CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO EXPONENCIAL
El crecimiento o decrecimiento exponencial se suele utilizar en el lenguaje ordinario, y está íntimamente ligado al crecimiento de las poblaciones (ya sean de personas, animales, bacterias, árboles) en las que el crecimiento de la población depende del número de individuos que la componen.
Crecimiento exponencial: Simplemente es aquel que es representado por una potencia de exponente variable, es decir, una expresión algebraica que se representa de la forma , donde x generalmente representa el tiempo y la base a es un número mayor que uno, y se elige dependiendo de la situación en la que esta represente. Para el crecimiento exponencial es necesario saber que los valores obtenidos para una serie de exponentes consecutivos deben ser constantes. Decrecimiento exponencial: El decrecimiento tiene un concepto similar al crecimiento exponencial puesto que de igual forma se representa mediante una potencia de exponente variable es decir de la misma expresión , pero aquí, a diferencia del crecimiento exponencial, la base a es un número menor que 1, y se escoge dependiendo de la situación al igual que el crecimiento. Y para el decrecimiento exponencial también es necesario saber que dos valores correspondientes a tiempos consecutivos, son constantes. Todo problema de crecimiento y decrecimiento exponencial, tiene como ecuación diferencial = kx;x ( ) = Donde se dice quex es la población por unidad de tiempo, t representa el tiempo y k es una constante de proporcionalidad, se emplea como modelo de distintos fenómenos en los que intervienen crecimiento, decaimiento o desintegración y por último es la población existente en cierto instante inicial Entonces como: = kx Resolviendo mediante el método de variables separables, se tiene: =kdt=>ln x = kt +
=> x=
=> x=
Ahora como se tiene unas condiciones iniciales tal que x ( )=
, entonces:
=
=> c=
=> x=
Suponiendo, como en casi todos los problemas, que solución general:
=0, entonces se tiene la
x= Ejemplo 1. Crecimiento poblacional. Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta con una rapidez proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento t. Si la población se duplicó en 5 años, ¿En cuánto tiempo se triplicará y cuadruplicará? La ecuación diferencial a utilizar es:
Cuya solución general ya sabemos que es: x= De acuerdo al problema, se tiene como condiciones iniciales x(5)=2 Por consiguiente se tiene: 2
=>
Con lo cual obtenemos la solución: x(t)=
(
)
Ahora se determina en cuanto tiempo se triplicará la población, es decir X(t)=3 Entonces: (
)
3=
(
)
=> t=
=> t=7,29
Y para determinar en cuanto tiempo se cuadruplicará la población, es decir x(t)=4 4
, se tiene : (
)
=> 4=
(
)
=>
=> t= 10
Por consiguiente se concluye que se necesitan 7,29 años para triplicar la población y 10 años para cuadruplicarla.
Ejemplo 2. Crecimiento bacteriano. La población de una comunidad de bacterias crece a razón proporcional a su población en cualquier momento t. Al cabo de 3 horas se observa que hay 400 individuos. Pasadas 10 horas, hay 2000 bacterias. ¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias? Como este problema es de crecimiento, ya se sabe que su solución viene dada por: x(t)= En este caso las condiciones iniciales son:
y
{ Del sistema anterior se obtiene
, con lo cual:
} y
Por lo tanto se concluye que la población inicial de bacterias era de 200.
VIDA MEDIA: Se llama vida media al tiempo requerido para que la mitad de una sustancia desaparezca, también se sabe que esta es una propiedad exclusiva de las sustancias radiactivas y cada sustancia tiene una vida media determinada Ejemplos.
Ejemplo2.
