Tema
:
Funciones creciente y decreciente. Valores función.
máximos y mínimos locales locales de una
Extremos e Intervalos de Crecimiento Crecimiento y decrecimiento: 1. En las siguientes funciones determine los intervalos de crecimiento, los valores máximos y mínimos relativos.
a) y 1 4 x x 2 Solución: Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento: i. Hallamos los valores críticos de la función: Derivando la función tenemos: y '
2x 4
Igualamos a cero la derivada:
y ' 0
2 x 4 0
x 2
Por lo tanto, la función tiene un solo punto c rítico x 2 . j. Aplicamos el criterio de la primera derivada: Para eso completamos la siguiente tabla que nos dará los intervalos de crecimiento y decrecimiento: Intervalo
Valor de prueba
x 3
Signo de f ' ( x)
f ' (3) 2 0
f ' (0) 4 0
Conclusión
La función crece
La función decrece
; 2
2;
x
0
Por lo tanto: 1.
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son
2.
La función alcanza un máximo en
x
; 2 y
2.
2 b) y x x 3
Solución: Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento: i. Hallamos los valores críticos de la función: Derivando la función tenemos: y' 3 x Igualamos a cero la derivada:
2
6 x
2; respectivamente.
y ' 0 3 x 2
6 x
0
3 x x 2 0
x 0
x2
Por lo tanto, la función tiene dos puntos críticos
x
0
2.
x
j. Aplicamos el criterio de la primera derivada: Para eso completamos la siguiente tabla que nos dará los intervalos de crecimiento y decrecimiento: Intervalo
;0
2;
0;2
Valor de prueba
x 1
Signo de f ' ( x)
f ' (1) 9 0
f ' (1) 3 0
f ' (3) 9 0
La función crece
La función decrece
La función crece
Conclusión
x
1
x
3
Por lo tanto: 1.
Los intervalos de crecimiento son
;0
2; ; y el intervalo de decrecimiento es
0;2 . 2.
La función alcanza un máximo en
c) y 3x 4
x
0 , y un mínimo en x 2 .
6x2
Solución: Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento: i. Hallamos los valores críticos de la función: Derivando la función tenemos: y' 12 x
3
12 x
Igualamos a cero la derivada:
y ' 0 12 x
3
12 x 0
12 x x 1 x 1 0
x
0
x 1 x 1
Por lo tanto, la función tiene tres puntos críticos
x
0
x 1 x 1.
j. Aplicamos el criterio de la primera derivada: Para eso completamos la siguiente tabla que nos dará los intervalos de crecimiento y decrecimiento: Intervalo
Valor de prueba
x 2
Signo de f ' ( x) Conclusión Por lo tanto:
; 1
0;1
1;
x 0.5
x 0.5
x 2
f ' (2) 0
f ' (0.5) 0
f ' (0.5) 0
f ' (2) 0
La función decrece
La función crece
La función decrece
La función crece
1;0
1.
Los intervalos de crecimiento son
; 1
2.
1;0
1; ; y el intervalo de decrecimiento es
0;1 .
La función alcanza un máximo en
d) y 3x5
x
0 , y un mínimo en x 1 x 1.
20x3
Solución: Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento: i. Hallamos los valores críticos de la función: Derivando la función tenemos: y' 15 x
4
60x 2
Igualamos a cero la derivada:
y ' 0 15 x 4
60 x 2
0
15 x 2 x 2 x 2 0
x
0
x 2 x
Por lo tanto, la función tiene tres puntos críticos
2
x
0
x 2 x
2.
j. Aplicamos el criterio de la primera derivada: Para eso completamos la siguiente tabla que nos dará los intervalos de crecimiento y decrecimiento: Intervalo
Valor de prueba
x
; 2
Signo de f ' ( x) Conclusión
2;0
x 1
3
2;
0;2 x
1
x
3
f ' (3) 0
f ' (1) 0
f ' (1) 0
f ' (3) 0
La función crece
La función decrece
La función decrece
La función crece
Por lo tanto: 1.
Los intervalos de crecimiento son
2.
2;0
; 2
2; ; y el intervalo de decrecimiento es
0;2 .
La función alcanza un máximo en x 2 , y un mínimo en
x
2.
2. En las siguientes funciones los intervalos de crecimiento, los valores máximos y mínimos relativos. a) y
2 x 2
x 1 Solución: Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento: i. Hallamos los valores críticos de la función: Derivando la función tenemos: y '
2 x 2
x
2
1
1
2
de lo anterior podemos ver que la derivada de la función nunca será igual a cero. Por otro lado, los puntos donde la derivada de la función no está definida son Por lo tanto, la función tiene dos puntos críticos j. Aplicamos el criterio de la primera derivada:
x 1
x 1.
x 1
x 1:
Para eso completamos la siguiente tabla que nos dará los intervalos de crecimiento y decrecimiento: Intervalo
Valor de prueba
x 2
Signo de f ' ( x)
f ' (2) 0
f ' (0) 0
f ' (2) 0
La función decrece
La función decrece
La función decrece
Conclusión
; 1
x
1;1
1;
0
x
2
Por lo tanto:
; 1
1;1
1; .
