CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
CASOS O CRITERIOS DE CONGRUENCIA Son las condiciones mínimas para que dos triángulos sean congruentes.
CONGRUENCIA DE SEGMENTOS Dos segmentos son congruentes, si tienen la misma longitud. Así, por ejemplo: A
B
C
D
Si AB = CD entonces Con
AB
Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes un lado y los ángulos adyacentes a este lado, entonces dichos triángulos son congruentes. B
°
es congruente
y se denota:
CD
Primer caso – caso – ALA (ángulo – (ángulo – lado – lado – ángulo)
AB
E
°
°
A
C
CD
°
D
F
ABC DEF
CONGRUENCIA DE ÁNGULOS
Segundo caso – caso – LAL (lado – (lado – ángulo – ángulo – lado)
Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida Así, por ejemplo:
Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes dos lados y el ángulo comprendido, entonces dichos triángulos son congruentes.
A
B
M
B
E
°
C
°
A
C
D
F
ABC DEF
N
Tercer caso (LLL) (lado – (lado – lado – lado – lado)
D
Si m z AMB = m < CND, entonces el < AMB es congruente con el < CND y se denota:
Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes sus tres lados, entonces dichos triángulos son congruentes. B
E
< AMB
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
A
Un triángulo es congruente con otro, si y sólo si, existe una correspondencia entre sus vértices de modo que sus lados y ángulos sean respectivamente congruentes con los lados y ángulos del otro. Según esto se tiene: B
A
E
C
AB DE ABC DEF BC EF AC DF
°
y
B E C F
La notación: ABC DEF, se lle: el triángulo ABC es congruente con el triángulo DEF.
F
NOTA Sólo cuando se demuestre que dos triángulos son congruentes se podrá decir que a lados congruentes se oponen ángulos congruentes y recíprocamente, a ángulos congruentes se oponen lados congruentes.
PROBLEMAS PROPUESTOS
F
A D
D
ABC DEF
D
C
1. Calcular x a) 15 b) 10 c) 20 d) 25 e) 35
x° 20° 20°
2. Calcular “x”
7. Calcular BC, si: AB = 6; CD = 4 A
° 70°
D
40° 40°
x°
a) 30 d) 35
b) 20 e) 40
c) 10 B
3. DC = BC; DK = BK. Si AD = 7, calcular AB
E
a) 8 d) 10
C
b) 9 e) 15
c) 12
D
8. Calcular ; AB // DE ; AC = DE K
A
D
C B
70°
B
a) 6 d) 4,5
b) 3,5 e) 10
c) 7
° A
4. Calcular “x”
E
C
a) 40 b) 70 c) 50 d) 80 e) 35 9. ABC: equilátero; DEC: equilátero: calcular
x°
B E
° D
30° 10°
a) 20 d) 30
30°
b) 10 e) 50
c) 40 A
5. Calcular “x”:
C
a) 35 d) 20
b) 45 e) 30
c) 60
10. AB = BC = 5; AC = 6. Calcular “”
a+b
B x° a a
b
a) 80 d) 50
b) 70 e) 90
c) 60
a) 60 b) 37 c) 30 d) 53 e) 45 ° A
6. Calcular CD, si AE = 4
11. Calcular BC, si AB = 1; BD = 4
D
B 2°
A
2°
°
a) 1 d) 4
a) 4 b) 5 c) 3 d) 7 e) 6
°
A
C
B
C
b) 2 e) 5
c) 3 D
C
12. Calcular BC, si: AB = 4; AD = 3
17. Calcular “x”
B
°
° °
2°
°
A
°+° °
C
D
a) 6 b) 8 d) 9 e) 7 13. Calcular DE, si AB = 6
c) 5
a) d) /2
x°
b) 2 e) +
c) 3
D
18. Calcular AD, si AC = 3 B
°
a) 8 b) 10 c) 6 d) 4 e) 5
B
°
C 2°+°
60° A
C
a) 7 d) 5
b) 8 e) 3
°
E
°
c) 6
A
D
19. Calcular AB = AD BC = CE
14. Calcular “”
E
B 2°
D
a
40°
60°
° b
a+b
a) 25 d) 10
b) 20 e) 16
°
A
60° C
c) 30 a) 18 d) 15
b) 20 e) 10
c) 30
15. Calcular “x” 20. Calcular “x”
60°
x°
x° 20°
a) 45 d) 53
b) 60 e) 37
20°
a) 10 d) 40
c) 30
b) 20 e) 50
c) 30
TAREA 16. AC = AB + FC. Calcular “x” 1. En la figura; el triángulo ABC es equilátero y AR = BS. Calcular “x”.