FECHADO DE CARBONO: LEY DE TEMPERATURA DE NEWTON También conocida como ley de enfriamiento de newton. Y se dice que esta ley describe que la razón de pérdida de calor de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y el medio ambiente que lo circunda. Es decir que cuando la diferencia de temperaturas entre un cuerpo y su medio ambiente no es demasiado grande, el calor transferido en la unidad de tiempo hacia el cuerpo o desde el cuerpo por conducción, convección y radiación es aproximadamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio externo, es decir, la trasferencia de calor está relacionada con los cuerpos calientes y fríos, y estos llevan a cabo procesos de condensación, vaporización, cristalización, etc. En donde la transferencia de calor, tiene sus propios mecanismos y cada uno de ellos cuenta con sus peculiaridades. La transferencia de calor es importante en los procesos, porque es un tipo de energía que se encuentra en tránsito, debido a una diferencia de temperaturas (gradiente), y por tanto existe la posibilidad de presentarse el enfriamiento, sin embargo esta energía en lugar de perderse sin ningún uso es susceptible de transformarse en energía mecánica por ejemplo; para producir trabajo, generar vapor, calentar una corriente fría, etc. Se expresa de la siguiente forma:
Donde es el coeficiente de intercambio de calor, S es el área del cuerpo, T la temperatura del mismo, y Tm la temperatura del ambiente. Utilizando el método de las variables separables se puede tener que:
Integramos: ∫ Se obtiene: Ejemplos:
∫
1- Una cabilla de acero es sacada de un horno a una temperatura de 1000°C y es llevada a un espacio cuya temperatura ambiente es de 30°C.Si luego de 1 hora la temperatura de la cabilla es de 60°C.Determine ¿Qué temperatura tendrá la cabilla luego de 30 min de haber salido del horno? Y ¿En cuánto tiempo la temperatura de la cabilla será de 40°C? De acuerdo a los datos del problema se tiene que la temperatura del medio ambiente es de 30°C, con lo cual de acuerdo a la solución de todo problema de enfriamiento se tiene:
Además de acuerdo a las condiciones iniciales del problema T(0)=1000°C se tiene:
Por lo tanto se obtiene:
Ahora como luego de 1 hora la temperatura que experimenta la cabilla es de 60°C entonces T(1)=60°C se tiene:
Entonces la solución general del problema es:
Para determinar la temperatura de la cabilla luego de 30 minutos (0.5 horas) de haber salido del horno se tiene:
Por último el tiempo transcurrido para que la cabilla este a 40°C es:
Ejemplo 2: Un cuerpo que tiene una temperatura de 70°F es depositado (en el tiempo t =0) en un lugar donde la temperatura se mantiene a 40°F. Depues de 3 min, la temperatura del cuerpo a disminuido a 60°f. 1. ¿Cuál es la temperatura del cuerpo después de 5 min? 2.. ¿Cuánto tiempo pasara para que el cuerpo tenga 50°F? Si T(t) es la temperatura de cuerpo en °F después de t minutos, entonces la ecuación diferencial que modela a T(t) es:
Donde Ta= 40°F es la temperatura fija del medio circulante. Las condiciones adicionales son T(0)=70 y T(3) = 60 Luego, la temperatura T(t) esta dada por la solución del PV1:
Resolvamos este problema:
Ahora,
Por lo que;
Luego,
1.
¿Cuál
es
2.
¿Cuánto
la
temperatura
tiempo
pasara
del
cuerpo
para
que
después
el
cuerpo
de
5
minutos?
tenga
50°F?
Entonces el cuerpo tendrá una temperatura de 50°F después de t = 8 minutos y 8 segundos.
Fechado de carbono
Este método está basado en la medida del elemento radiactivo carbono 14, que se encuentra en todos los tejidos vivos. Como resultado de la radiación que pasa a través de la atmósfera superior de la tierra, los átomos ordinarios de nitrógeno se transforman en carbono 14 radiactivo. Algunos de estos átomos radiactivos son entonces incorporados en las moléculas de dióxido de carbono las cuales son a su vez absorbidas por las plantas en el proceso de fotosíntesis. Los animales consumen material vegetal o carne cuyo origen también está vinculado en alguna forma con las plantas. Cada organismo en sí, ya sea planta o animal, contiene una cierta cantidad de carbono 14 radiactivo.