1.
Los intervalos de decrecimiento son
2.
La función no tiene extremos relativos, es decir, no tiene máximos ni mínimos.
b) y
4 x 2
x 4 Solución: Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento: i. Hallamos los valores críticos de la función: Derivando la función tenemos: y '
4 x
x
2
2
4
4
2
Igualamos a cero la derivada:
y ' 0
4 x
x
2
2
x 2
4
4
2
0
x2
Por lo tanto, la función tiene dos puntos críticos
x 2
x2 .
j. Aplicamos el criterio de la primera derivada: Para eso completamos la siguiente tabla que nos dará los intervalos de crecimiento y decrecimiento: Intervalo
; 2
2;2
Valor de prueba
x 3
x
Signo de f ' ( x)
f ' ( 3) 0
f ' (0) 0
f ' (3) 0
La función decrece
La función crece
La función decrece
Conclusión
0
2; x
3
Por lo tanto: 1.
Los intervalos de decrecimiento son
2.
2; ; y el intervalo de crecimiento es
2;2 .
La función alcanza un máximo en
c) y
; 2
x
2 , y un mínimo en x 2 .
x 2 2
x 9 Solución: Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
i. Hallamos los valores críticos de la función: Derivando la función tenemos: y '
18 x
x
2
9
2
Igualamos a cero la derivada:
y ' 0
18 x
x
2
9
2
0
x0
Además, los puntos donde la derivada de la función no está definida son x Por lo tanto, la función tiene tre s puntos críticos
x 3 x
0
x
3
x3 .
3 .
j. Aplicamos el criterio de la primera derivada: Para eso completamos la siguiente tabla que nos dará los intervalos de crecimiento y decrecimiento: Intervalo
Valor de prueba
x 4
x 1
Signo de f ' ( x)
f ' (4) 0
f ' (1) 0
f ' (1) 0
f ' (3) 0
La función decrece
La función decrece
La función crece
La función crece
; 3
Conclusión
3;0
0;3 x
1
3; x
4
Por lo tanto: 1.
; 3
2.
d) y
0;3
Los intervalos de decrecimiento son
3; ; y los intervalo de crecimiento son
3;0 .
La función alcanza un mínimo en
x
0.
4 x 12
x 2
2
Solución: Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento: i. Hallamos los valores críticos de la función: Derivando la función tenemos: y '
4 x 4
x 23
Igualamos a cero la derivada:
y ' 0
4 x 4
x 23
0
x4
Además, el punto donde la derivada de la función no está definida es x Por lo tanto, la función tiene dos puntos críticos
x
4
x
2
2 .
j. Aplicamos el criterio de la primera derivada: Para eso completamos la siguiente tabla que nos dará los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Intervalo
Valor de prueba
x
;2
Signo de f ' ( x) Conclusión
2;4
0
x
4;
3
x
5
f ' (0) 0
f ' (3) 0
f ' (5) 0
La función decrece
La función crece
La función decrece
Por lo tanto: 1.
;2
Los intervalos de decrecimiento son
4; ; y el intervalo de crecimiento es
2;4 . 2.
La función alcanza un máximo en
e) y
x2
x
4 , y un mínimo en
x
2.
3x 2
x 1 Solución: Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento: i. Hallamos los valores críticos de la función: 2 x 1 Derivando la función tenemos: y ' x 12
Igualamos a cero la derivada:
y ' 0
x 12 2 0 x 12
x
2 1
x 2 1
Además, el punto donde la derivada de la función no está definida es x Por lo tanto, la función tiene t res puntos críticos x
2 1
1
x 2 1
x 1 .
j. Aplicamos el criterio de la primera derivada: Para eso completamos la siguiente tabla que nos dará los intervalos de crecimiento y decrecimiento: Intervalo
;
2 1
2 1;1
1; 2 1
2 1;
Valor de prueba
x 4
x 2
x 0
Signo de f ' ( x)
f ' (4) 0
f ' (2) 0
f ' (0) 0
f ' (4) 0
La función crece
La función decrece
La función decrece
La función crece
Conclusión
x
4
Por lo tanto: 3.
Los intervalos de decrecimiento son crecimiento son
4.
2 1;1
;
2 1
2 1; ; y los intervalos de
1; 2 1 .
La función alcanza un máximo en x 2 1 , y un mínimo en x
2 1 .
3. Determinar “a” y “b”, tal que: f ( x) 2 x3 ax2 b presente en su gráfica un extremo relativo en (1,-2).
Solución: Hagamos lo siguiente:
a) Evaluando la función en el puntos 1;2 tenemos:
2 2ab
a b 4
b) Hallando los puntos críticos: Derivando la función e igualando a cero tenemos:
6 x
2
2ax 0
2 x3 x a 0 de lo cual tenemos que lo puntos críticos son x 0 x
a
3
. Ahora, como los posibles
extremos relativos son los puntos críticos, tenemos que:
a
1 3 a 3 Reemplazando este valor en la ecuación a b 4 tenemos: b 1