B 100°
° °
F
x°
A
a) 40 d) 20
C
b) 30 e) 35
c) 25
B
a) 75 b) 90 c) 60 d) 53 e) 37
S R x° A
C
2. Calcular x si BC = CD = DE = AB/2 C
B
7. Se tiene un triángulo rectángulo ABC. Luego, por B, se traza una recta. Se trazan AE y CF perpendiculares a dicha recta. AE = 6 y CF = 10. calcular EF, si además AB = BC. a) 12 b) 14 c) 15 d) 13 e) 16
D
x° E
8. En la figura AB = PC. Calcular , si + = 80
A
a) 60 b) 90 c) 80 d) 120 e) 207/2 3. CD = DE; AB = 2BC = & . EF = 5. Calcular “x” B
A
Q B
°
°+°
C
x° P D
°
°+ ° F
a) 37 d) 75
A
E
b) 53 e) 30
° C
a) 80 b) 10 d) 40 e) 20 9. Si: EH + DM = 24, calcular AC
c) 60
c) 15
B
4. AB = BC; AF = 9 y CG = 3. Calcular FG A H
A
M
C
G F B
E
C
a) 5 b) 4 c) 8 d) 6 e) 9 5. De las siguientes proposiciones, para que dos triángulos sean congruentes: I. Dos ángulos de uno son congruentes respectivamente con dos ángulos del otro. II. Tres lados de uno son congruentes respectivamente con tres lados del otro. III. Dos lados y el ángulo comprendido de uno son congruentes respectivamente con dos lados y el comprendido del otro. Son falsas: a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) II y III 6. En la figura AO = BO y OX = OY. Entonces la alternativa correcta es: a) AX = 2BY b) BY = 2AX c) AX = 3BY d) AX = BY e) BY =3AX
B
O X
A Y
a) 12 d) 28
b) 18 e) 20
D
c) 24
10. En la figura el triángulo ABC y el triángulo PCQ son equiláteros. Calcular “x”, si m < BQP = 40. B
Q P x°
A
a) 120 d) 50
C
b) 150 e) 100
c) 80
CONSECUENCIAS DE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Recomendación:
B
TEOREMA DE LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO D
Todo punto que pertenece a la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo
H
° °
A M
A
b
° °
O
Bisectriz del < AOB
a
N
Si BH AD , prolongado BH hasta el punto N se obtiene el BAN isósceles (AB = AN y BH = HN)
P
TEOREMA DE LOS PUNTOS MEDIOS
a
b N
B
Si: P es un punto cualquiera de la bisectriz.
PM
OA
PM PN
En todo triángulo el segmento que une los puntos medios de dos lados, es paralelo al tercer lado y su medida es igual a la mitad de dicho lado. B
y PN
Si: AM = BM BN = NC
OB
OM ON
y
°
M
y
N
Si un punto interior a un ángulo equidista de sus lados, entonces dicho punto pertenece a la bisectriz del ángulo (Teorema recíproco).
MN
°
A
A
MN // AC AC 2
C
Base media R
Si RA = RB OR biseca el ángulo AOB O
La base media en un triángulo es el segmento que une los puntos medios de dos lados.
B
TEOREMA DE LA MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
M
N
Todo punto que pertenece a la mediatriz de un segmento equidista de los extremos del segmento
B
a
Mediatriz de AB
paralela a otro lado, ésta cortará el tercer lado en su punto medio. B
a
° A
TEOREMA. Si por el punto medio de un lado se traza una
° M
M B
Si P es un punto cualquiera de la mediatriz
PA PB
A
L
C
Si: M es punto medio de AB y ML // BC
Si un punto equidista de los extremos de un segmento, entonces dicho punto pertenece a la mediatriz del segmento (teorema recíproco).
AL LC
ML
BC
ML es la base media de BC
2
Para que exista base media se necesita: 1 2
3. En la figura AM = AN = NC, calcular “x”
Dos puntos medios ó Un punto medio y una paralela
TEOREMA DE LA MENOR MEDIANA EN LE TRIÁNGULO RECTÁNGULO
a) 35 b) 45 c) 55 d) 65 e) 75
M
B x° N
35° A
N
C
4. Si AB = BC, calcular “x” En todo triángulo rectángulo la mediana relativa a la hipotenusa mide igual a la mitad de la medida de la hipotenusa. B ° °
B
a) 5 b) 10 c) 15 d) 12 e) 18
2x° P 4x° 3x° A
a
H
C
5. En el gráfico adjunto, hallar: “FG” si: BF = 4 y DE = 6 ° A
°
M
a
C
a
Si: BM es mediana
AM MC BM
AC 2
D
B
a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3
F G
° ° A
E
C
6. En un triángulo ABC; m < A = 105, m < C = 25 y AB = 9. Si la mediatriz de AC interseca a BC en “P”, calcular “PC”. a) 4,5 b) 6 c) 18 d) 9 e) 12
OBSERVACIÓN B
7. Del gráfico calcular “AB”, si: PQ = 4 A
C
B
Si: BM es mediana
° Q
m < ABC = 90
P
PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Si: BP = 12, calcular la distancia del punto medio de PC al lado AC B
a) 12 b) 10 c) 8 d) 6 e) 4
P
2
°
° °
A
C
° ° A
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 8. Si tiene un triángulo ABC, tal que la mediana BM es cortada en su punto medio por la ceviana AD . Si BC = 12, calcular “BD”. a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4
2. Si: PQ = 1 y AC = 5, calcular: AB B
a) 4 b) 3 c) 2 d) 2
2
e) 2 3 A
° °
P
Q
C
9. Calcular la medida del mayor ángulo agudo de un triángulo rectángulo si la mediatriz relativa a la hipotenusa interseca a la bisectriz de uno de los ángulos agudos a un punto situado sobre uno de los catetos. a) 45 b) 30 c) 53 d) 60 e) 75