Cuando un organismo muere, la absorción de carbono 14 cesa y el elemento radiactivo comienza el proceso de decadencia de regreso a nitrógeno. Al medir la cantidad de carbono radiactivo en una muestra se puede determinar la fecha de su muerte. Cuanto más carbono 14 esté presente, menor será la edad y cuanto menos tenga, más antiguo será el espécimen. El método de Carbono 14 es usado comúnmente para fechar material orgánico o material que en algún tiempo fue parte de un organismo vivo. Este método está basado en la medida del elemento radiactivo carbono 14, que se encuentra en todos los tejidos vivos. Como resultado de la radiación que pasa a través de la atmósfera superior de la tierra, los átomos ordinarios de nitrógeno se transforman en carbono 14 radiactivo. Algunos de estos átomos radiactivos son entonces incorporados en las moléculas de dióxido de carbono las cuales son a su vez absorbidas por las plantas en el proceso de fotosíntesis. Los animales consumen material vegetal o carne cuyo origen también está vinculado en alguna forma con las plantas. Cada organismo en sí, ya sea planta o animal, contiene una cierta cantidad de carbono 14 radiactivo. Cuando un organismo muere, la absorción de carbono 14 cesa y el elemento radiactivo comienza el proceso de decadencia de regreso a nitrógeno. Al medir la cantidad de carbono radiactivo en una muestra se puede determinar la fecha de su muerte. Cuanto más carbono 14 esté presente, menor será la edad y cuanto menos tenga, más antiguo será el espécimen. Al igual que los otros métodos de fechado radiométrico, el método Carbono 14 depende de varias hipótesis. Primero, para que este método de fechado funcione, la cantidad de carbono radiactivo en la atmósfera de la tierra debe haber sido constante. Esto significaría que la tasa de formación de carbono radiactivo habría
tenido que ser igual a la tasa de decadencia en la época en que vivió el espécimen. Segundo, hay que suponer que la medida de decadencia era en el pasado la misma de hoy. Tercero, ninguna contaminación de carbono radiactivo podía ocurrir desde la muerte del espécimen. Ejercicio: El sudario de Turín muestra el negativo de la imagen del cuerpo de un hombre que parece que fue crucificado, muchas personas creen que es el entierro de Jesús de Nazaret. En 1988 el vaticano concedió permiso para datar con carbono el sudario. Tres laboratorios científicos independientes analizaron el paño y concluyeron que el sudario tenía 660 años, una antigüedad consistente con su aparición histórica.Usando esta antigüedad determine qué porcentaje de la cantidad original de C-14 quedaba en el paño en 1988. Solución:
∫
∫ ∫
Aplicamos Euler en ambos lados del igual para eliminar el logaritmo natural.
Aplicamos
Remplazo “2” en “1” para obtener la constante en un término conocido.
Aplicamos ⁄
Aplicamos logaritmo natural en ambos lados del igual para eliminar el Euler y poder despejar “K” (constante de proporcionalidad o decrecimiento del carbono 14.
Luego,
Remplazamos “4” en “3” para obtener la ecuación Que nos dará la cantidad de carbono – 14 en el tiempo dado.
Aplicamos
Calculamos directamente
Aplicamos
Conclusión: En el paño (sudario de Turín) al que se le realizo la prueba de C-14 en 1988, se le determino con los 660 años que tenía en aquella época que le quedaba un 92% de la masa total de C-14. De la que normalmente se encuentra constante en el aire y los seres vivos.
EJERCICIO: El carbono-14 (C14), sustancia radioactiva presente en ciertos fósiles, se desintegra a una velocidad proporcional a la cantidad presente. La vida Media (tiempo en desintegrarse a la mitad una cantidad inicial) es de 5730 años. Averiguar la edad del fósil sabiendo que contiene el 77:7 % del C14 inicial La ecuación diferencial que rige la desintegración de una sustancia radiactiva es A`(t) = -λA(t) donde ¸ > 0 y A(t) el numero de átomos de dicha sustancia presentes en el tiempo t. La solución general de esta ecuación es: A(t) =
λ
con C € R arbitraria:
Supongamos que, en el instante inicial, t = 0 (que corresponde al momento en que “murió" el fósil),este contuviera una cantidad A0 de átomos de C14: A0 = A(0) = C
= C luego A(t) = A0
λ
Por otro lado, la vida media del C14 es de 5730 años, lo cual significa que cualquier cantidad inicial de C14 se habrá reducido a la mitad al cabo de 5730 años. Es decir: λ= A(5730) = A0
λ
λ
¸<--> =
de donde, tomando logaritmos en ambos miembros -5730 λ = ln( ) () ¸ =<->λ
= 5730=0.000121
Por lo tanto, la cantidad de átomos de C14 presentes en el fósil en un instante t > 0 posterior al de su “muerte" viene dado por: A(t) = A0
λ
¸ con ¸ λ= 0.000121
Lo que queremos es hallar el tiempo t que ha transcurrido desde el instante de la “muerte" del fósil del que sabemos que A(t*) = Luego λ
A0 = A0
λ
¸<-> 0.777 =
= ln(0.777) <-> t* =
λ
= 2085 años