10. Si AE = EF, DE = y “AC”.
CD
es bisectriz del < ACB, calcular B
D
a) 4 b) 6 c) 8
17. En la figura: AC es bisectriz del < BAD AF = BF = FC y BC = 2 B Calcular: CD
45° F C
d) 8 e) 12
E
2
A
F
C
11. AB = BC, calcular “x” B
a) 5 b) 4 c) 8 d) 6 e) 9
C
d) 2
x°
30° A
D
12. Si AM = MC; BC – AH = 5, calcular CN B
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
A
a) 8
100°
M H C
A N
13. En el triángulo ABC: AB = 8 y m < A = 60, se traza la ceviana BP , tal que la mediatriz de AC interseca a BP en su punto medio. Calcular “PC”. a) 2
b) 2 3
d) 4 3
e) 8
c) 4
b) 4 e) 2
2
c) 2
D
3
18. En un triángulo ABC: m < A = 2(m < C), se trazan BF BC y BM AC (F en AC ). Si AC = 19 y FM = 1, calcular “AB”. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 19. En un triángulo ABC: m < A = 40, m < B = 110 y “P” es un punto interior que pertenece a la bisectriz interior del ángulo A. Si BC = PC, calcular la m < ACP. a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30 20. En un triángulo ABC: m < B = 80 y m < B = 30, en AC se ubica el punto E, tal que AB = EC. Si las mediatrices de AE y BC se intersecan en R, calcular la m < ACR. a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40
TAREA
14. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM y la altura BH , tal que < ABH < MBC. Calcular la m < C. a) 22,5 b) 15 c) 30 d) 45 e) 75 15. El ángulo C de un triángulo rectángulo ABC (m < B = 90), mide 37°. P y Q son puntos que pertenecen a AC y BC respectivamente, la mediatriz de PQ interseca en R AB . S m < PRQ = 53 0 AR = 5, calcular QB. a) 6 b) 4 c) 5 d) 12 e) 13 16. Del gráfico mostrado, calcular “BC” si AH = 6
1. De la figura, calcular AB si: AC – PQ = 8 D
B
a) 4 b) 6 c) 10 d) 8 e) 12
P
Q 2°
° A
C
2. En un triángulo escaleno ABC, se traza la mediana CM , luego en el triángulo BMC se traza la mediana BN , tal que BN = 9. Sea F un punto de AC , tal que MF // BN , calcular MF.
B
a) 6 d) 10 ° °
°
A
C
a) 6
b) 6
d) 18
e) 12 3
2
c) 6
b) 4 e) 9
c) 8
3. Dado el triángulo isósceles ABC (AB = BC). Sea P un punto que pertenece a AC tal que m < PBC = 90 y PC = 2(AP), calcular la m < C. a) 30 b) 26,5 c) 45 d) 10 e) 7
4. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) la mediatriz de AB y la bisectriz interseca a BC . Calcular m < B a) 18 b) 22,5 c) 30 d) 36 e) 45 5. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B la mediatriz de AB interseca a BC . En D tal que DC = 2(BD). Calcular m < C a) 25 b) 26,5 c) 30 d) 45 e) 37 6. En un triángulo rectángulo ABC en B la bisectriz exterior trazada del vértice A interseca a la perpendicular a la hipotenusa trazada por el vértice “B” en el punto “E”. Si dicho punto dista 3 de BC y 4 de AC , calcular BE a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 7. Se tiene un triángulo ABC tal que AB = 4; BC = 8 y AC = 10, desde el vértice C se trazan perpendicularmente a la bisectriz interior de A y exterior de B. calcular la medida del segmento que une los pies de estas perpendiculares. a) 3 b) 2 c) 1 d) 1,5 e) 0,5 8. AB = AD = DC. Calcular “x” B
°
2°
°
A
C
a) 15 d) 20
b) 30 e) 40
c) 45
9. en la figura: AB = BC; AM = MP. Calcular “x” B
x° P 25° 35° M 35° A
a) 5 d) 12
C
b) 10 e) 15
c) 7,5
10. En la figura adjunta calcular el valor de “” 3°
° 2°
°
a) 10 d) 18
b) 12 e) 22,5
c) 15
